Relaciones y Funciones

Capítulo Relaciones Funciones.1. Producto Cartesiano Definición El producto cartesiano de A B, se define por A B = (a, b)/a A b B} A B conjuntos dados, A B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par b es el segundo, en consecuencia (a, b) (b, a) Número de elementos Sea m el número de elementos de A (es decir su cardinalidad) n el número de elementos de B, entonces mn es el número de elementos de los productos A B B A Gráfico Como los elementos de A B son pares ordenados se acostumbra graficar dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir 3

Luis Zegarra Relaciones funciones 33 elementos de b (a,b) b a 0 elementos de a Figura.1: Sistema de coordenadas Ejemplo1 Los gráficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados. Notemos que en el caso de la figura. el número de elementos de AB es finito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras.3.4 dicho número es infinito.. 0 0 0 Figura. Figura.3 Figura.4 Propiedades 1 1. A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C) 3. A (B C) = (A B) (A C).. Relaciones Definición R es una relación de A en B si solo si: R A B. Así, notemos que los elementos de una relación son pares ordenados.

Luis Zegarra Relaciones funciones 34 Notación 1. R es una relación de A en B, también se denota por R : A B. Si el par (, ) pertenece a la relación R, se acostumbra a denotar por (, ) R R = R() Dominio Recorrido Sea R A B una relación, se definen: Dominio de R por el conjunto Dom R = A/ B : (, ) R} Recorrido de R por el conjunto Rec R = B/ A : (, ) R} Es claro que Dom R A que Rec R B Ejemplo Sea R : A A una relación, donde A=1,, 3..., 10} dada por R = (1, 1), (1, ), (1, 3), (, 4), (, 5), (7,6)} esta relación tiene un número finito de elementos. Note que: Dom R=1,,7} Rec R=1,,3,4,5,6} Ejemplo 3 Sea S : R R, definida por S = (, )/ + = 1} esta es una relación con infinitos elementos que Dom S = Rec S = R Ejemplo 4 Sea S : Z Z, definida por (, ) S + = 1 Nótese que e son enteros por tanto esta relación solo consta de 4 elementos, que son: (1,0), (0,1), (-1,0) (0,-1), donde Dom S = 1, 0, 1} = Rec S En este mismo ejemplo si en lugar de Z se toma R la relación contiene infinitos pares ordenados Dom S = R/ 1 1} Rec S = R/ 1 1}

Luis Zegarra Relaciones funciones 35 Definición Sean R : A B S : B C dos relaciones. Se define la composición de R con S, que se denota por S R, como S R = (, )/ z B : (, z) R (z, ) S} Ejemplo 5 Sean A=1,,3,4,5}, B=1,,3} C=1,4,5,8} R=(1,),(3,),(4,1)} S=(,1),(3,1),(,4),(3,5)} Note que (1,) R (,1) S (1,1) S R. Así se obtiene que S R=(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)} Ejemplo 6 Sean R S relaciones en R, definidas por R = (, )/ = + 1} S = (, )/ = } así, (, ) SoR z R : (, z) R (z, ) S z = + 1 = z de donde = ( + 1), luego S R = (, )/ = ( + 1) } Propiedades Sea R : A A una relación, se define las siguientes propiedades 1. Refleja A : (, ) R. Simétrica, A : (, ) R (, ) R 3. Transitiva,, z A : (, ) R (, z) R (, z) R 4. Antisimétrica, A : (, ) R (, ) R = 5. Irrefleja A : (, ) / R Definición Sea R : A A una relación 1. Se dice que R es una relación de equivalencia si solo si, es: Refleja, Simétrica Transitiva.. Se dice que R es una relación de orden parcial si solo si, es: Refleja, Antisimétrica Transitiva. 3. Se dice que R es una relación de orden total (estricto) si solo si, es Irrefleja, Transitiva Antisimétrica.

Luis Zegarra Relaciones funciones 36.3. Clase de equivalencia Definición Sea R : A A una relación de equivalencia, se define la clase de equivalencia del elemento, por C = A/(, ) R} Ejemplo 7 En Z, se define la relación R, por R = (, )/( ) es múltiplo de 3} vamos a verificar que esta relación es: refleja, simétrica transitiva, por tanto es de equivalencia, luego determinaremos la clase del elemento, finalmente todos los pares (,) R tales que 3 18 Nótese que: (, ) R = 3k, k Z Refleja: Z, = 3 0, 0 Z Simétrica: (, ) R = 3k, k Z = 3( k), k Z (, ) R Transitiva: (, ) R (, z) R k 1, k Z/ = 3k 1 z = 3k Sumando miembro a miembro se obtiene z = 3(k 1 + k ), k 1 + k = k con k Z z = 3k, k Z (, z) R Así C = Z/(, ) R} C =..., 4, 1,, 5, 8, 11,...} o bien C = = 3k, k Z} todos los pares (, ) R tales que 3 18, son (,),(,5),(,8),(,11),(,14),(,17)}.4. Relación inversa Relación inversa Sea R : A B una relación dada. Se define R 1 : B A como: R 1 = (, ) B A : (, ) R} Nótese que Dom R 1 = Rec R Rec R 1 = Dom R También que si: (, ) (R 1 ) 1 (, ) R 1 (, ) R por tanto (R 1 ) 1 = R Ejemplo 8 Sea R = (1, ), (, 3), (3, 4), (4, 5)} entonces de inmediato R 1 = (, 1), (3, ), (4, 3), (5, 4)}

Luis Zegarra Relaciones funciones 37 Ejemplo 9 Sea R definida en los racionales por R = (, )/+ = 1} entonces su relación inversa es R 1 = (, )/+ = 1}.5. Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Sean A, B C conjuntos no vacíos. Demostrar que a) (A B) C = (A C) (B C) b) (A B) C = (A C) (B C) Demostración a) Sea (, ) [(A B) C] (A B) C ( A B) C ( A C) ( B C) (, ) (A C) (, ) (B C) (, ) [(A C) (B C)] luego (A B) C = (A C) (B C) b) i) Sea (, ) [(A B) C] (A B c ) C ( A / B) C ( A C) / B (, ) (A C) (, ) / (B C) (, ) [(A C) (B C)] Luego se demostró que (A B) C (A C) (B C) (1) ii)(, ) (A C) (B C) (, ) (A C) (, ) / (B C) ( A C) ( / B / C) ( A C / B) ( A C / C) ( (A B) C) ( A F) (, ) [(A B) C] () Luego por (1) () se tiene que: (A B) C = (A C) (B C) Ejercicio Sean S, T relaciones de X Y, pruebe que: a) (S 1 ) 1 = S b) (S T) 1 = S 1 T 1

Luis Zegarra Relaciones funciones 38 Prueba a) (, ) (S 1 ) 1 (, ) S 1 (, ) S b) (, ) (S T) 1 (, ) (S T) (, ) S (, ) T (, ) S 1 (, ) T 1 (, ) (S 1 T 1 ) Luego (S T) 1 = S 1 T 1 Ejercicio 3 Sea R una relación de equivalencia de A en A. Demuestre que R 1 también es una relación de equivalencia. Demostración: i) Refleja: A, (, ) R (, ) R 1 Luego R 1 es refleja ii)simétrica: (, ) R 1 (, ) R (, ) R por ser R simétrica, como (, ) R (, ) R 1 luego R 1 es simétrica. iii)transitiva: (, ) R 1 (, z) R 1 (, ) R (z, ) R de aquí (z, ) R (, z) R 1 esto prueba que R 1 es transitiva. Ejercicio 4 Sean S : A B R : B C dos relaciones demostrar que: (R S) 1 = S 1 R 1 Demostración: (, ) (R S) 1 (, ) (R S) z B : (, z) R (z, ) S (z, ) R 1 (, z) S 1 z B : (, z) S 1 (z, ) R 1 (, ) S 1 (z, ) R 1 (, ) (S 1 R 1 ) luego (R S) 1 = S 1 R 1 Ejercicio 5 Sea R : N N definida por (a, b) R (c, d) a + d = b + c pruebe que R es una relación de equivalencia (N = N N) determine la clase del elemento (1, ) Prueba i)relfleja: (a, b) N N a + b = b + a (a, b)r(a, b)

Luis Zegarra Relaciones funciones 39 ii)semétrica: (a, b)r(c, d) a + d = b + c c + b = d + a (c, d)r(a, b) iii)transitiva:(a, b)r(c, d) (c, d)r(e, f) a + d = b + c c + f = d + e sumando miembro a miembro resulta a + d + c + f = b + c + d + e de donde a + f = b + e (a, b)r(e, f) C (1,) = (n, m)/(1, )R(n, m); n, m N} C (1,) = (n, m)/1 + m = + n} = (n, m)/m n = 1} Ejercicio 6 Sea R : N N una relación definida por: R = (n, m)/n + 3m = 1; n, m N} a) Eprese R como un conjunto de pares ordenados b) Hallar Dom R el Rec R c) Determine R 1 Solución a) R = (9, 1), (6, ), (3, 3)} b) Dom R = 3, 6, 9}, Rec R = 1,, 3} c) R 1 = (1, 9), (, 6), (3, 3)} o bien R 1 = (n, m)/m + 3n = 1, n, m N} Ejercicio 7 Sea R una relación de equivalencia en A = a, b, c, d, e} demuestre que si: (a, c), (b, d) (b, c) R (d, a) R Demostración Por hipótesis R es refleja, simétrica transitiva. Por ser simétrica: (b, d) R (d, b) R (a, c) R (c, a) R Por ser transitiva: (d, b) R (b, c) R (d, c) R Entonces (d, c) R (c, a) R (d, a) R Ejercicio 8 Sean R S dos relaciones dadas por R = (a, 1), (a, ), (a, 3), (b, ), (b, 3), (c, 3)} S = 1, ), (, ), (3, )} Determine: S R, R 1 S 1 S 1 R 1 Solución: Nótese que Dom R = a, b, c} = A, Rec R = 1,, 3} = B

Luis Zegarra Relaciones funciones 40 Dom S = B Rec S =, } = C Así: R : A B S : B C, S R : A C S R = (u, v) A C : B/(u, ) R (, v) S} luego S R = (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, )} análogamente como R 1 = (1, a), (, a), (3, a), (, b), (3, b), (3, c)} S 1 = (, 1), (, ), (, 3)} se tiene que R 1 S 1 = (, a), (, b), (, a), (, b), (, c)} note que (S R) 1 = R 1 S 1 (Ver ejercicio 4) S 1 R 1 es vacía pues si (, ) S 1 R 1 con R 1 : B A S 1 : C B A C. Ejercicio 9 Si R : A A es transitiva demuestre que R 1 también es transitiva. Demostración: Por demostrar que si: (, ) R 1 (, z) R 1 (, z) R 1 (, ) R 1 (, z) R 1 (, ) R (z, ) R (z, ) R (, ) R (z, ) R (, z) R 1 como se quería Ejercicio 10 Sea R : Z Z definida por (k, p) R m Z + : k = mp demuestre que R es una relación de orden parcial. Demostración Debemos demostrar que R es: refleja, transitiva antisimétrica. Refleja: z Z, 1 Z + : 1z = z (z, z) R Transitiva: (a, b) R (b, c) R m 1, m Z + /a = m 1 b b = m c a = m 1 m c, sea m 1 m = m; m Z + a = mc (a, c) R Antisimétrica: (a, b) R (b, a) R m 1, m Z + /a = m 1 b b = m a m 1, m Z + /a = m 1 m a, ahora: Si a 0 m 1 m = 1 como m 1 m Z + m 1 = m = 1 en cuo caso a = b. Si a = 0 b = 0, m 1, m Z + así también a = b Ejercicio 11 En el conjunto de los números reales se define la siguiente relación T: (, ) T k k + = 4 + k

Luis Zegarra Relaciones funciones 41 a)determinar los valores de k para los cuales T es simétrica b)determinar los valores de k para los cuales T es refleja. Solución: a)(, ) T k k+ = 4+k note que si k = 4++ = 4 4 + + = 4 (, ) T b) R se debe tener (, ) T, esto es que se cumpla k k + = 4 + k k k + 4 = 0 k = ± 4 ecuación sólo válida para ciertos valores de, lo que contradice el R, por lo que no eiste k. Ejercicio 1 Sea f : A A una función, se define la relación en A por arb f(a) = f(b) demuestre que R es una relación de equivalencia. Demostración: i) A : f() = f() R lo que prueba que R es refleja. ii)r f() = f() f() = f() R R es simétrica. iii)r Rz f() = f() f() = f(z) f() = f(z) Rz R es transitiva. Ejercicio 13 Sea S una relación en el conjunto de los números reales definida por: Graficar: S S 1 Solución: S 0 1 S 0 1 graficamos primero las fronteras de S, es decir: = 0 = 1 para luego considerar las desigualdades, ver gráfico de la figura.5 Para S 1 hacemos la simetría de gráfico de S con respecto a la recta =, ver gráfico de la figura.6, note que S 1 0 1 por definición de inversa.

Luis Zegarra Relaciones funciones 4 -=0 -=0 0 1 -=1 -=1-1 1 0-1 Figura.5: Gráfico de S Figura.6: Gráfico de S 1 Ejercicio 14 En R se dan las relaciones R = (, )/ } S = (, )/ + 1} a) Grafique: R S, R 1, S 1 R 1 S 1 b) Determine: Dom (R S), Rec (R S) Solución: R S = (, )/ + 1} = 1 +=1-1 0 1 Figura.7: Gráfico de R S Note que el dominio de R S está dado por la intersección de sus fronteras, es decir, la solución del sistema: = + = 1 + 4 = 1 = 1 ± 5 así Dom R S = / 0,79 0,79} el Rec R S = /0 1} ±0,79 R 1 = (, )/ } S 1 = (, )/ + 1} = S

Luis Zegarra Relaciones funciones 43 = 1 + =1 0-1 1 0 1 Figura.8: Gráfico de R 1 Figura.9: Gráfico de S 1 Figura.10: Gráfico de R 1 S 1 Ejercicio 15 Graficar las siguientes relaciones definidas en los reales Solución: a) R = (, )/0 1 < 1} b) S = (, )/ 1 + } c) T = (, )/ + 1} d) L = (, )/ + 4 1} 1 = 0 1-1 -4-0 =-1 Figura.11: Gráfico de R Figura.1: Gráfico de S Para T si e > 0 + 1 < 0 e > 0 + 1 > 0 e < 0 1 e < 0 1 -+=1 +=1 0 --=1 -=1 Figura.13: Gráfico de T

Luis Zegarra Relaciones funciones 44 Para L, su frontera es una elipse con centro en el origen, cuo semieje maor está sobre el eje Y, es igual a, el menor sobre el eje X es igual a 1, luego: -1 0 1 - Figura.14: Gráfico de L.6. Ejercicios propuestos 1. Sea R una relación en A =, 3, 4, 5} definida por e son primos relativos, esto es el único divisor común de e es 1 i) Escribir R como un conjunto de pares ordenados. ii) Representar R en un diagrama de coordenadas A A.. Sea R una relación definida en los naturales, R = (, ) : + 3 = 13;, N } i) Escribir R como un conjunto de pares ordenados. ii) Hallar el dominio recorrido de R. iii) Determine R 1 3. Sea R una relación de R en R definida por: i) R = (, ) ( < ) ( 5 < < 1) ( 1 < 3)} ii) R = (, ) : + 16 } iii) R = (, ) : + 0 } iv) R = (, ) : + < 1 } v) R = (, ) : + 0 } Representar cada relación en un diagrama de coordenadas R R determine su dominio recorrido. 4. Sean R N N S N N dos relaciones definidas por: R = (n, m) : n + m = 17 }; S = (n, m) : n m = 36 } Encuentre el dominio recorrido de: R, S R S.

Luis Zegarra Relaciones funciones 45 5. Sea A = 0, 1,, 3, }, sean a, b A R definida por arb si solo si al dividir a b por 5 dan el mismo resto. Averigue si R es una relación de equivalencia. 6. Considere las siguientes relaciones en R : R 1 = (, ) : + 5 }; R = (, ) : 3 4 } R 3 = (, ) : 4 9 } Representar: R 1 R, R 1 R 3, R 1 R c 3 R c 1 R en un diagrama de coordenadas R R estableciendo el dominio recorrido de cada una de ellas. 7. Sea R una relación en R R definida por: (a, b)r(c, d) a c b d Demostrar que R es: refleja, antisimétrica transitiva. 8. Sea R una relación en A. a) Si R es simétrica transitiva, averiguar si R es refleja. b) Si R es refleja transitiva, averiguar si R 1 es también refleja transitiva. c) Es, R R 1 una relación de equivalencia? 9. Siendo R 1 R dos relaciones de A B, probar que Rec(R 1 R ) Rec R 1 Rec R 10. Sea R una relación en A. Demostrar que R es simétrica si solo si R = R 1 11. En Z se define la relación R mediante: arb ( k Z : a b = 3 k ) Probar que R es de equivalencia. 1. 1. Averiguar las propiedades que tiene la relación R definida en R + R +,por: (a, b)r(c, d) a d = bc Es posible determinar R 1? en caso afirmativo encuéntrela..7. Funciones Definición Sea f : A B una relación, se dice que f es una función si solo si A,! B : = f()! se lee eiste un único. Este concepto, de función, también se puede definir mediante

Luis Zegarra Relaciones funciones 46 1. Domf = A. (, 1 ) f (, ) f 1 = Note que una función es antes que nada una relación, es por esto que el Domf Recf se encuentran a definidos, también otros conceptos propiedades definidas anteriormente. Quizás ha que recalcar que Domf = A Recf B En = f() fórmula típica por cada función Domf e o f() Recf A, se le llama pre-imagen a o f() imagen de, así una vez más, de la definición es importante hacer notar que para cada pre-imagen se tiene una solo una imagen. Funciones por tramos Definición Una función por tramos se puede definir como: Sea f : A B una función. A = A 1 A A n en que A i A j =, i j tal que f i : A i B i es una función i = 1,, n B i B. (Ver ejemplos 11 1) Ejemplo 10 Dadas las relaciones en R a) = + 1 b) = + Ambas se pueden escribir también por f() = + 1 g () = + f es una función pues R,! R : = + 1 g no es una función pues por ejemplo para = eisten 1 = e =, 1 Ejemplo 11 Sea f : R R, definida por f() = 5 esta relación así definida no es +1 una función pues Dom f R, = 1 no tiene imagen.

Luis Zegarra Relaciones funciones 47 Ejemplo 1 Sea f : R R, definida por tramos mediante f() = + si 3, si 3. Notamos que f no es una función pues f(3) no tiene una sola imagen. Ejemplo 13 Sea f : R R, definida por si 1 f() = + 3 si 1 < < + 5 si f() =, 1 se llama función constante f( 1) =, f(0) = 3, f(10) = 10 + 5 = 95 f(f()) = f(1) = 1 + 3 = Propiedades Función Inectiva o uno a uno si 1 f() = + 3 si 1 < < () + 5 si si 1 f() = + 3 si 1 < < 1 4 + 5 si 1 Sea f : A B una función. f es uno a uno si solo si : 1, A, 1 f( 1 ) f( ) o bien es equivalente a decir f( 1 ) = f( ) 1 =. Note la importancia del sentido de las implicaciones. Ejemplo 14 Sea: f : R 1} R definida por f() = 1 +1. Esta función es uno a uno pues 1, R 1} si f( 1 ) = f( ) 1 1 1 + 1 = 1 + 1 1 + 1 1 = 1 + 1 1 1 =

Luis Zegarra Relaciones funciones 48 Ejemplo 15 Sea: f : R R definida por f() = 3 + si 0 si > 0 Note que esta función aparentemente es uno a uno pues > 0 lo es, como también 0, pero no es suficiente pues por ejemplo, para = 1 se tienen dos preimágenes que son = 1 o = 3. Función sobre o epiectiva Sea: f : A B una función. f es sobre si solo si B, A : f() = o bien es equivalente a decir que Rec f = B. Ejemplo 16 La función del ejemplo 14 no es sobre pues, para = no tiene pre imagen, lo que contradice el R Ejemplo 17 Sea f : R [1, + ) definida por +, si > 0 f() = + 1, si 0 = +1 =+ 0 Figura.15: Gráfico de f() Esta función es sobre, pues: Si 0 = + 1 = ± 1 como 0 = 1 lo que es válido solo si 1 0 1 (1) Si > 0 = + = como > 0 > 0 > () Luego, efectuando la unión de (1) () resulta que el Rec f = [1, + ) lo que prueba que f es sobre.

Luis Zegarra Relaciones funciones 49 Función biectiva Sea: f : A B una función. f es biectiva si solo si es : uno a uno sobre..8. Gráfico de una función Dada f : A B una función. Su gráfica se esboza en un sistema coordenado rectangular está definido mediante un conjunto de puntos G f = (, )/ A, B : = f()} Debido a la definición de la función, el gráfico G f de f está limitado a curvas en el plano, lamentablemente no toda curva es una función. (1) es una función en tanto que () no lo es. 0 0 Figura.16: (1) Figura.17: () Observación Esbozar la gráfica de f() actualmente es un problema resuelto, si es el caso que se ocupa para ello un computador. En este libro en el siguiente de Cálculo I, no es la idea ocupar un procesador para graficar f, sino más bien es seguir ciertos conceptos, como por ejemplo, determinar: Dom f, intersecciones con los ejes, signos de f(), si f() es primer grado, o de segundo, o de otro para, considerar etremos de o bien singulares con respecto a su dominio. En resumen, considerar a f() sus conceptos fundamentales. Graficar f() no es un problema sencillo en un principio, pero en ningún caso imposible..9. Función inversa Propiedad Sea: f : A B una función, f es una biección si solo si f 1 es una función

Luis Zegarra Relaciones funciones 50 Demostración Sea : f uno a uno sobre vamos a probar que f 1 es una función. Como f es sobre todos los elementos de B tienen una pre imagen, así que B,! A esto por ser uno a uno, tal que f 1 () = lo que asegura que f 1 es una función, la implicación recíproca queda propuesta para Ud. La afirmación de esta propiedad, que eiste f 1 equivale a decir que la ecuación = f(), donde B, tiene una solo una solución, A. Como hemos indicado esta solución se representa por f 1 () así entonces = f 1 () donde es la variable independiente es la variable dependiente. La definición de función inversa es análoga a la de relación inversa con ciertas precauciones. Gráfico de f 1 Sea f : A B una función biectiva tal que su gráfica está dada por los puntos. Gf = (, )/ A, B : = f()} El gráfico de f 1 puede considerarse el mismo conjunto de puntos que forma la gráfica de f que ésta viene representada por la ecuación = f 1. Si se quiere dejar la letra, para la variable independiente (e para la variable dependiente), la inversa de f vendrá representada por la ecuación = f 1 (). En tal supuesto, la gráfica de f 1 resulta simétrica con respecto a la recta =, de la gráfica de f f b = a 0 b a f -1 Figura.18: Gráfico de f f 1.10. Composición Sean las funciones g : A B f : B C, Rec g B A, z B/z = g() (.1) z Rec g, C/ = f(z) (.)

Luis Zegarra Relaciones funciones 51 De (1) () se conclue que = f(g()) lo cual también se acostumbra denotar por = (f g)() luego (f g) = f(g()). Ejemplo 18 En R sean las funciones f() = + 5 g() = 1. Note que (f g)() = f(g()) = f( 1) = ( 1) + 5 = + 3 (g f)() = g(f()) = g( + 5) = ( + 5) 1 = 4 + 0 + 4 Este ejemplo es suficiente para hacer notar que en general f g g f Propiedad Sea: f g dos funciones, entonces f (g h) = (f g) h. La demostración queda propuesta para Ud. Ejemplo 19 En R, sean las funciones: f() = 4, 0 g() = 1, 0 Vamos a determinar los dominios de f g g f (f g)() = f(g()) = f( 1 ) = 4 1 Dom f g = R 0, 1} (g f)() = g(f()) = g( 4 ) = 1 ( 4) Dom g f = R 0} 4.11. Algebra de funciones Definición Sean: f : A B g : A C cuos dominios son Dom f Dom g se definen: (f + g)() = f() + g() (f g)() = f() g() (fg)() = f()g() ( ) f () = f() g g() El dominio de f + g, f g fg es el conjunto de todos los elementos comunes a los dominios de f g Dom (f + g) = Dom (f g) = Dom fg = Dom f Dom g Para Dom f = Dom f Dom g, ecepto para aquellos para los cuales g g() = 0.

Luis Zegarra Relaciones funciones 5 Ejemplo 0 Sea: f() = + 1 g() = 1 entonces: f() + g() = + f() g() = + f()g() = ( + 1)( 1), Dom f + g = Dom f g = Dom f g = R f() g() = + 1 1, Dom f g = R ±1}.1. Ejercicios Resueltos 1. Sea f() = a + b una función en R, a b constantes. Determine a b en los siguientes casos: i) (1, ) f f(0) = 4 ii) f(1) = g(1) f( 1) = 4 3 donde g() = + Solución. i) (1, ) f f(1) = a + b = por otra parte f(0) = 4 b = 4 con lo que resulta a = 6. Así f() = 6 + 4 ii) f(1) = g(1) a + b = f( 1) = 4 a + b = 4 de donde 3 3 3 resolviendo este sistema de ecuaciones resultan: a = 1 b = 3 1 f() = 1 + 1 3. Determine el dominio recorrido de las siguientes funciones definidas sobre los reales a) f() = 3 1 b) f() = 4 + 1 c) f() = d) f() = 1 e) f() = 1 1 f) f() = 4 g) f() = 4 Solución. a) Dom f = R, para el recorrido = 3 1 3 = + 1 como 3 0 + 1 0 1 Rec f = [ 1, + ] b) Dom f = R, para el recorrido 4+1 = ( ) = +3 3 Rec f = [ 3, + ]

Luis Zegarra Relaciones funciones 53 c) Dom f = R }, para el recorrido = = 1 Rec f = R 1} d) Dom f 0 0 Dom f = [, 6) (6, + ), para el recorrido se tiene = 1 + 1 + 0 para todo del dominio, lo que nos da Rec f = (, 1 ] (0, + ). e) Dom f = R ±1}, para el recorrido se tiene = +1 que debe ser 0 por la condición del módulo Rec f = (, 1] (0, + ) f) Dom f = R 0}, ahora como = 4 1 0 < 1 Rec f = (, 1) g) Dom f = R ±}, para todo del dominio se tiene = +1 1 pero note que si = = 1 que tampoco debe estar en el recorrido pues, por tanto Rec f = R 1, 1} 3. Sea f : R R una función definida por + 5 si > 9 f() = si 9 9 + si < 9 a) Calcule: f(0), f( 9), f( 1), f(10) f(f(3)) b) Hallar el Rec f. Solución. a) f(0) = 0 0 = 0 f( 9) = ( 9) 9 = 7, f( 1) = 1+ = 10, f(10) = 10 + 5 = 5 f(f(3)) = f(3 3 ) = f(6) = 6 6 = 30 b) i) > 9 = +5 = 1 ( 5) como > 9 1 ( 5) > 9 > 3 (1) ii) : 9 9 = ( 1 ) = + 1 4 1 4 ( ), ahora considerando 0 9 ( 1 ) = + 1 4 = 1 + + 1 note que el signo ( ) no se puede considerar, 4 luego se debe tener 0 1 + + 1 9 + 1 17 4 4 7 ( ) Análogamente : 9 < 0 ( 1 ) = + 1 ( 1 4 ) = + 1 4 1 = ± + 1 = 1 + + 1 4 4 note que esta última implicación es por ser negativo, luego se debe tener 9 1 + 1 < 0 + 1 17 lo mis- 4 4 mo que en ( ), por tanto de ( ) ( ) resulta: 1 4 7 ()

Luis Zegarra Relaciones funciones 54 4. Dadas en R, : < 9 = + = < 9 < 7 (3) Por tanto el recorrido de f es la unión de los conjuntos dados en: (1), () (3) ;es decir Rec f = (, 7) [ 1 4, + ). f() = 1 3 g() = 1 i) Hallar el dominio recorrido de f g. ii) Hallar el dominio de f g también de g f Solución. i) Dom f = R ± 3 }, para el recorrido se tiene = 1 + 3 como 0 1 + 3 0 Rec f = (, 1 ] (0, + ). 3 Dom g 1 0 Dom g = (, 1] [1, + ).Ahora como 1 0 Dom g 0 Rec g = [0, + ) ii) (f g) () = f(g()) = f( 1) ahora si es tal que ( 1 1) = 1 ± por tanto Dom f g = (, ) (, 1] 4 [1, ) (, + ) (g f) () = g(f()) = g( 1 ) de aquí ± 3 entonces 3 = 1 3 4 el dominio obliga a por tanto finalmente Dom g f = [, 3) ( 3, 3) ( 3, ] 5. Determine f la constante a de modo que f( a)f( + a) = 1,5 a donde f es una función polinómica de grado 1. Solución. Sea f() = b+c la función que se indica b c constantes realesf( a)f( + a) = [ b( a) + c ][ b( + a) + c ] = 1,5 a de donde se obtiene b + bc + c b a = 1,5 a b = 1, bc = c b a = 1,5 a, luego b = 1, c = 1 a = a = 1 por tanto f() = 1 6. Sean f g dos funciones definidas en R, por: f() = 1 si 1 si < 1 g() = 1 si > 0 1 si 0

Luis Zegarra Relaciones funciones 55 i) Hallar una fórmula para (f g) () ii) Grafique: f, g f g. Solución. f(1) si > 0 i) f(g()) = f(1 ) si 0 0 si 1 1 1 si 1 < 1 si 1 1 1 + si 1 < 1 ii) Note que: ( > 0 1 1) > 0; ( > 0 1 < 1) ; ( 0 1 1) 0; ( 0 1 < 1) por tanto 0 si > 0 f(g()) = si 0 7. Sea f : R } R } una función dada por f() = 1 + Demuestre que eiste f 1 encuentre una fórmula para ella. Solución. Por demostrar que f es uno a uno sobre i) Uno a uno: 1, R }, f( 1 ) = f( ) 1 1 1 + = 1 + 1 + 4 1 = 1 + 4 1 1 = lo que prueba que f es uno a uno. ii) Sobre: R }, = 1+ / f() = (1+ ) 1 1+ + = 5 5 =, lo que prueba que f es sobre. Por tanto eiste f 1 la fórmula que la define es f 1 () = 1+, f 1 : R } R }. 8. Sean f : R R g : [ 1, + ) dos funciones dadas por: f() = si 4 si > g() = 1 si 0 1 si > 0 Demuestre que f es invertible halle una fórmula para Solución. Uno a uno: Debemos considerar necesariamente 3 casos: (f 1 g) () i) 1, (, ], f( 1 ) = f( ) 1 = 1 = ii) 1, (, + ], f( 1 ) = f( ) 4 1 = 4 1 =

Luis Zegarra Relaciones funciones 56 iii) 1 (, ] (, + ], como 1 vamos a demostrar que f( 1 ) f( ); supongamos que f( 1 ) = f( ) para 1 indicados, esto implica que 1 = 4 1 = pero 1 < lo que contradice la hipótesis, luego lo supuesto es erróneo por tanto f( 1 ) f( ) 1 Sobre: = = 0, (1) > = 4 = 1(4 ) 1 (4 ) > < 0, () luego por (1) ()se tiene que Rec f = R, lo que prueba que f es sobre. Intercambiando por en (1) (), se tiene: f 1 si 0 () = si < 0 Fórmula para (f 1 g) () f 1 ( 1) si 0 (f 1 g) () = f 1 ( 1) si > 0 ( 1) si 1 0 ( 1) si 1 < 0 ( 1) si 1 0 1 si 1 < 0 Ahora como: ( 0 1 0) ; ( 0 1 < 0) 0; ( > 0 1 0) 1; ( > 0 1 < 0) 0 < < 1) luego 5 si 0 (f 1 5 g) () = si 0 < < 1 3 si 1 9. Dadas en R : f() =, g() = 1 h() = sen a) Calcule: (f+g)( ), (fg) ( π 3 ), ( h g ) (π ( ), (f h) π ( 6) (g h) π ) 3 b) Hallar el dominio de: f + g, g h, h g, g g g fh Solución. a) (f + g)( ) = f( ) + g( ) = ( ) + 1 = 7 (fg) ( ( π 3) = f π ( 3) g π ( 3) = π 3 3) = π π 3 ( h g ) (π (f h) ( π ) = h( π ) 6 g( π ) = sen π π ) = f(h( π = π 6 )) = f(senπ 6 ) = f(1 ) = 1 4 (g h) ( ) π 3 = g(h( π )) = 3 g(senπ) = g( 3 ) = 3 3

Luis Zegarra Relaciones funciones 57 b) Como Dom (f + g) =Dom f Dom g; Dom f = R, Dom g = R 0} entonces Dom (f + g) = R 0} Dom (g h) = R : Dom h h() Dom g }, como (g h)() = g(sen ) = 1 sen Dom (g h) = R : kπ, k Z }, de igual forma como (h g) () = sen ( 1 ) Dom (h g) = R : 0 } ( g g) () = g( 1 ) =, aparentemente R, pero de la definición Dom g Dom (g g) = R 0}. 10. Sean f g dos funciones definidas en R por: f() = + si < 0, g() = si 0 Demuestre que: Solución. f g = g f Recordemos que: = si 0 si < 0 i) < 0, (f g)() = f(g()) = f() = +( ) = 0 0, (f g)() = f(g()) = f( ) = + =, por otra parte ii) < 0, (g f)() = g(f()) = g(0) = 0 = 0 0, (g f) () = g(f()) = g() = Por i) ii) se conclue que: (f g) () = (g f)() = 0 si < 0 si 0 11. Dados a, b, c d constantes reales, donde f() = a + b; g() = c + d. Encuentre la condición necesaria suficiente para tales constantes de modo que f g = g f Solución. (f g) () = (g f)() f(c + d) = g(a + b) a(c + d) + b = c(a + b) + d ac + ad + b = ca + cb + d ad + b = cb + d, que es la condición pedida. 3 si 1. Se define f : R R, por f() = 4 si < a) Pruebe que f es biectiva b) Determine una fórmula para f 1 luego grafique f f 1 en el mismo sistema.

Luis Zegarra Relaciones funciones 58 Solución. a) Debemos probar que f es: uno a uno sobre f es biectiva, Uno a uno: i) 1,, f ( 1 ) = f ( ) 1 3 1 = 3 ( 1 ) ( 1 + 3) = 0, ahora notemos que 1 + 3 1 pues 1, entonces 1 = ii) 1, <, f ( 1 ) = f ( ) 1 4 = 4 1 = iii) 1 < como 1 probaremos que f ( 1 ) f ( ) suponiendo para ello que f ( 1 ) = f ( ) 1 3 1 = 4 = ( 1 3 ) + 7 4 pero < ( 1 3 ) + 7 4 < ( 1 3 ) < 1 4 1 < lo que contradice la hipótesis, luego f ( 1 ) f ( ), 1. Por i), ii) iii) se conclue que f es uno a uno. Sobre: i) = 3 ( 3 ) 9 4 = = 3 ± + 9 4 como 3 + + 9 4 + 9 4 1, (1) ii) < = 4 = + 4 pero < + 4 < <, () Por (1) () concluimos que el Rec f = R, lo que prueba que f es sobre. b) De (1) permutando por se tiene = 3 + + 9 4, análogamente de () se tiene = + 4, <, en resumen 3 f 1 () = + + 9 si 4 + 4 si < = -3 = 3 = + + 3 4-4 - 1 3 - Figura.19: Gráficos de f f 1 13. El perímetro de un rectángulo de lados e es dado, determine la función que calcula el área del rectángulo en términos del lado. Solución. Sea P el perímetro del rectángulo de lados e A su área, entonces

Luis Zegarra Relaciones funciones 59 P = + (1),por otra parte A = (),de (1) = P A = ( P ) note que 0 < < P 14. Un espejo rectangular de lados 80 cm. 100 cm. se rompe en una esquina como se indica en la Figura.0. Determine el área de la sección achurada en la Figura.1 en términos de una sola variable ( o ). 80 100 80-100 100-1 (,) 1 0 10 10 Figura.0: Espejo roto Figura.1: Area a calcular Solución. Notemos que la función que determina el área esta dada por A = (80 )(100 ) Por otra parte de la fig. ()se tiene = 1 = 1 1 6 por lo tanto A() = (80 ) ( 100 1 + 6 ) = (80 ) (88 + 5 5 ) con 0 10. 6 5 15. En el cuadrado ABCD de lado AB = se traza una recta MN perpendicular a la diagonal AC. Sea la distancia desde el vértice A a la recta MN, epresar en función de el área S del triángulo AMN que se saca del cuadrado por medio de la recta MN. Hallar esta área para = para =. Solución. D A N C M B Figura.: Cuadrado ABCD Obsérvese que AC = 0 = 4 ( ) S () = + 4 4, por tanto si 0 S () = + 4 4 si Como: < ( ) S = ( ) = 1 S () = + 4 4 = 8( 1)

Luis Zegarra Relaciones funciones 60 16. Se quiere unir dos puntos A B mediante un cable de fibra óptica, los que se encuentran separados por un río de orillas paralelas, A en una orilla B en la otra distantes 50 km. entre si, el río es de 1 km. de ancho. Si se sabe que el costo por km. de cable por el agua es, el doble más caro que por tierra. Determine la función de costo que se puede plantear. 50 B A 1+ 1 Figura.3: Ejercicio 16 Solución. Sean $ p el costo de km. de cable por tierra, entonces $ p el costo de km. de cable por el agua sea C() la función de costo a determinar. Por tanto se tiene: C () = p 1 + + p (50 ), con 0 50 fig. 17. Un triángulo isósceles tiene uno de sus vértices en el punto (0, 1) los otros dos vértices en la parábola = 4, determine la función que calcula el área del triángulo en términos de la variable. 4 (,) - 1 Figura.4: Ejercicio 17 Solución. De la figura se tiene: A() = ( 1) = (4 1),si 0 < 3 = (3 ) A() = (1 ) = ( 3), si 3 <, en resumen: A() = 3, : 0.13. Ejercicios Propuestos 1. Determine el dominio recorrido de las siguientes funciones definidas en los reales.

Luis Zegarra Relaciones funciones 61 a) f() = 4 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = 1 1 f) f() = 1 +1 g) f() = 4 h) f() = 4 +1 Respuestas. a) Dom f = R, Rec f = (, 4] b) Dom f = R, Rec f = [ 1,+ ) c) Dom f = R, Rec f = [0,+ ) d) Dom f = R 0}, Rec f = R 1} e) Dom f = (, 3) ( 3, 1), Rec f = (, 0) [ 1, + ) f) Dom f = R, Rec f = R 1} g) Dom f = [ 4, 4], Rec f = [0, ] h) Dom f = R 3, 1},Rec f = (, 0) [, + ).. Dada la relación f en R, por f () = + 6 9 a) Es función? si no lo es encontrar el maor subconjunto de R, tal que sea su dominio para que sea una función. b) Determine el dominio recorrido de f tal que sea biectiva encuentre una fórmula para f 1 (). a) Dom f = R ±3}, b) Dom f = R ±3}, Rec f = R 5 6, 1}; f 1 () = 3+ 1 3. Sean las funciones f g tales que f () = g () = a +b. Determine a b, de modo que f g = g f, R. ( a = 0 b = 3± 17 ) ( a = 1 b = 0 ) 4. Sea f : R R una función definida por f () = 3 + 4, demuestre que f es biectiva encuentre una fórmula para f 1. f 1 () = 1 ( 4) 3

Luis Zegarra Relaciones funciones 6 5. Sea f : R 1} R 1 3 } una función dada por f () = probar +1 que f es uno a uno sobre luego hallar una fórmula para f 1. f 1 () = +3 1 6. Sean f g funciones de R R, definidas por: + si 1 si > 1 f() = g() = si > 0 si 1 a) Demostrar que f es biectiva. b) Hallar fórmula para f 1. c) Grafique f f 1 en un solo sistema. d) Determine una fórmula para g f 1 c) = = 4 = - 4 6 =+ - d)(g f 1 ) = Figura.5: Gráfico de f f 1 1 si > 3 0 si 3 7. Sean A = [ 4, 4]; B = [0, 4] C = [ 4, 0]; R 1 : A B; R : A C; R 3 : B A R 4 : B C. Dada R i = (, ) : + = 16 } i = 1,, 3, 4 representar R i en un plano cartesiano establecer si la relación es o no una función. R 1, R R 4 son funciones. 8. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones de R R, justifique. Grafique R 1, R R 3. a) R 1 = (, ) : 3 + 5 = 8 } b) R = (, ) : + > 1 } c) R 3 = (, ) : = }

Luis Zegarra Relaciones funciones 63 d) R 4 = (, ) : = 0 } e) R 5 = (, ) : 3 3 = 0 } R 1, R 3 R 5 son funciones. 9. Cada una de las siguientes fórmulas define una función de R R. Hacer el gráfico de cada una de ellas en el plano cartesiano. a) f () = 1 b) f () = 1 c) f () = 1 d) f () = 1 si e) f () = 4 si 6 < + 10 si < 6 + 1 si f ) f () = 1 si > 10. Dadas las funciones f () = +1; g () = sen h () = 1 Hallar: f (5); g ( π 6) ; h (10); (f g) ( π ) ; (g f) (1);(f h) (17); (f g h) () ; (f h g) () ; (g f h) () ; (f+g) () ; (h g) () ; ( g ) () ; [h (f+g)] () f f( + k) f () ; f (5) = 6; g ( π 6 1 [h( + k) h ()]. k ) = 1 ; h (10) = 3; (f g)( π ) = ; (g f) (1) = sen ; (f h) (17) = 17; (f g h) () = sen 1 + 1; (f h g) () = sen note que en este caso = kπ + π, k Z luego (f h g) () = 1; (g f h) () = sen, 1; (f +g) () = +1+sen ; (h g) () = 1 sen ; ( g f ) () = sen +1 ; [h (f + g)] () = + 1 + sen f( + k) f () = k + k ; 1 k [h( + k) h ()] = 1 +k 1 1 11. Sea f : R R definida por si f ()= si > Pruebe que f es biectiva luego encuentre una fórmula para f 1. f 1 si 0 () = 1 + 1 si < 0

Luis Zegarra Relaciones funciones 64 1. Sean f : X Y g: Y X funciones tales que g f es la identidad en X. Pruebe que f es uno a uno g es sobre. 13. Averigue si la función f : R R definida por si 3 f ()= 1 si > 3 tiene función inversa R. No tiene inversa, pues no es sobre. 14. Sean f g dos funciones en R, dadas por: si g () = si < > determine una fórmula para (f g)(). (f g)() = 1 si 1 3 0 si > 3 < 1 15. Sea f g : R R definida por (f g)() = a + b; f g polinomios de grado 1 i) Si f () = c + d, c 0; determine la función g(). ii) Si g() = p, p 0; determine f (). i) g () = 1 (a + b d) c ii) f () = a + b p 16. Sea f : R R dada por f () = 1 + 3 f g f : R R tal que 3 (f g f) () = 6 9. Determine g (), si g es un polinomio de grado 1. g () = 54 198. 17. Para qué números a, b, c, d la función f() = a+d c+b satisface (f f) () =, R. (a = b 0 c = d = 0) (a = b con a + cd 0) 18. a) Suponga f() = + 1. Eisten funciones g() tales que f g = g f?

Luis Zegarra Relaciones funciones 65 b) Suponga que f es una función constante. Para qué funciones g se cumple que f g = g f? c) Supóngase que f g = g f para todas las funciones g. Demostrar que f es la función identidad. a) b) g() = 19. Demostrar que si: f : A B g : B C son funciones uno a uno, entonces la función g f : A C es uno a uno. 0. Sea A = [0, + ) dadas las funciones f, g h de A A por f () = ; g () = 3 + 1 h () = Cuál(es) de estas funciones es sobre? Solo f. 1. Sea f : R R + 0} dada por (1 ) si 1 f() = + 1 si > 1 Averiguar si f es uno a uno o sobre. f es sobre pero no es uno a uno.. Sea f definida en R por si 1 f() = ( + 1) si > 1 Demuestre que eiste grafique f f 1. f 1 si 1 () = 1 ( + 1) si < 1 3. Sea f : R R una función tal que: f 1 luego determine una fórmula para ella, f () = 3 si 1 f 1 () = 8 si > 3 demuestre que f es biectiva. 4. En R se definen las funciones f g por + si > 0 + 5 si > 3 f () = g () = + si 0 si 3 a) Muestre que f es biectiva que g no lo es. b) Determine fórmulas para: f g g f.

Luis Zegarra Relaciones funciones 66 + 9 si > 1 b) (g f) () = ( + ) si 0 < 0 ( + ) si 0 5. Demostrar que si f : A B g : B C tienen inversas, entonces (g f) 1 = f 1 g 1. 6. a) Demostrar que para la función f() = 1 1, con 0 1 se tiene f () = f(1 ) b) Sea g () = + 5, R calcúlese f g g f siendo f la función definida en a). 7. Dada f () = a b, determine las condiciones necesarias suficientes c+d entre las constantes a, b, c d para que se verifique (f f 1 ) = indicando además el dominio recorrido de f. ad + bc 0; Dom f = R b }, Rec f = R a }, c 0. c c 8. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro es de 5m., encontrar la función que epresa el área de la ventana en términos de la longitud de la base del rectángulo. A() = 5 1 8 ( 4 + π). 9. Un rectángulo se encuentra inscrito en una circunferencia de radio r. Determine la función que calcula su área en términos de la longitud de uno de sus lados. A () = 4 r, 0 < < r. 30. Un triángulo tiene dos de sus vértices en los puntos (0, 0) (4, 0).Su tercer vértice se encuentra en la curva = 1. Determine la función que calcula el área del triángulo en términos de la abscisa del tercer vértice. A () =, > 0. 31. La función f() está definida para 0 1. Cúales son los dominios de definición de las funciones siguientes?: f(3 ), f( 5), f( + 3), f(1 + ) 3f(). 1 3 1 3, 5 6, 3 1, = 0, 0 1.