PREDICCIÓN DE LA VOLATILIDAD DE LOS RENDIMIENTOS DEL ÍNDICE GENERAL DE LA BOLSA DE MADRID: EL PAPEL DE LAS ASIMETRÍAS Israel Senra Díaz * Deparameno de Esadísica, Esrucura Económica y O.E.I. Universidad de Alcalá e-mail: israel.senra@uah.es J. Bernardo Pena Trapero * Deparameno de Esadísica, Esrucura Económica y O.E.I. Universidad de Alcalá e-mail: bernardo.pena@uah.es RESUMEN En ese arículo se examina la capacidad prediciva de disinos modelos de la familia GARCH, para caracerizar la volailidad de los rendimienos del Índice General de la Bolsa de Madrid (IGBM). Dado que la volailidad es un componene inobservable, se oma un esimador insesgado de la misma como es el cuadrado de los rendimienos. Los disinos modelos de la familia GARCH se comparan individualmene frene al modelo GARCH(,) mediane el conrase de Diebold y Mariano (995). Palabras Clave: Volailidad, asimería, evaluación de predicciones, GARCH. Clasificación JEL: C5; C53 * Los auores agradecen la financiación recibida a ravés del Proyeco de Invesigación PIUAH 004/0 de la Universidad de Alcalá.
. INTRODUCCIÓN. La modelización y predicción de la volailidad del mercado ha sido un puno cenral de la invesigación empírica y eórica durane la úlima década por pare de invesigadores y profesionales del secor. La volailidad es uno de los concepos más imporanes en el análisis de daos financieros. La volailidad medida como la desviación ípica o la varianza de los rendimienos, se uiliza frecuenemene como una medida del riesgo oal del acivo financiero. Muchos modelos de valoración de acivos requieren la esimación o predicción de la volailidad (inobservada). La volailidad de los precios de mercado ambién es pare fundamenal de la fórmula de Black-Scholes para valorar el precio de las opciones negociadas. Exise un gran número de diferenes ipos de modelos no lineales, pero sólo un pequeño número de ellos han resulado úiles para modelizar daos financieros. De esos modelos los más populares son los ARCH de Engle (98) y los GARCH de Bollerslev (986), que uilizan una medida de volailidad dependiene de los rendimienos al cuadrado. Los modelos de la familia ARCH-GARCH son capaces de recoger caracerísicas habiuales como la lepocurosis o el agrupamieno de la volailidad. No obsane, esos modelos necesian ser ampliados para capar comporamienos asiméricos ane aconecimienos de disino signo. En ese arículo se consideran los modelos EGARCH de Nelson (99), PARCH de Taylor (986) y Schwer (989) y los TARCH de Zakoian (990) y Glosen, Jaganahan y Runkle (993) como alernaivas al modelo GARCH radicional para capar las asimerías. En el arículo de Núñez y Senra (003) se recoge una amplia revisión de la lieraura sobre modelización de índices bursáiles. Las alernaivas asiméricas ya han sido demosradas úiles en predicción en oros rabaos, como el reciene de Awarani y Corradi (005). Generalmene esos modelos se evalúan por sus caracerísicas en el período muesral disponible, pero ello no garaniza el meor comporamieno predicivo. Así, el obeivo del arículo es caracerizar el modelo que meor predice la volailidad del Índice General de la Bolsa de Madrid (IGBM en adelane) de enre de los modelos
previamene mencionados y deecar así si la consideración de la presencia de asimerías es úil frene al radicional modelo GARCH. El arículo se esrucura como sigue. En la sección se realiza una esimación de la volailidad del Índice General de la Bolsa de Madrid que será uilizado como referencia para evaluar los resulados en predicción de los disinos modelos. En la sección 3 se presenan los modelos que se van a uilizar para predecir la volailidad. En la sección 4 se presenan los resulados de la esimación y la evaluación de las predicciones y por úlimo en la sección 5 se ofrecen las principales conclusiones.. ESTIMACIÓN DE LA VOLATILIDAD DEL IGBM. El IGBM es el índice al que se refiere el presene rabao. Con ese índice se preende obener un visión lo más comprensiva posible del mercado de acciones español y cada año acualiza su composición eniendo en cuena la capialización bursáil de los valores admiidos o negociación en la Bolsa de Madrid a 3 de diciembre de cada eercicio, y su composición y ponderación permanecen inalerados durane odo el año. Se dispone de 0 años de observaciones de los daos diarios de cierre del Índice General de la Bolsa de Madrid, desde el 7 de febrero de 993 hasa el 4 de febrero de 003. El obeivo es caracerizar y predecir la volailidad de los rendimienos del IGBM (RIGBM) calculados a parir de la primera diferencia del logarimo del índice. La figura muesra la evolución emporal ano del índice IGBM como de sus rendimienos para el período muesral considerado. 3
Figura : Evolución del índice IGBM y de sus rendimienos para el período 993-003. 00 IGBM. RIGBM 000.08 800.04 600.00 400 -.04 00 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0 -.08 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0 Los gráficos son suficienemene elocuenes para comprender el comporamieno de ese índice desde 993, no obsane es conveniene señalar algunos rasgos hisóricos para la meor comprensión de lo acaecido en ese lapso de iempo. El periodo comprendido enre los años 993 y 996 se presena una eapa de relaiva aonía en la acividad económica española. Ese úlimo año represena el inicio de un periodo de dicha acividad en el marco de una economía europea en expansión, además se inensifican las inversiones de empresas españolas coizadas en América Laina, regisrándose asas de crecimieno económico imporanes ambién en dicha área. La esabilidad alcisa conrolada por el indicador hasa el verano de 998 parece inerrumpirse como consecuencia de la crisis de las economías emergenes. Desde sepiembre de 000 crisis de los mercados ecnológicos-, los mercados bursáiles de los países desarrollados inician una endencia baisa que afeca a la generalidad de las empresas coizadas en un conexo económico menos dinámico. En 00 los países lainoamericanos vieron runcada la recuperación regisrada por el adverso conexo exerno aunque sus efecos fueron absorbidos sin pasar por crisis inernas, a excepción de Argenina. Su impaco fue indudable en la bolsa española debido a los vínculos exisenes enre las empresas españolas coizadas y el eido producivo y financiero argenino. La fase expansiva de la economía española se frenó en 00. La 4
desaceleración fue menor que la regisrada como promedio en la zona euro por lo que el diferencial de crecimieno se manuvo posiivo en relación con dichas economías. No obsane, la paua inversora de las familias españolas en acivos financieros se iba haciendo más conservadora en consonancia con el empeoramieno de las perspecivas económicas. El eercicio de 00 se caraceriza por la inceridumbre que crece a raíz de los aconecimienos del de sepiembre, que llevan a cuesionar las perspecivas de renabilidad empresarial, especialmene en acividades urísicas y aseguradoras- y su refleo en los mercados financieros es noable. El comporamieno del IGBM acusa la inceridumbre. Asimismo, crece la desconfianza de los inversores en el funcionamieno de los mercados, en paricular los noreamericanos como consecuencia de la suspensión de pagos de la empresa de energía Enron. Sin embargo, en el úlimo rimesre del eercicio se produce una recuperación gradual de las coizaciones bursáiles, que probaría que la percepción del impaco sobre los resulados empresariales no iba a ser an negaiva como inicialmene se había previso. Además, las auoridades monearias y económicas reaccionaron con la adopción de medidas, ano en USA como en la zona euro, conribuyendo a meorar la confianza en los mercados. Dado que la volailidad no es una variable observable, se necesia una buena aproximación de la misma. Si la media condicional es cero, los rendimienos al cuadrado proporcionan un esimador insesgado del verdadero proceso subyacene que sigue la volailidad. Si la media condicional no es cero, enonces se deben uilizar los residuos al cuadrado de la regresión de los rendimienos sobre una consane, su pasado y oros regresores si fueran necesarios. Si la media condicional esuviera mal especificada, los residuos al cuadrado no serían un esimador insesgado de la varianza condicional. En el caso de los rendimienos del IGBM, la media condicional sí que presena esrucura. De acuerdo con los modelos analizados el Un raamieno más exhausivo sobre la evolución económica en ese período puede verse, por eemplo en www.cmnv.es 5
siguiene modelo ARIMA(,0,0) se presena adecuado para modelizar la media condicional. 0.05 L + 0.04 L rigbm = 0.00035+ a (.59) (.06) (.54) Por ese moivo, se considera de ahora en adelane la serie * rigbm que no presena dinámica en su media, es decir, se considera la serie de residuos del modelo AR() previamene esimado. Así la esimación de la volailidad en el momeno se realiza * * a parir del cuadrado de la serie rigbm. La figura muesra la serie rigbm y la volailidad esimada. Figura : Serie de rendimienos desconada la dependencia en la evolución de su * media ( rigbm ) y esimación de la volailidad..06 RIGBM*.005 VOLATILIDAD.04.0.004.00.003 -.0.00 -.04 -.06.00 -.08 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0.000 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0 A pesar de la insesgadez de la esimación de la volailidad mediane los rendimienos al cuadrado, la capacidad prediciva de la misma es muy baa (el coeficiene de deerminación en la regresión de los rendimienos al cuadrado frene a la volailidad, no puede exceder /3), al y como señalan Andersen y Bollerslev (998). No obsane, Awarani y Corradi (005) señalan la validez de esa aproximación cuando el obeivo es la comparación de la capacidad prediciva de disinos modelos, basándose en que si la función de pérdida es cuadráica, el uso de los rendimienos al 6
cuadrado asegura que se obiene una ordenación correca de los modelos respeco a su capacidad prediciva. A parir de ese momeno, cuando el arículo se refiera a volailidad observada se considerarán las esimaciones de la volailidad condicional realizadas en ese aparado. 3. MODELOS PARA CARACTERIZAR LA VOLATILIDAD CONDICIONAL. Se dispone de la serie de rendimienos, desconada la dependencia en la media, por lo que rigbm * = ε y se procede a coninuación a analizar los modelos para caracerizar la evolución de la volailidad condicional. = f ( ε, ) El modelo GARCH(,) fue originalmene propueso por Bollerslev (986) y es el que va a acuar como modelo de referencia a la hora de comparar los auses denro de la muesra y las predicciones fuera de la muesra. En ese modelo, la varianza condicional viene dada por la expresión: = ω + αε + β donde la varianza condicional depende de res érminos: () la media ω, () las innovaciones sobre la volailidad del período anerior, medidas mediane el residuo de la media reardado un período y (3) la varianza del período anerior. Esa especificación se inerprea en el conexo financiero de forma que un agene predice la volailidad del período acual mediane una media ponderada de la media a largo plazo, la información sobre la volailidad del período anerior y la esimación que disponía en el úlimo período. De esa forma, un rendimieno inesperadamene grande en cualquier dirección (al alza o a la baa) le llevará a revisar al alza la volailidad el período siguiene. Ese modelo es capaz de recoger los agrupamienos 7
de volailidad que se observan en las series de rendimienos financieros, pero no es úil para capar comporamienos asiméricos ane innovaciones de carácer posiivo o negaivo. No obsane, es frecuene observar en los rendimienos financieros que los movimienos a la baa en el mercado vienen seguidos de mayores volailidades que los movimienos en dirección conraria. Es por eso, que se propone el uso de modelos capaces de recoger asimerías como los modelos TARCH, EGARCH o PARCH, al y como se ve a coninuación. El modelo TARCH, o ARCH por umbrales, fue propueso de forma independiene por Zakoian (990) y Glosen, Jaganahan y Runkle (993). La especificación de la varianza condicional viene dada por: donde = ω + αε + γε d + β d =, si ε < 0, y 0 en oro caso. En ese modelo, las buenas noicias ( ε < 0) y las malas noicias ( ε > 0) ienen un efeco diferene sobre la varianza condicional. Las buenas noicias ienen un impaco de magniud α, mienras que las malas noicias ienen un impaco de α + γ. Si γ 0, exise un efeco asimérico, y si γ > 0 se dice que exise efeco apalancamieno (leverage). Se pueden esimar modelos TARCH de orden mayor de la forma: = ω + q i= α ε i i + γε d + p = β Oro modelo capaz de recoger asimerías es el modelo EGARCH ó modelo GARCH exponencial, propueso por Nelson (99). La especificación de la varianza condicional viene dada por: log ( ) = ω + β log( ) ε α + + ε γ Se puede observar que la varianza condicional viene ransformada en logarimos, y esa represenación garaniza la no negaividad de la misma e implica que el efeco 8
apalancamieno es exponencial, en lugar de cuadráico. La presencia de efecos asiméricos ocurre cuando γ 0 y se puede hablar de efeco apalancamieno cuando γ < 0. Especificaciones de orden mayor son de la forma: log p q ( ) = ω + β log( ) + = ε α ε + γ i i i i i= i i El modelo PARCH, o ARCH poencial, modeliza las poencias de la desviación ípica. Originalmene fue propueso por Taylor (986) y Schwer (989) para modelizar las desviaciones ípicas y poseriormene fue generalizado por Ding e al. (993). = ω + δ q = β δ + p ( αi ε γ iε ) donde δ > 0, γ, i =, L r, γ = 0, i r y r p. Obsérvese que si δ = y i, i > odos los coeficienes γ i son nulos, se iene la especificación del modelo GARCH simérico. i= δ 4. RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN Y EVALUACIÓN DE LAS PREDICCIONES. Los modelos han sido esimados con el programa economérico EVIEWS versión 5. para el período muesral que abarca desde el 7 de febrero de 993 hasa el 3 de diciembre de 00, reservando las observaciones de 003 resanes (hasa el 0 de febrero de 003) para la evaluación de las predicciones. La esimación se ha realizado uilizando el méodo de la máxima verosimiliud, suponiendo que una disribución de errores generalizados, de acuerdo con la propuesa de Nelson(99) eniendo en cuena que no puede admiirse que los daos considerados esén normalmene disribuidos. 9
El cuadro recoge los modelos esimados, así como los crierios AIC y BIC. Cuadro : Modelos esimados Modelo Ecuación AIC BIC GARCH(,) TARCH(,) -6.7-6.0 =.5E - 06 + 0.07 + ε 0.9 (6.4) (0.76) (0.98) =.74E-06+ - 0.039ε + 0.07ε d + 0.88-6.39-6.8 (4.6) (3.4) (3.8) (39.5) ε ε = + + -6.5-6.40 EGARCH ( ) log -0.9 0.4 0.05 0.98 log ( ) PARCH Fuene: Elaboración propia. ( 6.8) (8.8) ( 4.9) (6.86).69 5.69. 0 0.9 + 0.07 0.8 = + ε ε -6.5-6.38 (0.7) (83.54) (5.96) (3.73).69 Tal y como se observa, según los crierios AIC y BIC, los modelos con meor ause denro de la muesra son los modelos asiméricos. El análisis de capacidad prediciva con cada uno de los modelos se realiza de acuerdo con el siguiene esquema: ) Se esima el modelo con información hasa el 3 de diciembre de 00. ) Se generan predicciones con horizone a, y 5 períodos por delane. 3) Se añade una observación más al modelo y se vuelve a esimar y a generar nuevas predicciones. 4) Se calculan las series de errores de predicción a, y 5 períodos por delane obenidas con las disinas predicciones realizadas. 5) Se calculan los esadísicos descripivos de los errores de predicción. En paricular, se calcula la Raíz Cuadrada del Error Cuadráico Medio (RECM) para comparar la precisión de las predicciones con los disinos modelos. El cuadro recoge la comparación de los resulados en predicción en érminos del raio del RECM de los diferenes modelos asiméricos sobre el RECM del modelo GARCH (uilizado como referencia) para los disinos horizones de predicción. Un 0
raio menor que la unidad significa que el modelo en cuesión meora las predicciones del modelo de referencia. Cuadro : Raio del RECM de los disinos modelos sobre el RECM del modelo GARCH (,) Horizone de predicción período períodos 5 períodos EGARCH.0066 0.9969 0.996 TARCH.009 0.9978 0.9897 PARCH.0075 0.997 0.987 Fuene: Elaboración propia. Como se puede observar en el cuadro, no exisen ganancias en predicción mediane la uilización de modelos asiméricos, mas compleos que el GARCH(,), considerando un periodo por delane, no obsane se aprecian algunas ganancias en las predicciones realizadas por lo mismos modelos uilizados a dos y cinco periodos. Por ulimo, para evaluar si las diferencias son esadísicamene significaivas con respeco al modelo de referencia se aplica el conrase debido a Diebold y Mariano (995) (DM de ahora en adelane). La hipóesis nula esablece la igualdad de los dos procedimienos de predicción en érminos de una función de pérdida cuadráica, g (e), sobre sus errores, es decir, ( ) = 0 E, donde d g( e ) g( e ) esadísico del conrase de Diebold y Mariano (995) viene dado por: DM donde d es la media muesral de la serie d = d var ( d ) =. El GARCH ASIM d y var ( d ) se calcula eniendo en cuena la correlación serial en d. El esadísico DM sigue una disribución normal esándar bao la hipóesis nula y su corrección por muesras finias sigue una de Suden con l- grados de liberad, donde l es el número de predicciones. El esadísico DM, así como el p-valor asociado para los disinos modelos considerados se presena en el cuadro 3.
Cuadro 3. Esadísico DM y p-valores asociados. Horizone de predicción período períodos 5 períodos EGARCH 7.78E-0 (0.7868) -7.48E-0 (0.7678) -3.65E-0 (0.884) TARCH 9.79E-09 (0.59) -7.40E-0 (0.6757) -.79E-09 (0.3993) PARCH 9.79E-09 (0.59) -7.40E-0 (0.6757) -.79E-09 (0.3993) Fuene: Elaboración propia. El cuadro 3 muesra como los resulados de predicción obenidos por los disinos modelos no presenan diferencias significaivas. 6. CONCLUSIONES. En ese arículo se ha presenado una primera aproximación al papel de las asimerías en el análisis del índice IGBM a parir de disinos modelos de la familia GARCH. Los resulados denro del período muesral esudiado indican que odos los modelos asiméricos analizados meoran el ause realizado por el proceso GARCH(,). Los resulados de predicción fuera de la muesra recogen, sin embargo, que el modelo GARCH(,) es el que meor se compora en el análisis de los errores a un período por delane, mienras que los modelos asiméricos consiguen ligeras ganancias en los errores a dos y cinco períodos. En cualquier caso, el conrase de Diebold y Mariano muesra que las diferencias no son significaivas. No obsane, los resulados de ese rabao deben ser considerados como una primera aproximación. En versiones poseriores, se realizarán varios cambios. En primer lugar, el período muesral reservado para evaluar las predicciones es excesivamene coro (enero y pare de febrero de 003), de acuerdo con los daos disponibles, por lo que en una fuura versión del arículo se prevé ampliar los resulados a la oalidad de 003 y 004. En segundo lugar, el arículo se basa en la esimación de la volailidad en función de la correca especificación de la media condicional. Sin embargo, al y como hacen Awarani y Corradi (005), será preciso analizar la robusez de los
resulados ane especificaciones alernaivas de la media condicional, lo que sobrepasaría los obeivos del presene rabao. 7. BIBLIOGRAFÍA.. Andersen, T.G, and Bollerslev, T. (998), DM-Dollar Volailiy: Inraday Aciviy Paerns, Macroeconomic Announcemens and Longer-Run Dependencies. Journal of Finance, 53, 90-65.. Awarani, B.M.A. and Corradi, V. (005), Predicing he volailiy of he S&P- 500 sock index via GARCH models: he role of asymmeries. Inernaional Journal of Forecasing,, 67-83. 3. Bollerslev, T. (986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, 307-37. 4. Brooks, C. (00): Inroducory economerics for finance, Cambridge Universiy Press. 5. Diebold, F. X. and Mariano, R. S. (995), Comparing Predicive Accuracy,'' Journal of Business and Economic Saisics,3, 53-63. 6. Glosen, L.R., Jagannahan, R. & Runkle, D.E. (993). On he relaion beween he expeced value and he volailiy of he nominal excess reurn on socks. Journal of Finance, 48, 779-80. 7. Engle, R.F. (98). Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of Variance of U.K. Inflaion. Economerica, 50, 987-007. 8. Nelson, D.B. (99) Condicional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Aprproach, Economerica 59(), 347-70. 9. Núñez, J.J. y Senra, E. (003). Tendencias acuales en la modelización de índices bursáiles. Publicado en Información económica y écnicas de análisis 3
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