(La Herradura Granada) Departamento de TECNOLOGÍA Tema : ELECTRÓNICA DIGITAL.- Introducción. 2.- Representación de operadores lógicos. 3.- Álgebra de Boole. 3..- Operadores básicos. 3.2.- Función lógica o booleana. 3.3.- Tabla de verdad. 3.4.- Postulados y propiedades. 3.5.- Teoremas. 3.6.- Leyes de De Morgan. 4.- Simplificación de funciones. 4..- Obtención de la función a partir de la tabla de verdad. 4.2.- Simplificación de la función. 4.3.- Ejemplo de aplicación. 5.- Otras puertas lógicas. 6.- Ejercicios. Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág:
Tecnología 4º E.S.O..- INTRODUCCIÓN: Hemos trabajado hasta ahora con electrónica analógica, que es aquella en la cual los valores de tensiones e intensidades varían de forma continua a lo largo del tiempo, pudiendo tomar en un instante determinado un valor de entre infinitos valores. A partir de ahora, vamos a trabajar con electrónica digital, que es aquella en la cual sólo se pueden dar determinados valores de tensión e intensidad. En la práctica se trabaja en sistema binario, que es aquél en el que sólo pueden darse dos valores: 0 ó. Normalmente asociaremos el valor 0 a que no hay tensión y el valor a que sí la hay. A esto se le llama lógica positiva. 2.- REPRESENTACIÓN DE OPERADORES LÓGICOS: Puede parecer para el estudiante que se acerca por primera vez a la electrónica digital que esta forma de funcionamiento puede estar muy limitada en su uso. Nada más lejos de la realidad. Están basados en la electrónica digital muchos de los aparatos de uso común en nuestras vidas, algunos de ellos tan valorados en la sociedad de hoy como el ordenador personal (PC), o las calculadoras. Pero, cómo pasar de un 0 o un a la cantidad de información y posibilidades que ofrece un ordenador personal? cómo es posible que una calculadora sepa hacer tantas operaciones matemáticas solamente con ceros y unos? En electrónica digital los operadores que usamos los representaremos mediante interruptores: Podemos decir que un interruptor abierto, tal como el de la figura, está en estado 0, ya que no deja pasar corriente. Cuando este interruptor se cierre, dejará pasar corriente, y por tanto diremos que está en estado. Por tanto con un solo interruptor, podremos representar dos estados lógicos. Si queremos realizar circuitos que hagan más cosas tendremos que añadir más interruptores: 0 0 0 0 Fíjate en que con dos interruptores podemos conseguir 4 estados distintos. Si en lugar de dos interruptores pusiéramos 3 conseguiríamos 8 estados distintos, y así sucesivamente siguiendo la siguiente fórmula: I N 2 Siendo N el número de estados lógicos distintos que conseguimos e I el número de interruptores que hemos colocado en el circuito. Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 2
3.- ÁLGEBRA DE BOOLE: Vamos a ver ahora qué operaciones se pueden hacer con estos operadores lógicos que hemos visto en el apartado anterior. El fundamento matemático de estas operaciones se debe al matemático inglés George Boole, que en 854 desarrolló una teoría matemática que permitió la representación de circuitos de conmutación. Su nombre fue Teoría de los circuitos lógicos. por: El álgebra de Boole tiene cierta similitud con el álgebra convencional y está formada - Variables lógicas: Operador que puede tomar como valor 0 ó. - Operadores lógicos. - Normas (postulados, propiedades, teoremas y leyes) que rigen las combinaciones de los elementos anteriores. 3..- Operadores básicos: Los operadores básicos son suma, producto y negación ó inversión. A los símbolos lógicos representados en el cuadro anterior, se les denomina en la práctica puertas lógicas. La puerta lógica que corresponde a la operación suma se denomina or, a la operación producto le corresponde la and y a la operación negación el inversor. Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 3
3.2.- Función lógica o booleana: Se define como función lógica o booleana a una combinación de variables lógicas y relaciones u operaciones lógicas sujetas a determinadas reglas de construcción, que representan el funcionamiento de un circuito. Ejemplo: f A ( B C) Donde f es la función lógica, a, b, y c son las variables, y los signos + y son los operadores que relacionan a las anteriores. La representación con interruptores del circuito de dicha función sería la siguiente: 2 A 2 2 B C Asimismo, la representación con operadores lógicos (puertas lógicas) sería como sigue: 3.3.- Tabla de verdad: La tabla de verdad de una función lógica es aquella que representa el comportamiento de dicha función describiendola estado por estado. En el ejemplo anterior sería: A B C f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 En la tabla de verdad de esta función podemos comprobar cómo dependiendo de los valores lógicos de A, B, y C, obtendremos o no tensión (representada por un estado lógico con valor ) en la salida del circuito. Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 4
3.4.- Postulados y propiedades : 3.5.- Teoremas : 3.6.- Leyes de De Morgan: Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 5
4.- SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES: El objetivo de simplificar funciones es obtener un circuito que realice la misma función, pero con menor complejidad, y por tanto, menor coste. 4..- Obtención de la función a partir de la tabla de verdad. Sea la siguiente tabla de verdad de una función. Podemos escribir dicha función como la suma de los productos de las variables de las filas que tienen como salida un lógico: A B C f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A BC 0 0 A B C 0 A B C 0 AB C f 4.2.- Simplificación de la función. La función que se obtiene de la forma anteriormente explicada tiene un inconveniente. Es muy grande. Casi con total seguridad, podemos encontrar una función que tenga el mismo comportamiento que ésta y que sea mucho más fácil, y por ende, menos costosa. Existen varias formas de simplificar funciones, pero nosotros en este curso solamente aprenderemos la simplificación mediante mapas de Karnaugh. Es un método tabular muy sencillo y rápido de ejecutar. Necesitamos dibujar una cuadrícula que pueda representar todas las variables con sus dos estados posibles 0 y. En la práctica estás tablas son : Para dos variables B\A 0 0 Para 3 variables C\AB 00 0 0 0 Para 4 variables CD\AB 00 0 0 00 0 0 Simplifiquemos la tabla del apartado anterior. Es una función de 3 variables (A,B,C), luego pondremos un mapa de Karnaugh para 3 variables y pondremos los unos de la función donde corresponda: C\AB 00 0 0 0 Como veis he unido los unos de forma que agrupe la mayor cantidad de ellos (siempre que sea un número potencia de dos), y veo qué tienen en común cada grupo de unos. Los 4 unos del grupo X sólo tienen en común la variable A. Los del grupo Y tienen en común las variables BC. Luego la función será f A BC. X Y Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 6
Como puede observarse, se ha reducido considerablemente la expresión de partida. Seguro que esta expresión os suena, verdad?. Efectivamente, fue la función que sirvió de ejemplo en el apartado 3.2. Ahora realizaremos una aplicación completa de todo lo aprendido hasta ahora partiendo únicamente del enunciado de un problema. 4.3.- Ejemplo de aplicación. Una empresa es propiedad de cuatro socios, pero no a partes iguales. En concreto los porcentajes de participación de cada uno son los siguientes: Socio A : 27% Socio B : 3% Socio C : 24% Socio D : 8% Han decidido instalar un sistema electrónico para votar las decisiones que rigen la empresa de forma que cada uno pueda accionar un pulsador si quiere votar una propuesta afirmativamente. Si el porcentaje que suman los votos afirmativos supera el 50% se iluminará una bombilla dando por aprobada la propuesta. Solución: Lo primero que tenemos que hacer es construir la tabla de verdad que refleja cada caso que se nos puede dar: A B C D SALIDA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3% + 24% = 55% 0 3% + 24% + 8% = 73% 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7% + 24% = 5% 0 7% + 24% + 8% = 69% 0 0 7% + 3% = 58% 0 7% + 3% + 8% = 76% 0 7% + 3% + 24% = 82% 00% Ya tenemos la tabla de verdad. Ahora, basándonos en ella obtenemos la función lógica: f Ahora sólo nos queda simplificar dicha función mediante el correspondiente mapa de Karnaugh: Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 7
CD\AB 00 0 0 00 0 0 f AB BC AC Y por fin, representar dicha función en circuito mediante puertas lógicas: Pues ya está. Ahora a la tienda a comprar los componentes y a montar el circuito. No obstante, y antes de acabar convendría comentar algunas cosas que pueden parecer interesantes del ejercicio una vez resuelto. No te parece raro que el socio D no aparezca en la resolución final? Coméntalo en clase con tus compañeros. 5.- OTRAS PUERTAS LÓGICAS: Además de las 3 puertas lógicas estudiadas anteriormente (AND, OR, NEGACIÓN) existen otras que es interesante conocer: A B NOR 0 0 0 0 0 0 0 A B NAND 0 0 0 0 0 A B XOR 0 0 0 0 0 0 Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 8
6.- EJERCICIOS:.- Cuál es la principal diferencia entre un circuito analógico y uno digital? 2.- Indica ventajas e inconvenientes de cada uno de los dos tipos de circuito mencionados. 3.- Simplificar mediante un mapa de Karnaugh la siguiente función: f abc ( a b) c 4.- Representar mediante puertas lógicas la función simplificada del ejercicio anterior. 5.- Una sistema de alarma para protección de una vivienda dispone de 4 sensores por habitación. Se entiende que existe una situación de riesgo dentro de una habitación cuando se activan 2 ó más sensores. Realizar el circuito que active el sistema de alarma mediante puertas lógicas, usando para llegar a este punto las herramientas explicadas en el tema que creais convenientes. 6.- Explicar el funcionamiento del circuito de la figura usando una tabla de verdad. Manuel Sánchez Pérez. Curso 2002 2003. Pág: 9