EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Recordeu: Una equació és una igualtat algebraica en la qual apareien lletres (incògnites) amb valor desconegut. El grau d una equació ve donat per l eponent major de la incògnita. En aquest tema treballem amb equacions lineals (de grau 1) amb una incògnita. Solucionar una equació és trobar el valor o valors de les incògnites que transformen l equació en una identitat. Dues equacions són equivalents si tenen les mateies solucions. Per aconseguir equacions equivalents, només es pot fer alguna de les següents propietats: Propietat 1: Sumar o restar a les dues parts de la igualtat una mateia epressió. Propietat : Multiplicar o dividir les dues parts de la igualtat per un nombre diferent de zero. Eercicis d autoaprenentatge: 1. Resolem algunes equacions: Procediment per resoldre una equació de 1r grau: Eliminar denominadors: multiplicant ambdues parts de l equació pel mínim comú múltiple dels denominadors. (Propietat ) Eliminar parèntesis. (Propietat distributiva) Transposició de termes. Aconseguir una equació de la forma a = b. (Propietat 1). Aïllar la incògnita. (Propietat ). Comprovar la solució. a) ( ) ( 4 + 4) = 7 b) + el primer que farem serà les operacions dels parèntesis 6 + 1 8 8 = 7 sumem els termes en i els termes independents + 7 = 7 transposem els termes = 7 7 = 0 aïllem la incògnita = 0 Comprovació: Al substituir en l equació = 0, transforma l equació en identitat: 0 + 4 + 4 0 = 4 = 7 ( ) ( ) 7 + 9 4 = + Multipliquem ambdues parts de l equació pel mínim comú múltiple dels 6 denominadors + 9 6 4 = 6 + 6 4 + = 1 + 9 eliminem els parèntesis ( ) ( ) 4 = 1 + 18 4 1 = 0 4 transposem els termes 4 = 0 1 = 9 aïllem la incògnita = Comprovació: + 9 6 4 = + 4 = + 6 6 1
. Són equivalents les següents equacions? a) + = 8 i 7 + 1 = Hem de resoldre cadascuna d elles i mirar si tenen la mateia solució. Resolem la primera: = Resolem la segona: 7 = 1 = Com que tenen la mateia solució són equacions equivalents. Mª Àngels Lonjedo b) + = 4 i 8 + 8 = 8. Resolem la primera: = 1 Resolem la segona: 8 = 0 = 0 Com que no tenen la mateia solució no són equacions equivalents.. Problemes resolts: Procediment per resoldre problemes d equacions: Definició de la incògnita Traduir al llenguatge algebraic l enunciat. Plantejament de l equació. Resolució de l equació. Veure si el resultat de l equació és coherent amb l enunciat a) Un nombre i la seua cinquena part sumen 18. Quin és el nombre? = el nombre cercat. (definició de la incògnita) La seua cinquena part és (transformació al llenguatge algebraic). + = 18 (és el plantejament de l equació). Resolem l equació: + = 90 6 = 90 Aleshores, = 1 Notem que al tornar a llegir el problema 1 cinquena part) són 18. 90 = 6 = és coherent amb l enunciat, 1 més (la seua b) Vaig perdre un terç de les ovelles i vaig arribar amb 4. Quantes ovelles tenia? y = nombre d ovelles que tenia. y Un terç de les que tenia és y El plantejament serà una resta: y = 4 7 Resolem l equació: y y = 7 y = 7 y = y = 6 ovelles. Notem que el resultat és un nombre natural coherent amb l enunciat.
c) En una botiga, d un producte em varen rebaiar el 1% i vaig pagar 1. Quant costava el producte? a = preu en del producte. 1 El 1% de a és a 100 El que costava el producte menys la rebaia és el que vaig pagar: 1 a a = 1 100 8 1.100 Resolem: a = 1 a = a = 60. 100 8 El resultat és coherent amb l enunciat el 1% de 60 són 9, aleshores vaig pagar 1 d) Va regalar 8 cromos i es va quedar amb la meitat. Quants cromos tenia? = nombre de cromos que tenia. Si va regalar 8 tindrà 8, i diu que aquesta quantitat coincidei amb la meitat dels que tenia, és a dir,. El plantejament és: 8 =. Resolem: 16 = = 16 = 16cromos. Notem que el resultat és un nombre natural coherent amb l enunciat. e) Fa 1 anys l edat de Lluïsa era de l edat que tindrà d ací 1 anys. Quina és la seua edat ara? = edat actual de Lluïsa. Fa 1 anys tenia 1 anys i d ací 1 anys tindrà + 1. El plantejament és: 1 = ( + 1) Resolem: 7 = ( + 1) 7 = + 0 = 10 10 = = anys és l edat actual de Lluïsa. El resultat és coherent amb l enunciat. Si ara Lluïsa té anys, dins de 1 anys Lluïsa tindrà 0 anys, fa 1 anys tenia 0 anys que són dues cinquenes parts de 0. Eercicis proposats: 1. Són equivalents les següents equacions? a) = 8 i = 10 b) = 8 i 4 6 = 16 c) + 1 = 4 i 1 = 8 d) 1 + 1 = i =
. Resoleu les equacions següents: a) + = 1 b) (7 ) = 1 c) 4( ) = 7 d) 6 8 = 4( + ) e) ( ) = ( + 9) f) (4 + 7) = 4 g) 7 + 1 = ( 7) h) 4 + 1 1 = 7 i) = 1 4 j) + 1= k) + 4 = 6 l) + 11 + = + 1 + 1 m) + = 6 n) 6 + 1 + 1 = 10 + o) = 0 p) 4 1 = + q) 4 6 + 8 = 0 1 r) = 1 s) = + 14 10 t) 4 4 ( 1) = 1 u) + 4 7 + 1 = 6 v) 9 1 8 = + 6 1 4 + 1 1 w) = + 4 ) 4( + 6) ( + ) + = y) ( + 8) 6 = 4 1 z) 7 6 ( + ) = 4 + Mª Àngels Lonjedo. Resoleu les següents equacions: a) 9 ( + 4) 10( + 4) = 4( + 1) b) 7 1 7 17 + = 6 1 4 c) 1 7 4 + 4 = + 0 1 0 d) 4 + 7 = 4 16 8 e) 6 + 1 1 = + 1 9 0 f) + 8 9 9 1 4 4 1 = + 10 14 14 g) 8 4 (4 + 6) ( + 8) = + (10 + 1) 9 h) 6 19 = 6 + 1 4
i) 11 = j) ( + 4) = ( 14) + Mª Àngels Lonjedo k) + 4 = ( + 1)( + ) l) ( + )( 1) = + m) + ( + 1) = ( 1)( + 4) Problemes: 1. Transformeu en llenguatge algebraic les següents proposicions: a) La meitat d un nombre més. b) Tres nombres parells consecutius. c) La quarta part més la cinquena part d un nombre. d) El triple del quadrat d un nombre. e) La diferència entre el quadrats de dos nombres consecutius. f) L arrel quadrada d un nombre. g) El doble d un nombre més és igual a 1. h) El cub d un nombre és igual a 7. i) El doble del cub d un nombre. j) El cub del doble d un nombre.. Joana té anys més que l Empar. Si entre els dos sumen 7 anys, quina és l edat de cadascuna?. Un pare té vegades l edat de la filla. Si entre els dos sumen 48 anys, quina és l edat de cadascun?. 4. Determineu tres nombres consecutius que sumen 444.. Tinc del que val un ordinador. Quant val l ordinador si em falten només 18 per a comprarlo? 6. Després de caminar 100 m em queda per arribar al col lege del camí. Quants metres té el trajecte? 7. Un pastor ven 7 de les ovelles que té. Després en compra 60 i aií en tindrà el doble de les que tenia abans de la venda. Quantes ovelles tenia en un principi?. 8. Determineu un nombre que sumat amb la seua meitat i la seua tercera part done.
9. Tres socis han de repartir-se.000 de beneficis. Quant tocarà a cadascú, si el primer ha de rebre vegades més que el segon i el tercer dues vegades més que el primer? 10. El meu pare té 6 anys més que la meua mare. Quina edat té cadascú, si dins de 9 anys la suma de les seues edats serà 84 anys? 11. Una bicicleta i d una ciutat amb una velocitat de km/h. hores més tard i un cote a la velocitat de 10 km/h. Quant de temps tardarà el cote a atrapar la bicicleta? 1 1. Quin nombre he de sumar als dos termes de la fracció a fi que es convertesca en. 1 7 1. La diferència entre dos nombres és 66. Dividint el major entre el menor, resulta 4 de quocient i 71 de residu. Determineu el nombres. 14. La suma de tres nombres imparells consecutius és igual al doble del menor més 1. Determineu els nombres. 1. Determineu un nombre de dues ifres sabent que la suma de les ifres és 6 i que la diferència entre aquest nombre i el que resulta d invertir l ordre de les ifres és 18. 16. Dos obrers fan una feina en hores. Un d ells tot sol ho faria en 4 hores. Determineu el temps que tardaria l altre tot sol. 17. Dels tres conductes que aflueien en una bassa, un l ompli sol en 6 hores, un altre en 0 hores, i el tercer en 0 hores. Calculeu el temps que tardaran a omplir-la junts. 18. Un dia compre llibretes i 8 bolígrafs i pague 4. L endemà compre 8 llibretes i bolígrafs i pague 0,8. Quant pagaré un altre dia per llibretes i bolígrafs? 19. Un pare té 4 anys i els seus fills 7 i. Quants anys han de passar perquè l edat del pare siga igual que la suma de les edats dels fills? 0. Troba dos nombres de forma que la seua diferència siga 10 i el menor siga la quinta part del major. 1. Si dels tres cinquens dels llibres que té Joan li llevem la meitat dels mateios, ens queden encara 0. Quants llibres té Joan?. Ernest té anys més que Mercè i aquesta en té més que Lluís. Calculeu l edat de cadascun si entre els tres sumen 8 anys.. Cal repartir 7 taronges en dues caies de forma que a la primera hi haja més que a la segona. Quantes taronges hi haurà a cada caia? 4. Desprès de gastar les 4/7 parts d un dipòsit queden 78 litres. Quina és la capacitat del dipòsit? 6
. Al comprar una camisa he pagat 7,9. Si m han rebaiat un 1%. Quant costava la camisa abans de les rebaies? 6. Joan té 4000 ptes i Rosa en té 00 ptes. Després de comprar ambdós el matei llibre a Rosa li queda les /6 parts del que li queda a Joan. Quin és el preu del llibre? 7