secundaria FUNDAMENTAL Solucionario desarrollado
Presentación Estimado maestro: En la búsqueda de facilitar la labor docente, Ediciones Castillo pone a su alcance el presente Solucionario desarrollado como complemento de la Guía para el maestro. En este Solucionario encontrará respuestas detalladas que le permitirán profundizar en la reflexión de los contenidos y en el análisis de las conclusiones que los alumnos obtengan al resolver las actividades del libro de texto. Asimismo, se muestran las operaciones y cálculos completos de los ejercicios numéricos. En cuanto a las evaluaciones de los bloques se incluyen los argumentos que dan validez a las respuestas. En cada bloque las respuestas se organizan por página del libro de texto y sus actividades correspondientes, las cuales se representan en una miniatura en los costados. Confiamos en la utilidad de este material didáctico para favorecer el trabajo dentro del aula y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
inicial onstruye 22 Bloque Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Situación inicial mismo tono, adquirió en la tienda 0. de litro de la misma pintura amarilla y completó el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. Explica cuál fue el error de Alejandro. Analiza. En parejas, respondan lo siguiente. a) Qué representa de una unidad? b) Qué representa 0. de una unidad? c) De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos mezclas no son iguales? 2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué. Explora y construye En el sistema decimal, el valor de un dígito en un número depende de su posición en éste; es decir, el sistema decimal es posicional. En parejas, respondan lo siguiente. a) El valor del dígito 2 es diferente en el número 0.2 que en el número 2. En qué consiste esta diferencia? b) Y cuál es la diferencia del valor de este dígito en los números 0.2 y 0.02? Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su izquierda. c) Qué obtienen al multiplicar 0. por 0? SFUMASB_B.indd 22 0/0/2 0:29 Lección d) Y al multiplicar.2 por 0? Lo que ya sabes e) Por qué número deben multiplicar.2 para obtener 2? Para obtener fracciones equivalentes f) Por qué número deben multiplicar 2.49 para obtener 2 49? se pueden dividir g) Por qué número deben dividir 2 49 para obtener 2.49? (o multiplicar) el numerador y el h) Expresen la operación del inciso anterior como una fracción. denominador de una fracción por i) Qué fracción con denominador 00 tiene el mismo valor que.2? el mismo número j) Qué fracción con denominador 0 tiene el mismo valor que 0.? entero. Explica por qué es equivalente a, y es 40 Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 0 o sus múltiplos 00, 000, 0 000,... son y entre 40 sí? Por qué? 2 En grupo, escriban varios números decimales en el pizarrón y para cada uno den una fracción decimal que tenga el mismo valor. Haz la siguiente suma: 0.6 + 0.07 + 0.00. a) Qué número obtienes? b) Escribe el número anterior como suma de tres fracciones decimales cuyo numerador conste de una sola cifra. c) Escribe el resultado de la suma anterior como una fracción con denominador 000. 4 Escribe en tu cuaderno cómo convertir un número decimal a una fracción decimal y discute tu propuesta en grupo. Haz lo siguiente. a) Escribe una fracción decimal que valga lo mismo que 0. con denominador 2. c) Encuentra otra fracción que tenga el mismo valor que 0 y cuyo denominador sea distinto de 2. d) Escribe al menos tres fracciones que tengan el mismo valor que el número 0. y cuyo denominador no sea 0, 00, 000, e) Convierte los siguientes números decimales a fracciones cuyo denominador no sea 0, 00, 000, 2.76 =.4 =.7 = 2. = f) Es posible expresar el número 2. como una fracción cuyo denominador no sea 0, 00, 000,? Por qué? SFUMASB_B.indd 2 0/0/2 0:29 2 4 Bloque / MATEMÁTICAS BLOQUE. Fracciones y decimales L Décimos y fracciones de litro Alejandro pintó un muro de su casa, para lo cual preparó un litro de pintura con de litro de pintura amarilla y el resto de pintura blanca. Para pintar otro muro con el Fracciones y decimales Página 22 Situación inicial De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes 22 Analiza. a) La tercera parte de la unidad. Si la unidad se divide en tres partes, tomar un tercio significa tomar una de esas tres partes. b) Tres décimas partes de la unidad. Si la unidad se divide en 0 partes, al tomar tres décimos se toman de esas 0 partes. Hay que recordar que 0. es equivalente a 0. c) Mostrando que es distinto de 0.. Si fuera igual que 0., se tendría que cumplir que 0. + 0. + 0. =, porque + + = =, pero eso no es cierto, ya que 0. + 0. + 0. = 0.9. Por lo tanto 0. y no son iguales. 2. El muro con el tono amarillo más intenso tiene mayor cantidad de pintura amarilla en la mezcla. Como se aprecia en + + = y 0. + 0. + 0. = 0.9; tres veces es, y tres veces 0. es 0.9. Como es mayor que 0.9, entonces es mayor que 0.. Cuando se divide entre se advierte que el cociente tiene al menos una cifra decimal más que 0.; por ejemplo, se puede dividir hasta obtener 0.. Las cifras de este número son mayores que las de 0.000. b) Encuentra una fracción equivalente a 0 2 equivalente a. Entonces, cómo La conversión de decimales a fracciones decimales y sus equivalentes. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en el número 2 representa dos unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2, ya que 2 = 0.2. Conviene advertir que el dígito 2 0 en el número 0.2 vale 0 veces menos de lo que vale en el número 2. b) En el número 0.2 el digito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes de la unidad. Además, 0.02 es la décima parte de 0.2, ya que 0.2 = 0.02, y por lo tanto el dígito 2 en el 0 número 0.02 vale 0 veces menos que en el número 0.2. c) El dígito en el número 0. vale diez veces menos de lo que vale en el número. Página 2 d) 2. No olvidemos que cuando se multiplica una potencia de 0 (es decir 0, 00, 000, ) por un número se recorre el punto hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia de 0; si quedan lugares vacíos se llenan con ceros. Así que al multiplicar.2 por 0 el punto se recorre un lugar. e) 00 Como el punto se recorrió dos lugares hacia la derecha la potencia de 0 debe tener dos ceros, así que es 00. f) 000 Como el punto se recorrió tres lugares hacia la derecha la potencia de 0 debe tener tres ceros, así que es 000.
Bloque / MATEMÁTICAS g) 000 Cuando se divide un número entre una potencia de 0 (es decir 0, 00, 000, ) el punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga dicha potencia; si quedan lugares vacíos se llenan con ceros. Por lo tanto la potencia de 0 que se necesita es 000, ya que tiene tres ceros y ésos son los lugares que se movió el punto hacia la izquierda en 2 49 para obtener 2.49. h) 249 000 2 i) 00 j) 0 2. Respuesta libre.. a) 0.67 b) 6 0 + 7 00 + 000. 67 c) 000 Para sumar fracciones es necesario que todas tengan el mismo denominador, así que se deben encontrar fracciones equivalentes cuyo denominador sea 000 y se suman 6 0 = 6 00 0 00 = 600 000 7 00 = 7 0 00 0 = 70 000 600 000 + 70 000 + 000 = 67 000 4. El estudiante debe deducir que cuando el número decimal tiene, 2,, cifras decimales el denominador de la fracción es 0, 00, 000, El numerador de la fracción serán los dígitos del número decimal sin tomar en cuenta el punto. El denominador será la potencia de 0 que tenga tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal. Por ejemplo, al convertir 0.0, el numerador será y el denominador 000.. a) 0 b) 2 Las fracciones son equivalentes porque 0 = 0 = 2. c) Cualquier fracción equivalente a 2. Para encontrar las fracciones se puede multiplicar cualquier número por el numerador y el denominador de. Por ejemplo, si se usa la fracción equivalente a 2 0 es 6, porque: 2 = 2 = 6 d) Fracciones equivalentes a 2, como: 6, 4, 6 2. También se pueden calcular fracciones equivalentes a partir de 20, por ejemplo 0 40, ya que: 0 = 0 = 2 e) Fracciones no decimales. Ejemplos: 2.76 = 9 2 Porque 276 00 = 276 4 00 4 = 9 2..4 = 7 Porque 4 0 = 4 2 0 2 = 7..7 = 29 0 Porque 7 00 = 7 2 00 2 = 29 0. 2. = 4 20 Porque 2 00 = 2 00 = 4 20. f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de 2 por un 0 número diferente de 0, 00, 000, para obtener una fracción equivalente, por ejemplo 42 20. Hay que notar que no se puede encontrar una fracción equivalente a 2 dividiendo el 0
24 Bloque Busca en... la primera de las siguientes páginas la fracción equivalente a una expresión decimal y, en la segunda, el decimal equivalente a una fracción: www.edutics.mx/ Zoz www.edutics.mx/ ZoK Se simplifica una fracción cuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción es irreducible. g) Convierte los siguientes números decimales a fracciones irreducibles. 0.4 =.6 = 0. = 2.2 = 6 En parejas, escriban en su cuaderno un procedimiento para convertir números decimales a fracciones cuyo denominador no sea 0, 00, 000, etc., en los casos que sea posible. 7 En grupo, escriban algunos números decimales en el pizarrón y conviértanlos en su equivalente en fracciones. Comenten cuántas fracciones con el mismo valor podrían encontrar para cada número decimal. En parejas, y sin usar la calculadora, respondan lo siguiente. a) Dividan 2 entre 0 hasta que obtengan residuo cero y escriban 2 en su equivalente en número decimal. 0 b) Escriban 6 0 y 76 en forma decimal. 00 2 Validen sus respuestas anteriores con la calculadora. En grupo, discutan un procedimiento para convertir una fracción decimal en su equivalente en número decimal y escríbanlo en su cuaderno. 4 En parejas, realicen lo siguiente. a) Sin usar la calculadora, dividan 2 entre hasta que obtengan residuo cero en su equivalente en número decimal. b) Escriban las siguientes fracciones en su equivalente en número decimal. 4 = 4 = = 4 = c) Verifiquen sus respuestas a los incisos anteriores con la calculadora. Respondan lo siguiente. dividiendo 2 entre sin usar calculadora. Pueden terminar de dividir? Por qué? b) Consideren la fracción 42. Dividan entre 42, sin usar la calculadora, hasta obtener cifras después del punto decimal. Qué observan? SFUMASB_B.indd 24 0/0/2 0:29 6 Bloque / MATEMÁTICAS numerador y el denominador entre el mismo número, pues 2 y 0 no tienen divisores en común. De fracción a decimales y escriban 2 a) Analicen la fracción 2 24 Página 24 g) Fracciones irreducibles. 0.4 = 9 20 4 Porque 00 = 4 00 = 9 ; como 9 y 20 no tienen divisores en común la fracción 20 ya no se puede simplificar..6 =, porque 6 0 = 6 2 = 0 2 0. = 0 Los números y 0 no tienen divisores en común, de ahí que la fracción no se pueda simplificar. 2.2 = 9 22 22 2, porque = 4 00 00 2 = 9 4. 6. Se convierte el número decimal a una fracción decimal. Luego, si es posible, se simplifica al máximo la fracción. Si la fracción no se puede simplificar, se multiplica tanto el numerador como el denominador por cualquier número diferente de 0, 00, 000,... para obtener una fracción equivalente. 7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que la cantidad de números (, 2,, ) que pueden multiplicar al numerador y al denominador de una fracción es infinita. De fracciones a decimales. a) 0.2 0.2 0 20 20 0 b) 6 0 =.6; 76 00 = 0.76 En 6 el denominador 0 tiene un cero, de ahí que se recorra el punto un lugar hacia la 0 76 izquierda. En el denominador 00 tiene dos ceros, por lo tanto se recorre el punto 00 dos lugares hacia la izquierda. 2. Respuesta libre.. Un método consiste en recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador. 4. a) 0.4 0.4 20 20 0 b) 4 = 0.2 0.2 4 0 20 20 0 4 = 0.7 0.7 4 0 2 20 20 0 = 0.2 0.2 0 20 6 40 40 0
Cuál es el residuo de la división? Podrán llegar a obtener cero como residuo, es decir, terminar de dividir? Por qué? Lección Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero. Este tipo de números se llaman números decimales finitos. Por otro lado, en la actividad, al intentar convertir las fracciones 2 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama números decimales periódicos. Si se divide 2 entre para obtener el número equivalente a la fracción 2 90476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden representar de la siguiente manera: 2 = 0.666 = 0.6 y 42 = 0.90476 = 0.90476, donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces. Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos: Números decimales periódicos puros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6. Números decimales periódicos mixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número 0.90476. 6 Encuentren el número decimal equivalente de cada una las siguientes fracciones. Toma nota 22 = b) 99 = c) = d) 2 = Localiza los siguientes conceptos en el glosario (págs. 272-276) y anota 7 Indiquen si el número decimal equivalente de cada una de las siguientes fracciones es finito, periódico puro o periódico mixto. Luego, sin usar la calculadora, labras una explica- con tus propias pa- verifiquen su respuesta. ción y un ejemplo de cada uno: a) 7 0 = b) 7 = c) 2 = Fracción decimal Escritura decimal de un número En grupo, con ayuda de una calculadora obtengan tres fracciones de modo que Fracción irreducible una de ellas tenga como equivalente un número decimal finito, otra un número decimal periódico puro y la tercera un número decimal periódico mixto. 2 SFUMASB_B.indd 2 0/0/2 0:29 Bloque / MATEMÁTICAS 7 4 = 0. 0. 40 40 0. a) No, porque en cada paso de la división se obtiene el mismo residuo, que es 2, y como es distinto de cero el procedimiento no termina. 0.66 20 20 2 b) Después de la primera cifra decimal, que es, se repiten las cifras 90476. 0.9047690476 42 0 4 0 42 0 7 200 6 20 294 260 22 0 42 0 7 200 6 20 294 260 22 Los residuos se empiezan a repetir. Página 2 Al calcular cifras decimales del cociente el residuo que queda es. No, porque se repiten los residuos cada seis pasos. 6. a) 4 = 0.7 b) 22 99 = 2.4 Aunque se continúe haciendo la división nunca se obtendrá cero como residuo, pues siempre será 4 o 4. Las cifras que se repiten en el cociente son 4, así que sobre ellas se pone una raya también llamada vínculo. 0.244 99 22-9 40-99 40-96 40-99 40-96 4 se obtiene 0.666, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 42, ya que ésta vale lo mismo que el número 0.90476, en el que la agrupación de cifras a) 4 2
Bloque / matemáticas c) = 0.09 Las cifras que se repiten en el cociente son 09 o 90. Se sabe que si se sigue haciendo la división se volverán a repetir, ya que se obtuvo nuevamente como residuo. 0.090909 00 99 00 99 00 99 d) 2 = 0.6 La cifra que se repite es 6, y sabemos que se seguirá repitiendo pues se obtuvo nuevamente 2 como residuo. 0.66 20 20 2 7. a) Periódico mixto. Entonces 7 0 = 0.2. b) Periódico puro. 0.2 0 70 60 00 90 00 90 0 0.427 7 0 7 0 2 20 4 60 6 40 0 49 0 7 Entonces = 0.427. En la división se aprecia que nuevamente el residuo fue, lo 7 cual indica que se repetirán nuevamente todas las cifras. c) Finito. 4.2 2 4 0 24 60 60 0. Ejemplo de decimal finito: 9, de decimal periódico puro: 9, y de decimal periódico mixto: 9 0.
26 Bloque En parejas, consideren el número decimal 0.2 y respondan lo que se pide. a) Cuáles son los dígitos que se repiten? b) Por qué no se puede convertir ese número decimal en su equivalente en fracción con el método que aprendieron en la sección De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes? Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo de aproximación es. Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la última cifra. De ahí hay tres casos: Si ese dígito es menor que, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo,.422.42 Si el dígito es mayor que, al dígito anterior se le suma un. Por ejemplo,.42.4 Si el dígito es igual a, se considera el dígito anterior y se acostumbra que: i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.2 24.2 ii) Si ese dígito es impar, se le suma un. Por ejemplo, 24. 24.4 c) Redondeen 0.2 a cifras después del punto decimal y escriban a continuación ese número en su equivalente en fracción. d) Ahora redondéenlo a 6 y 9 cifras después del punto decimal y expresen los números obtenidos en sus respectivos equivalentes en fracción. 2 En grupo, respondan lo siguiente. a) Comparen los cocientes de las fracciones de los incisos c y d del ejercicio anterior, señalen cuál se aproxima más al número 0.2 y expliquen por qué. b) Creen que si el redondeo se hace con más cifras después del punto el resultado será más cercano al número 0.2? Y en algún momento será exactamente igual a ese número? Justifiquen sus respuestas. En parejas, consideren el número decimal 0.26 y respondan lo siguiente. a) Escriban el número 0.26 con 4 cifras después del punto decimal. A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es mayor, menor o igual a. SFUMASB_B.indd 26 0/0/2 0:29 Regresa y revisa Bloque / MATEMÁTICAS 9 Página 26 De decimales periódicos a fracciones De decimales periódicos a fracciones. a) El y el 2. b) Porque ese método sólo funciona para números decimales finitos. No se podría escribir en el denominador una potencia de 0 que tuviera una infinidad de ceros. c) Redondeo: 0.2. Como fracción: 2 000. Para redondear 0.2 a tres cifras se observa el número de la cuarta cifra de 0.222, que es 2. Como 2 es menor que la cifra del tercer lugar queda igual, de ahí que se obtenga 0.2. 2 2 d) Redondeo: 0.22 y 0.2222. Como fracciones: 000 000 y 2 22 2 000 000 000. Para redondear a 6 cifras se observa que la séptima cifra es, mayor que, de ahí que la colocada en la sexta posición aumente, y por eso la sexta cifra de 2 2 es. Al redondear a 9 cifras, la décima cifra es 2, así que la novena se queda igual. 2. a) El número más cercano es 0.2222, ya que tiene más cifras decimales en común con 0.2. b) Sí será más cercano, pues tendrá más cifras en común con 0.2. Ningún redondeo será exactamente igual, ya que nunca se considerarán todas las cifras decimales de 0.2. Además, respecto a cada aproximación se puede obtener una aproximación mejor considerando un decimal más.. a) 0.2666 Página 27 2 666 b) Truncamiento de seis cifras: 0.266666. Las fracciones son 0 000 y 266 666 000 000. c) No, porque las fracciones se obtuvieron a partir de números decimales finitos. Si se hacen las divisiones se obtienen esos números decimales con residuo cero. d) No, porque al truncarlo el resultado siempre es un número menor, ya que se omiten cifras decimales. Tampoco se puede obtener con redondeo, ya que el resultado será un número mayor debido a que la cifra decimal de 0.26 que se repite es 6, mayor que, así que para cualquier cantidad de decimales que se haga el redondeo la cifra tendrá que cambiar a 7 y dará un valor mayor que 0.26. 4. a) Las fracciones se igualaron con fracciones simplificadas. 24 4 0 = 0 000 2 000. El número se truncó a 4 cifras decimales. 4 666 00 000 = 22 0 000. El número se truncó a cifras decimales. 47 777 0 000. El número se truncó a 4 cifras decimales. 4 24 0 000 000. El número se truncó a 7 cifras decimales. b) El redondeo y el truncamiento son procedimientos que se emplean para hacer aproximaciones. Para obtener una fracción cuyo valor sea el mismo que el de un número decimal con una infinidad de cifras decimales sería necesario considerar todas esas cifras. Sin embargo, con las fracciones que proceden del redondeo o el truncamiento se pueden expresar los números periódicos de manera aproximada. Reflexiona. a) Aquellas que en el numerador tengan un número que no se pueda dividir entre 2 o. Esto se debe a que los divisores primos de 0 son 2 y, y los denominadores de las fracciones 26
b) Ahora trunquen el mismo número hasta 6 cifras y escriban a continuación, para los truncamientos hasta 4 y 6 cifras del número 0.26, su equivalente en fracción. c) El cociente de alguna de las fracciones anteriores es igual al número 0.26? Por qué? d) Hay una cantidad de cifras decimales hasta la que se pueda truncar el número 0.26 de modo que la fracción equivalente al número resultante tenga el mismo valor que 0.26? Y si en lugar de truncar se redondea? Justifiquen su respuesta. 4 En grupo, hagan lo que se indica. a) Expresen los siguientes números decimales periódicos en su equivalente en fracción. Los cocientes de las fracciones deben tener por lo menos 4 cifras después del punto decimal. 24. = 0.46 = 4.7 = 0.42 = b) Discutan cuáles son las dificultades para convertir un número decimal periódico en su equivalente en fracción y comenten el error que se genera al hacer aproximaciones. Reflexiona. Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse? b) El número. tiene el mismo valor que la fracción 0. Escribe la fracción que vale lo mismo que. cuyo denominador es: 00, 000 y 0 000. c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 4.7 y cuyos denominadores sean múltiplos de 0. Regresa y revisa Lee nuevamente la situación inicial y responde en tu cuaderno. en su equivalente en número decimal, redondeado a 4 cifras decimales, y compáralo con el número 0.. b) Convierte el número 0. en su equivalente en fracción y compáralo con. c) Con qué conversión te parece más sencillo concluir que la cantidad de pintura que usó Alejandro para pintar cada muro no es la misma? Por qué? en su equivalente en número decimal, redondeado a una cifra decimal, y lo comparan con el número 0.. Lección SFUMASB_B.indd 27 0/0/2 0:29 27 0 Bloque / MATEMÁTICAS decimales son de la forma 0, 00, 000,, que se obtienen multipli cando varias veces el número 0. Cada número de la forma 0, 00, 000, se puede ver como un producto de 2 y de. Por ejemplo: 000 = 0 0 0 = 2 2 2. Así que una fracción decimal se puede simplificar cuando el numerador se puede dividir entre 2 o entre. 0 b) 00, 00 000, 000 0 000. 4 7 4 70 c) Ejemplos:, 000 0 000, 907,. 200 40 Página 27 a) Expresa 2 En grupo, discutan qué pasaría si expresaran 27 Regresa y revisa. a) 0., el cual es mayor que 0.. El número decimal que corresponde a es 0.. Para redondear a 4 cifras observamos que la quinta cifra es, menor que, así que la cuarta cifra se queda igual. Por lo tanto el redondeo es 0.. Además el número 0. = 0.000, así que 0. es mayor porque su primera cifra es igual, pero el resto tiene mayor valor. b) 0, el cual es menor que. 0 = 9 0 y = 0 0, entonces 0 0 es mayor que 9 0, es decir, es mayor que 0. c) La respuesta dependerá de cada alumno. 2. Da el mismo resultado. Es la aproximación menos exacta, ya que es la menor en cuanto al número de dígitos considerados.
4 Bloque Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Situación inicial En casa de Rosario almacenan el agua en un tinaco, el cual se llena al inicio de cada día y después no vuelve a recibir agua. El líquido se usa diariamente de esta manera: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. Qué parte del tinaco queda al final de cada día? Analiza. En parejas, respondan lo siguiente. a) Si un día no se lava ropa, qué parte del tinaco sobraría? b) Si un día no se usa agua en la cocina, qué parte del tinaco sobraría? 2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta. Explora y construye En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) En una escuela se realiza una recolección de periódicos viejos para venderlos Cada uno estime mentalmente la suma de las cantidades anteriores y, a partir de ello, diga cuánto falta para completar un número entero de kilogramos. Hagan los cálculos necesarios para obtener el total del periódico juntado y cuánto falta para formar paquetes de kg de papel cada uno. Expresen su respuesta como fracción. Expliquen cómo determinaron cuál es la cantidad que falta para formar un número entero de paquetes. Usen la calculadora para comprobar sus resultados. b) En un grupo de primero de secundaria tres alumnas festejaron su cumpleaños. Para, ello sus compañeros compraron un pastel de dos pisos del mismo tamaño: uno de fresa y otro de durazno. Se cortaron 0 rebanadas por piso, SFUMASB_B.indd 4 0/0/2 0:29 Bloque / MATEMÁTICAS Suma y resta de fracciones L Página 4 Situación inicial. Suma y resta de fracciones Consumo de agua Consumo de agua/analiza. a) Sobrarían partes de la capacidad del tinaco. Para saber cuántas partes sobran del tinaco en ese día hay que restar a su capacidad total las partes que se consumieron, pero como las fracciones tienen diferente denominador es necesario encontrar fracciones equivalentes. En el baño: 2 = 2 4 = 4. En la cocina:. La capacidad total del tinaco se puede representar como: : ahora sí restamos: Acopio, reparto, carga, equilibrio y donar lo que se obtenga a la Cruz Roja. El primer día, un equipo de cuatro alumnos llevó las siguientes cantidades de papel: 7 kg 6 0 kg, 2 kg y 2 kg. 4 4 = ; por lo tanto, en un día donde sólo se utiliza agua en el baño y en la cocina sobran partes de la capacidad total del tinaco. partes del tinaco. b) Sobrarían 2 Aquí se repite el procedimiento del inciso anterior: restamos las partes que se consumieron de la capacidad total del tinaco, pero también es necesario encontrar fracciones equivalentes para restar fracciones que tengan el mismo denominador. En el baño: 2 = 2 4 = 4 En lavar la ropa se utiliza: 4 = 2 La capacidad total del tinaco se puede representar como:. Ahora restamos: 4 2 = 6 = 2 Si no se utiliza agua en la cocina sobran 2 partes de la capacidad total del tinaco. 2. Al final de cada día queda parte del tinaco. Se puede llegar al resultado a partir del inciso a o a partir del inciso b de la actividad anterior, sólo hay que restar la parte del tinaco que no se tomó en cuenta. Por ejemplo, si partimos del inciso a, en un día en que no se lavó ropa sobraron partes del tinaco; si restamos las partes que se gastan en lavar la ropa: 4 = 2 tenemos lo que sobra en un día normal: 2 = Por lo tanto, tras hacer todas las actividades sobra cada día parte del tinaco. Acopio, reparto, carga, equilibrio. a) 2 kg Para hacer una estimación mentalmente hay que aproximar las fracciones a una que sea fácil sumar. Una estimación se puede hacer tomando a 7 kg, a 6 0 kg y a 2 kg como 2 kg, que junto con el otro kg en total suman 2 kg. Con esta estimación ya tenemos un 2 número entero de kilogramos. Hay 2 4 69 20 kg y para formar paquetes de kg faltan 20 kg. Es más fácil sumar 7 kg, 6 0 kg, kg y 2 kg si lo hacemos de la siguiente manera: 2 Primero 7 más 6 0 : 7 + 6 0 = 0 70 + 42 70 = 72 70. Y después 2 más 2 : 2 + 2 = 4 + = 7 7 7 7, Por último, sumamos los dos resultados anteriores: 72 70 + 7 6 = 42 420 + 490 420 = 922 420 = 46 20, Tenemos que 46 4 es igual a 2, y para completar kilogramos hacemos la siguiente 20 resta: 4 20 = 69 20 20. Así que faltan 46 20 para formar paquetes de kg cada uno. El resultado de la suma de todas las fracciones se descompuso en un número mixto, 4 con una parte entera (2) y una parte fraccionaria. Después se le restó a la parte 20 fraccionaria, pues es el entero más próximo 4 ; así, al sumarlo resulta un número 20 entero 4 2 20 + 69 20 =.
inicial onstruye todas del mismo tamaño. Cinco personas comieron, cada una, una rebanada de pastel de fresa y otra de durazno, y cuatro personas sólo comieron una rebanada de pastel de fresa cada una. Usando sólo fracciones respondan lo siguiente en su cuaderno. Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de pastel de fresa que sobraron? Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de pastel de durazno que sobraron? Escriban una suma de fracciones que permita determinar qué parte del pastel sobró. Después, realicen la suma. A partir del número total de rebanadas que se consumieron, escriban una resta de fracciones que permita determinar qué parte del pastel sobró, y verifiquen que hayan obtenido el mismo resultado del punto anterior. c) Jorge le pidió prestada a su tío su camioneta para entregar mercancía. de su capacidad de Lección la capacidad total del tanque: Busca en... Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque gastó el siguiente libro información Jorge ese día. sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque quedó después del recorrido. García (2009). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. d) En una balanza de dos platos se coloca un objeto de peso desconocido en el derecho y una carga formada por varias pesas con Madrid. Visión Libros. un total de kg en el plato izquierdo. Pero la balanza no queda Para encontrar más problemas equilibrada; para lograrlo, se le quitan al plato izquierdo dos pesas de fracciones, consulta Claude Irwin Palmer et al. (200). Matemáticas prácticas. Barcelona. kg. Cuántos kilogramos pesa la carga del plato derecho? 4 Reverté. 4 2 2 Fig.... 2 En grupo, hagan lo siguiente. a) Redacten dos problemas cuya resolución implique operaciones de suma y resta de fracciones. Antes de hacer los cálculos respectivos estimen mentalmente los resultados y después resuelvan los problemas. b) Discutan cuál es la utilidad de estimar resultados mentalmente. c) Analicen qué otro problema o problemas del ejercicio anterior podrían haberse resuelto mediante estimación y expliquen por qué. SFUMASB_B.indd 0/0/2 0:29 6 Bloque d) Comenten lo que hicieron para resolver los problemas. Identifiquen cuándo usaron restas de fracciones y cuándo sumas de fracciones, y por qué fue así. En equipos de tres, resuelvan el siguiente problema. Alejandra hizo un librero de madera y le sobró una tabla. Su amigo Isaías le pidió la quinta parte de la tabla para terminar de construir una mesa; Tere quiso dos quintas partes de la tabla para una repisa y Rodolfo, una quinta parte de la tabla para hacer un joyero para su esposa. a) Qué parte de la tabla en total regaló Alejandra? b) Qué parte de la tabla le quedaba antes de darle la quinta parte a Rodolfo? c) Qué parte de la tabla le quedó? 4 En grupo, consideren que la longitud de la tabla de Alejandra era de metros y respondan lo siguiente en su cuaderno. de tabla, entonces la longitud de su pedazo es de metros. Expresen con fracciones de metro las longitudes de los pedazos de Tere y Rodolfo. b) Expliquen cómo obtendrían la longitud del pedazo que le quedó a Alejandra en fracciones de metro. En equipos y con base en las imágenes siguientes, respondan las preguntas. Fig...2. I II III a) Qué fracción del círculo representa su área sombreada? I. II. III. b) Qué fracción de cada círculo no está sombreada? I. II. III. 2 Cada integrante del equipo elija un círculo de la figura..2, plantee un problema a partir de él y explique su planteamiento a sus compañeros. Elijan uno de los problemas que plantearon en el ejercicio 2, resuélvanlo y explíquenlo al grupo. 4 En equipos de tres, cada uno elija una de las siguientes operaciones. SFUMASB_B.indd 6 0/0/2 0:29 Regresa y revisa 2 Bloque / MATEMÁTICAS Cuando empezó a usar el vehículo, el tanque tenía 4 gasolina. Luego de un recorrido, Jorge notó que había gastado de la capacidad total del tanque. Si durante el resto del día se consumieron 0 6 de de kg y una de kg y se le agregan dos pesas de kg y una de 2? Página Verificar resultados con calculadora b) 20 El pastel tiene en total 20 rebanadas; 0 de ellas son de fresa, y de ésas se comieron 9, por lo que sólo queda una rebanada de fresa que corresponde a del todo el pastel. 20 20 De las 20 rebanadas que tiene el pastel 0 son de durazno, y de ésas se comieron, por lo que representa las rebanadas que sobraron de las 20 que tenía el pastel de dos 20 pisos. 20 + 20 = + 20 = 6 20 20 20 9 20 20 = 20 20 4 20 = 6 20 puesto que se comieron 9 rebanadas de fresa y de durazno. c) Jorge gastó 7 de la capacidad total del tanque. Se suma la cantidad que se gastó en el primer camino con lo que se gastó en el día. 6 + 0 = 0 60 + 60 = 2 60 = 7 7 60 quedaron después del recorrido. A los 7 que quedaban en el tanque se le restan los que gastó Jorge en el recorrido. 4 4 7 = 4 60 2 60 = 7 60 d) 24 kg. Una forma de resolver el problema es encontrar la diferencia entre el valor de las pesas que se le quitaron y el de las pesas que se le agregaron y después sumar esa diferencia a los kg iniciales. Para encontrar la diferencia se suman primero todos los valores de las pesas. La suma de las pesas que se quitaron es: + + = 2 + = 6 24 + 24 = 9 24. La suma de las pesas que se agregaron es: 2 + 2 + 4 = 2 2 + 4 = 4 4 + 4 = 4. Para calcular la diferencia se le resta la cantidad menor a la mayor: 4 9 24 = 0 24 9 24 = 24. Finalmente, para saber cuánto pesa el objeto desconocido sumamos esa diferencia a los kg iniciales: + 24 = 24. 2. a) Respuesta libre. b) Es útil para resolver un problema cuando no se requiere una respuesta exacta, como por ejemplo para saber si una cantidad es menor o mayor que otra sin especificar cuánto. c) Depende de cada alumno, aunque en general es necesario escribir los cálculos para resolver esos problemas. a) Como Isaías recibió Invención de problemas Página 6. a) 4 partes de la tabla. Si se representa la tabla que tenía Alejandra como y se le restan que le pidió Isaías, 2 que le dio a Tere y que le dio a Rodolfo: + 2 + = 4. a) 4 2 + 4 b) 7 7 + c) 7 7 4 + 2 d) 4 e) 7 6 2 f) 2 + 7 + 6 b) 2 Después de haberle dado a Isaías y 2 a Tere le quedaron a Alejandra: - - 2 = 2. c) Después de haber dado 4 partes de la tabla a sus amigos, sólo le sobró: - 4 =. 4. a) A Tere le tocaron 6 m y a Rodolfo m. Como a Tere le tocaron 2 de la tabla y ésta mide m, se multiplica el número de metros por la parte de la tabla que recibió para saber cuántos metros le correspondieron: 2 = 6 m. Se hace lo mismo con lo que recibió Rodolfo, a quien le toco parte de la tabla: = m.
Cada quien plantee un problema con la operación que eligió. 6 Expliquen el planteamiento a sus compañeros de equipo. 7 Elijan juntos uno de los problemas, resuélvanlo y explíquenlo al grupo. Reflexiona. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que puedas y después responde lo siguiente. a) Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez? b) Y el cuarto doblez? c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja, el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta. d) Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones. Regresa y revisa En parejas, lean la situación inicial y el siguiente planteamiento. Después, respondan. El tinaco de la casa de Rosario tiene una capacidad de 200 L. Los vecinos tienen un tinaco de 2 000 L de capacidad que también se llena al inicio del día y después no vuelve a recibir agua; ellos emplean el agua del tinaco cada día de la siguiente forma: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. a) Observen la figura.., la cual representa a los dos tinacos, y dibujen qué parte de la capacidad de cada uno de los tinacos se ocupó para el baño, cuál para lavar ropa y cuál para la cocina. b) Qué fracción de la capacidad del tinaco de Nivel de los vecinos queda al final del día? 2 000 L 2 En grupo, respondan en qué se parecen y en Nivel de 200 L qué difieren el consumo de agua de la familia de Rosario y el de los vecinos Rosario Fig.... Vecinos Lección SFUMASB_B.indd 7 0/0/2 0:29 7 Bloque / MATEMÁTICAS b) El pedazo que le quedó a Alejandra mide de metro, y para saberlo hay que multiplicar la longitud de la tabla por la parte que le quedó, es decir, = m. Invención de problemas. a) I. 2 Ya que se encuentra sombreada la mitad del círculo. II. 4 Pues se encuentra sombreada la cuarta parte del círculo. III. Porque sólo está sombreada la octava parte del círculo. b) I. 2 parte, pues el área completa del círculo representa la unidad, y al restarle 2, que corresponde al área pintada, tenemos el área que no lo está: - 2 = 2 2-2 = 2. II. partes, pues se sigue el mismo procedimiento que en el punto anterior: se le resta 4 el área pintada a toda el área del círculo. 4 = 4 4 4 = 4 III. 7 partes. Se hace lo mismo que en los dos puntos anteriores. = = 7 2. Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular con la cual celebraría en la escuela su cumpleaños. Si al final del día se consumió el área sombreada, qué parte de la gelatina sobró?. Solución del problema anterior: sobró la mitad. 4. Respuesta libre. Página 7. Por ejemplo, si se elige la operación del inciso a, Roberto tiene que llenar un contenedor de litros de agua. Primero agregó 4 2 litros y después de litro. Si retiró de lo que había en el contenedor 4 de litro, cuántos litros hacen falta para llenarlo por completo? 7. Respuesta del ejemplo: le faltan 29 de litro, pues primero se suman los litros que agregó: 4 0 2 + = 4 6 + 2 6 = 4 6, y resulta que Roberto agregó 4 litros. Después le resta a esos 6 litros la cantidad que retiró, es decir: 4 6 4 = 4 2 0 24 0 = 4 0. Y para completar litros hay que restar: 4 0 = 4 0 0 4 0 = 29 0. Así que para que Roberto complete litros, hacen falta 29 0 litros. 7 Reflexiona. a), pues en la hoja se marcaron rectángulos iguales y en el tercer doblez sólo se representa uno. 4 2 6 b), porque la hoja está dividida en 6 rectángulos iguales y en este doblez se representa 6 sólo uno.
4 Bloque / matemáticas c) Será menor, pues el primer doblez representa la fracción 2, el segundo representa la fracción 4, el tercero la fracción y el cuarto la fracción, y aunque se sumen las 4 6 fracciones de los primeros cuatro dobleces el número será menor que. d) 2 + 4 + + 6 = 6 + 4 6 + 2 6 + 6 = 6 Página 7 Regresa y revisa. a) Nivel de 200 L A Baño Nivel de 2000 L A Baño Lavar ropa Cocina B Resto B Rosario Lavar ropa Cocina Resto Vecinos b). Ya que ellos utilizan el agua del tinaco de igual manera que Rosario. 2. Se parecen en que Rosario y sus vecinos distribuyen el agua en la misma proporción, pero difieren en que los tinacos tienen diferente capacidad.
Regresa y revisa Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Situación inicial Lección Carlos tiene la tarea de trazar en su cuaderno, con su juego de geometría, un triángulo equilátero a partir de un segmento de recta que será uno de los lados. Sin embargo, Glosario sólo cuenta con un compás y una regla sin graduar. Cómo lo trazarías tú con estas segmento de recta. herramientas? Porción de recta que queda delimitada por dos de sus Responde lo siguiente. puntos, llamados a) Cuántos vértices tiene un triángulo? extremos del segmento. b) Cuántos vértices hay en un lado de un triángulo? 2 Carlos encontró en un libro el siguiente procedimiento para trazar el triángulo. Lleva a cabo los pasos y contesta las preguntas. Traza en tu cuaderno un segmento de recta, que será la base de un triángulo equilátero. Señala con rojo dónde estarían los vértices de ese lado. Traza una circunferencia con centro en uno de los extremos del segmento y con un radio que mida lo mismo que el segmento. a) Por qué el otro vértice del triángulo debe estar en algún punto de la circunferencia que trazaste? Traza una circunferencia con centro en el otro extremo del segmento de recta y con un radio que mida lo mismo que el segmento. b) Dónde se encuentra el otro vértice del triángulo? Traza el triángulo y después verifica con una regla graduada que sea equilátero. Analiza. En grupo, discutan lo siguiente. a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2. b) Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos equiláteros diferentes? SFUMASB_B.indd 0/0/2 0:0 Bloque / MATEMÁTICAS Figuras de tres y cuatro lados Página L 6 6. Figuras de tres y cuatro lados 6 Situación inicial Una tarea con un juego de geometría incompleto Una tarea con un juego de geometría incompleto. a) Tiene vértices. Por ejemplo, los vértices del siguiente triángulo son A, B y C. b) Hay 2 vértices. Por ejemplo, en el triángulo de la figura anterior el lado x tiene como vértices al punto A y al punto B. 2. a) Porque el otro vértice y el centro de la circunferencia forman otro de los lados del triángulo y ese lado debe medir lo mismo que el segmento original, pero esa medida se tomó como el radio, así que el segmento que une al nuevo vértice y al centro de la circunferencia mide lo mismo que un radio, y el vértice está sobre la circunferencia. Conviene recordar que todos los puntos de una circunferencia están a la misma distancia (que es el radio) de un punto fijo llamado centro. b) En la figura de arriba (ejercicio ) se muestran los trazos que se deben hacer para obtener el tercer vértice. El segmento original es x, y sus extremos son A y B. El punto C es la intersección de las dos circunferencias y está a la misma distancia de A que de B, ya que los radios de las circunferencias miden lo mismo, y a su vez esa medida es la del segmento. Analiza. a) Un tema de discusión es que siempre habrá dos únicos puntos en donde se puede encontrar el otro vértice del triángulo. En la figura los puntos se marcaron como C y D. b) Porque hay dos puntos donde se intersecan las circunferencias. En la figura se puede observar el triángulo ABC y también se puede trazar el triángulo ABD.
2 Bloque Explora y construye En esta sección deberás hacer los trazos que se indican utilizando únicamente las herramientas solicitadas en cada caso. Triángulos equiláteros En parejas, tracen en su cuaderno, con regla graduada, un triángulo equilátero cuyos lados midan 4 cm cada uno. 2 Comenten en grupo las dificultades para hacer el ejercicio anterior. En parejas, respondan lo siguiente. a) Para qué sirve el transportador? b) Cuánto miden los ángulos del triángulo de la situación inicial? 4 Tracen en su cuaderno un triángulo equilátero cuyos lados midan cm utilizando transportador y regla graduada. Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron. 6 El juego de geometría incluye dos escuadras como las de la figura.6.. Midan con el transportador los ángulos de cada una de ellas y anoten sus valores en la misma. Fig..6.. 7 En parejas, tracen en su cuaderno, con escuadras y regla graduada, un triángulo equilátero de cm. En grupo, discutan las ventajas de cada uno de los siguientes procedimientos para trazar un triángulo equilátero. Después, respondan las preguntas. Con compás y regla sin graduar. Con transportador y regla graduada. Con escuadras y regla graduada. a) Miden lo mismo los ángulos de cualquier triángulo equilátero? b) Cómo validarían la respuesta anterior? SFUMASB_B.indd 2 0/0/2 0:0 6 Bloque / MATEMÁTICAS Página 2 Trazo de triángulos Explora y construye 2 Trazo de triángulos Triángulos equiláteros 2. La dificultad reside en trazar el tercer segmento y que mida exactamente 4 cm. Para que el trazo del tercer segmento sea exacto, el segundo segmento debe trazarse de manera que forme un ángulo de 60 grados con el primer segmento, y eso no es fácil de hacer utilizando únicamente una regla graduada.. a) Para medir ángulos. b) Al medir los ángulos con el trasportador se observa que cada uno mide 60 grados (60 ). 4.. Paso : se traza un segmento de recta de cm. Paso 2: desde uno de sus extremos se traza otro segmento de cm a 60 del primero con ayuda del transportador. Paso : se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de los otros dos. 6. 7. Se puede utilizar el método de la actividad, pero en lugar del transportador se usa la escuadra que tiene un ángulo de 60.. a) Sí, 60. b) Una posible respuesta es: construir varios triángulos equiláteros de diferentes tamaños y verificar que sus ángulos midan lo mismo. No se persigue que el alumno verifique que en un triángulo los ángulos interiores sumen 0, pues este tema se estudiará hasta segundo grado de secundaria.
Explora y construye Triángulos isósceles Anota cómo son entre sí los ángulos de un triángulo isósceles. 2 Traza en tu cuaderno, con regla graduada y escuadras, un triángulo isósceles cuyo lado diferente mida 6 cm y cuyos ángulos iguales sean de 4. Revisa tu trazo con un compañero y escriban las medidas de los lados iguales y el ángulo diferente del triángulo trazado. 4 En grupo, discutan por qué en todos los triángulos trazados deberían obtenerse las mismas medidas. En equipos de tres, trazarán en su cuaderno, con regla graduada y transportador, tres triángulos isósceles. Para ello, observen el cuadro.6. y sigan los pasos. Triángulo Medida I II III Ángulo diferente de cada triángulo Lados iguales 4 cm. cm 9 cm de cada triángulo Ángulos iguales de cada triángulo Lado diferente de cada triángulo Cuadro.6.. Medidas de tres triángulos isósceles. Tracen los tres triángulos a partir de las medidas anteriores. Midan los ángulos y lados de los triángulos resultantes y completen los espacios blancos del cuadro anterior. 6 Propongan otra longitud para los lados iguales de un triángulo isósceles con la misma medida del ángulo diferente del cuadro anterior y tracen el triángulo. 7 Expliquen qué relación hay entre los ángulos de los cuatro triángulos. Comparen el ejercicio anterior con el de otro equipo y observen cómo son los lados y los ángulos de los triángulos que ellos trazaron. 9 En grupo, discutan lo siguiente. a) Dado un ángulo, cuántos triángulos isósceles pueden trazarse si consideran que ese ángulo se encuentra entre los lados iguales? Expliquen. b) Dado el ángulo que se encuentra entre los lados iguales de un triángulo isósceles, cambiará la medida de los otros dos ángulos si cambia la longitud de esos lados? Lección SFUMASB_B.indd 0/0/2 0:0 Bloque / MATEMÁTICAS 7 Página 6 Triángulos isósceles. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que tienen la misma medida. 2. Paso : se traza un segmento de 6 cm. Paso 2: se coloca la escuadra que tiene un ángulo de 4 en uno de los extremos del segmento y se traza una semirrecta. Paso : se repite lo anterior pero en el otro extremo del segmento. El punto donde se intersecan las dos semirrectas es el tercer vértice del triángulo.. El ángulo diferente mide 90 y los lados iguales 4.2 cm. 4. El lado y los ángulos dados determinan el tercer vértice. Después de hacer los trazos sólo hay una opción para el tercer vértice, de ahí que no sea posible construir un triángulo diferente, ya que no se considera que dos triángulos sean diferentes porque están en posiciones distintas.. Medida I II III Ángulos iguales de cada 62. 62. 62. triángulo Lado diferente de cada triángulo.7 cm cm. cm
4 Bloque Triángulos escalenos Construye en tu cuaderno, con regla graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan cm, 6 cm y cm. 2 Explica tu construcción del ejercicio anterior a tres compañeros y comparen sus construcciones. Qué observan? Traza en tu cuaderno, con escuadra y transportador, un triángulo cuyos ángulos midan, 2 y 40 y compáralo con los trazados por dos compañeros. 4 Discutan en grupo cuántos triángulos se pueden obtener en los ejercicios y, respectivamente. En grupo, analicen cuántos triángulos se pueden trazar a partir de las siguientes características. a) Un ángulo de 0 y otro de 70, que comparten un lado de 4 cm. b) Un lado de 4 cm y otro de 7. cm que formen un ángulo de 7. Llama triada a un conjunto de tres números que correspondan a las longitudes de tres segmentos; por ejemplo, la triada (, 2, ) se refiere a segmentos que miden cm, 2 cm y cm. 6 En parejas, tracen en su cuaderno, con el juego de geometría, el triángulo correspondiente a cada una de las siguientes triadas: (,, ), (6,, 7) y (4, 6, ). 7 En grupo, expliquen por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas. Con una triada de la forma (a, a, a) no es posible construir un triángulo escaleno. Es posible construir un triángulo rectángulo con una triada de la forma (a, a, b). En esta sección también deberás hacer los trazos que se indican utilizando únicamente las herramientas solicitadas en cada caso. Cuadrados En parejas, respondan lo siguiente. a) Si el lado del cuadrado A mide cm y el del cuadrado B mide cm, entonces los ángulos del cuadrado A miden menos grados que los del cuadrado B? Por qué? 2 Planteen un procedimiento para trazar un cuadrado de 4 cm con una regla graduada y escuadras, y llévenlo a cabo. Discutan sus procedimientos en grupo. SFUMASB_B.indd 4 0/0/2 0:0 Bloque / MATEMÁTICAS Trazo de cuadriláteros 7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden lo mismo.. Todos los triángulos que se trazaron tienen un ángulo de y dos de 62.. 9. a) Una infinidad de triángulos, pues aunque el ángulo mida lo mismo en todos los triángulos, los lados iguales pueden tener cualquier medida. b) No, siempre miden lo mismo. Por ejemplo, aunque en el ejercicio cambió la longitud de los lados iguales, los ángulos iguales siempre midieron 62.. 4 Página 4 Triángulos escalenos. 2. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de cm. Con ayuda del compás trazar una circunferencia de 6 cm de radio con centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia de cm de radio con centro en el otro extremo del segmento. Uno de los dos puntos de intersección de las circunferencias será el tercer vértice del triángulo. Al comparar dicho triángulo con el que trazaron otros alumnos se advierte que todos tienen las mismas medidas. Aunque sus posiciones sean distintas se consideran como el mismo triángulo, ya que sus lados miden lo mismo.. Los triángulos trazados pueden tener o no las mismas medidas, ya que aunque los ángulos sean iguales, cada alumno puede escoger la medida que quiera para uno de los lados. Por ejemplo, para el triángulo azul (paso ) se traza una semirrecta (paso 2), luego se traza otra semirrecta a a partir del extremo y sobre ella se marca un segmento de cm (paso ), luego se traza una semirrecta a 2 a partir del extremo del segmento y se prolonga hasta que corte a la primera semirrecta que se trazó (paso 4); la intersección es el tercer vértice y se puede verificar que el ángulo que allí se forma es de 40. En el segundo triángulo se repitieron los pasos anteriores, pero se escogió que la medida del segmento del paso 2 fuera de cm.
Bloque / MATEMÁTICAS 9 4. En el ejercicio se puede obtener sólo un triángulo. En el ejercicio no hay límite, pues al cambiar la medida de uno de los lados del triángulo, la de los otros lados también cambia.. a) Sólo se puede trazar un triángulo. Como se aprecia en la siguiente figura, el tercer vértice queda determinado por la intersección de las semirrectas. b) Sólo se puede trazar uno, pues el lado que falta se obtiene uniendo los extremos de los segmentos, de ahí que sólo haya una opción para ese segmento y que, por lo tanto, no se puedan formar triángulos diferentes. 6. Basta con repetir la construcción que se desarrolló en el ejercicio con las medidas indicadas. Triada (,, ). Triada (6,, 7). Triada (4, 6, ).
Lección 4 A Carlos le dejaron otra tarea: trazar un cuadrado usando sólo un compás y una regla sin graduar. Para ello, partió de un segmento de recta al que llamó AB, que sería uno de los lados del cuadrado (en la figura.6.2, corresponde al segmento azul). Lee los pasos que siguió para obtener un lado adyacente al primero y Glosario analízalos en la figura. lados adyacentes. Prolongar con rojo el segmento AB por ambos extremos, con longitudes al menos iguales a la de dicho segmento. Aquellos que comparten un vértice. Trazar una circunferencia (de color verde) con centro en A y con un radio que mida menos que AB. Llamar C y D a los puntos donde la circunferencia corta al segmento AB y su prolongación. Trazar dos circunferencias de radio CD: una con centro en C y otra con centro en D. Trazar una recta sobre los puntos donde se cortan las dos circunferencias de igual tamaño. Trazar otra circunferencia con centro en A y radio AB. Marcar el punto de intersección de la circunferencia con la última recta trazada y llamarlo E. E D A C B Fig..6.2. Responde lo siguiente. a) Cómo es el ángulo entre el segmento AB y la última recta trazada? Busca en... www.edutics.mx/ Zoj b) Cómo son ambas rectas entre sí? actividades y ejercicios acerca de c) Pasa la última recta trazada por el punto A? d) Por qué el segmento AE mide lo mismo que el segmento AB? la construcción de triángulos. e) Qué parte de la última recta trazada corresponde al nuevo lado del cuadrado? 6 Con base en el procedimiento de Carlos, traza en tu cuaderno un cuadrado de 6 cm de lado. 7 Verifica que se cumplan las propiedades de esta figura geométrica respecto a la longitud de sus lados, así como la dimensión de sus ángulos. Si no es así, revisa la actividad con algún compañero cuyos trazos sí las cumplan. Revisen en grupo las dudas respecto a la construcción anterior. SFUMASB_B.indd 0/0/2 0:0 6 Bloque Rectángulos Responde lo siguiente. a) Cómo se relacionan entre sí las medidas de los lados de un rectángulo? b) Cuánto mide cada uno de los ángulos de un rectángulo? 2 Supón que cuentas con un transportador y una regla graduada y quieres trazar un rectángulo. a) Qué propiedad de los rectángulos justifica el uso del transportador? b) Cómo trazarías con estos instrumentos un rectángulo cuyos lados midan y 7 cm? Propón un procedimiento y verifícalo en tu cuaderno. Deltoides y rombos Realiza el procedimiento siguiente y responde las preguntas. Traza un segmento AB de cm en el centro de una página de tu cuaderno. Sobre el segmento AB traza dos circunferencias, una con centro en A y otra con centro en B, cuyos radios cumplan lo siguiente. Que midan lo mismo. Que su longitud sea mayor que la mitad de la del segmento AB, de modo que las circunferencias se intersequen en dos puntos. Marca el punto de intersección de las circunferencias que se encuentra por arriba del segmento AB; llámalo C. Traza otras dos circunferencias cuyos radios midan lo mismo, con centro en cada uno de los extremos del segmento AB; la longitud de los radios debe ser mayor que la de los radios de las otras circunferencias. Marca el punto de intersección de ambas circunferencias que se encuentra por debajo del segmento AB y llámalo D. Traza con rojo los segmentos AC, CB, BD y DA. a) Qué forma tiene el cuadrilátero que construiste? Describe sus lados y ángulos. b) Cómo son los lados y ángulos de un rombo? 2 La figura que trazaste en el ejercicio se llama deltoide. Básate en el procedimiento que permite trazar un deltoide para escribir en tu cuaderno los pasos con los que se construye un rombo. Después, en grupo, revisen este procedimiento. 4 Lee lo siguiente y responde: en un cuadrilátero, una diagonal es la recta que va de un vértice al otro que no se encuentra en un lado adyacente. Cuántas diagonales tiene un rombo? SFUMASB_B.indd 6 0/0/2 0:0 20 Bloque / MATEMÁTICAS 7. Con la triada (a, a, a) sólo se pueden construir triángulos equiláteros, pues todos los lados tienen la misma medida. Sí, pero los catetos del triángulo (o sea los lados que forman el ángulo recto) deben ser los que midan a unidades, y por lo tanto la medida b se determinará al unir los extremos de los segmentos que miden a unidades. Tra zo de cuadriláteros Cuadrados. No, porque una figura es un cuadrado si todos sus ángulos miden 90 y sus lados tienen la misma medida. Por lo tanto, aunque cambie la medida de los lados entre un cuadrado y otro, los ángulos siempre medirán 90. 2. Una posible construcción sería: trazar un segmento de 4 cm con la regla; desde uno de los extremos y con ayuda de la escuadra trazar un segmento de 4 cm que sea perpendicular al primero; desde el otro extremo del segmento original hacer lo mismo; por último, se unen los extremos de los dos segmentos que se trazaron. 6 6 Página. a) Mide 90. b) Perpendiculares. c) Sí. d) Porque ambos segmentos son radios de la última circunferencia que se trazó. e) El segmento AE, pues forma un ángulo recto con el segmento AB y además tiene la misma medida. Página 6 Rectángulos. a) Los lados opuestos de un rectángulo miden lo mismo, pero las medidas de los lados adyacentes son distintas. b) Miden 90. 2. a) Se necesita trazar los ángulos de 90. b) Una construcción correcta sería: trazar un segmento de cm y en sus extremos trazar dos segmentos perpendiculares de 7 cm cada uno hacia la misma dirección. Por último, unir estos segmentos por sus extremos para trazar el otro lado. Deltoide y rombo. a) Los lados AC y BC miden lo mismo. Los lados AD y BD miden lo mismo. EL ángulo que está en el vértice A mide lo mismo que el ángulo que está en el vértice B, además, el ángulo del vértice D mide lo mismo que el ángulo del vértice C.
Traza en tu cuaderno dos rectas perpendiculares de cm que se intersequen en su punto medio y únelas por sus extremos. a) Cuánto miden los lados del cuadrilátero resultante? b) Cuánto miden sus ángulos? c) Cuáles son las diagonales en tu trazo? 6 En parejas, revisen los trazos del ejercicio anterior y digan de qué cuadrilátero se trata. 7 En grupo, modifiquen el procedimiento anterior para obtener un rombo. Haz lo siguiente. Marca los puntos medios de los lados del cuadrado y del rectángulo siguientes. Une los puntos marcados con los puntos de los lados adyacentes. Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros resultantes. Fig..6.. 9 En parejas, respondan lo siguiente. a) Qué figura obtuvieron dentro del cuadrado? b) Qué figura obtuvieron dentro del rectángulo? 0 En grupo, discutan cuáles son las diferencias y similitudes entre un cuadrado y un rombo respecto a sus lados, ángulos y diagonales. Romboides Prueba este procedimiento para trazar rectas paralelas usando dos escuadras: Mantén fija una de las escuadras. Coloca la otra escuadra de manera que uno de sus lados se deslice sobre uno de los lados de la escuadra fija, como se muestra en la figura.6.4. Traza una recta con alguno de los lados de la escuadra móvil que no está en contacto con la escuadra fija. Arrastra la escuadra móvil y traza otras rectas paralelas a la primera. 2 En tu cuaderno, describe los lados y ángulos de un romboide. En grupo, discutan un procedimiento para trazar, con regla graduada y dos escuadras, un romboide cuyos lados iguales midan 4 cm y 7 cm, respectivamente. 4 En parejas, tracen en su cuaderno el romboide y midan sus ángulos internos. Fig..6.4. Lección SFUMASB_B.indd 7 0/0/2 0:0 7 Bloque / MATEMÁTICAS 2 b) Los lados de un rombo son todos iguales y sus ángulos opuestos miden lo mismo. 2. Una posible construcción, a partir del procedimiento del ejercicio, es usar las primeras circunferencias que se trazaron y tomar las dos intersecciones. 4. Un rombo tiene dos diagonales. Página 7. 6 7 a).4 cm. b) 90 c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las rectas perpendiculares que se trazaron al principio. 6. Se trata de un cuadrado. 7. Basta con repetir el procedimiento del ejercicio pero con rectas de distinta longitud. Por ejemplo, el siguiente rombo se formó con un segmento de cm y el otro de 7 cm.