CPÍTULO 2 XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN En este capítuo, comenzaremos dando os términos y reaciones primitivas de a geometría, y su conexión por medio de os axiomas. medida que se van presentando os axiomas, se deducen os teoremas que se desprenden de eos, como también as definiciones necesarias para caracterizar os nuevos objetos. En a formuación que adeantaremos, asumiremos e manejo de a ógica y de a teoría de conjuntos, aunque en agunos puntos haremos hincapié en e proceso ógico de as demostraciones. 2.1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 1.1 Términos primitivos: punto, recta, pano, espacio. 1.2 Reaciones primitivas: estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos términos y reaciones primitivas, se pueden reacionar mediante enunciados taes como: E punto está en a recta. E punto esta entre os puntos y C en a recta. 5
6 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN 1.3 xiomas. Los axiomas se dividen en seis grupos a saber: Grupo I. xiomas de incidencia. Grupo II. xiomas de orden. Grupo III. xiomas de congruencia. Grupo IV. xiomas de continuidad. Grupo V. xiomas de paraeismo. Grupo VI. xiomas de área. 2.2. XIOMS DE INCIDENCI I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y soo una a a cua pertenecen. Por un punto pasa a menos una recta. I.2 toda recta pertenecen a menos dos puntos distintos. I.3 Dada una recta, existe a menos un punto de espacio que no está en a recta. Definición 1.. Puntos coineaes son aqueos que están en una misma recta. I.4 Tres puntos distintos que no están en una misma recta, determinan un pano y soo uno a cua pertenecen. Por dos puntos distintos pasa a menos un pano. I.5 todo pano pertenecen a menos tres puntos distintos no coineaes. I.6 Dado un pano, existe por o menos un punto de espacio que no está en e pano. Definición 2.. Puntos copanares son aqueos que están en un mismo pano. I.7 Si dos puntos de una recta están en un pano, a recta está contenida en e pano. I.8 Si dos panos diferentes se cortan, su intersección es una recta. Observación: e axioma I.8 estabece que si dos panos tienen un punto en común, tienen un segundo punto en común y en consecuencia, una recta común. Notación:
2.2. XIOMS DE INCIDENCI 7 i) Para designar puntos, utiizaremos etras atinas mayúscuas. ii) Para, puntos distintos, notaremos por ó a recta a a cua pertenecen estos puntos, o también por etras minúscuas atinas. sí, por ejempo, nos referiremos a a recta ó a a recta, (ver Figura 1.). Figura 1. Teorema 1. Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es un soo punto. Figura 2. Demostracion. (Figura 2.). Sean y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción a absurdo). Supongamos que as rectas se cortan en dos puntos distintos y. Por e axioma I.1 por os puntos y pasa una recta única. Luego y m son a misma recta. Contradicción, ya que y m son rectas diferentes. m
8 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN Teorema 2. Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un pano único que as contiene. Demostracion. (Figura 3.). Sean y m dos rectas diferentes que se intersectan. Sea e punto de intersección (Teorema 1). Por e axioma I.2 existen otro punto diferente de en y otro punto C diferente de en m. Luego,, C son no coineaes ya que no está en a recta m y C no está en a recta. Entonces por e axioma I.4,, C determinan un pano único. Por e axioma I.7 as rectas y m están contenidas en ese pano. Este es e único pano que contiene a ambas. Si existiera otro,, y C estarían en é. Contradicción con e axioma I.4. m Figura 3. Teorema 3. Si es una recta y un punto que no pertenece a ea, existe un pano único que contiene a a recta y a punto. Demostracion. (ver Figura 4.). Por e axioma I.2 a recta tiene a menos dos puntos diferentes y C. Por e axioma I.4 os tres puntos no coineaes, y C determinan un pano único. está en ese pano y por e axioma I.7 a recta está contenida en e pano. Este pano es único, si no, os tres puntos, y C estarían en otro pano. Contradicción con e axioma I.4. C
2.3. XIOMS DE ORDEN 9 C Figura 4. 2.3. XIOMS DE ORDEN Intuitivamente en Geometría, e orden estabece a forma como se reacionan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, esta reación es a que hemos denominado dentro de as reaciones primitivas, estar entre. II.1 Si e punto se encuentra entre e punto y e punto C, entonces, y C son puntos diferentes de una misma recta y se encuentra así mismo entre C y, (ver Figura 5.). C Figura 5. II.2 Dados dos puntos distintos y C, existe a menos un punto sobre C ta que está entre y C, (ver Figura 6.). II.3 Dados dos puntos distintos y C, existe a menos un punto D sobre C, ta que C está entre y D, (ver Figura 7.) II.4 Dadostrespuntosdistintosdeunarecta,unoysoounodeeosestáentre os otros dos.
10 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN C Figura 6. C D Figura 7. Observación: e axioma II.4, estabece que por ejempo, si está entre y C, entonces no está entre y C y C no está entre y. Definición 3 (Segmento). Sean y dos puntos. conjunto formado por y y todos os puntos entre y se e ama segmento y se nota ó. y se aman extremos de segmento y se dice que eos determinan a segmento. Los puntos que están entre y se aman puntos interiores de segmento. Los demás puntos de se aman puntos exteriores. En consecuencia : = {,} {X/X es un punto que está entre y }. Los puntos interiores a os denotamos por Int; por tanto Int = {X/X es un punto que está entre y }. Si y representan e mismo punto diremos que es un segmento nuo. II.5 Si X está entre D y C y D está entre y C, entonces X está entre y C, (ver Figura 8.). Observación: de II.2 y II.5 se sigue que un segmento tiene infinitos puntos y o propio para una recta.
2.3. XIOMS DE ORDEN 11 D X C Figura 8. Definición 4. Un conjunto no vacío de puntos se denomina figura. Definición 5. Diremos que una figura es convexa si dados dos puntos cuaesquiera de ea, e segmento determinado por estos puntos, está contenido en a figura. En caso de no cumpirse este enunciado, diremos que a figura es no convexa, (ver Figuras 9. y 10.). Ejercicio 1. Si. Es convexo? Ejercicio 2. Si. Es Int convexo? Ejercicio 3. Demostrar que si entonces es convexo. Figura 9. Figura Convexa Figura 10. Figura no convexa Teorema 4. La intersección no vacía de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. Demostración. Sean y conjuntos convexos. Sean X, Y, ya que. Probemos que XY. En efecto, como X, Y entonces X,Y y X,Y. Como es convexo por hipótesis, entonces XY y simiarmente, como es convexo, entonces XY, uego XY.
12 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN Observación: a unión de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo. Veamos un contraejempo. C D Figura 11. Sean,, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta ; taes que: CD = φ, (ver Figura 11.)., C CD y C CD Luego, CD es no convexo. Definición 6. Sea O un punto de a recta,, otros dos puntos diferentes de a misma. Si O no está entre y, diremos que os puntos y están sobre a un mismo ado de punto O. Si O está entre y diremos que os puntos y están sobre a recta en ados diferentes con respecto a punto O, (ver Figura 12.). O O O Figura 12.
2.3. XIOMS DE ORDEN 13 II.6 xioma de separación de a recta. Un punto O de una recta divide a todos os demás puntos de ésta en dos conjuntos no vacíos, de modo que dos puntos cuaesquiera de pertenecientes a mismo conjunto están a un mismo ado de O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se encuentran en ados diferentes de O. Iustración: (ver Figura 13.). i), están a un mismo ado de O. C,D están en un mismo ado de O. ii),c están en ados diferentes de O. Lo propio para: y C; y D; y D iii) y pertenecen a un conjunto distinto a conjunto que contiene a C y D. O C D Figura 13. Definición 7 (Semirrecta). Decimos que un punto O de una recta, conjuntamente con agún otro punto de a misma, determina a semirrecta O, que notaremos O; os puntos que están de mismo ado que con respecto a O se aman puntos de a semirrecta O; e punto O, origen de a semirrecta O, (ver Figura 14.). O Figura 14.
14 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN En consecuencia: O = {X/X es un punto que está entre O y } {} {X/ es un punto que está entre O y X} Observaciones: E axioma II.6 nos permite, dada una recta, O y puntos distintos, estabecer una partición de a recta en tres conjuntos convexos y disjuntos así: (ver Figura 15.) X O = {O} O {X/O está entre y X} Figura 15. Si O,, son puntos de una recta y O está entre y diremos que O y O son semirrectas opuestas,(ver Figura 16.). Ejercicio 1. Mostrar que si O entonces O O es no convexo. II.7 xioma de separación de pano. Cada recta contenida en un panoπ, divide os puntos de este pano que no e pertenecen, en dos conjuntos no vacíos, de manera ta que dos puntos cuaesquiera y de conjuntos diferentes determinan un segmento, que contiene agún punto de a recta, mientras que dos puntos arbitrarios y de un mismo conjunto determinan un segmento, dentro de cua no hay ningún punto de, (ver Figura 17.) O Figura 16.
2.3. XIOMS DE ORDEN 15 π Observaciones: π Figura 17. Figura 18. i) Dados: π, Q π, Q, entonces e axioma II.7 nos permite definir dos conjuntos no vacíos que denominaremos semipanos y que notaremos así: (ver Figura 18. ) π o /Q y que eeremos: semipano de borde y que contiene a punto : Q Q. Q π : Q o / Q y que eeremos: semipano de borde y que no contieneapuntoqyseeamasemipanoopuestoasemipanoπ :Q
16 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN ii) Con as condiciones estabecidas en i), e axioma II.7 nos permite estabecer una partición de pano π en tres conjuntos convexos y disjuntos así: π=π :Q π o π= /Q Q : Q Ejercicio 1. Mostrar queπ es convexo. :Q Ejercicio 2. Mostrar queπ :Q π es no convexo. : Q Teorema 5. Si P es un punto sobre una recta y Q es un punto que no está en dicha recta, entonces a semirrecta PQ está contenida enπ : Q. T P P Figura 19. Demostración. (Ver Figura 19.). Por e Teorema 3., sea π e pano determinado por y Q y sea T un punto de a semirrecta PQ distinto de Q. Caramente T es un punto de panoπ. Veamos que T está en e semipanoπ : Q. Razonando por reducción a absurdo: supongamos que T está en e semipano π : Q. Por consiguiente e segmento TQ intecepta a recta en un punto P, uego P está entre T y Q (xioma de separación de pano) y como además T está en a recta PQ, entonces as rectas PQ y TQ coinciden y por o tanto, P y P son e mismo punto; de o cua se sigue que P está entre T y Q, o sea que T no está en a semirrecta PQ en contradicción con e supuesto inicia. Lo anterior nos permite concuir que T está en e semipanoπ : Q como se quería demostrar. Q
2.3. XIOMS DE ORDEN 17 II.8 xioma de separación de espacio. Todopanoπ divideaosdemáspuntosdeespacioquenoepertenecen en dos conjuntos no vacíos, de manera ta que dos puntos cuaesquiera y de conjuntos diferentes, determinan un segmento dentro de cua hay agún punto de panoπ, mientras que dos puntos cuaesquiera y de un mismo conjunto, determinan un segmento dentro de cua no hay puntos comunes con e panoπ. Observaciones: i) Los conjuntos definidos por e axioma II.8 se denominan semiespacios. ii) E axioma II.8 estabece una partición de espacio en tres conjuntos convexos y disjuntos. Definición 8. (nguo). E conjunto formado por dos semirrectas que tienen e mismo origen, incuyendo este punto, se ama ánguo. Si as dos semirrectas coinciden, entonces e ánguo que determinan se ama nuo. Si as dos semirrectas son semirrectas opuestas, e ánguo se ama ano. Ejercicio 1. Sea ÂO no nuo y no ano. Es ÂO convexo? Expique. Notación: si O y O son dos semirrectas, entonces e ánguo que forman se denotará por cuaquiera de os símboos, (Ver Figura 20.): O Figura 20. ÂO ó O; O ó O; ( O, O) ó ( O, O)
18 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN O y O se denominan ados de ánguo. O se denomina vértice de ánguo. E siguiente teorema es consecuencia de Teorema 4, se deja como ejercicio. Teorema 6. Un ánguo no-nuo y no-ano divide a pano en dos regiones de ta manera que en una y sóo una de as regiones es convexa. La región que posee esta propiedad se ama interior de ánguo y a otra región se ama exterior de ánguo, (ver Figura 21.). π O Observaciones: Figura 21. i) E interior de ÂO o notaremos: Int(ÂO). Interior de ánguo ÂO ii) Int(ÂO) = O / O / =π O: π O:. Coroario 1. La semirrecta que tiene su origen en e vértice de un ánguo no nuo y no ano y un punto en e interior de dicho ánguo, está contenida en e interior de ánguo. (ver Figura 22.) Demostración: sea D Int(ÂO). Veamos que a semirrecta ODestácontenida en Int(ÂO). Está caro por a hipótesis que D es un punto de semipanoπ y también es un punto de semipanoπ. O: O: Por e Teorema 5 a semirrecta OD está contenida enπ y también en O: π ; esto es OD está contenida en nt(âo). O:
2.3. XIOMS DE ORDEN 19 D O Figura 22. Teorema 7. Dado un ánguo C (no-nuo y no ano), os puntos interiores de segmento C están en e interior de dicho ánguo. Demostración. (ver Figura 23.). Supongamos que D es un punto interior a C. Vamos a demostrar que D es un punto interior a ánguo C. C D Figura 23. De a hipótesis tenemos que D está entre y C; por o tanto, estos dos puntosestánenadosdistintosrespectoad yenconsecuenciac D.firmamos que D C= φ, en efecto, puesto que D C y C C= {C} y como C D, queda sustentado o afirmado. Por tanto: D π (1) C: Deahipótesistambiénseinfiereque DC yafirmamosquedc = φ, en efecto, puesto que DC C y C = {}; pero DC. En
20 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN consecuencia: DC π : C (2) De (1) y (2) podemos concuir que D π π esto es: D : C C: pertenece a interior de ánguo C. Teorema 8. Sea C un ánguo no nuo y no ano; D un punto interior a dicho ánguo. Si F es un punto ta que está entre F y C, entonces os puntos y F están en e mismo semipano determinado por a recta D. F G Figura 24. Demostración. (Ver Figura 24.). Esta consistirá en demostrar que e segmento F no tiene puntos en a recta en D. Dividiremos a prueba en tres puntos, a saber: i) Veremos que e punto no puede estar en e segmento F. ii) Veremos que ningún punto de F está en a semirrecta D. iii) Veremos que ningún punto de F está en a semirrecta G, siendo G un punto en a semirrecta opuesta a D. C D La prueba de estas tres partes permite afirmar que F no corta a a recta D y por tanto, que os puntos F y están en un mismo semipano respecto
2.3. XIOMS DE ORDEN 21 de a recta D. Para probar i) comencemos por afirmar que a hipótesis de enunciado garantiza que es un punto distinto de y F. Razonando por reducción a absurdo, supongamos que es un punto en e interior de F. Puesto que F se tomó en a recta C, as rectas C y F tienen en común os puntos y F y por tanto dichas rectas coinciden (xioma I.1), de donde se concuye que e punto está en a recta C, o cua eva a a contradicción con a hipótesis de que e ánguo C es no nuo y no ano. En esta forma queda demostrada a parte i). Para probar as partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que a semirrecta D está contenida en e interior de ánguo C, (Coroario) y por tanto, está contenida en e semipano π comotambiénenesemipanoπ. : C C: Para probar ii) afirmamos que os puntos F y C están en semipanos o- puestos respecto a a recta, ya que está entre F y C y estos puntos no están en. Según o anterior, F está en e semipanoπ y por e : C Teorema 5,escaroqueasemirrecta F estáenesemipanoπ.por : C otra parte, ya se afirmó que a semirrecta D está en e semipanoπ. : C Siendo disjuntos os semipanos π yπ y siendo, se sigue : C : C que ningún punto de F está en a semirrecta D. Para demostrar a parte iii) tomamos en consideración que as semirrectas opuestas D, G están en semipanos opuestos respecto a a recta C y como D está en e semipanoπ, entonces G está en e semipano C: π. Por otra parte, como F está en C y es un punto que no está en C: C, por e Teorema 5, se sigue que a semirrecta F está en e semipano π. Siendo disjuntos os semipanosπ yπ y siendo, C: C: C: se concuye que e segmento F no tiene puntos en a semirrecta G. Coroario 2. Sea C un ánguo no nuo y no ano; D un punto en e interior de dicho ánguo. Si F es un punto ta que esta entre F y C, entonces Int FD.
22 CPÍTULO 2. XIOMS DE INCIDENCI Y ORDEN Teorema 9 (Teorema de a barra transversa). Si D es un punto que está en e interior de C (no nuo y no ano), entonces D intersecta a C. F G Figura 25. Demostración. (ver Figura 25.).Sea G a semirrecta opuesta a a semirrecta D. Razonando por reducción a absurdo. Supongamos que D C = φ, por e Teorema 7. y e Coroorario 1. G C = φ. En consecuencia D C = φ o sea que por e xioma de separación de pano, y C están en e mismo semipano con respecto a a recta D. Tomemos F C ta que está entre F y C, por tanto F D= φ por e Teorema 8; esto es, F y están en e mismo semipano respecto a a recta D, concuyéndose por tanto que F y C están en e mismo semipano respecto a D; esto es contradictorio puesto que está entre F y C. firmamos as tésis D C φ. D C
2.4. EJERCICIOS Y PROLEMS DEL CPÍT. 2. 23 2.4. Ejercicios y Probemas de Capít. 2. 1. Con este ejercicio se demuestra que un segmento es una figura convexa. Si os puntos C y D pertenecen a segmento, entonces todos os puntos de segmento CD están en e segmento ( CD ). 2. SiepuntoC estaentreospuntosy,todosospuntosdesegmento C están en e segmento. 3. Si e punto C esta entre os puntos y, ningún punto de segmento C distinto de C esta en e segmento C. 4. Si e punto C esta entre os puntos y, cada punto de segmento, esta o bien en e segmento C o bien en e segmento C o en ambos. 5. Si,,C no están en a misma recta y si una recta a intercepta e interior de dos de os tres segmentos,c,c, entonces a recta a no intercepta e tercero. 6. Si M es un punto de O, demostrar que OM coincide con O. 7. Si Q es un punto de semipano :P, demostrar que :Q coincide con :P. 8. Demostrar que si un pano y una recta se cortan y e pano no contiene a recta, entonces se cortan en un soo punto. 9. Demostrar que a recta es una figura convexa. 10. Demostrar que un segmento y una recta tienen un número infinito de puntos. 11. Sea α un pano cuaquiera, una recta contenida en e pano α. Demostrar que existe a menos un punto en e pano α que no está en a recta. 12. Demostrar e coroario 2. 13. Demostrar e Teorema 6.