UNIDAD IV CONTENIDO TEMÁTICO OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1
ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD IV Conceptos Mínimo común múltiplo OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas 2
4.1 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS (CONCEPTOS) 1.-FRACCIÓN El cociente indicado de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b 0. Por ejemplo, en la fracción el denominador, 5, indica que son quintas partes, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: tres quintas partes. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero: Si el numerador no es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número fraccionario, es decir, a un número no entero. 2.-EQUIVALENCIA Dos fracciones y son equivalentes, y se expresa si a b = b a. Así, porque 21 12 = 9 28 = 252. 3.-SIMPLIFICACIÓN Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido: Por ejemplo:, porque la fracción es el resultado de simplificar dividiendo sus términos por 10. 3
4.-FRACCIÓN IRREDUCIBLE Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción es irreducible. La fracción no es irreducible porque se puede simplificar: 5.-REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: Es decir, es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador. 6.-SUMA DE FRACCIONES Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo: 4
7.-PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: 8.-INVERSA DE UNA FRACCIÓN La inversa de una fracción es otra fracción,, que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a la unidad, o sea, 1: 9.-COCIENTE DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: 10.-FRACCIÓN ALGEBRAICA El cociente indicado de dos polinomios, a los que se llama numerador y denominador de la fracción. Las fracciones algebraicas se comportan de forma parecida a las fracciones numéricas. Se pueden simplificar, reducir a común denominador, y operar (suma, resta, multiplicación y división), y las propiedades de estas operaciones son similares a las correspondientes de las fracciones numéricas. 11.-EQUIVALENCIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Dos fracciones algebraicas son equivalentes si verifican la siguiente igualdad: P(x) Q (x) = Q(x) P (x) 5
Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción resultante es equivalente a la primitiva. 12.-SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se pueden dividir por un mismo polinomio, al hacerlo se obtiene otra fracción algebraica equivalente a la anterior. Se dice que la fracción se ha simplificado o reducido: Si se dividen numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos, la fracción obtenida se llama irreducible. 13.-REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Para reducir varias fracciones algebraicas a común denominador se halla el mínimo común múltiplo de sus denominadores, M(x), y se obtienen otras fracciones equivalentes a las anteriores pero con el denominador común M(x). Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores: (consulten el siguiente tema para más detalle) M(x) = m.c.m. (x 2, x + 1, x(x + 1)) = x 2 (x + 1) = x 3 + x 2 Ahora se hallan fracciones equivalentes a A, B y C con denominador M(x): 6
Las fracciones resultantes son equivalentes respectivamente a A, B y C, y tienen todas el mismo denominador. Por eso se dice que son el resultado de reducir a común denominador las fracciones A, B y C. 14.-SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para sumar fracciones algebraicas se reducen a común denominador y se suman sus numeradores: La suma de fracciones algebraicas es una operación que tiene las propiedades asociativa y conmutativa, posee elemento neutro (el número cero puede considerarse una fracción algebraica con numerador cero y denominador cualquier polinomio distinto de cero), y toda fracción algebraica tiene una opuesta, resultado de cambiar de signo el numerador o el denominador. 15.-RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Restar dos fracciones algebraicas es sumarle a la primera la opuesta de la segunda. 16.-MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores: La multiplicación de fracciones algebraicas es asociativa, conmutativa y distributiva respecto a la suma. El número 1 puede ser considerado como fracción algebraica equivalente a cualquier fracción en que el numerador y el denominador sean el mismo polinomio. 7
Se llama inversa de la fracción algebraica P(x)/Q(x) a Q(x)/P(x).Evidentemente, si multiplicamos una fracción algebraica por su inversa se obtiene la unidad. 17.-DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Dividir una fracción algebraica por otra es multiplicarla por su inversa: 8
4.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es el término algebraico que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas. Regla para obtener el MCD: 1. Se obtiene el mcm (mínimo común múltiplo) de los coeficientes. 2. Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de Ejemplo 1: mayor exponente, y se multiplican por el mínimo común múltiplo de los coeficientes. Determinar el mcm de las siguientes expresiones Solución: 15x 2 y 2 z, 24xy 2 z, 36y 4 z 2 Se obtiene el mcm de 15, 24, y 36: (comecemos por la descomposición parcial en factores primos, como se le denomina a esta técnica) Factores primos 15 24 36 2 15 12 18 2 15 6 9 2 15 3 9 3 5 1 3 3 5 1 1 5 1 1 1 mcm = 2 3 X 3 2 X 5 = 360 Entonces, el mcm de los coeficientes 15, 24 y 36 es 360. Luego, se toman todos los factores y se escogen los de mayor exponente en el caso de aquellos que sean comunes y, los que no, se escriben igual. Así, aplicando el segundo paso de la regla se obtiene: x 2 y 4 z 2. Y finalmente el mcm es 360 x 2 y 4 z 2. 9
Ejemplo 2: Encontrar el mcm de 4m 2 + 8m 12, 2m 2 6m + 4, 6m 2 + 18m 24; Solución: Se factorizan los polinomios y se escogen los factores: 4m 2 + 8m 12 = 4 (m 2 + 2m 3) = 4(m + 3)(m 1) 2m 2 6m + 4 = 2(m 2 3m + 2) = 2(m 2)(m 1) 6m 2 +18m 24 = 6(m 2 + 3m 4) = 6(m + 4)(m 1) Se obtiene el mcm de los coeficientes de 4, 2, y 6 Factores primos 4 2 6 2 2 1 3 2 1 1 3 3 1 1 1 3 mcm = 2 3 X 3 = 12 El mcm de 4, 2 y 6 es 12. El mcm de los factores es: (m + 3) (m 2) (m + 4) (m 1) Por consiguiente, el mcm es: 12 (m + 3) (m 2) (m + 4) (m 1) Pero Para qué nos sirve el mcm? Cuando tenemos fracciones algebraicas polinomiales, el mcm se utiliza para reducir a común denominador o encontrar un común denominador para ciertas fracciones algebraicas. Revisemos el siguiente ejemplo. Encontrar un común denominador para las siguientes fracciones: 10
Solución: 1) Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador. x 2 1 = (x + 1) (x 1) x 2 + 3x + 2 = (x+1) (x + 2) m.c.m. (x 2 1, x 2 + 3x + 2) = (x+ 1) (x 1) (x + 2) 2) Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. para la primera fracción. para la segunda. Observa cómo ahora las dos fracciones iniciales tienen denominador común. Por esto es de suma utilidad el mínimo común múltiplo (mcm). 11
4.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Continuamos este tercer tema de la unidad abordando la simplificación de fracciones algebraicas. Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos. Ejemplo 1: De igual modo, así como conocemos la simplificación de fracciones, también existe lo que conoce como amplificación de fracciones algebraicas Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio. Ejemplo : Reducción de fracciones algebraicas a común denominador Al proceso de simplificación de fracciones también se le denomina como reducción de fracciones a común denominador. Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador. Así pues, una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentran en ambas posiciones, como a continuación se ejemplifica. Procedimiento general para la simplificación de fracciones algebraicas 1. Se transforma el numerador y denominador con el propósito de identificar los factores comunes. 2. Se cancelan los factores comunes en numerador y denominador. 12
Ejemplos resueltos: Simplificar o reducir las siguientes fracciones algebraicas a su más simple expresión: 13
En todos los ejemplos anteriores, como te podrás haber dado cuenta, tanto el numerador como el denominador eran monomios. Vamos a revisar por último, un caso de simplificación de fracciones en donde los términos son polinomios. Procedimiento general para la simplificación de fracciones algebraicas cuyos términos sean polinomios 1. Se factorizan los polinomios en el numerador y denominador. 2. Se simplifican las expresiones, suprimiendo los factores comunes en el numerador y denominador 14
Ejemplos resueltos: Simplificar o reducir las siguientes fracciones algebraicas a su más simple expresión: 15
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4.4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Ejemplo 1: Sumar las fracciones algebraicas: Solución: Como en este caso todas las fracciones tienen el mismo denominador, entonces colocamos dicho denominador y simplemente realizamos la suma de todos los numeradores como se muestra a continuación: Procedimiento general para la suma de fracciones algebraicas 1. Se simplifican las fracciones 2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.) 3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo 4. Se expresa la suma de los productos obtenidos en el paso anterior en un sólo numerador. 5. El denominador de la fracción resultante es el m.c.d. 6. Se reducen los términos semejantes en el numerador 7. Se simplifica. 18
Ejemplos resueltos: Efectuar la suma de las siguientes fracciones algebraicas: 19
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Suma de fracciones algebraicas con distinto denominador Otro caso que también nos ocupa es el de la suma de fracciones con denominadores compuestos, esto es, con distinto denominador. En primer lugar, lo que debe hacerse es poner las fracciones algebraicas a común denominador, para posteriormente sumar los numeradores. Veamos el siguiente ejemplo de suma (y resta) de fracciones algebraicas con diferente denominador: Procedimiento general para la suma de fracciones algebraicas con distinto denominador 1. Se factorizan los denominadores. 2. Se halla el m.c.d. (mínimo común múltilplo de los denominadores). 3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el resultado se multiplica por el numerador respectivo. 4. La suma será una fracción cuyo numerador estará compuesto por la suma de los productos obtenidos en el paso anterior, y cuyo denominador es el m.c.d. 5. Se efectúan los productos indicados 6. Se reducen términos semejantes 21
Ejemplos resueltos: Efectuar la suma de las siguientes fracciones algebraicas: 22
Resta de fracciones algebraicas Abordaremos ahora el caso de la resta de fracciones. Procedimiento general para la resta de fracciones algebraicas 1. Se simplifican las fracciones 2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.) 3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo 4. Se cambia de signo a los productos obtenidos en el paso anterior para la segunda y tercera farcciones y se suman al producto obtenido para la primera fracción. 5. El m.c.d. es el denominador de la fracción resultante. 6. Se reducen los términos semejantes en el numerador. 7. Se simplifica. 23
Ejemplos resueltos: Observar detenidamente la solución desarrollada para cada una de las siguientes restas de fracciones algebraicas: 24
Resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Y finalmente, al igual que la operación de suma, también se puede dar el caso de la resta de fracciones con denominadores compuestos. Procedimiento general para la resta de fracciones algebraicas con denominadores compuestos o distintos 1. Se simplifican las fracciones 2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.) 3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo 4. Se cambia de signo a los productos obtenidos en el paso anterior para la segunda y tercera farcciones y se suman al producto obtenido para la primera fracción 5. El m.c.d. es el denominador de la fracción resultante. 6. Se reducen los términos semejantes en el numerador 7. Se simplifica 25
Ejemplos resueltos: Observar detenidamente la solución desarrollada para cada una de las siguientes restas de fracciones algebraicas: 26
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Referencias Fernández, J.C. (2008) Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos gratuitos para todos sus usuarios. Consultado el 23 de Mayo del 2009 en http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html# Suárez, H. (2009) Ejercicios resueltos del Álgebra de Baldor. Recopilación de ejercicios resueltos del Álgebra de Baldor, provista por el sitio Precalculo21 a cargo del profesor colombiano Juan Beltrán. Consultado el 20 de Enero del 2010 en http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia Multimedia. Micronet. Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft Corporation. 29