Funciones elementales

Funciones elementales 3.1. Función exponencial Ya hemos introducido la exponencial compleja definiéndola como e z = e x (cosy + i sen y) para todo z = x + iy C. Dicha definición fue propuesta por Euler para hacerla consistente con el desarrollo en serie de la exponencial real. También hemos visto que con esta definición se cumplen las propiedades de la exponencial real e iy 1+iy 2 = e iy 1 e iy 2, e iy = 1 e iy, que son obviamente extensibles a cualquier complejo z = x + iy C ya que e z = e x e iy y e x es una exponencial real. Así pues, con esta definición, La función e z cumple (CR): e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, e z = 1 e z. u x = e x cos y = v y, u y = e x sen y = v x,

28 3 Funciones elementales luego es derivable. Además, (e z ) = u x + iv x = e z, verificando otra de las identidades básicas de la exponencial real. Veremos más adelante que e z se puede definir a partir de dos propiedades elementales: (1) e z es una función holomorfa, (2) para z = x R e z = e x. Hay una única función holomorfa que verifique esas dos propiedades, por tanto la ecuación de Euler la define. Una manera de encontrarla, alternativa al empleo de la serie, es buscar una función de la forma e z = e x g(y), con g : R C tal que g(0) = 1. Si ha de ser holomorfa tiene que cumplirse u x = e x g r (y) = e x g i(y), siendo g(y) = g r (y) + g i (y). Entonces { g r(y) = g i (y), g i (y) = g = r(y), u y = e x g r(y) = e x g i (y), { g r(y) = g r (y), g i (y) = g i(y), con g r (0) = 1 = g i (0) y g i(0) = 0 = g r(0). La solución general de la ecuación diferencial φ (y) + φ(y) = 0 es φ(y) = A cosy + B sen y, con A y B dos constantes arbitrarias. Con el primer conjunto de condiciones iniciales φ(0) = A = 1 y φ (0) = B = 0; con el segundo, φ(0) = A = 0 y φ (0) = B = 1; por tanto, g r (y) = cosy, g i (y) = seny. Que no haya más funciones holomorfas que coincidan con ésta en el eje real es consecuencia de un teorema que veremos más adelante. Finalmente, dos propiedades importantes de la exponencial compleja son las siguientes: e z 0 para todo z C, algo que es sencillo de probar ya que e z = e x > 0 para cualquier x R. e z es periódica de periodo imaginario 2πi. La razón es que e z+2πi = e z e 2πi = e z, ya que e 2πi = 1.

3.2 Funciones trigonométricas 29 3.2. Funciones trigonométricas De la fórmula de Euler de donde e iθ = cosθ + i sen θ, e iθ = cosθ i sen θ, cosθ = eiθ + e iθ, sen θ = eiθ e iθ ; 2 2i es natural, pues, definir cos z = eiz + e iz, sen z = eiz e iz. 2 2i La definición tiene sentido porque (1) cuando z = x R, las funciones se reducen al coseno y seno reales, (2) por ser combinaciones lineales de funciones holomorfas en C, ambas son holomorfas en C. Así que éstas son las únicas funciones holomorfas que coinciden con las reales sobre el eje real. Otras propiedades que se siguen de la definición son: 1. Para argumentos imaginarios puros, z = iy, las funciones están relacionadas con las trigonométricas hiperbólicas: cos(iy) = coshy, sen(iy) = i senhy. 2. Las derivadas se comportan como en R: (cosz) = senz, (senz) = cosz. 3. La paridad de las funciones es como en R: cos( z) = cosz, sen( z) = sen z. 4. Se cumplen las mismas relaciones trigonométricas que en R; por ejemplo, cos 2 z + sen 2 z = 1, cos(z 1 + z 2 ) = cosz 1 cosz 2 sen z 1 sen z 2, sen(z 1 + z 2 ) = senz 1 cosz 2 + cosz 1 sen z 2, cos 2z = cos 2 z sen 2 z, sen 2z = 2 senz cosz, sen(z + π/2) = cosz, cos(z + π/2) = senz, sen(z + π) = sen z, cos(z + π) = cosz,

30 3 Funciones elementales Parte real e imaginaria se obtienen explicitando z = x + iy en las identidades de la suma: cosz = cosxcoshy i sen x senhy, sen z = senxcoshy + i cosxsenhy, y con ellas, y usando que cosh 2 y = 1 + senh 2 y, se obtiene fácilmente el módulo: cosz 2 = cos 2 x + senh 2 y, sen z 2 = sen 2 x + senh 2 y. Los ceros de seno y coseno son los conocidos: sen z = 0 z = nπ, n Z, cos z = 0 z = nπ + π 2, n Z. Comprobar que son ceros es trivial, de la definición. Probar que no hay más se puede hacer sabiendo que f(z) = 0 implica f(z) 2 = 0. Por ejemplo, para el seno eso implica sen 2 x + senh 2 y = 0 = sen x = 0, senhy = 0. Como senh y = 0 implica y = 0, los únicos ceros son los del seno real. Para el coseno el razonamiento es idéntico. Tangente, cotangente, secante y cosecante se definen como en R, a partir de seno y coseno: tanz = sen z cosz, cosz cotanz = sen z, sec z = 1 cosz, cosecz = 1 sen z, y las identidades que cumplen son las mismas que en R. 3.3. Funciones trigonométricas hiperbólicas Extendiendo las relaciones cos(iy) = coshy, sen(iy) = i senhy, al plano complejo, definimos las funciones trigonométricas hiperbólicas como coshz = cos(iz) = ez + e z, 2 senhz = i sen(iz) = ez e z, 2

3.4 Función logaritmo 31 definiciones que hacen que para z = x coincidan con sus contrapartidas reales. Todas las identidades entre estas funciones se conservan en virtud de que la relación que las define es como en R. Así, por ejemplo, cosh( z) = coshz, cosh 2 z senh 2 z = 1, senh( z) = senhz, cosh(z 1 + z 2 ) = coshz 1 coshz 2 + senhz 1 senh z 2, senh(z 1 + z 2 ) = senhz 1 cosh z 2 + coshz 1 senhz 2. En cuanto a sus partes reales e imaginarias y módulos, Y sus derivadas son como en R: cosh z = coshxcosy + i senh x seny, senhz = senhxcosy + i coshxsen y, coshz 2 = senh 2 x + cos 2 y, senhz 2 = senh 2 x + sen 2 y. (coshz) = senhz, (senhz) = coshz. También se definen como en R tanhz = senhz cosh z, 3.4. Función logaritmo cosh z cotanhz = senhz, sech z = 1 cosh z, cosechz = 1 senhz. Vamos a definir el logaritmo como la función inversa de la exponencial. Para empezar, como e w 0 para todo w C, la ecuación e w = z sólo puede tener solución si z 0. Supongamos que es así, y que z = ρe iφ en forma polar; entonces, denotando w = x + iy, e x+iy = e x e iy = ρe iφ = x = lnρ, y = φ + 2kπ, k Z. Los infinitos valores que obtenemos reflejan el hecho de que, al ser la exponencial una función periódica, no puede definirse una única inversa sobre todo C. Este resultado lo podemos reflejar en la siguiente definición del logaritmo: log z = ln z + i arg z, z 0

32 3 Funciones elementales (utilizaremos la notación log para referirnos al logaritmo de un número complejo, y ln para referirnos al logaritmo natural de un número real positivo). El logaritmo posee la misma ambivalencia que la función arg z: entendida como conjunto (o como función multivaluada ) representa las infinitas soluciones de la ecuación e w = z; entendida como función, hay que fijar la determinación de la función arg z para que sea univaluada (es decir, una función genuina). Cada posible determinación fija una rama del logaritmo. La solución de la ecuación e w = z dependerá de la rama que hayamos fijado. Denominaremos rama principal del logaritmo a la elección de la determinación principal para la función arg z, y valor principal al valor de log z en la rama principal. Como con el argumento, si no se especifica otra cosa se supone que se adopta la rama principal. Que el logaritmo, tal como lo hemos definido, es la función inversa de la exponencial lo prueba la identidad e log z = z, muy fácil de probar. Sin embargo, hay que hacer notar que para que la segunda identidad log(e z ) = z sea cierta es necesario que π < Im z π (adoptando la rama principal del logaritmo). Ejemplo 3.1. Calcula log(e 1+4i ). Dado que nada se dice de la rama, calcularemos el valor principal. En ese caso, como en general log(e 1+4i ) = log(e 1 e 4i ) = ln(e 1 ) + 4i + 2kπi = 1 + 4i + 2kπi, k Z y 4 / ( π, π] pero 4 2π ( π, π], el resultado correcto se obtiene para k = 1, de modo que la respuesta al problema es log(e 1+4i ) = 1 + (4 2π)i 1 + 4i. Este hecho hace que tengamos que tener mucho cuidado cuando intentamos aplicar las identidades típicas de ln x a log z. Lo más que puede asegurarse es que, como conjuntos, verifican log(z 1 z 2 = log z 1 + log z 2, ( ) z1 log = log z 1 log z 2, z 2 n log z log z n. Especial atención merece la última relación.

3.5 Potencias complejas 33 La función logaritmo verifica las ecuaciones (CR) en su forma polar. Si u(r, θ) = lnr y v(r, θ) = θ, u r = 1 r = 1 r v θ, v r = 0 = 1 r u θ, por lo que log z es holomorfa en C S, siendo S la semirrecta del corte que fija la determinación o rama. En cuanto a la derivada, (log z) = e iθ (u r + iv r ) = e iθ1 r = 1 re iθ = 1 z, sea cual sea la rama elegida. El hecho de que haya que fijar una rama del logaritmo hace que la composición de funciones con logaritmos pueda llegar a ser una operación elaborada. Veamos un ejemplo. Ejemplo 3.2. Dónde es holomorfa la función f(z) = log(z 2 )? Para determinar dónde es holomorfa esta función tenemos que ver cuál es la imagen inversa del conjunto C (, 0] por la función g(z) = z 2, es decir, qué valores de C tienen su imagen mediante g fuera de la semirrecta (, 0]. Lo más sencillo es buscar la imagen inversa del corte. Éste está formado por los números de la forma t, con t 0, así que buscamos la solución de Las dos soluciones son z 2 = t, t 0. z = ±i t, t 0, que describen el eje imaginario completo. Así pues, f es holomorfa en el conjunto C {Re z = 0}. 3.5. Potencias complejas Cuando z 0 y c C, calcularemos la potencia z c como z c = e clog z. Para probar que esta definición es consistente, vamos a comprobar los dos casos que tienen definición alternativa, a saber, z n y z 1/n, con n N. Si z = re iθ, z n = e nlog z = e nln r+in(θ+2kπ) = e lnrn e inθ e i2nkπ = r n e inθ, de acuerdo con el resultado obtenido anteriormente. En cuanto a la raíz, z 1/n = e 1 n log z = e 1 n lnr+i 1 n (θ+2kπ) = e ln r1/n e iθ/n e 2kπi/n = r 1/n e iθ/n ω k n,

34 3 Funciones elementales siendo ω n = e 2πi/n una raíz n-ésima de la unidad. El resultado son n números complejos distintos, los que se obtienen para k = 0, 1,...,n 1, tal y como obtuvimos en el capítulo 1. Dado que la definición coincide con los resultados conocidos para c = n y c = 1/n, vamos a explorarla ahora para otros valores de c. Ejemplos 3.3. (1) Calcula 9 π. Aplicando la definición, 9 π = e π log 9 = e π(ln9+2kπi) = e π ln 9 [cos(2kπ 2 ) + i sen(2kπ 2 )], k Z. No hay dos valores de k distintos que den el mismo valor de la expresión entre paréntesis, ya que cos(2k 1 π 2 ) + i sen(2k 1 π 2 ) = cos(2k 2 π 2 ) + i sen(2k 2 π 2 ) se cumple si y sólo si 2k 1 π 2 2k 2 π 2 = 2mπ para algun entero m; pero eso implica que existen m, k 1 y k 2 tales que lo cual es imposible porque π / Q. π = m k 1 k 2, En consecuencia, 9 π toma infinitos valores distintos; eso sí, si adoptamos la rama principal del logaritmo (k = 0), 9 π = e π ln 9. (2) Calcula i 2i. Como en el ejemplo anterior, i 2i = e 2i log i = e 2i(iπ/2+2kπi) = e π(1+4k), k Z, de nuevo infinitos valores distintos. En la rama principal del logaritmo (k = 0), i 2i = e π. Los ejemplos anteriores ilustran el caso general: (a) si c / Q, z c genera infinitos valores, uno para cada rama del logaritmo; (b) si c Q Z, z c genera un número finito de valores, todos ellos sobre los vértices de un polígono regular; (c) si c Z, z c sólo genera un valor.

3.6 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 35 Así que, en general, cuando c / Z, para hacer que la función sea univaluada es preciso fijar la rama del logaritmo. Esa rama de la función z c será, entonces, holomorfa en C S, siendo S la semirrecta del corte. Su derivada se obtiene mediante la regla de la cadena, (z c ) = (e clog z ) = ceclog z z = ceclog z e log z = ce (c 1)log z = cz c 1, que sigue el patron general de la derivada de una potencia. PRECISIÓN: Hay una precisión que hacer respecto de la expresión e c. Ésta puede significar dos cosas: (i) la exponencial de c, y (ii) la función z c para z = e. En el caso (i) la expresión es univaluada y se obtiene a través de la definición de la exponencial; en el caso (ii) la expresión genera infinitos valores, uno para cada rama de la función. Ambas versiones coinciden sobre la rama principal. En C, pues, hay distinción entre exp(c) y e c, no como en R. 3.6. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Para definir arc senz = sen 1 z trataremos de resolver la ecuación z = senw, es decir, z = eiw e iw. 2i Multiplicando por 2ie iw, esta ecuación adopta la forma que es cuadrática en e iw. La solución es (e iw ) 2 2ize iw 1 = 0, e iw = iz + (1 z 2 ) 1/2, donde, por supuesto, (1 z 2 ) 1/2 es bivaluada. Finalmente, tomando logaritmos, arc senz = i log [ iz + (1 z 2 ) 1/2], que, como consecuencia del logaritmo y de la raíz, es una función multivaluada. Ejemplo 3.4. Calcula arc sen( i). Sustituyendo en la definición, arc sen( i) = i log(1 ± 2).

36 3 Funciones elementales Ahora bien, log(1 + 2) = ln(1 + 2) + 2kπi, k Z, log(1 2) = ln( 2 1) + (2k + 1)πi, k Z. Ambas expresiones se pueden resumir en una sola ya que ln( ( ) 1 2 1) = ln 1 + = ln(1 + 2), 2 con lo cual obtenemos que Por lo tanto, log(1 ± 2) = ( 1) n ln(1 + 2) + nπi, n Z. arc sen( i) = nπ + i( 1) n+1 ln(1 + 2), n Z. Por un procedimiento análogo al de arc senz se pueden obtener así como las inversas hiperbólicas arc cosz = i log [ z + i(1 z 2 ) 1/2], arctanz = i ( ) i + z 2 log, i z arc senhz = log[z + (z 2 + 1) 1/2 ], arc coshz = log[z + (z 2 1) 1/2 ], arc tanhz = 1 ( ) 1 + z 2 log. 1 z Todas ellas, una vez fijadas la rama del logaritmo y, en su caso, la de la raíz, se convierten en funciones univaluadas en las correspondientes regiones de C, y por ser composición de funciones holomorfas, son también holomorfas. Sus correspondientes derivadas, obtenidas por la regla de la cadena, son (arc senz) = (1 z 2 ) 1/2, (arc senhz) = (z 2 + 1) 1/2, (arc cosz) = (1 z 2 ) 1/2, (arc coshz) = (z 2 1) 1/2, (arctanz) = 1 1 + z 2, (arc tanhz) = 1 1 z 2.