APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN AUTORÍA ANTONIO JESÚS MARTÍNEZ RUEDA TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA BACHILLERATO Resumen La introducción del concepto de límite en bachillerato es algo nuevo que nunca han dado en anteriores cursos, por lo que se presentarán bastantes dificultades a la hora de trabajar con él. Ya que es un concepto muy importante (puesto que se usará posteriormente para ver la continuidad de funciones, asíntotas, tipos de discontinuidades, derivabilidad entre otros conceptos) presento en este artículo una forma de trabajar el límite de funciones (el método que seguiré será presentarlo en distintas situaciones cotidianas donde aparece este concepto, razonando su importancia), así como una serie de errores que son muy comunes, y como intentar solucionarlos mediante actividades. Palabras clave Límite de una función Infinito Asíntotas Continuidad Derivabilidad 1. INTRODUCCIÓN El concepto de límite es un concepto que aparece por primera vez en bachillerato. La propia definición de límite de épsilon-delta es difícil, por ello, para comprender la idea de límite planteo la siguiente idea de trabajar la unidad de límite. El límite es un concepto que se usará para las siguientes unidades, y además, para trabajar conceptos que son muy importantes (como el de continuidad y el de derivabilidad) por ello, hay que trabajar el 1
límite de una forma para que se pueda usar en el futuro de una manera natural, y no como si fuera un concepto nuevo, y con la dificultad que este concepto conlleva. El concepto de límite nos servirá para desarrollar los siguientes conceptos: Continuidad: Gracias al concepto de límite, y sobre todo, del concepto de límites laterales (por la izquierda y por la derecha) podemos trabajar la continuidad de funciones. Así, para ver si una función es continua en un punto, una de las formas de verlo es calcular los límites laterales en dicho punto, y si coinciden los límites laterales por la izquierda y por la derecha, la función será continua en dicho punto. Discontinuidades: Consecuentemente, si los límites laterales no coinciden en dicho punto, habrá discontinuidad en ese punto, en este caso la discontinuidad será de salto finito (si los límites laterales son finitos) o de salto infinito (si algún límite lateral es infinito). Existen otro tipo de discontinuidades, por ejemplo las discontinuidades esenciales, donde los límites laterales existen y son iguales, pero la función no está definida en ese punto o la imagen en ese punto es distinto al valor de los límites laterales. Derivabilidad: También se usará los límites para ver si una función es derivable en un punto. 2. ERRORES En el concepto de límite se producen una serie de errores por parte de los alumnos en los que hay que abordar como intentar solucionarlos. Entre todos los errores, destaco los errores en los que el límite se relaciona con las representaciones gráficas. Pero no solo los alumnos cometen errores, sino que también han existido algunos errores históricos en el concepto de límite como el que expondré a continuación. 2.1. La paradoja de la diagonal escalonada A lo largo de la historia de las Matemáticas, desde los griegos hasta el siglo XIX, se han introducido varias paradojas que han dificultado la delimitación del concepto de límite. Un ejemplo de estas paradojas es la Paradoja de la diagonal escalonada. Calculando longitudes de las curvas E n que es 2, y tomando límite obtenemos que la longitud de la curva límite sería 2 pero llegamos a una contradicción pues la diagonal del cuadrado mide 2. 2
Llegamos a la contradicción 2= 2, y dónde está el error? El error está en intercambiar longitud por límite; además el límite en ambos casos se interpreta de manera distinta, por tanto, no es cierto que: 2.2. Principales errores en los alumnos Destacar los siguientes errores que se dan en el alumnado en el concepto de límite. Hay más, pero estos son los más importantes: 1. Dificultades para comprender que el límite es lo que ocurre cerca del punto y no en el punto 2. Dificultades para reconocer e interpretar límites laterales 3. Errores de tipo algebraico y numérico en el manejo de las funciones cuyo límite se quiere determinar 4. Dificultades para comprender que el cálculo del límite no es siempre por sustitución 5. Problemas con el uso de diferentes representaciones de las funciones 6. Conflicto con la creencia de que las funciones discontinuas en general no tienen límite 7. Dificultad para concebir la idea de límite en el infinito 8. Dificultades para comprender que la indeterminación no quiere decir que no se puede obtener el límite 9. Dificultades para relacionar expresiones de límites con su traducción gráfica o el proceso contrario 10. Dificultad para distinguir diferentes tipos de discontinuidades. En los siguientes puntos de este artículo abordaré algunos ejercicios para intentar solucionar estos errores. 3. SITUACIONES DONDE APARECE LOS LÍMITES Para una mayor comprensión del concepto de límite, presento a continuación fenómenos donde aparecerán los límites. Estos podrán ser utilizados para crear problemas, y así poder modelizar el concepto de límite y también intentar solucionar algunos errores a partir de actividades más cotidianas. Pero lo más importante de presentar situaciones donde aparecen límites es responder a la famosa pregunta de Para qué sirve esto? Además de ver que este nuevo concepto tiene algún uso, también servirá para motivar al alumnado de cara a esta nueva unidad didáctica. 3
3.1. Evolución de la población mundial (límite en el infinito) Podemos representar mediante una función el crecimiento de una población respecto al tiempo, y así analizar lo que ocurre con la población mediante el estudio de límites en un tiempo t. Así, si calculamos el límite en el infinito, mediante la gráfica se ve el crecimiento exponencial de la población, por lo que la población en el infinito tenderá a infinito. Habrá que ver qué sucede cuando se agoten los recursos naturales Así, este problema nos resuelve la siguiente pregunta: Dada una función f y una lista de k pares de valores (x 1,f(x 1 )),(x 2,f(x 2 )), (x k,f(x k )) si los primeros se hacen cada vez más grandes, se acercan los respectivos valores por f a un valor fijo L o se hacen cada vez más grandes? 3.2. Velocidad instantánea Un concepto físico y tan familiar como es la velocidad está muy relacionado con el concepto de límite. De la definición de la velocidad media de un objeto,(que es el cociente del desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido) aplicando con concepto de límite cuando el incremento de tiempo tiende a cero, obtenemos la velocidad instantánea en un tiempo dado. Así, la velocidad instantánea será el valor límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. La definición de derivada en un punto se hará también de esta manera, por lo que a esta expresión se le conocerá también como la derivada de la posición con respecto al tiempo. 3.3. Puntos antípodas En este artículo también quiero analizar la continuidad, y más al ser un concepto que en gran medida está relacionado con el de límite en un punto de una función. Así, con el estudio de la temperatura en los distintos puntos de la Tierra, podemos estudiar el concepto de continuidad-límite de una función de la siguiente manera: Si suponemos que en la Tierra la distribución de temperatura es continua existen dos puntos antípodas que están a la misma temperatura. Vemos que, con este ejemplo se pone en juego la continuidad. 4
3.4. Otros fenómenos Otros fenómenos donde se estudiará la continuidad y la discontinuidad de funciones son los siguientes: Fenómenos físicos como el movimiento, el electromagnetismo, la termodinámica se modelan por funciones continuas. Fenómenos como la mecánica relativista y la física cuántica se modelan por funciones que presentan singularidades como elemento esencial de discontinuidad. Visto todos estos fenómenos donde aparecen los límites, la continuidad y la discontinuidad de funciones, pasemos a lo más interesante, que es como usar otras situaciones de la realidad que no he mencionado en este apartado como enunciados de actividades 4. ACTIVIDADES SOBRE LA VIDA COTIDIANA 4.1. El record de los 100m. lisos La siguiente actividad se plantea como una actividad de motivación a la unidad, ya que además de que tiene que ver con el concepto de límite para crear una idea, se trata un tema de actualidad y muy hablado en los últimos tiempos, como es el record de los 100 metros lisos marcado por Ussain Bolt, y un tema por el que muchos alumnos están interesados ya que el deporte es una de sus aficiones. Así, en la siguiente página web, se analiza este record por expertos y se habla de cual será la limitación humana de los 100 metros lisos. A esa limitación es a lo que se le puede denominar como límite. El artículo de El País, se puede ver en la siguiente página web: http://www.elpais.com/articulo/sociedad/951/segundos/limite/record/masculino/metros/lisos/elpepusoc/2 0090806elpepusoc_17/Tes Leído este artículo, lo que se pretende es llegar a la idea de límite como dije anteriormente, pero también se realizarán otra serie de cuestiones. Por ejemplo, se pedirá que se busquen como han ido evolucionando los récord a lo largo del tiempo y que representen estos datos en una gráfica. Como se podrá ver en la siguiente gráfica, se trabaja el concepto de tendencia, ya que se sabe que por las limitaciones humanas, los 100 metros lisos no se podrán correr nunca tardando sólo dos segundos, y así, el tiempo que se tarda en correr los 100 5
metros lisos se irá acercando a un valor cuyo tope no se podrá bajar, apareciendo de nuevo la noción de límite. 4.2 Calentando un pollo Vamos a ver a continuación la modelización de un hecho de nuestra vida cotidiana a un problema de matemáticas, utilizando el concepto de asíntotas (por el que habrá que calcular límites para hallar las asíntotas). Queremos modelizar matemáticamente el calentamiento de un pollo cuando se mete en un horno. La siguiente gráfica nos muestra en el eje Y la temperatura que va alcanzando el pollo, y en el eje X el tiempo transcurrido. Así, se puede ver que la temperatura ambiente es sobre 25 grados, que en la gráfica se marca con una asíntota horizontal ya que al empezar a calentarse o al enfriarse el pollo, este tiende a la temperatura ambiente, sin bajar de dicha temperatura. Esta será una de las cuestiones que se plantearán en esta actividad, que se calcule esa asíntota horizontal, y ver como con las matemáticas se pueden explicar sucesos que pasan en la realidad. Siguiendo con el análisis de la gráfica, cuando el pollo se mete en el horno, la temperatura del pollo empieza a subir poco a poco hasta llegar un punto donde sube rápidamente hasta alcanzar su máximo. Al sacarlo del horno se ve en la gráfica como se enfría rápidamente hasta llegar un punto donde ya se enfría más lentamente, sin sobrepasar la asíntota horizontal. El enunciado y las cuestiones que se plantearán en esta actividad son las siguientes: La evolución del enfriamiento de un cuerpo en el tiempo se comporta asintóticamente, tendiendo la temperatura de dicho cuerpo a la temperatura ambiente. Supongamos que la temperatura, en grados centígrados, que experimenta un pollo a lo largo del tiempo, en minutos, desde que se mete en el horno es (corresponde a la gráfica de arriba) a) Representa gráficamente la función con ayuda de Geogebra. (Se pretende utilizar materiales informáticos para ayudarse a representar dicha gráfica, ya que a priori, es una función difícil para que dibujen los alumnos) b) Dónde se alcanza la temperatura máxima? Por qué crees que en ese momento comienza a disminuir? (se pretende que se relacione la gráfica con un hecho cotidiano) c) Cuál es la temperatura ambiente de la habitación donde está el pollo? (aquí aparecerá el concepto de asíntota horizontal, por lo que además de tener que calcular la asíntota horizontal, también se estará relacionando con el significado en un hecho real). 6
5. ACTIVIDADES PARA TRABAJAR ERRORES La siguiente actividad se plantea para intentar solucionar los errores que más se cometen en la relación de los conceptos de límite, continuidad y discontinuidad. Sobre la gráfica de la función y=f(x), halla los siguientes límites: Determina las discontinuidades y clasifícalas. Justifica tu respuesta con la ayuda de los límites anteriores. Qué se puede hacer en el punto x=6 para que la función sea continua en ese punto? Dificultades de las nombradas anteriormente que se pretenden solucionar: 2. Dificultades para reconocer e interpretar límites laterales 9. Dificultades para relacionar expresiones de límites con su traducción gráfica o el proceso contrario 10. Dificultad para distinguir diferentes tipos de discontinuidades 7
6. PROGRAMAS INFORMÁTICOS El software de Geogebra tiene una gran importancia para la geometría, ya que es un software dinámico, con lo que podrás mover los objetos dibujados en él y ver como varían las propiedades de la figura que se haya pintado. Pero también nos permite dibujar las gráficas de las funciones, y así ver la tendencia de una función en el infinito o en algún punto gracias a su gráfica. Wir s es otro programa que nos permite trabajar con límites, aunque es más básico que el anterior. Con este programa, además de representar una función, también se podrá calcular los límites de una función en el infinito o en algún punto. 7. BIBLIOGRAFÍA Spivak, M. (1975). Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté. Aleksandrov, A.D., Kolmogorov y A.N., Laurentiev, M.A. (1985): La Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols. Madrid: Alianza. Ayres, F. Jr. (1986): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill. Autoría Nombre y Apellidos: Antonio Jesús Martínez Rueda Centro, localidad, provincia: Granada E-mail: jssrueda16@hotmail.com 8