Juegos Repetidos Tema : Juegos repetidos un número infinito de veces Universidad Carlos III de Madrid
Sabemos que Si se juega un juego de etapa con un único EN un número finito de veces, haciendo inducción hacia atrás, observamos: Ø Periodo T: no hay incentivos a cooperar. No hay una pérdida en el futuro de la que preocuparse. Ø Periodo T-: no hay incentivos a cooperar. No hay un coste de oportunidad de desviarse en T-, porque en T no se cooperará nunca. De ahí se deduce que no se coopera en ningún período.
La interacción finita Cuando hay un único EN la cooperación es imposible si la relación entre los jugadores tiene una duración fija y conocida. Esto sugiere estudiar otras posibilidades: Ø La duración es incierta Ø La duración es desconocida Ø La duración es por un número infinito de períodos
Juego repetido un número infinito de veces Se juega un juego simultáneo o de etapa en los períodos,, 3,..., t-, t, t,... En cada período t se observan los resultados de todas las etapas anteriores, desde hasta t-. Cada jugador descuenta sus pagos futuros, 0< <. El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos futuros: t- π t. Si π t es constante, entonces: π π π 3 π.= π -
ENPS Consideremos el juego repetido consistente en jugar un número infinito de veces el siguiente juego de etapa. Es posible sostener la cooperación? Es posible jugar (R, R en un ENPS? Jugador Jugador L R L, 5, 0 R 0, 5 4, 4
L R L R L R (, (5, 0 (0, 5 (4, 4 L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R L R HASTA INFINITO
Subjuegos y Estrategias Hay infinitos subjuegos. Cada subjuego es idéntico al juego completo. Usaremos estrategias resorte o de gatillo: Ø Cooperar hasta que se produzca una desviación Ø Tras una desviación, jugar no cooperativamente (el EN del juego de etapa para siempre.
Estrategias de gatillo Estrategia de gatillo (o resorte para el Jugador i: juega R i en la primera etapa, y en la t, si en TODAS las anteriores, de a t- se jugó (R, R ; si en alguna etapa anterior no se jugó (R, R entonces juega L i. Veamos que estas estrategias generan un ENPS. Dos pasos: Ø : Comprobar que constituyen un EN del juego repetido. Ø : Comprobar que constituyen un EN de cada subjuego.
Pagos descontados =... 3 xz z... x x x x xz... x x x x z Define 4 3 4 3 = = = x z =
Paso t= : (R, R t= : (R, R Supongamos que juega la estrategia de gatillo. Gana algo el si se desvía en t? t-: (R, R t: (R, L t: (L, L t: (L, L Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos 4, 4, 4,... (de t a. Descontando esos pagos 3 4 4 4 4 4... = Si se desvía: jugará L de t en adelante. El responderá con L. La secuencia de pagos será 5,,,... Descontando esos pagos 3 5... = 5
Paso (cont. Etapa : (R, R 4 5 4 Etapa : (R, R t-: (R, R t: (R, L t: (L, L t: (L, L Si, el jugador no mejora con la 4 desviación. Por lo tanto la estrategia de gatillo del es mejor respuesta a la estrategia de gatillo del si. 4 Simétricamente para el Hay un EN en el que ambos juegan las estrategias de gatillo si. 4
Paso Comprobar que las estrategias inducen un EN en cada subjuego del juego. Hay dos familias de subjuegos: Ø Los que comienzan tras una secuencia de (R, R. Ø Los que comienzan tras una historia en la que en alguna etapa no se jugó (R, R. Para la primera familia, las estrategias inducen un EN (Recordemos que cada subjuego del juego es idéntico al juego completo. La segunda familia induce un EN en el que (L, L se juega para siempre (como es EN del juego estático, su repetición constituye un EN en esta familia de subjuegos.
Juego infinito como juego con duración incierta Si solo hay un EN en el juego estático sabemos que la cooperación no es posible si el número de períodos es fijo y conocido. Terminación incierta Ø El juego continúa el período siguiente con probabilidad p: Equivalente a un juego infinito: Ø Recordemos que si la tasa de descuento es, euro mañana vale euros hoy. Ø Si a esto añadimos la probabilidad p de que haya un mañana, euro mañana vale p euros hoy. Ø El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos futuros: (p t- π t. Si π t es constante, entonces: π p π (p π (p 3 π.= π/(- p.
Aplicación: la colusión Las empresas interactúan un numero infinito de veces (o con un final sin precisar: Ø Pueden aprender a coordinar sus estrategias Ø Pueden amenazar con periodos de castigo (beneficios bajos en caso de desvío. Implicaciones: Ø Si las empresas son suficientemente pacientes, se sostienen precios cercanos a los de monopolio en cada período. Ø Cuanto mayor es el número de empresas, mas difícil es la colusión.
Duopolio de Cournot repetido un número infinito de veces Juego de etapa, Jugador : Max (a-q -q -c q q >0 En Cournot (costes simétricos: q i = (a-c/3 Π i = (a-c /9
Cantidad cooperativa En un monopolio: Max (a-q-cq Q>0 c.p.o.: Q M = (a-c/ P= (ac/ En el duopolio colusivo: q i = (a-c/4, cada una produce la mitad de Q M Π i = (a-c /8
Estrategia de gatillo: Ø Cada jugador produce inicialmente la mitad de la cantidad de monopolio. Ø Tras un desvío produce la cantidad de Cournot para siempre. Ø Si no hay desvíos continúa con la mitad de la cantidad de monopolio. Veamos si esta estrategia permite sostener la cantidad de monopolio en ENPS
Es un EN? Supongamos que juega la estrategia de gatillo. Gana algo el si se desvía en t? ( a c Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos 8 (a c 8(. Descontando esos pagos 3( a c Si se desvía: Lo hará jugando la mejor respuesta a Q M / que es = 8 Sus beneficios descontados son Π D ( a c 9 ( a c 9 ( a c 9 3... = Π D ( a c 9(
- 64 9( 8 3( 8 3( 4 ( c a c a c a c a c a D = " # $ % & ' = Π Sus beneficios descontados si se desvía son 9( ( 64 9( c a c a Por lo tanto para que no se desvíe, será necesario 9/7, según se desprende de: 9( 64 9 8( 9( ( 64 9( 8( ( > > c a c a c a
Cantidad de monopolio en un ENPS Las estrategias que hemos propuesto constituyen un EN del juego completo si el factor de descuento es suficientemente grande. Además inducen un EN en cada subjuego del juego: Ø Los que comienzan tras una secuencia de (q M, qm. Ø Los que comienzan tras una historia en la que en alguna etapa no se jugó (q M, qm. Para la primera familia, las estrategias inducen un EN. La segunda familia induce un EN en el que se juegan las cantidades de Cournot para siempre (como es EN del juego estático, es EN.
Resumen La cooperación es factible si el horizonte temporal es incierto o infinito. Se evitan los desvíos usando castigos creíbles: jugar el EN del juego estático.