1. Ejercicios propuestos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT0) Semestre de 05 er Semana 3: Guía de Ejercicios de Cálculo, lunes 3 viernes 7 de Marzo Contenidos Clase : Funciones: Dominio, recorrido, gráco. Ejemplos. Clase : Igualdad de funciones. Álgebra de Funciones. Funciones par e impar, crecientes, decrecientes.. Ejercicios propuestos.. En un triángulo equilátero de lado a se inscribe un rectángulo, de modo que una de las aristas del rectángulo está en la base del triángulo. Al hacer rotar este rectángulo en torno a la base del triángulo, se obtiene un cilindro. Determine una expresión para el volumen de este cilindro, en función del radio del mismo... Repita el problema anterior considerando que el triángulo es isósceles, de longitud de base b..3. Determine el Dom(f) R el Rec(f) R para las siguientes funciones: a) f(x) = x + x b) f(x) = + [x] c) f(x) = x d) f(x) = x x e) f(x) = x x f) f(x) = x + x g) f(x) = x x h) f(x) = x + [x] i) f(x) = x + x j) f(x) = (x [x]) + [x] k) f(x) = x + x l) f(x) = (x ) 4 m) f(x) = n) f(x) = x [x] x x.4. Estudie el dominio recorrido de la función f(x) = 3 8+x MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo)

2 .5. Sea f(x) = + 3x+. Determine Dom f, Rec (f), verique si existe x R tal que f(x) = Sea la función g(x) = x + x ; encontrar dominio recorrido de g. Graque la curva, usando como auda la gráca de f(x) =. x.7. Suponga que f : R R es una función impar que satisface f (x) = x x + para x 0. Determine su recorrido gracar la función g (x) = f (x ).8. Sea f : R R una función impar tal que a) Determine la expresión de f para x < 0. b) Encontrar el recorrido de f : R R c) ¾Es f monótona? f (x) = + x para x 0.9. Un río tiene un ancho de 4 kilómetros. En una orilla está una empresa eléctrica A; 0 kilómetros río arriba, en la otra orilla del río, ha una fábrica B. La fábrica precisa hacer una conexión eléctrica desde A. La instalación por tierra vale US$5 el km bajo el agua del río, US$4 el kilómetro. Si se realiza una conexión, desde A, de x kilómetros por tierra, desde este punto nal a B, bajo el agua del rio. Determinar la función costo en términos de los x kilómetros de conexión por tierra determine su dominio..0. Un frasco de perfume de forma cilíndrica en su base cónica en su parte superior,cuas medidas son altura del cilindro igual a 3 cm, la altura del cono igual a cm diámetro basal cm. El frasco contiene un líquido. Si el nivel del líquido es x, determinar el volumen de líquido en el frasco en términos de x. Determine el dominio recorrido del Volumen... En una esfera se inscribe un cono (regular recto). Determine la función volumen del cono en términos del ángulo del vértice... Sea Interpretar lo siguiente: a) f (f (x)) (¾Para que x tiene sentido?) b) f ( ) x c) f (cx) d) f (x + ) e) f (x) + f () f (x) = + x MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo)

3 .3. A partir de la gráca de la función: f (x) = x Deducir la gráca de la función: f (x) = x.4. En base a la función f (x) = x deducir la gráca de las funciones: a) f (x) = x b) f (x) = x + c) f (x) = x +. Ejercicios resueltos o con el resultado.. Una pared de 0 pies se halla a 5 pies de distancia de un edicio.una escalera, apoada en la pared, toca el edicio como se muestra en la gura. Exprese la longitud de la escalera como una función de x... El producto de dos números positivos es 50. Exprese su suma como función del número..3. Exprese el área del rectángulo sombreado en función de x.4. Si f (x) = x+ x F (x) = x f()+f () x+, hallar f()f (). MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 3

4 .5. El número de diagonales en un polígono de n lados es dada por la función d(n) = n(n 3). Determinar el número de lados del polígono si su número de diagonales es Estudie el dominio recorrido de f(x) = x + 3x +.7. Considere la función f : D R R x f (x) = x si x < 0 (x ) si 0 x < x si x Determine dominio, recorrido. Analizar la paridad de esta función si es monótona. Gracar..8. Muestre que la función es estrictamente creciente en su dominio. f : R R x f (x) = ( x + x + x ).9. Utilizando la gráca de la función f : R R, x f (x) = sin x gracar la función g : R R x g (x) = 3 ( ) sin x + π 4 MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 4

5 Respuestas desarrollos. L(x) = x+5 x x S(x) = x + 50 x con x > 0..3 S(x) = x x con x [0, 4] Como sabemos que el número de diagonales es 90 entonces d(n) = 90 debemos buscar qué n satisface la ecuación: 90 = n(n 3) ó n 3n 80 = 0. Resolviéndola con la fórmula de raices de una función cuadrática se obtiene. n = 3± = 3±7. Como n es un natural entonces n = 5..6 Dominio: R ; no ha indeniciones. Recorrido: La función es una función cuadrática tiene un valor mínimo, pues a > 0. El mínimo se logra en x = b a = 3 el mínimo es : f( 3 ) = 5. Luego Rec(f) = [ 5, [..7 f es una función denida por tramos, el dominio de esta función es la unión de los dominios de la funciones de los tramos. Si f : D R R f (x) = x si x < 0 x f (x) = f (x) = (x ) si 0 x < entonces así Dom (f ) = Dom (f ) = = R f 3 (x) = } x R : x R x si x } x [0, [ : (x ) R = [0, [ Dom (f 3 ) = x [, + [ : x R } = [, + [ Dom (f) = Dom (f ) Dom (f ) Dom (f 3 ) = R [0, [ [, + [ = R Ahora determinemos el recorrido de f que corresponde a la unión de recorridos de las funciones f, f f 3. MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 5

6 Se tiene: nalmente se sigue que Rec (f ) = = Rec (f ) = R : x R, = } x = R : x R, x = } = R : x R, x = + } = R : x R, x = + } = R : + } < 0 = R : + } < 0 = ], 0[ R : x [0, [, = (x ) } R : x [0, [, = (x ) } = R : x [0, [, = x, 0 } = R : x [0, [, ± = x, 0 } = R : ( 0 < 0 + < ) 0 } = R : ( < 0 < 0 ) 0 } = R : ( < 0 ) 0 } = R : ( > 0 ) 0 } = R : ( > 0) 0} = R : < 0} = [, 0[ Rec (f 3 ) = R : x [, [, = x } = R : x [, [, + = x 0 } = R : + 0 } = R : 0} = [0, + [ Rec (f) = Rec (f ) Rec (f ) Rec (f 3 ) = ], 0[ [, 0[ [0, + [ = [, + [ Esta función no es par ni impar tampoco monótona (se puede argumentar que no es monótona analizando la intersección de recorridos), note que cada función f i es monótona en su intervalo de denición..8 La función esta bien denida si x 0 x 0 x 0 esto es x. Sean u, v [, + [ tales u < v entonces u < v u < v u < v MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 6

7 pues es una función estrictamente creciente en su dominio, de manera similar u < v u < v u < v u < v u < v se sigue u < v u + u + u < v + v + v como u + u + u > 0 se sigue u < v ( u + u + u ) ( ) < v + v + v esto es u < v f (u) < f (v).9 MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 7