Repaso de Matemáticas

Repaso de Matemáticas Teoría Macroeconomica III Marcel Jansen Universidad Autónoma de Madrid En estas notas resumiremos algunas de las herramientas matemáticas que pueden encontrar útiles para este curso. Para un anális más detallado os recomiendo el libro de Simon y Blume Mathematics for Economists, Norton publishers, 1994. El libro está disponible en la biblioteca. 1 Funciones Una función representa una relación entre una variable, que llamaremos por ejemplo y, y otro conjunto de variables, por ejemplo x, z,... La característica fundamental de una función es que, para cualquier conjunto dado de valores de x, z,..., existe uno y solamente un valor para y. Considere el siguiente ejemplo: y = f(x) = x 2. Por lo tanto si se fija un valor para x, existirá un único valor para y. Si, por ejemplo, x = 2, entonces Considere ahora el siguiente ejemplo y = f(2) = 2 2 = 4. y = f(x, z) = 2x + z. Nuevamente, para cualquier valor dado de x y z, existe un único valor de y. Si, por ejemplo, x = 2 y z = 3, entonces y = f(2, 3) = 2(2) + 3 = 7. Cuando definimos una función usualmente especificamos que valores puede tomar x. Este conjunto de valores es llamado el dominio de la función. Dado el dominio, el conjunto de valores que puede tomar y se llama el rango de la función. Si llamamos X al conjunto de valores que componen el dominio 1

25 Figure 1 20 15 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figure 1: Una función creciente de la función y llamamos Y al conjunto de valores que componen el rango, usamos la siguiente notación f : X Y, para indicar que f relaciona cada elemento de X con un elemento de Y. Por ejemplo, si x [0, 5] e y = f(x) = x 2, entonces y relaciona cada número en el intervalo [0,5] con otro en el intervalo [0,25], i.e. f : [0, 5] [0, 25]. Cuando y es función de una única variable x, normalmente podemos describir como y cambia con x. Para este ejemplo, el gráfico de y = f(x) = x 2 se muestra en la Figura 1. 2 Derivada de una Función Suponga que y es una función de x, i.e. y = f(x). La derivada de f(x) con respecto a x, cuya notación es f(x) o bien 2

nos dice como cambia f(x) cuando x se incrementa en una cantidad muy pequeña. Si y aumenta cuando x aumenta, entonces la derivada es positiva, > 0, y si y disminuye cuando x disminuye, entonces la derivada es negativa, < 0. Si > 0 para todo valor de x, entonces y es una función creciente de x, y si < 0 para todo valor de x, entonces y es una función decreciente de x. Por ejemplo, la función y = x 2 que se muestra en la Figura 1, creciente para todos los valores de x (0, 5], ya que = 2x > 0 para x (0, 5]. Remark 1 También usaremos la siguiente notación para indicar una derivada: f (x) = f(x). Obviamente, una función no tiene por qué ser creciente o decreciente para todos los posibles valores de x. Considere nuevamente el caso de y = x 2, pero ahora supongamos que x X = [ 5, 5]. Ahora la gráfica de y esta dada por la Figura 2. Para valores de x menores que 0, la función es decreciente, mientras que para valores de x mayores que 0 la función es creciente, ya que = 2x < 0 para x [ 5, 0) y = 2x > 0 para x (0, 5]. Si queremos averiguar el valor de la derivada de una función en un punto específico, todo lo que debemos hacer es evaluar la derivada en ese punto particular. Por ejemplo en x = 2, la derivada de y = x 2 es = 2( 2) = 4 < 0. x= 2 Note que en x = 0, = 2(0) = 0, x=0 3

25 20 15 10 5 0 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Figure 2: y = x 2 lo que indica que la función no es creciente ni decreciente. La función es plana en x = 0. También podemos tomar la segunda derivada de una función, cuya notación es f (x) = 2 y. 2 La derivada segunda nos indica cuanto cambia la derivada como resultado de un pequeño aumento en x. > 0, entonces la derivada está creciendo a medida que aumentamos x. Si 2 y < 0, entonces la derivada está disminuyendo a medida que 2 aumentamos x. Por lo tanto, si tenemos > 0 y 2 y > 0, no solamente ocurre que 2 y aumenta a medida que aumenta x, sino que también y se incrementa en cantidades cada vez más grandes. La Figura 3 ilustra una función con > 0 y 2 y 2 Si 2 y 2 > 0, mientras que la Figura 4 muestra otra función donde > 0 y 2 y 2 < 0. Una función cuyas primera y segunda derivadas son positivas para todos los valores de x se llama una función convexa. mientras que una cuya derivada segunda es negativa se llama una función cóncava. 4

y y=f(x) x Figure 3: Función Convexa y y=f(x) x Figure 4: Función Cóncava 5

y y = f(x) x 1 x 2 x Figure 5: Rectas Tangentes 2.1 Derivadas y la Pendiente de una Tangente Suponga que y = f(x). En el caso que > 0, si dibujamos una recta en el punto (x, y), esta recta tendrá una pendiente positiva, o sea será una recta creciente. Si < 0, entonces la recta tendrá una pendiente negativa. Por ejemplo, en la Figura 5, la pendiente de la recta tangente en x 1 is positiva y la pendiente en x 2 es negativa. Existe una estrecha relación entre la pendiente de una linea tangente y la derivada de la función en un punto dado. Note primeramente que la pendiente de una recta es pendiente = y 2 y 1 x 2 x 1, donde (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) son dos puntos sobre la línea como muestra la Figura 6 para la Línea 1. Note que en la Figura 6, la Línea 2 tiene una pendiente mayor que la Línea 1. Segundo, note que dado que la derivada nos indica cuánto cambia y cuando x cambia en una cantidad muy pequeña, una derivada puede escribirse de la forma siguiente: = lim y x 0 x. 6

y Line 2 Line 1 y 1 y 2 slope = (y 2 y 1 )/ (x 2 x 1 ) x 1 x 2 x Figure 6: Pendiente de una Recta donde indica el cambio en x. La Figura 7 nos indica la relación entre la pendiente de una recta tangente y la derivada en un punto. En la Figura 7 la derivada está dada por La pendiente está dada por y lim x 0 x = lim BC AC 0 AC. pendiente = DC AC. Note que a medida que x 2 se acerca a x 1 (i.e. cuando hablamos de un pequeño cambio en x), ambas se vuelven prácticamente iguales. 2.2 Algunas Reglas de Derivación A contiuación resumimos algunas reglas útiles de derivación. Suponga que y = a, donde a es una constante, entonces ya que x no afecta a y. = 0, 7

y y 2 y 1 A D C B x 1 x 2 x Figure 7: Derivada y la Pendiente de una Tangente Suponga que y = ax, entonces Suponga que y = ax b, entonces Suponga que y = e x, entonces Suponga que y = ln(x), entonces = a. = abxb 1. = ex. = 1 x 8

2.2.1 Regla de la Cadena Suponga que y es función de x, y que x es función de z. Por lo tanto, cuando cambia z, x está cambiando y como resultado, también y está cambiando, i.e. y = f(x(z)), donde x(z) indica el hecho de que x es función de z. Qué es? Está dado simplemente por z z = z. Por ejemplo, suponga que y = ln(x) = ln(z 2 + 2z), i.e. x = z 2 + 2z, entonces 2.2.2 Regla del Producto = z = 1 (2z + 2) (2z + 2) = x z 2 + 2z. Suponga y(x) y g(x), y que z = y(x)g(x). Entonces, z = g g(x) + f(x). Por ejemplo, suponga que z = (2x + 3)(3x 2 ), entonces z = g g(x) + f(x) = (2)(3x2 ) + (6x)(2x + 3) = 6x 2 + 12x 2 + 18x = 18x 2 + 18x. 2.2.3 Regla del Cociente Suponga que y(x) y g(x), donde z = y(x) g(x). Entonces, Por ejemplo, si z = 2x 3 x+1, entonces g z = g(x) f(x). g(x) 2 g z = g(x) f(x) = g(x) 2 = 2x + 1 2x + 3 (x + 1) 2 = (2)(x + 1) (1)(2x 3) (x + 1) 2 4 (x + 1). 2 9

2.2.4 Una variable que depende de mas de una variable Suponga y = f(k(z), l(z)). La variable y depende de k y l, y estas a su vez dependen de z. Como podemos encontrar la derivada? Esta dada por z z = k k z + l l z. Por ejemplo, suponga que y = k a l, y que k = 2z y l = z 2. Entonces, z = k k z + l l z = (αkα 1 l)2 + (k a )( 2)z 3. Note que al tomar la derivada de y respecto a k, mantenemos l constante cuando tomamos la derivada de y respecto a l mantenemos k α constante. 2.3 Regla de Taylor Supongamos que todo lo que sabe es el valor de una funcion y el valor de su derivada en cierto punto x 1. La Ley de Taylor especifica que el valor de la funcion en otro punto x 2, el cual se encuentra en una vecindad de x 1, puede ser aproximado por f(x 2 ) f(x 1 ) + (x 2 x 1 ). x=x1 Suponga que y = f(x) = x 2 y x 1 = 2. Entonces f(x 1 ) 2 2 = 4 y = 2(2) = 4. x=2 La Ley de Taylor nos indica que el valor que toma la funcion en el punto x 2 = 2.1 esta dado por f(2.1) f(2) + (2.1 2) x=2 = 4 + 4(2.1 2) = 4.4 En este caso particular, obviamente, sabemos que f(2.1) = (2.1) 2 = 4.41. 10

Con lo cual la aproximacion es bastante buena. Este caso se puede ver graficamente en la Figura 8. Como la pendiente de la recta es aproximadamente igual al valor de la derivada de la function tenemos que pendiente f (x 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1. Entonces, por lo tanto, y 2 y 1 f (x 1 )(x 2 x 1 ), y 2 y 1 + f (x 1 )(x 2 x 1 ). y y 2 f (x 1 )(x 2 x 1 ) y 1 x 2 x 1 y = f(x) x 1 x 2 Figure 8: Regla de Taylor La Ley de Taylor es una herramenta que puede utilizase para aproximar cualquier funcion f(x) alrededor de un pundo dado x 0 de la siguiente manera f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Consideremos por ejemplo f(x) = e x, a intentemos aproximarla alrededor 11

de 0. Obtenemos: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = e 0 + e 0 (x 0) = 1 + x. Esta aproximacion ( e x 1 + x) sera muy util a lo largo del curso. 2.4 Máximo y Mínimo de una Funcion Suponga que y = f(x). Si algun punto x satisface f (x ) = 0, entonces decimos que x es un minimo local o un maximo local de la funcion f. En la Figura 9, el punto A es un minimo local, mientras que el punto B es un maximo local. Si una funcion es estrictamente concava, entonces tiene solamente un maximo, mientras que si es convexa tiene solamente un minimo. Esto nos indica una forma sencilla de encontrar maximos y minimos utilizando la segunda derivada de una funcion f : si esta derivada evaluada en x es negativa f (x ) < 0 (funcion concava), entonces f tiene un unico maximo y si en cambio f (x ) > 0, entonces x es el unico minimo. Por ejemplo, supongamos que y = x 2, entonces con lo cual x = 0. Es mas, como f (x) = 2x = 0, f (x ) = f (0) = 2 > 0, x = 0 es un minimo global o unico (ver la Figura 2). 3 Variables que dependen del tiempo Consideremos una variable que cambia a traves del tiempo. Si el valor que toma en el periodo t está dado por X t y en el periodo t+1 por X t+1, entonces la tasa de crecimiento (porcentual) se define como X t+1 X t X t = X t+1 X t 1 (1) 12

y B A x Figure 9: Minimo y Maximo En esta formula consideramos al tiempo como una variable discreta, hablamos de períodos, por ejemplo t = 2000, 2001,...puede indicar los años 2000, 2001, etc. y X t puede tomar diferentes valores en cada t. Como dijimos antes, las funciones son utilizadas para representar el hecho de que ciertas variables dependen de otras. Si hablamos de una variable que cambia a través del tiempo, tambien es usual utilizar la siguiente notación X(t), para indicar, simplemente, que X depende de t. Bajo esta notación tratamos al tiempo como una variable contínua, i.e. decimos que X esta definida en cada instante de tiempo. 3.1 Derivada respecto al tiempo Si una variable depende del tiempo, utilizamos una notación especial para denotar su derivada con respecto al tiempo: X(t) = X. t Entonces, X denota el cambio en X cuando el tiempo se incrementa en una pequeña unidad. 13

Si una variable cambia a traves del tiempo, podemos tomar su derivada con respecto a t. Dicha derivada nos indica el cambio en X a medida que transcurre un instante. Con lo cual, X(t) X(t) indica la tasa de crecimiento instantánea. Note que la tasa de crecimiento instantánea de X(t) es nada mas ni nada menos que la derivada del lnx(t) con respecto al tiempo: g(t) = X(t) X(t) = (ln(x(t)) t = 1 X(t). X(t) Si el objetivo es encontrar la tasa de crecimiendo de una variable, lo primero que debemos hacer es tomar su logaritmo natural y luego la derivada de este logaritmo a traves del tiempo. Vamos a utilizar funciones que tienen tasas de crecimiento instantaneas constantes. Suponga que X(t) depende del tiempo de la siguiente manera: X(t) = X 0 e gt, (2) donde e 2.718 es la variable exponencial. Una propiedad importante de los logaritmos es que ln(e) = 1. Con lo cual, ln(x(t)) = ln(x(0)) + gt. Entonces el cambio en X(t) esta dado por, ln(x(t + 1)) ln(x(t)) = ln(x(0)) + g(t + 1) (ln(x(0)) + gt) = ln(x(0)) + g(t + 1) ln(x(0)) gt = g(t + 1) gt = g. Si una variable crece a tasa g, entonces su logaritmo tomo una forma particular, i.e. su logaritmo crece en g. Para X(t) = X 0 e gt, X(t) X(t) = X 0e gt g = g. (3) X 0 e gt 14

Entonces si una funcion satisface (2), sabemos que tiene una tasa de crecimiento constante. Nos referiremos a una variable que satisface (2) como una variable con crecimiento exponencial. Cual es la conexion entre (3) y (1)? Recordemos que alrededor del 0, Con lo cual, para X(t) = X 0 e gt, e x 1 + x. X(t) X(t 1) X(t 1) = e g 1 g + 1 1 = g. Entonces para tasas de crecimiento pequeñas (note que la aproximacion esta calculada alrededor de g = 0), la tasa de crecimiento instantánea es cercana al cambio proporcional de la variable. 3.2 Algunas reglas útiles Las reglas que siguen seran utiles para encontrar tasas de crecimiento: ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln( x ) = ln(x) ln(y), y ln(x a ) = a ln(x). Utilizando estas reglas es facil deducir que si X crece a tasa g x y si Y crece a tasa g y, entonces Z = XY crece a tasa g x + g y, porque ln(z) = ln(x) + ln(y ), y (ln(z)) t = (ln(x)) t + (ln(y )) t = g x + g y. 15

Si Z = X Y, entonces ln(z) = ln(x) ln(y ), y (ln(z)) = (ln(x)) (ln(y )) = g x g y. t t t Con lo cual, si X crece a tasa g x e Y crece a tasa g y, entonces Z = X/Y crece a tasa g x g y. Finalmente, si Z = X a, entonces ln(z) = a ln(x), ln(z) = a ln(x), y (ln(z)) = a (ln(x)) = ag x. t t Suponga que queremos encontrar la tasa de crecimiento de Y (t) = K(t) α L(t) 1 α. Tomando logaritmos obtenemos ln(y (t)) = α ln(k(t)) + (1 α) ln(l(t)), Con lo cual, Y (t) Y (t) = α K(t) L(t) + (1 α) K(t) L(t). 3.3 Que es e? Si se preguntan de donde sale e, aqui proveemos una interpretación económica. Suponga que tiene 1$ y lo invierte a una tasa de interes de 100% por un año. Al final del año tendra V (1) = 1(1 + 1) = 2. Suponga ahora que invierte su 1$ a 6 meses con un interes del 100% e invierte el total (1$+interés) nuevamente por otros 6 meses. Al final de este proceso tendra V (2) = (1 + 1 2 )(1 + 1 2 ) = (1 + 1 2 )2 = 9 4, 16

donde 1 refleja el interes del 100% en 6 meses. 2 Suponga que hace esto m veces, al final del año tendra El valor de e esta dado por V (m) = (1 + 1 m )m. e = lim m (1 + 1 m )m. En otras palabras, e nos dice lo siguiente: cuanto dinero tendria al final de un año si 1$ creciera continuamente (i.e. invierte infinitas veces durante un año al 100%). 4 Elasticidad Suponga que y = f(x). La elasticidad de y con respecto a x esta definida como elasticidad = x y. La elasticidad nos dice el cambio porcentual en y cuando x cambia en un 1%. Entonces, si y = f(x) = x α, tendria elasticidad = x y = x αxα 1 y = x αxα 1 x = α. α Entonces un cambio en x del 1% lleva a un incremento en y de α por ciento. Si por ejemplo x incrementase en 50% entonces y aunmentaria en α por 50%.Esta es una definicion util de la elasticidad elasticidad = (ln(y)) (ln(x)). En nuestro ejemplo con lo cual, ln(y) = α ln(x), (ln(y)) (ln(x)) = α. 17