TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter local de la continuidad 6 6. Continuidad global 7 7. Límite funcional 9 8. Límite en el infinito y divergencia 10 9. Límite funcional y operaciones algebraicas 10 10. Carácter local del límite funcional 11 11. Límite funcional y continuidad 12 12. Discontinuidades 12 13. Cálculo de límites por coordenadas polares 13 14. Teorema de Weierstrass 15 15. Continuidad uniforme 16 16. Condición de Lipschitz 18 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición 1.1. Sea A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M una aplicación. Se llama dominio de f al conjunto A e imagen de f al conjunto f(a) = { f(x) R M : x A } = { y R M : x A f(x) = y } Si M = 1, se dice que f es una función escalar de variable vectorial o una función real de N-variables reales; mientras que si M > 1, se dice que f es una función vectorial de variable vectorial. Toda función vectorial f : A R M determina M funciones escalares f 1,..., f M : A R, llamadas funciones componentes o coordenadas de f, de manera que f(x) = (f 1 (x),..., f M (x)) por lo que es usual escribir f = (f 1,..., f M ). (x A), Ejemplo 1.2. Las funciones componentes de la función f : R 2 R 2 dada por ( ) sen(x + y), x y si y 0, f(x, y) = (sen x, 3) si y = 0, 1

2 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES son las funciones f 1, f 2 : R 2 R definidas por f 1 (x, y) = sen(x + y), f 2 (x, y) = x y si y 0, f 2(x, 0) = 3. Definición 1.3. Sea A R N. La gráfica de la función f : A R M es el conjunto G f = { (x, y) R N R M : x A, y = f(x) }. En particular, el conjunto G f = {(x, y) R R: x A, y = f(x)} es una curva en el plano; mientras que G f = { (x, y, z) R 2 R: (x, y) A, z = f(x, y) } es una superficie en el espacio. Dado k R, se llama conjunto de nivel k de la función f : A R N R al conjunto C(f, k) = {x A: f(x) = k}. En particular, para N = 2 hablamos de curva de nivel y para N = 3 de superficie de nivel. Ejemplo 1.4. La gráfica de la función f : R 2 R dada por f(x, y) = x 2 + y 2 es el paraboloide { (x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2}. Para k R, las curvas de nivel son si k < 0, C(f, k) = {(0, 0)} si k = 0, { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = k } si k > 0. 2. CONTINUIDAD La propiedad de continuidad para funciones reales de variable real se extiende sin ninguna dificultad a funciones vectoriales de variable vectorial. Definición 2.1. Sean A un subconjunto de R N, a un punto de A y f : A R M una función. Se dice que f es continua en a si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x A y x a < δ, entonces f(x) f(a) < ε. Debemos destacar que el número positivo δ depende tanto del número positivo ε elegido como del punto a A prefijado. Dado un subconjunto no vacío B de A, se dice que f es continua en B si f es continua en todo punto de B. Si f es continua en A, entonces se dice simplemente que f es continua. Es inmediato comprobar que f es continua en a si, y sólo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que f(a B(a, δ)) B(f(a), ε). Ejemplos 2.2. Sea A un subconjunto no vacío de R N y x 0 R N. La función constantemente igual a x 0 en A definida por f(x) = x 0 para todo x A, y la función identidad en A definida por f(x) = x para todo x A, son continuas. Para cada i {1,..., N}, la función π i : R N R, definida por π i (x 1,..., x N ) = x i, (x 1,..., x N ) R N, llamada proyección de R N sobre el i-ésimo eje de coordenadas, es continua ya que π i (x) π i (y) = x i y i x y, x, y R N.

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 3 Teorema 2.3. (caracterización secuencial de la continuidad local). Sea A un subconjunto de R N, a un punto de A y f : A R M una función. Entonces f es continua en a si, y sólo si, para toda sucesión {x n } de puntos de A convergente a a, se verifica que la sucesión {f(x n )} converge a f(a). Demostración: Sea {x n } una sucesión de puntos de A que converge a a, sea ε > 0 arbitrario y sea δ el número positivo dado por la definición de la continuidad de f en a. Como {x n } a, existe m N tal que si n m, entonces x n a < δ, y puesto que x n A para todo n N, se tiene que f(x n ) f(a) < ε para n m. Esto demuestra que {f(x n )} f(a). Recíprocamente, supongamos que f no es continua en a. Entonces existe un número real ε 0 verificando la siguiente propiedad: En particular, δ > 0, x δ A: x δ a < δ f(x δ ) f(a) ε 0. n N, x n A: x n a < 1/n f(x n ) f(a) ε 0. Claramente la sucesión {x n } de puntos de A así definida converge a a, pero la sucesión {f(x n )} no converge a f(a) y esto prueba el teorema. Ejemplo 2.4. La función f : R 2 R definida por f(x, y) = sen(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, (x, y) R 2 \ {(0, 0)}, f(0, 0) = 3, no es continua en (0, 0). Observe que la sucesión {(1/n, 0)} converge a (0, 0), pero {f(1/n, 0)} converge a 1 f(0, 0). El estudio de funciones continuas vectoriales puede reducirse al caso de funciones escalares. Proposición 2.5. Sea A R N, a A y f = (f 1,..., f M ): A R M. Entonces f es continua en a si, y sólo si, f 1,..., f M son continuas en a. Demostración: Suponga que f es continua en a. Sea ε > 0 arbitrario. Entonces existe δ > 0 tal que f(x) f(a) < ε si x A y x a < δ. Sea i {1,..., M}. Si x A y x a < δ, se cumple que f i (x) f i (a) f(x) f(a) < ε y por tanto f i es continua en a. Suponga ahora que f 1,..., f M son continuas en a. Sea ε > 0 arbitrario. Entonces, para cada i {1,..., M}, existe δ i > 0 tal que si x A y x a < δ i, entonces f i (x) f i (a) < ε/m. Sea δ = mín {δ 1,..., δ M }. Si x A y x a < δ, entonces M f(x) f(a) f i (x) f i (a) < ε, y así f = (f 1,..., f M ) es continua en a. Ejemplo 2.6. Sea f : R 2 R 3 la función definida por f(x, y) = (3, x, y). Las funciones componentes de f son las funciones f 1, f 2 y f 3 de R 2 en R definidas por f 1 (x, y) = 3, f 2 (x, y) = x, f 3 (x, y) = y, (x, y) R 2. Como f 1, f 2 y f 3 son continuas en R 2, entonces f = (f 1, f 2, f 3 ) es continua en R 2.

4 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 3. CONTINUIDAD Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones transmite la continuidad como vemos a continuación. Proposición 3.1. Sean A y B subconjuntos de R N e R M, respectivamente, y a un punto de A. Sean f : A R M y g : B R p funciones tales que f(a) B. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces la función compuesta g f : A R p, definida por (g f)(x) = g(f(x)), x A, es continua en a. Como consecuencia, si f es continua en A y g es continua en f(a), entonces g f es continua en A. Demostración: Sea ε > 0. Por la continuidad de g en f(a), existe δ 1 > 0 tal que si y B y y f(a) < δ 1, entonces g(y) g(f(a)) < ε. Como f es continua en a, existe δ > 0 tal que si x A y x a < δ, entonces f(x) f(a) < δ 1. Por tanto g(f(x)) g(f(a)) < ε si x A y x a < δ, lo que prueba que g f es continua en a. 4. CONTINUIDAD Y OPERACIONES ALGEBRAICAS A continuación estudiaremos la relaciones entre la continuidad y las operaciones algebraicas de funciones. Para ello primero probamos la continuidad de la suma, el producto y el cociente de números reales. Lema 4.1. (1) La función s: R 2 R definida por s(x, y) = x + y es continua. (2) La función p: R 2 R definida por p(x, y) = xy es continua. (3) La función c: R R R definida por c(x, y) = x/y es continua. Demostración: Sea (a, b) R 2. De las desigualdades: s(x, y) s(a, b) = (x + y) (a + b) x a + y b 2 (x, y) (a, b), p(x, y) p(a, b) = xy ab = (x a)(y b) + a(y b) + b(x a x a y b + a y b + b x a (x, y) (a, b) 2 + a (x, y) (a, b) + b (x, y) (a, b) para todo (x, y) R 2, se deduce que s y p son continuas en (a, b). Sea ahora (a, b) R R. Para todo (x, y) R R se tiene c(x, y) c(a, b) = x y a b = b(x a) a(y b) by b x a + a y b. b y Sea ε > 0. Como la proyección π 2 : R 2 R es continua en (a, b) y b 0, existe δ 1 > 0 tal que si (x, y) (a, b) < δ 1, entonces y b < b /2, de donde deducimos que 1/ y < 2/ b. Sea δ = mín{δ 1, b 2 ε/2( b + a )}. Si (x, y) (a, b) < δ, entonces c(x, y) c(a, b) < ε y esto prueba que c es continua en (a, b). Proposición 4.2. Sea A un subconjunto de R N y a un punto de A.

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 5 (1) Si f, g : A R son continuas en a, entonces f + g : A R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) (x A), es continua en a. (2) Si f, g : A R son continuas en a, entonces fg : A R, definida por (fg)(x) = f(x)g(x) (x A), es continua en a. (3) Si f : A R y g : A R son continuas en a, entonces f/g : A R, definida por ( ) f (x) = f(x) (x A), g g(x) es continua en a. Demostración: (1) y (2). Por ser f y g continuas en a, la aplicación h = (f, g): A R 2 es continua en a por la proposición 2.5 Sea s: R 2 R definida por s(x, y) = x + y. Por el lema 4.1, s es continua en (f(a), g(a)). Como f + g = s h, aplicando la proposición 3.1, se tiene que f + g es continua en a. De la misma forma se prueba (2). (3) Como f y g son continuas en a, la aplicación h = (f, g): A R R es continua en a por la proposición 2.5. Sea c: R R R definida por c(x, y) = x/y. Por el lema 4.1, c es continua en (f(a), g(a)). Como f/g = c h, entonces f/g es continua en a por la proposición 3.1. Combinando las proposiciones 2.5 y 4.2 se obtiene el siguiente Corolario 4.3. Sea A un subconjunto de R N y a un punto de A. Si α R y f, g : A R M son continuas en a, entonces αf, f + g : A R M son continuas en a. Aplicando la proposición 4.2 obtenemos dos importantes familias de funciones continuas. Corolario 4.4. (1) Toda función polinómica P : R N R es continua. (2) Sean P, Q: R N R funciones polinómicas. Toda función racional P/Q: A R es continua en su dominio natural de definición A = { (x 1,..., x N ) R N : Q(x 1,..., x N ) 0 }. Demostración: (1) Denotemos N 0 = N {0}. Observe que P puede ser expresada en la forma P (x) = (p 1,...,p N ) N N 0 λ (p1,...,p N )x p 1 1 xp N N, x = (x 1,..., x N ) R N, donde λ (p1,...,p N ) = 0 para todo (p 1,..., p N ) N N 0 salvo para un número finito. Entonces P es continua por serlo la suma, el producto y el producto por escalares de un número finito de funciones continuas. (2) P/Q es continua en A por (1) y el apartado (3) de la proposición 4.2.

6 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 5. CARÁCTER LOCAL DE LA CONTINUIDAD La continuidad de una función es estable cuando se restringe el conjunto de definición. Proposición 5.1. Sean A, B subconjuntos no vacíos de R N con B A y f : A R M una función. Si a B y f es continua en a, entonces la función restricción f B : B R M, dada por es continua en a. f B (x) = f(x) (x B), Demostración: Sea a B tal que f es continua en a. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si x A y x a < δ, entonces f(x) f(a) < ε, pero como f B (x) = f(x) para todo x B se sigue que f B (x) f B (a) < ε si x B y x a < δ. Esto prueba que f B es continua en a. El recíproco de la proposición anterior no es cierto: Ejemplo 5.2. La función de Dirichlet f : R R dada por 0 si x Q, f(x) = 1 si x / Q, no es continua en ningún punto de R, pero f B con B = Q ó B = R \ Q es continua por ser constante. Probaremos únicamente la primera afirmación. Sea a Q. Como R \ Q = R, existe una sucesión {x n } de puntos de R \ Q convergente a a. Claramente, f(x n ) = 1 para todo n N. Por tanto, {f(x n )} converge a 1 y como 1 0 = f(a), se sigue que f no es continua en a. Como a era arbitrario en Q, entonces f no es continua en ningún punto de Q. De forma similar se prueba que f no es continua en ningún punto de R \ Q. Sin embargo, cuando B es un conjunto que contiene todos los puntos de A suficientemente próximos a a, las cosas van mucho mejor: Teorema 5.3. (carácter local de la continuidad). Sean A R N, a A, r > 0 y f : A R M una función. Entonces f es continua en a si, y sólo si, f A B(a,r) es continua en a. Demostración: Si f es continua en a, entonces f A B(a,r) es continua en a por la proposición 5.1. Recíprocamente, supongamos que f A B(a,r) es continua en a. Sea ε > 0. Entonces existe δ 1 > 0 tal que f(x) f(a) < ε si x A B(a, r) y x a < δ 1. Tomamos δ = mín {δ 1, r}. Si x A y x a < δ, entonces f(x) f(a) < ε y esto prueba que f es continua en a. El teorema anterior nos dice que la continuidad de una función en un punto sólo depende del comportamiento de la función en los puntos suficientemente próximos a él. Esta idea se suele expresar diciendo que la continuidad de una función en un punto es una propiedad local. El siguiente resultado es muy útil a veces para estudiar la continuidad de una función definida a trozos.

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 7 Corolario 5.4. Sean A, B subconjuntos no vacíos de R N con B A y f : A R M una función. Si B es abierto en A y f B es continua, entonces f es continua en B. En particular, si B es abierto en R N y f B es continua, entonces f es continua en B Demostración: Sabemos que B = A G donde G es un abierto de R N. Sea a B. Entonces existe un r > 0 tal que B(a, r) G y por tanto A B(a, ε) B. Como f B es continua en a, entonces f A B(a,ε) es continua en a por la proposición 5.1. Por el teorema 5.3, concluimos que f es continua en a. La continuidad de una función en un punto se puede deducir de la continuidad, ya conocida, de otra función en dicho punto. Proposición 5.5. Sean A R N, a A y f : A R M. Supongamos que g : A R M es una función continua en a tal que f(x) f(a) g(x) g(a), x B(a, r), para algún r > 0. Entonces f es continua en a. Demostración: Sea ε > 0. Como g es continua en a, existe δ > 0 tal que si x A y x a < δ, entonces g(x) g(a) < ε. Sea δ 1 = mín{δ, r}. Si x A y x a < δ 1, se tiene f(x) f(a) < ε y esto prueba que f es continua en a. Ejemplo 5.6. Sea f : R 2 R la función definida por 1 f(x, y) = x cos x 2, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. + y2 Estudiemos la continuidad de f. Sea B = R 2 \{(0, 0)}. Observe que 1 f B (x, y) = x cos x 2, (x, y) B. + y2 Como B es abierto en R 2 y f B es continua por ser composición y producto de funciones continuas en B, entonces f es continua en B por el corolario 5.4. Además, f es continua en (0, 0) ya que la proyección π 1 : R 2 R es continua en (0, 0) y f(x, y) f(0, 0) = f(x, y) x = π 1 (x, y) π 1 (0, 0), (x, y) R 2, Resumiendo, f es continua en R 2. 6. CONTINUIDAD GLOBAL Nuestro próximo objetivo es la obtención de algunas caracterizaciones de la continuidad de una función en un conjunto. Para ello necesitaremos el siguiente concepto. Definición 6.1. Sea A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M una aplicación. Dado un subconjunto B de R M, se llama imagen recíproca por f del conjunto B al conjunto f 1 (B) := {x A: f(x) B}.

8 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Teorema 6.2. (caracterización de la continuidad global). Sean A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M una aplicación. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f es continua en A. (2) Para todo subconjunto abierto V de R M, f 1 (V ) es un subconjunto abierto de A. (3) Para todo subconjunto cerrado W de R M, f 1 (W ) es un subconjunto cerrado de A. Demostración: (1) (2) : Sea V R M abierto. Si f 1 (R M ) =, no hay nada que probar. En otro caso, fijemos un punto a f 1 (V ). Entonces f(a) V y como V es abierto, existe una bola B(f(a), ε) con ε > 0 contenida en V. Por ser f continua en a, existe una bola B(a, r a ) tal que f(a B(a, r a )) B(f(a), ε) y en consecuencia A B(a, r a ) f 1 (V ). Sea G = a f 1 (V ) B(a, r a). Claramente, G es un abierto de R N y f 1 (V ) = A G. Luego f 1 (V ) es un abierto relativo de A. (2) (1) : Sea a A arbitrario. Probemos que f es continua en a, es decir, que para cada bola B(f(a), ε) existe una bola B(a, δ) tal que f(a B(a, δ)) B(f(a), ε). Si aplicamos la afirmación (2) a V = B(f(a), ε) existe un conjunto abierto G R N tal que f 1 (V ) = A G. Como f(a) V, entonces a f 1 (V ), luego a G y por ser G abierto, existe δ > 0 tal que B(a, δ) G. Luego A B(a, δ) f 1 (V ) y de esto se sigue que f(a B(a, δ)) B(f(a), ε). (2) (3) : Se prueba tomando complementarios. El teorema anterior es muy útil para reconocer conjuntos abiertos y cerrados. Corolario 6.3. Sea f : R N R una función continua. Entonces para cada número real α, los conjuntos { x R N : f(x) < α } y { x R N : f(x) > α } son abiertos de R N, y los conjuntos { x R N : f(x) α }, { x R N : f(x) α } y { x R N : f(x) = α } son cerrados de R N. Demostración: Basta tener en cuenta que { x R N : f(x) < α } = f. 1 (], α[), { x R N : f(x) > α } = f. 1 (]α, + [), { x R N : f(x) α } = f. 1 (], α]), { x R N : f(x) α } = f. 1 ([α, + [), { x R N : f(x) = α } = f. 1 ({α}), y aplicar el teorema 6.2. Ejemplo 6.4. El conjunto A = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 4, 9x 2 + y 2 9 } es compacto. En efecto, observe que A = A 1 A 2, donde A 1 = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 }, A 2 = { (x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 9 }. El conjunto A 1 es cerrado en R 2 ya que la función f 1 : R 2 R definida por f 1 (x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2,

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 9 es continua en R 2 (por ser polinómica), (, 4] es un cerrado de R y A 1 = f 1 1 ((, 4]). Además, A 1 está acotado en R 2 porque (x, y) 2 para todo (x, y) A 1. Observe que A 1 = B((0, 0), 2). Como A A 1, entonces A está también acotado. De forma similar se prueba que A 2 es cerrado en R 2. Como A = A 1 A 2 con A 1 y A 2 cerrados, entonces A es cerrado. Puesto que A es cerrado y acotado en R 2, concluimos que A es compacto. 7. LÍMITE FUNCIONAL Un concepto estrechamente relacionado con la continuidad es el de límite de una función en un punto. Definición 7.1. Sea A un subconjunto no vacío de R N, α un punto de acumulación de A y f : A R M una función. Se dice que f tiene límite en el punto α si existe un punto l R M verificando la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x A \ {α} y x a < δ, entonces f(x) f(a) < ε. El punto l, si existe, es único por la unicidad del límite secuencial, recibe el nombre de límite de la función f en el punto α y se escribe lím f(x) = l para indicar simúltaneamente que f tiene límite en el punto α y que su límite es l. Observaciones 7.2. (1) Es claro que lím f(x) = l si, y sólo si, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que f(a\{α} B(α, δ)) B(l, ε). (2) La condición de que α sea un punto de acumulación de A se impone precisamente para asegurar la existencia de puntos de A\ {α} que estén en B(a, δ). (3) Si α A, entonces el valor de f(α) no influye en la existencia de límite de f en α, ni en el valor de dicho límite en el caso de que exista. La demostración de la siguiente caracterización del límite funcional es similar a la de la caracterización secuencial de la continuidad de una función en un punto. Proposición 7.3. (caracterización secuencial del límite funcional). Sea A un subconjunto no vacío de R N, α un punto de acumulación de A, f : A R M una función y l R M. Entonces lím f(x) = l si, y sólo si, para toda sucesión {x n } de puntos de A, distintos de α y convergente a α, se verifica que la sucesión {f(x n )} converge a l. Ejemplo 7.4. La función f : R 2 R, definida por f(x, y) = xy, (x, y) R 2, tiene límite en (0, 0). Concretamente, lím (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. Por otra parte, la función f : R 2 \ {(0, 0)} R dada por f(x, y) = sen 1 x + y, (x, y) R2 \ {(0, 0)} no tiene límite en (0, 0). Observe que {(1/2πn, 0)} y {(1/(π/2 + 2πn), 0)} son sucesiones de puntos de R 2 \ {(0, 0)} que convergen a (0, 0), pero las sucesiones constantes {f(1/2πn, 0)} y {(f(1/(π/2 + 2πn)), 0)} convergen a 0 y a 1, respectivamente. El siguiente resultado refleja que el cálculo del límite en un punto de una función valuada en R N se reduce a determinar los límites en dicho punto de las funciones reales componentes.

10 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Proposición 7.5. Sea A un subconjunto no vacío de R N, α un punto de acumulación de A y f = (f 1,..., f N ): A R M una función. Entonces f tiene límite en el punto α si, y sólo si, cada función componente f i : A R para i = 1,..., N tiene límite en α, en cuyo caso ( ) lím f(x) = lím f 1(x),..., lím f N (x). 8. LÍMITE EN EL INFINITO Y DIVERGENCIA Primero introducimos la noción de divergencia en un punto. Definición 8.1. Sea A R N, α A y f : A R. Se dice que f diverge positivamente en el punto α, y se escribe f(x) + (x α), si K > 0, δ > 0: x A, 0 < x α < δ f(x) > K. Se dice que f diverge negativamente en el punto α, y se escribe f(x) (x α) si K > 0, δ > 0: x A, 0 < x α < δ f(x) < K. Ahora las de límite y divergencia en el infinito. Definición 8.2. Sea A un subconjunto no acotado de R N y f : A R una función. Sea l R. Se dice que f tiene límite l en el infinito, y se escribe lím f(x) = l, si x ε > 0, M > 0: x A, x > M f(x) l < ε. Se dice que f diverge positivamente en el infinito, y se escribe f(x) + (x ), si K > 0, M > 0: x A, x > M f(x) > K. Se dice que f diverge negativamente en el infinito, y se escribe f(x) (x ), si K > 0, M > 0: x A, x > M f(x) < K. 9. LÍMITE FUNCIONAL Y OPERACIONES ALGEBRAICAS Estudiemos ahora la relación del límite funcional con las operaciones de espacio vectorial. Proposición 9.1. Sea A R N y α A. Sean f, g : A R M y ϕ: A R. Supongamos que lím f(x) = l 1, lím g(x) = l 2 y lím ϕ(x) = λ, donde l 1, l 2 R M y λ R. Entonces y lím (f + g)(x) = l 1 + l 2 lím (ϕf)(x) = λl 1.

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 11 Si, además, lím ϕ(x) = λ 0, entonces α B donde B = {x A: ϕ(x) 0} y la función f/ϕ: B R M, definida por ( ) f (x) = f(x) (x B), ϕ ϕ(x) verifica que ( ) f lím (x) = l 1 ϕ λ. Observación 9.2. El mismo enunciado de la proposición 9.1 se cumple si consideramos funciones f, g : A R y l 1, l 2 [, + ] con las convenciones de la aritmética en [, + ]. 10. CARÁCTER LOCAL DEL LÍMITE FUNCIONAL El límite de una función en un punto se transfiere a cualquier restricción: Proposición 10.1. Sean A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M una función. Sea B un subconjunto no vacío de A y α un punto de acumulación de B (y por tanto de A). Si f tiene límite en α, entonces f B tiene límite en α y además lím f B (x) = lím f(x). En lugar de escribir lím f B (x) se suele notar lím f(x)., x B La proposición anterior se usa en determinadas ocasiones para probar la no existencia de límite de una función en un punto. Corolario 10.2. Sea A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M una función. Sean B 1 y B 2 dos subconjuntos no vacíos de A tales que α B 1 B 2. Si lím f B 1 (x) lím f B2 (x), o bien no existe alguno de los dos límites anteriores, entonces f no tiene límite en el punto α. Ejemplo 10.3. Sea A = R 2 \{(0, 0)} y f : A R la función definida por f(x, y) = xy x 2, (x, y) A. + y2 Es claro que (0, 0) A. Veamos que f no tiene límite en el punto (0, 0). Para cada λ R consideremos el conjunto A λ = {(x, y) A: y = λx}. Claramente (0, 0) A λ y Luego f Aλ (x, y) = f(x, λx) = x(λx) x 2 + (λx) 2 = lím f A (x,y) (0,0) λ (x, y) = λ 1 + λ 2, (x, y) A λ. λ 1 + λ 2.

12 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Para cualesquiera λ 1, λ 2 R con λ 1 λ 2 y λ 1 λ 2 1, se cumple lím f A (x,y) (0,0) λ1 (x, y) = λ 1 1 + λ 2 λ 2 1 1 + λ 2 = lím f A 2 (x,y) (0,0) λ2 (x, y). Entonces el corolario 10.2 nos dice que f no tiene límite en (0, 0). El ejemplo anterior pone de manifiesto que la existencia de límite de f B en α no implica la existencia de límite de f en α. Sin embargo, sí es cierto cuando el conjunto B es el apropiado. Teorema 10.4. (carácter local del límite funcional). Sean A R N, α A, ε > 0 y f : A R M una función. Sea B = (A\{α}) B(α, ε). Se verifica que α B y si f B tiene límite en α, entonces f tiene límite en α y además lím f(x) = lím f(x).,x B 11. LÍMITE FUNCIONAL Y CONTINUIDAD La relación entre la continuidad de una función en un punto y la existencia de límite funcional en dicho punto se recoge en la siguiente proposición. Proposición 11.1. Sean A un subconjunto de R N, α un punto de A y f : A R M una función. (1) Si α Aisl(A), entonces f es continua en α. (2) Si α A, entonces f es continua en α si, y sólo si, lím f(x) = f(α). Demostración: (1) Sea ε > 0. Como α Aisl(A), existe δ > 0 tal que A B(α, δ) = {α}. Entonces f(a B(α, δ)) = {f(α)} B(f(α), ε), lo que prueba que f es continua en α. (2) Supongamos que α A. Si f es continua en α, entonces {f(x n )} converge a f(α) para toda sucesión {x n } de puntos de A que converja a α. En particular, esto ocurre si x n α para todo n N, lo que prueba que lím f(x) = f(α). Si lím f(x) = f(α), dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f(a\{α} B(α, δ)) B(f(α), ε), pero como f(α) B(f(α), ε), se tiene f(a B(α, δ)) B(f(α), ε), lo que nos dice que f es continua en α. 12. DISCONTINUIDADES Por el apartado (2) de la proposición 11.1, si α A A y f no es continua en α, entonces f no tiene límite en α, o bien f tiene límite en α pero lím f(x) f(α). Esto motiva el siguiente concepto. Definición 12.1. Sean A un subconjunto de R N, α un punto de A A y f : A R M una función. Se dice que α es una discontinuidad evitable de f si existe lím f(x), pero lím f(x) f(α). Este nombre se justifica porque la función f : A R M definida por f(x) si x A\{α}, f(x) = lím f(x) si x = α,

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 13 es continua en α en virtud del apartado (2) de la proposición 11.1. Ejemplo 12.2. La función f : R 2 R 2 definida por f(x, y) = (3, e 1 x 2 +y 2 ) ((x, y) (0, 0)), f(0, 0) = (0, 2). tiene límite en el punto (0, 0) y lím (x,y) (0,0) f(x, y) = (3, 0). Como lím f(x, y) = (3, 0) (0, 2) = f(0, 0), (x,y) (0,0) f tiene una discontinuidad evitable en (0, 0). Ahora, la función f : R 2 R 2 definida por es continua en (0, 0). f(x, y) = (3, e 1 x 2 +y 2 ), (x, y) (0, 0), f(0, 0) = (3, 0). La existencia de límite de una función en un punto se puede a veces deducir de la existencia del límite de otra función en dicho punto. Proposición 12.3. Sean A un subconjunto no vacío de R N, α A y f : A R M una función. Supongamos que g : A R M es una función con lím g(x) = l verificando que f(x) l g(x) l para todo x B(α, r) \ {α} para algún r > 0. Entonces lím f(x) = l. Ejemplo 12.4. Queremos probar que lím (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 = 0. Sea A = R 2 \{(0, 0)} y sea f : A R la función definida por xy f(x, y) =, (x, y) A. x 2 + y2 Es claro que (0, 0) A. Usando la desigualdad de Young se tiene f(x, y) = xy x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2, (x, y) A, y como lím (x,y) (0,0) (1/2) x 2 + y 2 anterior nos da lo que queremos. = 0 ya que esta función es continua en (0, 0), la proposición 13. CÁLCULO DE LÍMITES POR COORDENADAS POLARES Para estudiar el límite en el origen de una función real de dos variables reales suele ser muy útil el uso de coordenadas polares. Definición 13.1. La función de cambio a coordenadas polares es la función de R + 0 R en R2 definida por (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sen θ). Al par (ρ, θ) se le llama coordenadas polares del punto (x, y).

14 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Observe que es una aplicación sobreyectiva, periódica de periodo 2π en la variable θ, que aplica el eje {0} R en (0, 0). Por tanto induce una biyección de la franja R + ] π, π] sobre R 2 \{(0, 0)}. En efecto, dado (x, y) R 2 \{(0, 0)}, existe un único (ρ, θ) R + ] π, π] tal que x = ρ cos θ e y = ρ sen θ (el módulo y el argumento principal del número complejo (x, y)). Proposición 13.2. Sean f : R 2 \{(0, 0)} R una función y l un número real. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) lím (x,y) (0,0) f(x, y) = l, es decir: ε > 0, δ := δ(ε) > 0: 0 < x 2 + y 2 < δ f(x, y) l < ε. (2) lím ρ 0 f(ρ cos θ, ρ sen θ) = l uniformemente en θ, es decir: ε > 0, δ := δ(ε) > 0: 0 < ρ < δ f(ρ cos θ, ρ sen θ) l < ε, θ R. (3) Para toda sucesión {ρ n } de números reales positivos convergente a 0 y para toda sucesión {θ n } de números reales, se verifica que {f(ρ n cos θ n, ρ n sen θ n )} l. Demostración: (1) (2) : Sea ε > 0 arbitrario, pero fijo. Por (1) se tiene: δ > 0: 0 < x 2 + y 2 < δ f(x, y) l < ε. Si ρ ]0, δ[ y θ R, entonces 0 < (ρ cos θ) 2 + (ρ sen θ) 2 = ρ < δ, y por tanto se tiene que f(ρ cos θ, ρ sen θ) l < ε. (2) (3) : Sean {ρ n } una sucesión de números reales positivos convergente a 0 y {θ n } una sucesión de números reales. Dado ε > 0, por (2) se tiene: δ > 0: 0 < ρ < δ f(ρ cos θ, ρ sen θ) l < ε, θ R. Como {ρ n } 0, existe m N tal que 0 < ρ n < δ si n m y así f(ρ n cos θ n, ρ n sen θ n ) l < ε. En consecuencia, {f(ρ n cos θ n, ρ n sen θ n )} l. (3) (1) : Sea {(x n, y n )} una sucesión de puntos de R 2 \{(0, 0)} convergente a (0, 0). Para cada natural n, sean ρ n R + y θ n ] π, π] tales que x n = ρ n cos θ n e y n = ρ n sen θ n. Como ρ n = x 2 n + y 2 n para todo n N, entonces {ρ n } 0. Por (3), {f(x n, y n )} = {f(ρ n cos θ n, ρ n sen θ n )} l. Observación 13.3. En general, si existe una función h(ρ), que depende sólo de ρ, tal que lím ρ 0 h(ρ) = 0 y f(ρ cos θ, ρ sen θ) l h(ρ) para todo ρ > 0, se puede asegurar que lím ρ 0 f(ρ cos θ, ρ sen θ) = l uniformemente en θ. En efecto, dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < ρ < δ, se tiene que h(ρ) < ε y por tanto f(ρ cos θ, ρ sen θ) l h(ρ) < ε si 0 < ρ < δ cualquiera que sea θ R. Ejemplo 13.4. Usando coordenadas polares, vamos a probar que lím (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 = 0. En efecto, tomando x = ρ cos θ e y = ρ sen θ con ρ R + y θ ] π, π], se tiene: lím (x,y) (0,0) xy x 2 + y = lím ρ 2 cos θ sen θ 2 ρ 0 ρ ya que lím ρ 0 ρ = 0 y cos θ sen θ 1 para todo θ R. = lím (ρ cos θ sen θ) = 0 uniformemente en θ, ρ 0, θ ] π,π]

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 15 14. TEOREMA DE WEIERSTRASS Nosotros primero probamos que las aplicaciones continuas conservan la compacidad. Teorema 14.1. Sean A un subconjunto compacto no vacío de R N y f : A R M una aplicación continua. Entonces f(a) es compacto. Demostración: Sea {y n } una sucesión de puntos de f(a). Para cada natural n, existe x n A tal que f(x n ) = y n. Por la compacidad de A, existe una sucesión parcial {x σ(n) } que converge a un punto x 0 A. Por la continuidad de f, la sucesión { } { y σ(n) = f(xσ(n) ) } converge a f(x 0 ) f(a). Esto prueba que f(a) es compacto. El caso M = 1 merece ser destacado. Antes introducimos el siguiente concepto. Definición 14.2. Sea A un subconjunto no vacío de R N y f : A R una función. Se dice que f alcanza su máximo absoluto (mínimo absoluto) en un punto a A si f(x) f(a) para todo x A (respectivamente, f(a) f(x) para todo x A). Corolario 14.3. (teorema de Weierstrass). Sea A un subconjunto compacto no vacío de R N y f : A R una función continua. Entonces f alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto en A. Demostración: Si A es compacto y no vacío, entonces f(a) es un subconjunto compacto no vacío de R por el teorema 14.1. Por ser f(a) acotado y no vacío, existen ínf f(a) y sup f(a) (recuerde que el axioma del supremo de R está vigente). Como ínf f(a), sup f(a) f(a) (aplicando [0, proposición 1.39], tenemos sendas sucesiones de puntos de f(a) que convergen a ínf f(a) y a sup f(a)) y f(a) es cerrado, existen a 1, a 2 A tales que ínf f(a) = f(a 1 ) y sup f(a) = f(a 2 ) y, por tanto, f(a 1 ) f(x) f(a 2 ) para todo x A. Otra consecuencia importante del teorema 14.1 es el siguiente hecho sobre la continuidad de la función inversa. Corolario 14.4. Sean A un subconjunto compacto no vacío de R N y f : A R N una función continua e inyectiva. Entonces la aplicación inversa f 1 : f(a) A es continua. Demostración: Sea B un subconjunto cerrado de A. Luego B es compacto por serlo A. Por ser f continua, se tiene que f(b) es compacto y, en particular, cerrado en f(a). Como (f 1 ) 1 (B) = f(b), se sigue que (f 1 ) 1 (B) es cerrado en f(a). Esto prueba que f 1 : f(a) A es continua por el teorema 6.2. Demos nombre a los morfismos que conservan las propiedades topológicas.

16 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Definición 14.5. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R N. Se dice que una aplicación f : A B es un homeomorfismo si f es biyectiva y continua y su inversa f 1 es continua. Es evidente que si f es un homeomorfismo de A en B, entonces f 1 es un homeomorfismo de B en A. Se dice que A y B son homeomorfos si existe un homeomorfismo definido entre ellos. Una reformulación del corolario 14.4 usando el concepto de homeomorfismo dice así: Corolario 14.6. Sea A un subconjunto compacto no vacío de R N y f : A R N una función biyectiva y continua. Entonces f es un homeomorfismo. 15. CONTINUIDAD UNIFORME Definición 15.1. Sean A un subconjunto no vacío de R N. Se dice que una aplicación f : A R M es uniformemente continua si verifica la siguiente propiedad: ε > 0, δ := δ(ε) > 0: x, y A, x y < δ f(x) f(y) < ε. Lo importante de la definición anterior es que el número positivo δ sólo depende de ε y es válido para todo par de puntos x, y A, lo que nos da una idea de uniformidad. Además, debemos resaltar que la continuidad uniforme de f es una propiedad global que depende del conjunto A. Ejemplos 15.2. (1) Sea A un subconjunto no vacío de R N y x 0 R N. La función constantemente igual a x 0 en A y la función identidad en A son uniformemente continuas. Para comprobarlo, dado ε > 0, podemos tomar en la definición de función uniformemente continua, cualquier δ > 0 en el primer caso y δ = ε en el segundo. (2) La función f(x) = x 2 para todo x R no es uniformemente continua. Para comprobar este hecho, supongamos que lo fuese. Entonces existiría un δ > 0 tal que si x, y R y x y < δ, se cumple que x 2 y 2 < 1. Aplicando la condición anterior a los puntos x n = n + δ/2 e y n = n para todo n N, se tendría que (n + δ/2) 2 n 2 < 1 para todo n N, de donde n < (1/δ)(1 δ 2 /4) para todo n N, una contradicción. Sin embargo, f es uniformemente continua en todo subconjunto acotado B R. En efecto, sea α > 0 tal que x < α para todo x B. Sea ε > 0 arbitrario y tome δ = ε/2α > 0. Si x, y B y x y < δ, se cumple que x 2 y 2 = (x + y)(x y) < 2αδ = ε. El siguiente resultado pone de manifiesto que el conjunto de las funciones vectoriales uniformemente continuas tiene estructura de espacio vectorial. Proposición 15.3. Sea A un subconjunto no vacío de R N. Si α R y f, g : A R M son uniformemente continuas, entonces f + g, αf : A R M son uniformemente continuas. Sin embargo, el producto de funciones reales uniformemente continuas no es necesariamente una función uniformemente continua como pone de manifiesto el ejemplo (2).

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 17 La continuidad uniforme de una función entre espacios euclídeos de dimensión finita, igual que la continuidad, posee una caracterización secuencial. Proposición 15.4. Sea A un subconjunto no vacío de R N. Entonces una aplicación f : A R M es uniformemente continua si, y sólo si, para cada par de sucesiones {x n } e {y n } de puntos de A con lím x n y n = 0, se tiene que lím f(x n) f(y n ) = 0. n + n + Demostración: Suponga que f : A R M es uniformemente continua. Sean {x n } e {y n } sucesiones en A verificando que lím x n y n = 0. Dado ε > 0, por ser f uniformemente continua, existe δ > n + 0 tal que si x, y A y x y < δ, se cumple que f(x) f(y) < ε. Como lím x n y n = 0, n + existe m N tal que para todo n m se tiene que x n y n < δ. Por lo tanto, f(x n ) f(y n ) < ε para todo n m. Recíprocamente, suponga que f : A R M no es uniformemente continua. Entonces existe un ε 0 > 0 tal que para todo natural n, existen x n, y n A de manera que x n y n < 1/n y f(x n ) f(y n ) ε 0, lo que evidentemente contradice la condición. Para estudiar la continuidad uniforme de una función con valores en R N es suficiente analizar la continuidad uniforme de sus funciones componentes. Proposición 15.5. Sea A un subconjunto no vacío de R N y f = (f 1,..., f M ) una función de A en R M. Entonces f es uniformemente continua si, y sólo si, las funciones f 1,..., f M son uniformemente continuas. Demostración: Sea ε > 0 arbitrario. Si f es uniformemente continua, entonces existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε si x, y A y x y < δ. Sea i {1,..., M}. Si x, y A y x y < δ, se tiene f i (x) f i (y) f(x) f(y) < ε y por tanto f i es uniformemente continua. Recíprocamente, si f 1,..., f M son uniformemente continuas, entonces, dado ε > 0 arbitrario, para cada i {1,..., M} se cumple: δ i > 0: x, y A, x y < δ i f i (x) f i (y) < ε/m. Sea δ = mín {δ 1,..., δ M } > 0. Si x, y A y x y < δ, entonces f(x) f(y) = M M (f i (x) f i (y)) 2 f i (x) f i (y) < M (ε/m) = ε. Si f : A R M es uniformemente continua y fijamos un punto a A, entonces se verifica la siguiente propiedad: ε > 0, δ > 0: x A, x a < δ f(x) f(a) < ε, lo que nos dice que f es continua en el punto a. Por tanto, toda función uniformemente continua f : A R M es continua. El recíproco no es cierto (véase el Ejemplo (2)). La situación cambia si el conjunto A es compacto como vemos enseguida.

18 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Teorema 15.6. (teorema de Heine). Si A es un subconjunto compacto no vacío de R N y f : A R M es una función continua, entonces f es uniformemente continua. Demostración: Razonando por reducción al absurdo, supongamos que f no es uniformemente continua. Entonces existen ε 0 > 0 y sucesiones {x n } e {y n } de puntos de A tales que x n y n < 1/n y f(x n ) f(y n ) ε 0 para todo n N. Por la compacidad de A, existe una sucesión parcial { } x σ(n) y un punto x 0 A tales que { } x σ(n) converge a x0. De la desigualdad x σ(n) y σ(n) < 1/σ(n) 1/n para todo n N, se deduce que la sucesión { } y σ(n) también converge a x0. Como f es continua en x 0, se sigue que { f(x σ(n) ) } y { f(y σ(n) ) } convergen a f(x 0 ) y por tanto { f(x σ(n) ) f(y σ(n) ) } converge a 0, pero esto contradice que f(x σ(n) ) f(y σ(n) ) ε 0 para todo n N. 16. CONDICIÓN DE LIPSCHITZ Una clase muy importante de funciones uniformemente continuas es la siguiente. Definición 16.1. Sea A un subconjunto no vacío de R N. Se dice que una función f : A R M es lipschitziana si existe una constante k > 0 tal que f(x) f(y) k x y, x, y A, en cuyo caso el número real no negativo { f(x) f(y) sup x y recibe el nombre de constante de Lipschitz de f. } : x, y A, x y Es muy fácil comprobar el siguiente hecho. Proposición 16.2. Sea A un subconjunto no vacío de R N. Si f : A R M es lipschitziana, entonces f es uniformemente continua. Demostración: Sea k > 0 tal que f(x) f(y) k x y para todo x, y A. Sea ε > 0 arbitrario y tome δ = ε/k > 0. Si x, y A y x y < δ, entonces: Luego f es uniformemente continua. El recíproco no es cierto: f(x) f(y) k x y < kδ = ε. Ejemplo 16.3. La función f : [0, 1] R definida por f(x) = x para todo x [0, 1] es uniformemente continua (por ser una función continua definida sobre un compacto) y no es lipschitziana. Si fuese lipschitziana, existiría una constante k > 0 tal que x y k x y, x, y [0, 1].

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES 19 En particular, tomando x n = 1/n 2 e y n = 0 para todo n N se tendría 1/n k/n 2, esto es, n k para todo n N, que es imposible. Destacamos a continuación algunos ejemplos importantes de funciones lipschitzianas. Ejemplos 16.4. (1) Toda norma : R N R es lipschitziana por la desigualdad triangular inversa: x y x y para todo x, y R N. (2) Para cada i {1,..., N}, la proyección π i (x) = x i para todo x R N, es lipschitziana pues π i (x) π i (y) = x i y i x y para todo x, y R N. Terminamos esta sección dando una condición suficiente para que una función real sea lipschitziana. Proposición 16.5. Sea I un intervalo no vacío de números reales y sea f : I R una función derivable. Supongamos que existe una constante k > 0 tal que f (x) k para todo x I. Entonces f es lipschitziana. De hecho, f(x) f(y) k x y para todo x, y I. Demostración: Sean x, y I. Si x = y, entonces f(x) f(y) = 0 = k x y. Si x y, sea J el intervalo cerrado de extremos x e y, es decir, J = [x, y] ó J = [y, x], y sea Int(J) el correspondiente intervalo abierto. Claramente, J I y la función restricción f J es continua en J y derivable en Int(J). Por el teorema del valor medio, existe un punto x 0 Int(J) tal que f(x) f(y) = f (x 0 ) x y de donde f(x) f(y) k x y, como se quería probar. Ejemplo 16.6. La función f(x) = e x2 (x R) es lipschitziana en el intervalo ( 2, 5). Observe que f es derivable en ( 2, 5) con f (x) = 2xe x2 para todo x ( 2, 5) de donde f (x) = 2 x e x2 < 2 5 e 25 para todo x ( 2, 5). Por tanto f es lipschitziana y f(x) f(y) 10e 25 x y para todo x, y ( 2, 5). Finalizamos esta sección mostrando que toda aplicación lineal entre dos espacios euclídeos de dimensión finita es lipschitziana. Recordemos que una aplicación entre espacios vectoriales T : X Y es lineal si cumple: (1) T (x + y) = T (x) + T (y) para todo x, y X. (2) T (αx) = αt (x) para todo α R y x X. Observe que T (0 X ) = 0 Y. Es fácil probar que una aplicación T : R N R es lineal si, y sólo si, existen constantes λ 1,..., λ N R tales que T (x) = λ 1 x 1 + +λ N x N para todo x = (x 1,..., x N ) R N. Concretamente, λ i = T (e i ) donde e i es el i-ésimo vector de la base canónica de R N. También es útil saber que una aplicación T : R N R M es lineal si, y sólo si, lo son sus M funciones componentes π i T : R N R (i = 1,..., M). Teorema 16.7. Toda aplicación lineal T : R N R M es lipschitziana y T := sup { T (x) : x R N, x 1 } N T (e i ) 2.

20 TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES Demostración: Dado x = N x ie i R N, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene: N N T (x) = x i T (e i ) x i T (e i ) N x i 2 N T (e i ) 2 = x N T (e i ) 2. Por tanto, T (x) T (y) = T (x y) x y N T (e i ) 2 para todo x, y R N.