Expresiones Algebraicas

1 Capítulo Expresiones Algebraicas M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet www.cidse.itcr.ac.cr)

Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1984. Edición LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chacón, María Elena Abarca, Lisseth Angulo. y Walter Mora. Colaboradores: Cristhian Paéz, Alex Borbón, Juan José Fallas, Jeffrey Chavarría Edición y composición final: Walter Mora. Gráficos: Walter Mora, Marieth Villalobos. Comentarios y correcciones: escribir a wmora@yahoo.com.mx

Contenido.1 Expresiones Algebraicas.......................................... Operaciones con expresiones algebraicas................................ 6..1 Suma de monomios semejantes................................. 6.. Multiplicación de Monomios................................... 10.. Simplificación de fracciones con monomios........................... 11. Polinomios................................................ 17..1 División de polinomios en una variable............................. 19.. División Sintética......................................... 5.4 Factorización de Polinomios....................................... 8.4.1 Técnicas de factorización.................................... 9.5 Factorización de polinomios en una variable.............................. 45.5.1 Factorización de polinomios de grado............................. 45.5. Factorización de polinomios de grado mayor que, con coeficientes enteros........ 54.6 Fracciones Racionales en una Variable................................. 61.6.1 Fracciones Racionales en una Variable............................. 61.6. Simplificación de fracciones racionales............................. 6.6. Operaciones con fracciones racionales............................. 64.7 Racionalización de expresiones algebraicas............................... 79.7.1 Racionalización del denominador de expresiones algebraicas................. 79.1 Expresiones Algebraicas Definición 1 Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real. Definición Dentro del proceso de solución de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un número real fijo se llama constante real. Definición Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +,, y en un número finito. Notación: Si a es una constante o una variable y b una variable entonces ab indica el producto de a y b o sea: ab a b

4 Expresiones Algebraicas Ejemplo 1 Ejemplo de expresiones algebraicas a.) d.) x y 4 z x m b.) e.) a + b a c y + 5xy c.) x 5 e.) a + a b + z Definición 4 Se llama valor númerico de una expresión algebraica al número que se obtiene al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo a.) Determine el valor numérico de x + x 4, si x. b.) Determine el valor numérico de 6ax y si a 5, x 1, y a.) Sustituyendo la x por el valor asignado en x + x 4, se obtiene que: ) + ) 4 4 + 6 4 Por lo que si x, el valor numérico de x + x 4, es. b.) Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en 6ax y se obtiene que: 65)1) ) 65)1)4) 10 si a 5, x 1, y, el valor numérico de 6ax y es -10. Ejercicios 1

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 5 Determine el valor numérico correspondiente, en cada una de las siguientes expresiones: 1.) x + ax b, si x, a, b 7.) x + ax c +, si x 1, a 49, c 7.) 5 x y z, si x 1, y 4, z 5 4.) x y z, si x 8, y, z 1 4 Definición 5 Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador. Ejemplo Ejemplos de monomios a.) 6 x 7 y z b.) x + 1 c.) 7 + a b c d.) 5 Ejemplo 4 Ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios a.) 6 + x b.) x + 4 y c.) 9 x y d.) z 1 En un monomio se puede distinguir el factor numérico coeficiente) y el factor literal. Ejemplo 5 a.) En 4x y z, 4 es el factor numérico y x y z es el factor literal. b.) En x z 5, 4 4 es el factor numérico y x z 5 es el factor literal. c.) En 1 5 x ) z 4 4 z, 8 5 es el factor numérico y x z 6 es el factor literal.

6 Expresiones Algebraicas Notación: Si x es una variable o una constante entonces: 1 x x y 1 x x Tomando en cuenta esta notación tenemos que: Si el coeficiente de un monomio o de una expresión algebraica es 1 o 1, no escribimos el 1. Ejemplo 6 a.) En x y el coeficiente es 1 b.) En a b 5 c el coeficiente es 1. Definición 6 Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí. Ejemplo 7 a.) Los monomios 6 x 5 y, 1 x5 y, b.) Los monomios 7 a x, 4 a 5 x, x 5 y, son semejantes entre sí. 9 a5 x, no son semejantes entre sí.. Operaciones con expresiones algebraicas Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales asociatividad, conmutatividad, distributividad, etc) así como las propiedades de las potencias y de los radicales. Con el fin de lograr una mejor comprensión del tema, por parte del estudiante, primero nos abocaremos a realizar operaciones con monomios, para posteriormente efectuar operaciones con expresiones algebraicas en general...1 Suma de monomios semejantes La suma de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados. Ejemplo 8

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 7 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) x + 4x x x + 4x x + 4 )x x x + 4x x x b.) ax + ax + ax 5 ax + 5 ax + ax + 5 + 1)ax 10 + + 5 5 ax + ax + ax 5 5 ax ax Ejercicios Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: 1.) 4a a + a.) 5 4 ab ab + 1 5 ab.) 4xy 5xy + xy 4.) 11x y + x y + 4 x y 1 x y Nota: En general la suma de monomios no semejantes entre sí no es igual a un monomio. Ejemplo 9 Realice las siguientes operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) 1a y + 10ax + a y 5ax

8 Expresiones Algebraicas 1a y + 10ax + a y 5ax 1a y + a y ) + 10ax 5ax) 1 + ) a y + 10 5) ax 15a y + 5ax 1a y + 10ax + a y 5ax 15a y + 5ax b.) 4x y 5ay + ya yx 4x y 5ay + ya yx 4x y x y 5ay + ay 4 1)x y + 5 + )ay x y ay 4x y 5ay + ya yx x y ay Ejercicios Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: 1.) xy + x y 1 xy + x y.) a a + a 1 + a a + 1.) b + 4bc c + 1 b 1 4 bc 4.) ab + a b 1 ab Ejemplo 10 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 9 a.) x ) 4 + 5x + ) x x ) 4 + 5x + ) x x ) + [5x + )] 4x 4 x + + [5x + 15] 4x 4 x + + 10x + 0 4x 4 x + 10x 4x) + + 0) 4 x ) 4 + 5x + ) x 5x + 4 b.) 14x x ) [5x + x 1)] 14x x ) [5x + x 1)] 14x x + [5x + x + 1] 14x x + [4x + ] 14x x + 4x 14x x 4x) + ) 7x 1 14x x ) [5x + x 1)] 7x 1 c.) 4x y + 19xy y + 6a b ) y 40xy + a b 15x y)

10 Expresiones Algebraicas 4x y + 19xy y + 6a b ) y 40xy + a b 15x y) 4x y + 19xy y + 6a b ) + y + 40xy a b + 15x y 4x y + 15x y) + 19xy + 40xy ) y + 6a b a b ) + y 11x y + 59xy y + 4a b + y 4x y + 19xy y + 6a b ) y 40xy + a b 15x y) 11x y + 59xy y + 4a b + y Ejercicios 4 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: 1.) t { t + [ t t + 5) ] + 1 }.) + a + b) [ a b 5 a + b)].) a { b c) + [ a + b + c)]} 4.) xx xy) + x xx + 5xy).. Multiplicación de Monomios El producto de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados. Ejemplo 11 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) 4x y ) ) x y z 4x y ) ) x y z 4 ) x y x y z ) 8 x5 y 6 z) 4x y ) ) x y z 8 x5 y 6 z)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 11 b.) xy ) ) ) xy ax y xy ) ) ) xy ax y ) xyxy ax y ) 6 6 x 5 y 4 a) x 5 y 4 a xy ) ) ) xy ax y x 5 y 4 a Ejercicios 5 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: 1.) x ) x y) a x).) a) 5 a ) a ) 4a).) 1 x y) 5 xy ) 10 x a) 4.) a m ) ab) a b n ).. Simplificación de fracciones con monomios Una fracción con monomio o cociente de monomios) está simplificada si se cumplen las tres condiciones siguientes: i.) Las fracciones formadas por los coeficientes de los monomios involucrados están expresadas en su forma más simple. ii.) Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten. iii.) Las potencias de las variables involucradas tienen exponentes positivos.

1 Expresiones Algebraicas Ejemplo 1 Simplifique cada una de las siguientes expresiones: a.) 7x4 y 48x y 5 7 x 4 y 48 x y 5 x 4 y x y 5 x4 y x y 5 x4 x y 5 y x y b.) x 4 y 5 z 81x4 y 7 z x 4 y 5 z 81 x4 y 7 z x 4 y 5 z 4 x 4 y 7 z x 4 y 5 z x 4 y 7 z x4 y 5 z x 4 y 7 z x4 x 4 z z 1 y 7 y 5 x0 z 0 y 1 y *) En la solución de estos ejemplos haremos uso del hecho de que: i.) x n c c d x n d ii.) xn c c d x n d

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 1 Las cuales se pueden demostrar usando el hecho que: x n 1 x n Ejercicios 6 Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 1.) 1 a b 60 a b 5 x 6.) 15 ax 40 ax.) 6 a 4 b 10 c 1 1 a 8 c A continuación nuestro objetivo es realizar operaciones con expresiones algebraicas en general, para esto se siguen procedimientos similares a los usados al efectuar operaciones con monomios. Ejemplo 1 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) 6 a x 1 y) 1 x y 1 z) ) ) 6 a x 1 1 y x y 1 z 6) ) 1 a x 1 y) x y 1 z) 1 a x y 4 z 1 a y 4 z x ) ) 6 a x 1 1 y x y 1 z 1 a y 4 z x b.) x 1 y ) 1 4 x 1 y)

14 Expresiones Algebraicas ) ) 1 1 x y 4 x 1 y ) ) x y 1 4 x 1 y ) ) 1 ) x y x 1 y) 4 1 x 1 y 1 x 1 y ) ) 1 1 x y 4 x 1 y x 1 y c.) 4 8 vs 7 v s + v s 8 vs 7 v s + v s vs v s + v s vs v s + v s s v v s + s v s v v s + s v s v v s 8 vs 7 v s + v s s v v s En la solución de estos ejemplos se usó el hecho de que: i) n a n a ; si n es par y ii) n a n a ; si n es impar d.) 4 5 m n 4 q 6 m 1 n q 5

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 15 4 5 m n 4 q 6 m 1 n q 5 4 5 m n 4 q 4 q m 1 n q q n q 4 5 m q n q m 1 q n q n q 4 5 m q n q n q 1 5 m q ) m 1 q 1 m 1 q ) 4 n q n q 1 5 m q 6 1 4 m q 8 n q n q 1 000 m 0 q 14 n q n q 1 000 q 1 q n q n q q 1 000 q n q n q 1 000 q 4 5 m n 4 q 6 m 1 n q 5 n q n q 1 000 q Ejemplo 14 Simplifique cada una de las siguientes expresiones: a.) x 1 z 1 x y z

16 Expresiones Algebraicas x 1 z 1 x y z 1 x 1 z x 1 y z x z x z 1 y y x z x z y x 4 z x 1 z 1 x y z y x 4 z b.) a b 1 4 a 4 b ) 1 a b 1 ) 1 4 a 4 b a 4 4 a b b ) 1 a b a 1 b ) 1 b a a b 1 ) 1 b 4 a 4 b a 9 a4 x 4 c.) 5 a x 4

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 17 9 a4 x 4 5 a x 4 9 a4 a 5 x4 x 4 9 a4 a 5 x 4 x 4 a a a 5 x x x x a a a 5 x x x x a 5 x 4 9 a4 x 4 5 a x 4 a 5 x 4 Ejercicios 7 1.) Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a.) 75 x y ) x 1 y 1 5 ) b.) 4x a x ) a x ) c.) 8 a b 5 a b c + 10 a d.) ab 9ab 4 4c + c a e.) m5 n ) 4 16 m n ) f.) 8 a 6 b c + 100 a 4 b c 4 ) 1.) Simplifique cada una de las siguientes expresiones: a.) a b 5 c 7 5 a b 4 c 6 b.) x y z x 1 y z ) 1 c.) 5 x y 100 x 4 y d.) x y 1 z 4 x 4 y z e.) 16 a6 b c 1 d 15 a b 1 c f.) 4 4 a4 c 8 d 56 c 4 d. Polinomios Definición 7

18 Expresiones Algebraicas Se llama polinomio a toda expresión algebraica que es monomio o una suma de monomios. Ejemplo 15 Ejemplos de polinomios a.) 5 d.) 0 b.) c.) x y 5 x y z + 4 e.) xy + y + x xyw f.) xy yw Definición 8 a.) Si un polinomio está formado por la suma de dos monomios no semejantes entre sí recibe el nombre de binomio. b.) Si un polinomio está formado por la suma de tres monomios no semejantes entre sí dos a dos) recibe el nombre de trinomio. Ejemplo 16 a.) Son binomios: i.) x + 8 ii.) x y iii.) x y 7 + ab c 5 b.) Son trinomios: i.) a ab + b ii.) y + y + 1 iii.) a bc 5b ac + 8 Definición 9 a.) Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre de polinomio constante. b.) Si un polinomio involucra n variables recibe el nombre de polinomio en n variables Ejemplo 17

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 19 i.) ii.) iii.) x y + x + y es un polinomio en dos variables. x x + 1 es un polinomio en una variable. es un polinomio constante. 1.) Dado un polinomio en una variable x; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones: Ax), Bx), Cx),..., P x), Qx),..., W x).) Dado un polinomio en dos variables x e y; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones: Ax, y), Bx, y), Cx, y),..., P x, y), Qx, y),..., W x, y).) Dado un polinomio en tres variables x, y, z; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones: Ax, y, z), Bx, y, z), Cx, y, z),..., P x, y, z), Qx, y, z),..., W x, y, z) En forma análoga se denotan los polinomios en n variables Ejemplo 18 a.) El polinomio x x + 1 se puede denotar por Ax), y en tal caso escribimos Ax) x x + 1. b.) El polinomio a b a+ab se puede denotar por Ra, b), y en tal caso escribimos Ra, b) a b a+ab. c.) El polinomio xyz + x y z + yz + xz se puede denotar por Ax, y, z), y en tal caso escribimos Ax, y, z) xyz + x y z + yz + xz. d.) El polinomio xacyb+x ac+ybc se puede denotar por P a, b, c, x, y), y en tal caso escribimos P a, b, c, x, y) xacyb + x ac + ybc...1 División de polinomios en una variable Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultado no necesariamente es un polinomio. No obstante en cuanto a la división de polinomios se tiene el siguiente teorema: Teorema 1

0 Expresiones Algebraicas Algoritmo de la división). Dados dos polinomios Ax) y Bx), con Bx) 0, existen únicos polinomios Qx) y Rx) tales que: Ax) Bx) Qx) + Rx) con el grado de Rx) menor que el grado de Bx) o Rx) 0 Ax) recibe el nombre de dividendo, Bx) el de divisor, Qx) el de cociente y Rx) el de residuo. Los polinomios Qx) y Rx) se obtiene al efectuar la división de Ax) por Bx) mediante el siguiente procedimiento. Procedimiento para efectuar la división de Ax) por Bx) a.) Ordenar los polinomios Ax) y Bx), en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable. b.) Se divide el primer sumando del dividendo el de mayor exponente) por el primer sumando del divisor el de mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente. c.) Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo parcial. d.) Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ahí terminó el procedimiento, en caso contrario se repiten los pasos a), b), c) y d), pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior. Ejemplo 19 Sea Ax) x 5x + x 1 y Bx) x 1 Efectúe la división de Ax) por Bx), e indique el cociente y el residuo

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 1 x - 5x + x - 1 x 1 - x - x ) x 4x - 4x + x - 1 - - 4x + 4x) - x - 1 - - x + ) - 4 Aquí el cociente es x 4x y el residuo es 4. Ejemplo 0 Efectuar la división de Ax) por Bx) donde Ax) x 5 ; Bx) x + x x 5 + 0x 4 + 0x + 0x + 0x + x + x x 5 x 4 ) x + x x + 1 x 4 + 0x + 0x + 0x + x 4 + x ) x + 0x + 0x + x x ) x + 0x + - x + x) x + Aquí el cociente es x + x x + 1 y el residuo es x + Además: x 5 + x + x) x + x x + 1) + x + ) Teorema Sean Ax), Bx), Qx) y Rx) polinomios tales que Bx) 0 Si Ax) Bx) Qx) + Rx) entonces Ax) Bx) Qx) + Rx) Bx) Demostración

Expresiones Algebraicas Ax) Bx) Qx) + Rx) Ax) Bx) Bx) Qx) + Rx) Bx) Ax) Bx) Bx) Qx) Bx) + Rx) Bx) Ax) Bx) Qx) + Rx) Bx) Ax) Rx) Qx) + Bx) Bx) Ejemplo 1 a.) Como x 5x + x 1 x 1)x 4x ) 4 entonces por el teorema anterior se cumple que: x 5x + x 1 x 1 x 4x 4 x 1 b.) Como x 5 + x + x) x + x x + 1) + x + ) entonces por el teorema anterior se cumple que: x 5 + x + x x + x x + 1 + x + 1 x + x Ejercicios 8 Para cada par de polinomios Ax) y Bx) que se definen a continuación, realice la división de Ax) por Bx) e indique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta división. 1.) Ax) 6x 5 5x 4 7x + ; Bx) x 4x x + 1.) Ax) x 7 5x 5 + 8x + x ; Bx) x x.) Ax) x 5x 8x 4 ; Bx) x 4.) Ax) x 5x + 9 + x ; Bx) x 5.) Ax) x 4 x 6x + 1 x ; Bx) x + x + 1

J. Rodríguez S. A. Astorga M. Definición 10 Sean Ax) y Bx) dos polinomios con Bx) 0. Si al dividir Ax) por Bx) se obtiene como residuo cero entonces decimos que Ax) es divisible por Bx) y se cumple que: Ax) Bx) Qx); donde Qx) es el cociente que se obtiene al dividir Ax) por Bx). Ejemplo Sean Ax) y Bx) polinomios tales que: Ax) x 4x + x + 1; Bx) x x 1 Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir Ax) por Bx). Es Ax) divisible por Bx)? x 4x + x + 1 x x 1 - x + x + x x 1 x + x + 1 x x 1 Por lo que el cociente es x 1 y el residuo es 0. Como en este caso el residuo es 0, Ax) es divisible por Bx). 0 Ejercicios 9 Para cada par de polinomios Ax) y Bx) que se definen a continuación, determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir Ax) por Bx). Es Ax) divisible por Bx)?. Justifique su respuesta. 1.) Ax) x + x x + 1 ; Bx) 1 + x.) Ax) 5x 4 + 10x + 4x + 7x ; Bx) x +.) Ax) x 4x + x 1 ; Bx) 1 + x + x 4.) Ax) x 4 + x x 5 ; Bx) 5 + x + x x Observación: Si Ax) es un polinomio de grado n, con n > 1 y si Bx) es un polinomio de grado 1, entonces al dividir Ax) por Bx) se obtiene:

4 Expresiones Algebraicas a.) Como cociente un polinomio Qx) de grado n 1 y b.) Como residuo una constante Ejemplo Si Ax) x + x + 1 y Bx) x + 1 Al dividir Ax) por Bx) se tiene: x + 0x + x + 1 x + 1 x x x + x + 1 x 1 x + 4 x + 1 x x + 1 En este caso se tiene que Ax) es un polinomio de grado y el cociente es un polinomio de grado. Además el residuo es una constante. x 4 1 4 Teorema Si P x) es un polinomio de grado n, n > 1 y α IR entonces P α) es igual al residuo que se obtiene al dividir P x) por x α. Demostración: Como P x) y x α son polinomios, por el algoritmo de la división, existen polinomios Qx) y Rx) tales que: P x) x α) Qx) + Rx) Pero por la observación anterior, Rx) es una constante C o sea *) P x) x α) Qx) + C; donde C es el residuo que se obtiene al dividir P x) por x α Tenemos que demostrar que P α) C Suatituyendo la x por α en *) se tiene: P α) α α) Qα) + C

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 5 P α) 0 Qα) + C P α) C ; que es lo que quería demostrar. Ejemplo 4 Si P x) x + x + 1 y Bx) x 4, al dividir P x) por Bx) se tiene que: x + x + 1 x 4 - x + 1x x + 1 1x + 1 1x + 5 5 En este caso tenemos que el residuo que se obtiene al dividir x + x + 1 por x 4 es 5. Luego: P 4) 4) +4+1 16)+4+1 48+4+1 5, o sea P 4) 5 Definición 11 Sea P x) un polinomio y sea α un número real, α es un cero de P x) si y sólo sí P α) 0 Ejemplo 5 a.) Sea P x) x x 6; se tiene que y son ceros de P x) porque: P ) 6 9 6 0, así P ) 0 P ) ) ) 6 4 + 6 0, así P ) 0 b.) Sea Ax) x + 8; se tiene que - es un cero de Ax) porque: A ) ) + 8 8 + 8 0, así P ) 0.. División Sintética La división sintética es un procedimiento abreviado para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio P x) de grado n, n 1, por un polinomio de la forma x α, con α IR, a partir de los coeficiente de P x) y el cero de x α. El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio P x), por un polinomio de la forma x α, lo ilustraremos a través de ejemplos. Ejemplo 6 Sean P x) y Qx) polinomios tales que:

6 Expresiones Algebraicas P x) 4x + x 5x + ; Qx) x Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir P x) por Qx): a.) Usando el método estudiado anteriormente División larga) b.) Usando división sintética a.) 4x + x 5x + x 4x + 1x 4x + 15x + 40 15x 5x + 15x + 45x Por lo que al dividir P x) por Qx) se obtiene 4x + 15x + 40 como cociente y 1 como residuo. 40x + 40x + 10 b.) Usando división sintética, P x) se divide por Qx) de la siguiente manera: 1 Coeficiente de P x) 4 5 Cero de x 1 45 10 Coeficientes del cociente 4 15 40 1 Residuo Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 1 el residuo de la división. Observe que, según la parte a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior. Los números representados en la primera fila son los coeficientes de P x) dividendo) y el cero de x divisor). Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma: 1 es el producto de 4 y 45 es el producto de 15 y 10 es el producto de 40 y

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 7 Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma: 4 es el coeficiente de x en P x) 15 es la suma de y 1 40 es la suma de 5 y 45 1 es la suma de y 10 Ejemplo 7 Sean P x) y Qx) polinomios tales que: P x) 8x + x 4 16 + x; Qx) x 8. Usando división sintética, determine el cociente Cx) y el residuo Rx) que se obtiene al dividir P x) por Qx). Ordenando P x) en forma descendente de acuerdo a su grado, se obtiene: P x) x 4 8x + 0x + x 16, y realizando la división se tiene: 1-8 0-16 8 8 0 0 16 1 0 0 0 Residuo Los números 1, 0, 0 y son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo. Por lo que Cx) x + 0x + 0x + o sea Cx) x + y Rx) 0 Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse. Ejemplo 8 Sean P x) y Qx) polinomios tales que: P x) x + x y Qx) x + 4 Usando división sintética determine el cociente Cx) y Qx). Como P x) x + 0x + x + 0 y el cero de x + 4 es 4, tenemos que: 1 0 1 0 4 4 16 68 1 4 17 68 Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir P x) por Qx) es x 4x + 17 y el residuo es -68. Ejercicios 10 Para cada par de polinomios Ax) y Bx) que se definen a continuación, determine por división sintética el cociente y el residuo que se obtiene al dividir Ax) por Bx).

8 Expresiones Algebraicas 1. Ax) x 5 ; Bx) x 4. Ax) x + x; Bx) x + 5. Ax) 7x + 8x + 5x + 1; Bx) x 5. Ax) x 4 x; Bx) x + 1. Ax) x + 7; Bx) x + 6. Ax) 6 5x + 4x ; Bx) x + Ejemplo 9 Sea P x) un polinomio tal que: P x) x 5 x 4 + 8x ; usando división sintética determine P ) y P 1) Recuerde que P α) es igual al residuo que se obtiene al dividir P x) por x α. Efectuando las divisiones correspondientes se tiene: 1-0 8 0 - - - 10-0 4-48 1-5 10-1 4-50 1-0 8 0-1 1 - - 6 6 1 - - 6 6 4 Por lo tanto P ) 50 y P 1) 4 Ejercicios 11 Sea P x) un polinomio tal que P x) x x 9x + 18 Usando división sintética determine P 1), P ), P ), y P 4)..4 Factorización de Polinomios Definición 1 Sea P x) un polinomio no constante con coeficientes reales.

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 9 Si existen polinomios Ax) y Bx) no constantes, con coeficientes reales tales que P x) Ax) Bx) entonces decimos que P x) es factorizable en el conjunto de los números reales. Definición 1 Sean Ax), Bx) y P x) polinomios no constantes con coeficientes reales. decimos que Ax) y Bx) son factores de P x). Si P x) Ax) Bx) entonces Definición 14 Sean Ax), Bx) y P x) polinomios no constantes con coeficientes reales. Si P x) Ax) Bx) entonces decimos que el producto indicado de Ax) y Bx) es una factorización de P x). Ejemplo 0 a.) Como x + x xx + ), entonces decimos que xx + ) es una factorización de x + x. b.) Como x 4 1 x 1)x + 1), entonces decimos que x 1)x + 1) es una factorización de x 4 1 Nota: Sea P x) un polinomio no constante con coeficientes reales; si no existen polinomios Ax) y Bx) no constantes con coeficientes reales y tales que P x) Ax) Bx), entonces decimos que P x) no es factorizable en el conjunto de los números reales. Definición 15 Sea P x) un polinomio no constante con coeficientes reales tal que P x) Ax) 1 Ax) Ax) Ax) n donde Ax) 1 Ax) Ax) Ax) n son polinomios no constantes con coeficientes reales. Decimos que el producto indicado A 1 A A A n es una factorización completa de P x) si cada uno de los polinomios Ax) 1 Ax) Ax) Ax) n no es factorizable en el conjunto de los números reales..4.1 Técnicas de factorización A continuación enfocaremos nuestra atención hacia el estudio de algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios. Factorización por factor común La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa: Si a IR, b IR, c IR, entonces a b + c) a b + a c En forma más general, Si a IR, b 1 IR, b IR, b IR,, b n IR entonces: ab 1 + b + b + b n ) ab 1 + ab + ab + ab n y en tal caso decimos que

0 Expresiones Algebraicas ab 1 + b + b + b n ) es una factorización de la expresión ab 1 + ab + ab + ab n, y que a es un factor común de los sumandos ab 1, ab,, ab n Ejemplo 1 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: a.) x + xy b.) 6xa 1xy c.) a + a a.) x + xy x x + xy xx + y) Por lo que la factorización de x + xy es xx + y) es decir: x + xy xx + y) b.) 6xa 1xy 6x a 6 x y 6xa y) Por lo que la factorización de 6xa 1xy es 6xa y); es decir: 6xa 1xy 6xa y) c.) a + a a + a aa + 1) Por lo que la factorización de a + a es aa + 1) es decir: a + a aa + 1) Ejemplo Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: a.) x y z + x y z b.) a + 15) ba + 5) c.) ax y) + y x) d.) 14x 8x + 56x y a.) x y z + x y z x y z + x y z x y yz + x xy zz x y zy + xz) x y z + x y z x y zy + xz)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 1 b.) a + 15) ba + 5) a + 15) ba + 5) a + 5) ba + 5) a + 5) ba + 5) a + 5) b) a + 15) ba + 5) a + 5) b) c.) ax y) + y x) ax y) + y x) ax y) + 1)x y) ) x y)a 1) ax y) + y x) x y)a 1) d.) 14x 8x + 56x y 14x 8x + 56x y 14x 1 14x x + 14x 4y 14x 1 x + 4y) 14x 8x + 56x y 14x 1 x + 4y) * Usando la propiedad distributiva se puede demostrar que: a b 1) b a) Ejercicios 1

Expresiones Algebraicas Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) abc + abc.) 9a x 18ax.) 6a 1ax + ) 4.) m 4n) + mm n) 5.) xx 7) 7 x) 6.) x + 9y) + d x y) Factorizar por agrupación Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una agrupación conveniente de aquellos sumandos que poseen un factor común. Ejemplo Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: a.) 5by 5y + ba a b.) x xy y + x c.) 4a x + bm 4ab max d.) am an + a m + n 1 a.) 5by 5y + ba a 5by 5y + ba a 5by 5y) + ba a) 5yb 1) + ab 1) b 1)5y + a) 5by 5y + ba a b 1)5y + a)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. b.) x xy y + x x xy y + x x xy + y) + x x xy) + y + x) xx y) + y + x) xx y) + 1x y) x y) x + 1) x xy y + x x y) x + 1) c.) 4a x + bm 4ab max 4a x + bm 4ab max 4a x 4ab) + bm max) 4aax b) + mb ax) 4aax b) + m 1)ax b) 4aax b) + m)ax b) ax b)4a m) 4a x + bm 4ab max ax b)4a m) d.) am an + a m + n 1

4 Expresiones Algebraicas am an + a m + n 1 am an + a m + n 1 am an + a) + m + n 1) am n + 1) + m + n 1) am n + 1) + 1)m n + 1) m n + 1)a 1) am an + a m + n 1 m n + 1)a 1) Ejercicios 1 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) ab + a + b + 1.) 6a 4ac 15ab + 10bc.) a a c ba + abc 4.) c + 4cd c 6d 5.) ax bx + by + a ay b 6.) cax + cby cbx cay Factorización por fórmulas notables En esta sección enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos fórmulas notables, y que serán utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas. Teorema 4 Si a IR, b IR entonces se cumple que: a + b) a + ab + b Demostración:

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 5 a + b) a + b)a + b) aa + b) + ba + b) a a + a b + b a + b b a + ab + ab + b a + ab + b Por lo tanto a + b) a + ab + b y decimos que a + b) es factorización de la expresión a + ab + b Ejemplo 4 Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones: a.) x + 10x + 5 b.) 4x + 0x + 5 c.) 9a + 6a + 1 a.) x + 10x + 5 x + 10x + 5 x) + x)5) + 5 x + 5) Por lo que la factorizacion de x + 10x + 5 es x + 5) x + 10x + 5 x + 5) b.) 4x + 0x + 5 4x + 0x + 5 x) + x)5) + 5 x + 5) Por lo que la factorizacion de 4x + 0x + 5 es x + 5) 4x + 0x + 5 x + 5)

6 Expresiones Algebraicas c.) 9a + 6a + 1 9a + 6a + 1 a) + a)1) + 1 a + 1) Por lo que la factorizacion de 9a + 6a + 1 es a + 1) 9a + 6a + 1 a + 1) Ejercicios 14 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) 5x + 0x + 9.) 4r 6 + 1r s + 9s 4.) a + 8ab + 16b 4.) x + x + 1 5.) 6.) c 9 + c d + 9 d 9h 16 + 4hk + 64k 81 Teorema 5 Si a IR, b IR entonces se cumple que: a b) a ab + b Demostración a b) a b)a b) [a + b)][a + b)] a[a + b)] + b)[a + b)] a a +a b) + ba) + b) b) a ab ab + b a ab + b Por lo tanto a b) a ab + b y decimos que a b) es la factorización de la expresión a ab + b. Ejemplo 5 Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 7 a.) x 4 x + b.) 9x y 1xy + 4 c.) a 6ab + b a.) x 4 x + x 4 x + x ) x ) ) + ) x ) Por lo que la factorización de x 4 x x + es ) x 4 x + x ) b.) 9x y 1xy + 4 9x y 1xy + 4 xy) xy)) + ) xy ) Por lo que la factorización de 9x y 1xy + 4 es xy ) 9x y 1xy + 4 xy ) c.) a 6ab + b a 6ab + b a) a) b) + b) a b) Por lo que la factorización de a 6ab + b es a b) a 6ab + b a b)

8 Expresiones Algebraicas Ejercicios 15 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) 0x 5xy + y 4.) 1 x + 4y 4y x 5.) 4n 0nm + 5m 9.) x y z z + 1 4x y 4.) x 9 10x + 5 6.) x xy + y Teorema 6 Si a IR, b IR entonces se cumple que a + b)a b) a b Demostración: a + b)a b) aa b) + ba b) a[a + b)] + b[a + b)] a a + a b) + b a + b b) a ab + ab b a b Por lo tanto: a + b)a b) a b y decimos que a + b)a b) es la factorización de la expresión a b. Ejemplo 6 Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones: a.) 4x y b.) x c 5 c.) + b) c 4) d.) 9x 1x 4 y

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 9 a.) 4x y 4x y x) y x + y)x y) Por lo que la factorización de 4x y ) es x + y)x y) 4x y ) x + y)x y) b.) x c 5 x c 5 x) c 5 ) x + c 5 ) c 5 ) Por lo que la factorización de x c 5 es x + c 5 ) c 5 ) x c 5 x + c 5 ) c 5 ) c.) + b) c 4) + b) c 4) [ + b) + c 4)][ + b) c 4)] + b + c 4) + b c + 4) b + c 1)b c + 7) Por lo que la factorización de + b) c 4) es b + c 1)b c + 7) + b) c 4) b + c 1)b c + 7) d.) 9x 1x + 4 y 9x 1x + 4 y 9x 1x + 4) y [x) x)) + ) ] y x ) y [x ) + y][x ) y]

40 Expresiones Algebraicas Por lo que la factorización de 9x 1x + 4 y es [x ) + y][x ) y] 9x 1x + 4 y [x ) + y][x ) y] Ejercicios 16 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) 5x 8.) 9c 4a 4ab b.) 4 9 r 5 16 s 4.) 6a + 5b) 4c + 7d) 5.) a + b) 4c 6.) y 5 4 Teorema 7 Si a IR, b IR entonces se cumple que: a + b)a ab + b ) a + b Demostración: a + b)a ab + b ) aa ab + b ) + ba ab + b ) a a b + ab + a b ab + b a + a b) + a b + ab ab + b a + a b + a b) + ab ab ) + b a + b Por lo tanto: a + b)a ab + b ) a + b y decimos que a + b)a ab + b) ) es la factorización de la expresión a + b. *) a ab + b no es factorizable en el conjunto de los números reales, lo cual será estudiado posteriormente. Ejemplo 7 Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones: a.) 7 + p b.) 8p + 15q

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 41 c.) x + d.) 5a + b a.) 7 + p 7 + p ) + p + p) p + p ) + p)9 p + p ) Por lo que la factorización de 7 + p es + p)9 p + p ) 7 + p + p)9 p + p ) b.) 8p + 15q 8p + 15q p) + 5q) p + 5q)[p) p)5q) + 5q) ] p + 5q)4p 10pq + 5q Por lo que la factorización de 8p + 15q es p + 5q)4p 10pq + 5q 8p + 15q p + 5q)4p 10pq + 5q ) c.) x + x + x + ) x + )[x x + ) ] x + )x x + 4) Por lo que la factorizacón de x + es x + )x x + 4) x + x + )x x + 4)

4 Expresiones Algebraicas d.) 5a + b 5a + b 5a) + b) [ 5a + b][ 5a) 5a b + b) ] 5a + b) 5a 10ab + 4b ) Por lo que la factorización de 5a + b es 5a + b) 5a 10ab + 4b ) 5a + b 5a + b) 5a 10ab + 4b ) Ejercicios 17 Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: 1.) x + 7y.) a + a 4.) x + 5 4.) 81a 7 + 4a 5.) 7a b + 11 6.) a b) + 8 Teorema 8 Si a R, b R entonces se cumple que: a b a b)a + ab + b ) Demostración: a b)a + ab + b ) [a + b)][a + ab + b ] aa + ab + b ) + b)a + ab + b ) a + a b + ab a b ab b a + a b a b) + ab ab ) b a b Por lo tanto: a b)a + ab + b ) a b y decimos que a b)a + ab + b ) es la factorización de la expresión a b. *) a + ab + b no es factorizable en el conjunto de los números reales. Ejemplo 8 Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 4 a.) x 8 b.) a 7 c.) 54x y d.) a b 15

44 Expresiones Algebraicas a.) x 8 b.) a 7 x 8 x x )x + x + ) x )x + x + 4) a 7 a 7) a 7)[a + a 7 + 7) ] a 7)a + a 7 + 49) Por lo que la factorización de x 8 es x )x + x + 4) x 8 x )x + x + 4) Por lo que la factorización de a 7 es a 7)a + a 7 + 49) a 7 a 7)a + a 7 + 49) c.) 54x y 54x y 7x y ) [x) y ] [x y][x) + xy + y ] x y)9x + xy + y ) Por lo que la factorización de 54x y es x y)9x + xy + y ) 54x y x y)9x + xy + y ) d.) a b 15 a b 15 ab) 5 [ ab 5][ ab) + ab 5 + 5 ] ab 5) 9a b + 5 ab + 5) Por lo que la factorización de a b 15 es ab 5) 9a b + 5 ab + 5) a b 15 ab 5) 9a b + 5 ab + 5) Ejercicios 18 Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones: 1.) a 64 + b.) 4a 5 a b.) a 11 4.) a b 1) 5.) 8a b 7 6.) 16x 5 x

.5 Factorización de polinomios en una variable J. Rodríguez S. A. Astorga M. 45.5.1 Factorización de polinomios de grado Enunciaremos en esta sección dos métodos los cuales usaremos para factorizar polinomios de una variable, de grado del tipo ax + bx + c). Uno de estos métodos se conoce con el nombre de factorización por completación de cuadrados, y el otro método se conoce con el nombre de factorización por fórmula general. Completación de cuadrados Este procedimiento nos permitirá obtener a partir de una expresión de la forma x + bx + c, una expresión de la forma x + ) b + k Teorema 9 Si b y c son constantes reales y x es una variable real, entonces se cumple la siguiente igualdad: Demostración: x + bx + c x + b ) b 4 + c x + b ) b 4 + c [ x + x) ) b + ) ] b b 4 + c [ x + bx + b 4 ] b 4 + c x + bx + b 4 b 4 + c por lo que: x + bx + c x + bx + c x + b ) b 4 + c así por ejemplo, usando el teorema anterior se tiene que: a) x + 6x + 5 x + 6 ) 6 4 + 5 b) x x + x + )x + x + c) x 8x 7 x + 8x) 7 x + d) x + x 1 x + x + 1) x + 1 ) ) + 4 8 ) 8) + 7 4 ) 1 4 + 1

46 Expresiones Algebraicas Factorización por completación de cuadrados Ejemplo 9 Usando la completación de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones: a)x + 5x + 4 b) x + 4x + c) 4x + 8x 5 d) x 7x + a.) x + 5x + 4 x + 5 ) 5 4 + 4 x + 5 ) 5 4 + 16 4 x + 5 ) 9 4 [ x + 5 ) ] [ x + 5 ) + ] x + 5 ) x + 5 + ) x + ) x + 8 ) x + 1) x + 4) Por lo que la factorización de x + 5x + 4 es x + 1) x + 4) x + 5x + 4 x + 1) x + 4)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 47 b.) x + 4x + x + 4 ) 4 4 + x + ) 16 4 + x + ) 4 + x + ) ) x + ) [ x + ) ] [ x + ) + ] x + ) x + + ) Por lo que la factorización de x + 4x + es x + ) x + + ) x + 4x + x + ) x + + ) c.) 4x + 8x 5 4 x + x 5 ) 4 4 [ x + ) ] 4 5 4 [ 4 x + 1) 4 4 5 ] 4 [ 4 x + 1) 9 ] 4 4 [ x + 1) ) ] [ 4 x + 1) ] [ x + 1) + ] 4 x + 1 ) x + 1 + ) 4 x 1 ) x + 5 ) Por lo que la factorización de 4x + 8x 5 es 4 ) 4x + 8x 5 4 x 1 ) x + 5 x 1 ) x + 5 )

48 Expresiones Algebraicas d) x 7x + x 7 x + ) x 7 7 4 ) + x 7 6) 49 9 4 + [ x 7 ) ] 49 6 6 + [ x 7 ) ] 49 6 6 + 4 6 [ x 7 ) 5 6 6 [ x 7 ) 6 ] ) ] 5 6 x 7 6 5 ) x 7 6 6 + 5 ) 6 x 1 ) x ) 6 6 x ) x 1 ) x 7x + x ) x 1 ) Ejercicios 19 Usando la completación de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones: 1.) x + x 6 ) x 5x + 5) x 1x 15.) x 4x + 1 4) x + x + 1 6) x x Fórmula General: La fórmula general es un procedimiento que se usa para factorizar polinomios de la forma ax + bx + c, con a, b y c constantes reales y a 0.

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 49 Teorema 10 Teorema del factor) Sea P x) un polinomio de grado n, n 1 y sea α IR: a.) Si α es un cero de P x), Pα) 0 ), entonces x α es un factor de P x). b.) Si x α es un factor de P x), entonces α es un cero de P x). Demostración: a.) Supongamos que α es un cero de P x), debemos demostrar que x α es un factor de P x). Por el algoritmo de la división existen únicos polinomios Qx) y Rx), Rx) constante real tales que : P x) x α) Qx) + Rx) ; sustituyendo x por α se tiene P α) α α) Qα) + Rx) P α) 0 Qα) + Rx) P α) Rx), pero como P α) 0 entonces Rx) 0 y se cumple que: P α) x α) Qx), de donde se tiene que x α es un factor de P x) b.) Supongamos que x α es un factor de P x), debemos demostrar que α es un cero de P x), o sea P α) 0 Si x α es un factor de P x), entonces existe un polinomio Qx) tal que P x) x α) Qx), de donde se tiene que P α) α α) Qα) P α) 0 Qα) P α) 0 ; que es lo que se quería demostrar Ejemplo 40 Sea P x) tal que P x) x x + 1, observe que P 1) 1 1) + 1, o sea P 1) 0, por lo que x 1 debe ser un factor de P x). En efecto, realizando la división de P x) por x 1 se tiene que: 1 0-1 1 1 1-1 1 1-1 0 Por lo tanto: x x + 1 x 1)x + x 1) y se cumple que x 1 es un factor de P x) Consecuencias del teorema anterior Sea P x) tal que P x) ax + bx + c con a 0. Si P x) no tiene ceros reales, entonces P x) no es factorizable en IR. Definición 16

50 Expresiones Algebraicas Sea P x) un polinomio tal que P x) ax + bx + c, con a, b y c constantes reales y a 0, el número b 4ac, recibe el nombre de discriminante de P x). Notación El discriminante de ax + bx + c, con a 0 se denota por el símbolo: ; o sea: b 4ac Ejemplo 41 Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios: a.) 4x + 5x + 8 b.) x x c.) 4x 4x + 1 d.) 4x x e.) x + 5 f.) x + 7x a.) 4x + 5x + 8 En este caso: 5 44)8) 5 18 10 b.) x x En este caso: 1) 41) ) 1 + 8 9 c.) 4x 4x + 1 En este caso: 4) 44)1) 16 16 0 d.) 4x x En este caso: ) 44)0) 4 0 4 e.) x + 5 En este caso: 0) 4)5) 0 60 60 f.) x + 7x En este caso: 7 4 ) ) 49 4 5

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 51 Ejercicios 0 Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios: 1.) x + x.) x + 4 5.) 1 x + x + 4.) 9x 0x + 5 4.) 1x x 6.) 5x x + 4 Teorema 11 Sea P x) un polinomio tal que P x) ax + bx + c, con a 0 y b 4ac i.) Si < 0 entonces P x) no es factorizable en el conjunto de los números reales ii.) Si 0 entonces P x) es factorizable en el conjunto de los números reales y su factorización viene dada por: ax + bx + c a x + b ) a iii.) Si > 0 entonces P x) es factorizable en el conjunto de los números reales y su factorización viene dada por: ax + bx + c ax α)x β); α b a y β b + a Demostración: P x) ax + bx + c [ a x + b a x + c ] a a [x ba b + x + 4a b 4a + c ] a [ a x + b ) b b a x + a 4a c ) ] a a a [ x + b ) a b ) ] 4ac 4a [ x + b ) ) ] a 4a ) a partir de aquí consideramos los tres casos siguientes:

5 Expresiones Algebraicas i.) Si < 0 entonces > 0, por lo que P x) 0, x IR 4a Debe aquí se deduce que P x) no tiene ceros reales y por lo tanto P x) no es factorizable ver la consecuencia del teorema del factor anotado en la pagina anterior). ii.) Si 0 entonces por ) [ P x) a x + b ) ] 0 a 4a [ a x + b ) 0] a a x + b ) a o sea: Si 0 entonces ax + bx + c a x + b ) a iii.) Si > 0 entonces volviendo a ) tenemos que: [ P x) a x + b ) ] a 4a a x + b ) ) a 4a [ a x + b ) ] [ + a 4a x + b ) ] a 4a [ a x + b + ] [ x + b ] a a [ b )] [ b + )] a x x a a o sea: ax α)x β) donde α b, β b + a a Si > 0 entonces: ax + bx + c ax α)x β) donde α b, β b + a a Ejemplo 4 Factorice si es posible) cada una de las siguientes expresiones: a.) x + x 4 b.) x + 4 c.) 4x + 0x 5

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 5 d.) x 6x e.) x + 5x f.) x x a.) x + x 4 En este caso: 4 ) 4) 9 Como < 0 entonces x + x 4 no es factorizable en el conjunto de los números reales b.) x + 4 En este caso: 0) 41)4) 0 16 16 Como < 0 entonces x + 4 no es factorizable en el conjunto de los números reales c.) 4x + 0x 5 En este caso: 0) 4 4) 5) 400 400 0 Como 0 entonces: 4x + 0x 5 4 x + 0 ) 4 4 x 0 ) 8 4 x 5 ) 4x + 0x 5 4 x 5 ) d.) x 6x En este caso: 6) 4 )0) 6 Como > 0 entonces x 6x x α)x β) con: α 6) 6 ; ) β 6) + 6 ) α 6 6 4 ; β 6 + 6 4 α 0; β x 6x x 0)x + ) x 6x xx + ) Nota: La expresión x 6x se puede factorizar en un menor número de pasos usando la factorización por factor común.

54 Expresiones Algebraicas e.) x + 5x En este caso: 5) 4) ) 5 + 4 49 Como > 0 entonces x + 5x x α)x β) con: α 5 49 ; ) β 5 + 49 ) α 5 7 ; β 5 + 7 4 4 f.) x x En este caso: 1) 41) ) 1 + 1 1 Como > 0 entonces x x 1 x α)x β) con: α 1) 1 ; 1) β 1) + 1 1) α 1 1 ; β 1 + 1 ) x x x 1 1 x 1+ 1 ) α ; β 1 x + 5x x + )x 1 ) Ejercicios 1 Factorice si es posible) cada una de las siguientes expresiones: 1.) 6x 1x + 6.) x + x + 1 5.) x 5x.) x x + 1 4.) x + 7x + 0 6.) 1 4 x + x + 1.5. Factorización de polinomios de grado mayor que, con coeficientes enteros A continuación nuestro objetivo es factorizar polinomios de grado mayor que dos, para lo cual haremos uso de: la división sintética, del procedimiento para factorizar polinomios de grado, del teorema del factor y de las siguientes proposiciones: Propocisión 1 Si P x) es un polinomio de grado n, entonces P x) tiene a lo sumo n ceros reales. Ejemplo 4 a.) El polinomio x + 1, es de grado por lo que tiene a lo sumo ceros reales.

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 55 b.) El polinomio x 4 4x 4, es de grado 4 por lo que tiene a lo sumo 4 ceros reales. Propiedad 1 Sea P x) un polinomio tal que: P x) a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 donde a n, a n 1,..., a 1, a 0 Son números enteros. Y sean c y d números enteros tales que c d es una fracción canónica. Si c d es un cero de P x) entonces, a 0 es divisible por c y a n es divisible por d. Nota: de la proposición anterior se deduce que todos los ceros racionales de P x) están contenidos en el conjunto D, donde: { c } D d Q/c es un divisor de a 0 y d es un divisor de a n pero no necesariamente todo elemento de D es un cero de P x)). Para aplicar las proposiciones anteriores en la factorización de un polinomio P x), con: P x) a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 con a n, a n 1,..., a 1, a 0, números enteros, a n 0, n IN, n > se sigue el siguiente procedimiento: 1.) Se determina el conjunto D a0, donde:.) Se determina el conjunto D an, donde: D a0 {c Z/c es un divisor de a 0 }.) Se forma el conjunto D, donde: D an {d IN/d es un divisor de a n } { c } D d /c D a 0 y d D an 4.) Entre los elementos de D se busca un α tal que P α) 0. 5.) Se efectúa la división de P x) por x α, y se expresa la identidad P x) x α)cx) donde Cx) es el cociente que se obtiene al dividir P x) por x α 6.) Si Cx) de grado mayor que, se repiten los pasos 4 y 5 para Cx).

56 Expresiones Algebraicas 7.) Si Cx) es de grado, se utiliza alguno de los métodos de factorización de polinomios de este tipo. Ejemplo 44 Factorice P x) si se posible), donde: P x) x 4x + x + 6 En este caso: D 6 {1, 1,,,,, 6, 6} divisores enteros de 6) D 1 {1} divisores naturales de 1) D {1, 1,,,,, 6, 6} cada elemento de D es el cociente de un elemento de D 6 y un elemento de D 1. El paso siguiente es determinar algún α, α D tal que P α) 0 Calculemos P 1), por división sintética): 1-4 1 6-1 -1 5-6 1-5 6 0 De aquí se tiene que P 1) 0 y además x 4x + x + 6 x + 1)x 5x + 6) Como x 5x + 6 es de grado, podemos utilizar alguno de los métodos de factorización estudiados para polinomios de este tipo. Por fórmula general se tiene que en x 5x + 6: 5) 41)6) α 5 1 β 5 + 1 5 4 α 4 β 6 1 α β por lo que: x 5x + 6 x )x ) y como x 4x + 6 x + 1)x 5x + 6) entonces x 4x + 6 x + 1)x )x )

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 57 Ejemplo 45 Factorice P x) si se posible), donde: P x) x 4 4x 6x 4 En este caso: D 4 {1, 1,,, 4, 4} Divisores enteros de 4 D {1, } Divisores naturales de D { 1, 1,,, 4, 4, 1, 1 } El paso siguiente es determinar algún α, α D, tal que P α) 0 Calculemos P 1) por división sintética: 0-4 -6-4 1 - -8 - -8-1 Como P 1) 1, x 1 no es un factor de P x) Calculemos P 1) por división sintética: 0-4 -6-4 -1-4 - - -4 0 De aquí se tiene que P 1) 0 y además x 4 4x 6x 4 x + 1)x x x 4) ) Sea Cx) x x x 4 que es un polinomio de grado, debemos encontrar un β, β D tal que Cβ) 0 Calculemos C) por división sintética: - - -4 4 4 4 0

58 Expresiones Algebraicas De aquí se tiene que C) 0 y además x x x 4 x )x + x + ) ) Como x + x + es de grado, podemos utilizar alguno de los métodos de factorización estudiados para polinomios de este tipo. Por fórmula general se tiene que en x + x + ) 4)) 4 16 1 Como < 0 entonces x + x + no es factorizable en el conjunto de los números reales. Así, por ) y ) se tiene que: x 4 4x 6x 4 x + 1)x x x 4).. x 4 4x 6x 4 x + 1)x )x + x + ) Ejemplo 46 Factorice P x) si se posible), donde: P x) x 4 x 4x + 8x Factorizando P x) por factor común se tiene que: P x) xx x 4x + 8) *) Sea P 1 x) x x 4x + 8, para P 1 x) se tiene: D 8 {1, 1,,, 4, 4, 8, 8} D 1 {1} D {1, 1,,, 4, 4, 8, 8} Calculando P 1 1) y P 1 1) se tiene que P 1 1) y P 1 1) 9

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 59 Calculemos P 1 ) por división sintética): 1 - -4 8 0-8 1 0-4 0 De aquí se tiene que P 1 ) 0 y además x x 4x + 8 x ) x 4 ) y como x 4 x )x + ) entonces x x 4x + 8 x )x )x + ) ) Así por ) y ) se tiene que: x 4 x 4x + 8x xx )x )x + ) Ejemplo 47 Factorice P x) si se posible), donde: P x) x + 4x + 4x + En este caso: D {1, 1,, } D 1 {1} D {1, 1,, } Calculando P 1), P 1), P ) y P ) se tiene que: P 1) 1, P 1), P ) 78, P ) 0 Dividiendo P x) por x + ), usando división sintética), obtenemos: 1 4 4 - - - - 1 1 1 0 y por lo tanto:

60 Expresiones Algebraicas x + 4x + 4x + x + ) x + x + 1 ) factorice, si es posible, x + x + 1, para esto se tiene que: 1) 41)1) 1 4 Como < 0 entonces x + x + 1 no es factorizable en el conjunto de los números reales. Así se tiene que: x + 4x + 4x + x + ) x + x + 1 ) Ejemplo 48 Factorice P x) si se posible), donde: P x) x 4 8x 9 En este caso: D 9 {1, 1,,, 9, 9} D 1 {1} D {1, 1,,, 9, 9} Calculando P 1) y P 1) se tiene que: P 1) 16, P 1) 16 Calculemos P ) por división sintética: 1 0-8 0-9 9 9 1 1 0 De aquí se tiene que P ) 0 y además: x 4 8x 9 x ) x + x + x + ) Sea P 1 x) x + x + x + Como 1 y 1 no son ceros de P x), tampoco lo son de P 1 x); por lo que los posibles ceros de P 1 x) serían los restantes elementos de D. Calculando P 1 ) se tiene que P 1 ) 60

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 61 Calculemos P 1 ) por división sintética: 1 1 - - 0-1 0 1 0 De aquí se tiene que P 1 ) 0 y además x + x + x + x + )x + 1) factoricemos, si es posible x + 1 Para x + 1 se tiene que: 0 41)1) 4 Como < 0, entonces x + 1 no es factorizable en el conjunto de los números reales. Así se tiene que: x + x + x + x + )x + 1) y por lo tanto x 4 8x 9 x )x + ) x + 1 ) Ejercicios Factorice, si es posible, cada uno de los siguientes polinomios P x) que se definen a continuación. 1.) P x) x 4x + x + 6.) P x) x x 18x + 9.) P x) x + x + x + 4.) P x) x 4 5x + 4x x 5.) P x) x 1x + 16 6.) P x) x 4 4x x + 4x 4 7.) P x) 6x + x + 9x 18 8.) P x) 5x + 9x 7x + 1.6 Fracciones Racionales en una Variable.6.1 Fracciones Racionales en una Variable Definición 17 Sean P x) y Qx) dos polinomios en una variable. La expresión P x) recibe el nombre de fracción racional, Qx) P x) recibe el nombre de numerador y Qx) recibe el nombre de denominador de la fracción. Ejemplo 49

6 Expresiones Algebraicas Son fracciones racionales las siguientes expresiones: a.) x x + 1 x 1 d.) x + 1 x + 4 x 1 b.) x x + x 1 e.) x 9 x c.) f.) 1 x + 1 x + x 1) x +.6. Simplificación de fracciones racionales Diremos que una fracción racional está expresada en su forma más simple, cuando el numerador y el denominador de dicha fracción no tienen factores comunes. Para simplificar fracciones racionales haremos uso del siguiente resultado: Resultado Si P x), Qx) y Cx) son polinomios entonces se cumple que: P x) Cx) Qx) Cx) P x) ; para todo x, tal que Cx) 0 Qx) Ejemplo 50 Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales: a.) x 6 x 18 b.) x 8 x 4 c.) x 4 x 4 x 1) d.) x + x x x 1 e.) x 9 x ) x x ) f.) x + x 6 x + 7x + 1 a.) x 6 x ) x 18 x 9) x ) x ) x + ) 1 x +, si x 0 x 6 x 18 1 x +, si x

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 6 b.) x 8 x 4 x ) x + x + 4 ) x ) x + ) x + x + 4, si x 0 x + x 8 x 4 x + x + 4, si x x + c.) x 4 x ) x + ) x 4 x 1) x 4x + 4 x ) x + ) x ) x ) x + ) x ), si x 0 x 4 x + ) x 4 x 1) x ), si x d.) x + x x x 1 x + x ) x + ) x 1) x + 1) x x + ) x + ) x 1) x + 1) x + ) x 1 ) x 1) x + 1) x + ) x 1) x + 1) x 1) x + 1) x +, si x 1 0 y x + 1 0 x + x x x 1 x +, si x 1 y x 1

64 Expresiones Algebraicas e.) x 9 x ) x x ) x 9x + 18 x x + 6 x 6) x ) x + 6 x 6) x ) x ) x 6, si x 0 x 9 x ) x x ) x 6, si x f.) x + x 6 x + 7x + 1 x + ) x ) x + ) x + 4) x x + 4 ; si x + 0 x + x 6 x + 7x + 1 x, si x x + 4 Ejercicios Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales. 1.) m ) m 4 4.) a + 1 a 4 a + a 1 7.) x + x 6 x 7).) x + 9x x + 6x + 9 5.) a a + a 1 a a + 1 8.) x + 1 x x x x x +.) x 4 x 1) x 4 6.) x + ) x + 1) x + x + 1 9.) x x 5 x 5x.6. Operaciones con fracciones racionales Para realizar operaciones con fracciones racionales usaremos los procedimientos utilizados para realizar operaciones con números racionales. Así:

Si Ax) Bx) y Cx) Bx) son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes igualdades: 1.) Ax) Bx) + Cx) Ax) Dx) + Cx) Bx) Dx) Bx) Dx).) Ax) Bx) Cx) Ax) Dx) Cx) Bx) Dx) Bx) Dx).) Ax) Bx) Cx) Ax) Cx) Dx) Bx) Dx) 4.) Ax) Bx) Cx) Ax) Dx) Dx) Bx) Cx) J. Rodríguez S. A. Astorga M. 65 Notación Ax) Bx) Cx) Dx) Ax) Bx) Cx) Dx) por lo que Ax) Bx) Cx) Dx) Ax) Dx) Bx) Cx) Ejemplo 51 Sean P x) Qx) x + 5x + 6 x ; 1 Rx) Sx) x + x x + 6 Determine: a) P x) Qx) Rx) Sx) b) P x) Qx) Rx) Sx) En cada caso exprese el resultado como una fracción racional en su forma más simple. a.) P x) Qx) Rx) Sx) x + 5x + 6 x 1 x + x x + 6 x + 5x + 6 ) x + x ) x 1) x + 6) [x + )x + )][x + )x 1)] [x 1)x + 1)] x + ) x + ) x + ) x + 1)

66 Expresiones Algebraicas b.) P x) Qx) Rx) Sx) x + 5x + 6 x 1 x + x x + 6 x + 5x + 6)x + 6) x 1)x + x ) [x + ) x + )] x + ) x 1) x + x ) [x + )x + )] x + 6) x 1) x + 1) x + ) x 1) x + ) x + ) x 1) x + 1) x 1) Ejemplo 5 Realice las operaciones indicadas en cada una de las expresiones siguientes y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple: a.) x 7 + x + 6 b.) x x + 1 x 1 x a.) x 7 + x + 6 x + 6) + x 7) x 7) x + 6) x + 18 + x 14 x 7) x + 6) 5x + 4 x 7) x + 6) x 7 + x + 6 5x + 4 x 7) x + 6)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 67 b.) x x + 1 x 1 x x ) 1 x x x + 1) x + 1) 1 x ) x x x x x + 1) 1 x ) x x x x + 1) 1 x ) x x + x + 1 ) x + 1) 1 x ) xx + 1) x + 1) 1 x ) x x + 1) 1 x ) x x + 1) 1 x) 1 + x) x 1 x) x x + 1 x 1 x x 1 x) A continuación enunciaremos un resultado que puede ser usado para sumar y restar fracciones racionales. Resultado: Si Ax) Bx) y Cx) Bx) son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes igualdades: i.) Ax) Bx) + Cx) Ax) + Cx) Bx) Bx) ii.) Ax) Bx) Cx) Ax) Cx) Bx) Bx) Justificación del resultado: i.) Ax) Bx) + Cx) Ax) Bx) + Cx) Bx) Bx) Bx) Bx) [Ax) + Cx)] Bx) Bx) Bx)

68 Expresiones Algebraicas Ax) + Cx) Bx) Ax) Bx) + Cx) Ax) + Cx) Bx) Bx) ii.) Justificación análoga a la anterior. Nota: el resultado enunciado anteriormente se generaliza al caso en que se suman o restan tres o más fracciones racionales. En los ejemplos siguientes ilustraremos el uso de este resultado al sumar o restar fracciones racionales. Ejemplo 5 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple. a.) 8x x + + 6x + 4 x + b.) 1 + b ab + a + 1 a b b + 1 ab c.) x + 5 x 5 + x 5 e.) 1 x 16 + 1 x 5x + 4 x + 8x + 16 d.) f.) x x 1 x + 1 x 1) 1 x x 1 x + x 4 x 4x g.) x x x + 1 x + 1 x 1 x + x + 1 a.) 8x x + + 6x + 4 x + 8x + 6x) + 4 x + x + 4 x + x + ) x + 8x x + + 6x + 4 x +

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 69 b.) 1 + b ab + a + 1 a b b + 1 ab 1 + b ab ab ab + a + 1 a 6b b 6b b + 1 ab a a 1 + b) ab) 6a b + a + 1) 6b 6a b b + 1 ) a 6a b 1 + b) ab + a + 1) 6b b + 1 ) a 6a b ab + 6ab 6ab + 6b ab a 6a b 4ab + ab + 6b a 6a b 1 + b ab + a + 1 a b b + 1 ab 4ab + ab + 6b a 6a b c.) x 5 x 5 + x 5 x 5 x 5) x + 5) + x 5 x 5 x 5) x + 5) + x 5 x + 5 x + 5 x 5 x 5) x + 5) + x + 5) x 5) x + 5) x 5 + x + 5) x 5) x + 5) x 5 + x + 10 x 5) x + 5) x + 5 x 5) x + 5) 1 x 5) x 5) x + 5) 1 x + 5) x 5 x 5 + x 5 1 x + 5)

70 Expresiones Algebraicas d.) x x 1 x + 1 x 1) x x 1) x + 1) x + 1 x 1) x 1) x x 1) x + 1) x 1 x 1 x + 1 x 1) x 1) x + 1 x + 1 x x 1) x 1) x + 1) x + 1) x 1) x + 1) x x 1) x + 1) x 1) x + 1) x x x + x + 1 ) x 1) x + 1) x x x x 1 x 1) x + 1) x 1 x 1) x + 1) x x 1 x + 1 x 1) x 1 x 1) x + 1) e.) 1 x 16 + 1 x 5x + 4 x + 8x + 16 1 x 4) x + 4) + 1 x 1) x 4) x + 4) 1 x 1) x + 4) x 4) x + 4) x 1) x + 4) + 1 x + 4) x 1) x 4) x + 4) x 1) x 4) x + 4) x 1) x 4) x 1) x + 4) + x + 4) x 1) x 4) x 1) x 4) x + 4) x + 4x x 4 + x + 8x + 16 ) x 4x x + 4 ) x 1) x 4) x + 4) x + x 4 + x + 8x + 16 x + 8x + x 8 x 1) x 4) x + 4) 1x + 4 x 1) x 4) x + 4) 1 x 16 + 1 x 5x + 4 x + 8x + 16 1x + 4 x 1) x 4) x + 4)

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 71 f.) 1 x x 1 x + x 4 x 4x 1 x x ) 1 x x + ) 4 x x 4) 1 x x ) 1 x x + ) 4 x x ) x + ) 1 x x ) x + x + 1 x x + ) x x 4 x x ) x + ) x + x x ) x + ) x x x ) x + ) 4 x x ) x + ) x + x + 4 x x ) x + ) 0 x x ) x + ) 0 1 x x 1 x + x 4 x 4x 0 g.) x 1 x x + 1 x + 1 x 1 x + x + 1 x 1) x + x + 1) x x + 1 x + 1 x 1 x + x + 1 x + x + 1 no es factorizable en el conjunto de los números reales. x 1) x + x + 1) x x + 1 x + x + 1 x 1 x + x + 1 x + 1 x + x + 1 x 1 x 1 x x 1) x + x + 1) x + 1 ) x + x + 1 ) x + 1) x 1) x 1) x + x + 1) x + x + 1) x 1) x x + 1 ) x + x + 1 ) x + 1) x 1) x 1) x + x + 1) x 4 + x + x x x x + x + x + 1 ) x 1 ) x 1) x + x + 1) x4 x x + x + x + x x x 1 x + 1 x 1) x + x + 1) x 4 x + x 1) x + x + 1)

7 Expresiones Algebraicas x x x + 1 x + 1 x 1 x + x + 1 x 4 x + x 1) x + x + 1) Ejemplo 54 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple: a.) x 1 1 x x + 6 + 16 x b.) + x 6 + x x + + x a.) x 1 1 x x + 6 + 16 x x 1) x ) 1 x x + 6) x ) + 16 x x x x + 1 x x x + 6x 1 + 16 x x x 10 x x + 4x + 4 x x x 10 ) x ) x + 4x + 4) x ) x 5) x + ) x ) x + ) x ) x 5 x + x 1 1 x x + 6 + 16 x x 5 x +

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 7 b.) + x 6 + x x + + x 6 + x) 6 + x x + + x 6 + x) + x) + x) x) + x) + x) 9 + x + 9 x x) + x) + x) 18 x) + x) x) + x) + x) 18 x 1 + x 6 + x x + + x x 1 Ejercicios 4 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

74 Expresiones Algebraicas 1.) x + 1 ) x 1 ) x 1) x + 1).) x 11x x 49.) 4.) 5.) 6.) 7.) 8.) 9.) 10.) 11.) x 11x x + 7 y y 6 y + 1y + 16 y y + 8 y 1 m 8 1 m ) 1 n 1) + 1 n 1 1 n 1) 1 n 1 y 1 + y y 1 y y 1 x + 1 x 4 x 4 x 6 x 4x + + x + 4 x + x [ x + 5 ] [ x + 5 ] x 1 x + 4 [ a + 1 a 1 + a 1 ] [ a + 1 a + 1 a 1 a 1 ] a + 1 10x + 4 x 4 x 5 1 x + x 1 + x 1 1 1 + x 1) x + x x x x x x 1) a 7 a 4 a + a + 9 a 14) 15) 16) 17) 18) 19) 0) 1) ) [ a 16a + 64 a 64 a 9a ] + 8a a a + a 18 n 6n n 7 + n 6 n 4n + 1 x x + x x + x x x + 5x + 6 r + r 1 r r 1 r r r y 7 y y y [ 6 ] [ 1 + 1 ] [ ] x + 1 x + x x + 4 [ ] ] [ ] x + [x x 1 x + x x x + 1 x 1 x x + 1 x x 1 x 1 x + x 1 7 x + 1 x x 16 x A continuación nuestro objetivo es efectuar operaciones con expresiones algebraicas que involucran potencias enteras negativas y con expresiones algebraicas de varias variables. Para esto, haremos uso de las propiedades de las potencias, y de los procedimientos que se usan para realizar operaciones con fracciones racionales, como se ilustra en los ejemplos que siguen. Ejemplo 55 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba el resultado en su forma más simple:

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 75 a.) a 1 + b 1 a b c.) e.) x y + x 1 xy + x 1 6x y 9 x y + y x 1 x 1 xy + 1 y x + y x y b.) d.) x 4y ) 1 x xy y + x 1 x y 1 x + y ) 1 x y + 1 ) x + y f.) x 6 x + 1) x 4 x + 1) x 4 a.) a 1 + b 1 a b 1 a + 1 b 1 a 1 b b + a ab b a a b b + a) a b b a ) ab b + a) a b b + a) b a) ab ab b a) a 1 + b 1 a b ab b a)

76 Expresiones Algebraicas 1 ) 1 b.) x 4y ) 1 x xy y + x x 4 y x 1 xy y + x y 4x ) 1 x y x y + x) xy y + x x y y 4x xy + x xy y + x x y y + x) y 4x ) xy + x xy) x y y + x) y x) y + x) x ) y y x) x 4y ) 1 x xy y + x y y x) c.) x y + x 1 xy + x 1 6x y 9 x y + x 1 x y + ) 1 6x y + ) y ) x [x y )] x 1 ) y ) 1 6x) x x y + ) y ) x xy x) x y x y + ) x 6x ) x y + ) y ) x y x x y + x + y x + 6x x y + ) y ) 6x x + y x y + ) y ) x y + x 1 xy + x 1 6x y 9 6x x + y x y + ) y )

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 77 d.) 1 x y 1 ) 1 x + y x y + 1 ) x + y [ ] 1 x + y) 1 x y) x y) x + y) [ ] 1 x + y) + 1 x y) x y) x + y) x + y x + y x y) x + y) x + y + x y x y) x + y) y x y) x + y) x x y) x + y) y x y) x + y) x x y) x + y) y x 1 x y 1 ) 1 x + y x y + 1 ) y x + y x e.) x y + y x 1 x 1 xy + 1 y x + y xy x x + y y x y 1 y 1 xy) + 1 x x y x + y xy x + y x y y xy + x x y x + y xy x + y ) x y y xy + x ) x y x + y xy x + y) x xy + y ) x y y xy + x ) x y x + y xy x + y) x + y xy x + y) xy x + y xy x y + y x 1 x 1 xy + 1 y x + y xy xy

78 Expresiones Algebraicas f.) x 6 x + 1) x 4 x + 1) x 4 x 6 x + 1) x 4 x + 1 x 4 x 6 x + 1) x + 1) x 4 x 4 ] x [x 6 + 1) x + 1) x 4 x 6 x + x + 1 x 1) x 4 x 6 x x4 x 8 x 4 x 6 x + 1) x 4 x + 1) x 4 x 4 Ejercicios 5 Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba el resultado en su forma más simple: 1.) x 1 y 1) 1 x 1 y 1) 1.) x + y) x + y) x y ).) 4.) 5.) [ x y x 1 y 1 ] 1 a b 1 ) 1 b a) 1 a 4 4b 1 + b a b 1 + b a b 6.) a 1 b 1) 1 a 1 + b 1) 1 7.) 8.) x x y 1 x 1 y 1 x 1 + y 1) 1 x 1 y 1 x y ) 1 9.) ax + b 1) b x 6) 1 ab + x ) 10.) x y + y x x y y + xy x y x

.7 Racionalización de expresiones algebraicas J. Rodríguez S. A. Astorga M. 79.7.1 Racionalización del denominador de expresiones algebraicas Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresión algebraica dada. Nota: En algunas expresiones algebraicas que involucran radicales se puede racionalizar el numerador o el denominador de dichas expresiones, según sea el caso y el objetivo que se desea alcanzar. El concepto y los procedimientos que se usan para racionalizar el numerador y el denominador de expresiones algebraicas son análogas, por está razón en este texto, nos dedicaremos a racionalizar únicamente el denominador de expresiones algebraicas. El estudiante podrá generalizar el concepto y los procedimientos requeridos para racionalizar el numerador de expresiones algebraicas. Caso I Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad: Si a IR, n IN, n y n a IR entonces n a n a Ejemplo 56 En cada una de las siguientes expresiones, racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.) 5 10 b.) 15 5 c.) 6 4 d.) x 4 x e.) x 5 7 x f.) x 1 5 x 1)

80 Expresiones Algebraicas a.) 5 10 5 10 10 10 b.) 15 5 15 5 5 5 5 10 10 15 5 5 5 5 10 10 10 15 5 5 5 5 10 10 15 5 5 5 c.) 6 4 6 6 6 6 1 6 6 1 6 6 1 6 6 4 6 6 d.) x 4 x 4 x x x x x 4 ) x x ) x ) x + ) x x x + ) x x 4 x x + ) x 6 6 4 4

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 81 e.) x 5 7 x x 5 7 x x 7 x 4 5 7 x 7 x 7 x 4 5x x 7 x 4 5 7 x 4 7 x 4 x 5 7 x x 7 x 4 5 f.) x 1 5 x 1) x 1 5 x 1) x 1 5 x 1) 5 5 x 1) x 1) 5 x 1) 5 5 x 1) x 1) x 1) 5 x 1) 5 x 1) x 1) 5 x 1) Ejercicios 6 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.) 7 6.) 1 5 7 5.) 15 5.) x 6 4x 4.) x x 1 6.) 4 x x 1) Caso II Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando la siguiente propiedad: Si a IR, b IR, entonces se cumple que: a b) a + b) a b Ejemplo 57 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.) 1 + b.) 7 5 c.) + 10 d.) 7 + 4x x + 1 e.) 9y 4x x + y f.) x x + 1

8 Expresiones Algebraicas 1 a.) + 1 + 1 ) + ) ) 1 ) ) ) 1 ) 1 ) 1 1 + b.) 7 5 7 + 5 7 5 7 + 5 7 + 5 ) 7 5 ) 7 + 5 ) 7 + 5 ) 7 ) 5 ) 7 + 5 ) 7 5 7 + 5 ) 7 + 5 7 5 7 + 5

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 8 c.) + 10 + 10 10 10 10 ) + 10 ) 10 ) 10 ) ) 10 ) 10 ) 4 10 10 ) 6 10 + 10 10 d.) 7 + 4x x + 1 7 + 4x x + 1 x + + 1 x + + 1 7 + 4x) x + + 1 ) x + 1 ) x + + 1 ) 7 + 4x) x + + 1 ) x + ) 1) 7 + 4x) x + + 1 ) 4 x + ) 1 7 + 4x) x + + 1 ) 4x + 8 1 7 + 4x) x + + 1 ) 4x + 7 x + + 1 7 + 4x x + 1 x + + 1

84 Expresiones Algebraicas e.) 9y 4x x + y 9y 4x x + y x y x y ) 9y 4x x y ) ) ) x + y x y 9y 4x ) x y ) x) y ) 9y 4x ) x y ) 4x 9y 4x 9y ) x y ) 4x 9y x y) 9y 4x x + y x y) f.) x x + 1 x + x + 1 x x + 1 x + x + 1 x + x + 1 ) x x + 1 ) x + x + 1 ) x + x + 1 ) x) x + 1 ) x + x + 1 ) x x + 1) x + x + 1 ) x x 1 x + x + 1 ) 1 x + x + 1 ) x + x + 1 ) x x + 1

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 85 Ejercicios 7 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.) 4 1 7.) 118 + 11 5.) 5 + 7.) 1 x x + 5 4.) 11 x x + 1 6.) x 16y x + 4 y Caso III Expresiones algebraicas que se racionalizan aplicando alguna de las siguientes propiedades: Si a IR, b IR, entonces se cumple que: i.) a b) a + ab + b ) a b ii.) a + b) a ab + b ) a + b Ejemplo 58 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.) 14 + 5 b.) 6 7 5 c.) 10 7 d.) 8x + 11 x + e.) x + x x 1 f.) 5 x x + 14 a.) + 5 ) 14 + 5 5 + 5 ) ) 5 + 5 ) [ 14 ) 5 + 5 ) ] ) + ) 5 [ 14 ) 10 + 5 ) ] + 5 [ 14 ) 10 + 5 ) ] 7 [ ) ) ] 10 + 5

86 Expresiones Algebraicas [ 14 + 5 ) ) ] 10 + 5 b.) 6 7 5 ) 6 7 + 7 5 7 5 + 5 ) ) 7 + 7 5 + 5 ) [ 6 ) 7 + 7 5 + 5 ) ] ) 7 ) 5 [ 6 ) 7 + 5 + 5 ) ] 7 5 [ 6 ) 7 + 5 + 5 ) ] [ 7) ) ] + 5 + 5 [ 6 7 5 7) ) ] + 5 + 5 c.) 10 7 ) 10 7 + 7 + 7 ) 7 + 7 + [ 10 ) ] 7 + 7 + ) 7 [ 10 ) ] 7 + 7 + 9 7 7 [ 10 ) ] 7 + 7 + 9 0 [ ) ] 7 + 7 + 9 [ 10 ) ] 7 + 7 + 9 7

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 87 8x + 11 d.) x + 8x + 11 x + x ) x + ) x ) x + ) [ 8x + 11) x ) 6 x + ) ] x ) + ) [ 8x + 11) x ) ] 6 x + 9 8 x ) + 7 [ 8x + 11) x ) ] 6 x + 9 8x 16 + 7 [ 8x + 11) x ) ] 6 x + 9 8x + 11 x ) 6 x + 9 8x + 11 x + x ) 6 x + 9 e.) x + x x 1 x + x x 1 x) + x x 1 + x 1 ) x) + x x 1 + x 1 ) x + ) [ x) + x x 1 + x 1 ) ] x) x 1 ) x + ) [ x) + 6 x x 1 + x 1 ) ] 8x 7 x 1) x + ) [ x) + 6 x x 1 + x 1 ) ] 8x 7x + 7 x + ) [ x) + 6 x x 1 + x 1 ) ] 19x + 7 x + x + ) [ x) + 6 x x 1 + x 1 ) ] x x 1 19x + 7

88 Expresiones Algebraicas f.) 5 x x + 5 x x + ) + x + + ) x + ) + x + + x + ) ) [ 5 x ) + x + + x + ) ] ) x + ) ) [ 5 x + x + + x + ) ] 8 x + ) ) [ 5 x ) + x + + x + ) ] 8 x ) [ 5 x 4 + x + + x + ) ] 5 x 5 x) 5 + x) [4 + x + + x + ) ] 5 x 5 + x) [4 + x + + x + ) ] 5 x [ x + 5 + x) 4 + x + + x + ) ] Nota: para racionalizar este tipo de expresiones debe tenerse claro la propiedad que se debe aplicar en cada caso, observese por ejemplo que la propiedad i) se usó en los ejemplos b), c), e) y f), y que la propiedad ii) se usó en los ejemplos a) y d). Ejercicios 8 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.) 4 11.) 7 + 5.) 6 5.) x + y x + y 4.) 16 + 50x + 5 x 6.) 8x 108 x x + A continuación racionalizaremos algunas expresiones en las cuales se combinan los métodos estudiados anteriormente.

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 89 Ejemplo 59 En cada una de las siguientes expresiones racionalice el denominador y simplifique el resultado. a.) x 1 1 x b.) y c.) x 4 x y x x y ) d.) x + + x 1 x 1 a.) 1 x x 1 1 x 1 ) x 1 ) x x 1 ) 1 ) x 1 ) x x 1 ) 1 ) x 1 x x 1 ) 1 ) x 1 x 1 + x 1 + x x 1 ) 1 ) ) x 1 + x 1) x ) x 1 ) 1 ) ) x 1 + x 1 x 1 ) ) x 1) x + 1) x 1 + x x 1) x + 1) 1 x ) 1 + x ) x 1 1 ) 1 x + 1) ) x 1 + x x

90 Expresiones Algebraicas b.) y y y y y y) y y y ) + y + y ) y ) + y + y) y [4 + 6 y + y) ] ) y) y [4 + 6 y + y) ] 8 7y y y [4 + 6 y + y) ] 8 7y

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 91 c.) x 4 x y x x y ) x 4 x y x x y ) x x x 4 x y ) x x x y ) x 4 x y ) x x x y ) x 4 x y ) x x + y x x y ) x + y x 4 x y ) x x + y ) x [ x) ) ] y x 4 x y ) x x + y ) x x y) x x + y) x x + y ) x x y) x x y) x + y) x x + y ) x x y) x x + y) x x + y ) x 4 x y ) x x + y) x x + y ) x x y

9 Expresiones Algebraicas d.) x + x + 1 x x + x 1 x + 1 1 ) x x + ) 1 ) x ) 1 ) x x + ) 1 4 x 1 ) ) x x + ) 1 4 x + 1 ) x x + ) 1 5 x ) x x + ) 1 5 5 + x x 5 + x ) x 5 ) x + ) 1 + x 5) x ) ) x 5 ) x + ) 1 + x 5 x x + x + 1 ) x 5 ) x + ) 1 + x 5 x Ejercicios 9 En cada una de las siguientes expresiones racionales, racionalice el denominador y simplifique el resultado. 1.) x 4y x + y 4.) x y x y 7.) 5a 5b a + ab + b.) a + b 9a 6ab + 4b 5) a a + 1 a + a + 1 8.) a + b a + b

J. Rodríguez S. A. Astorga M. 9.) y 15 + y 6.) 4y + 9.) y + x x 5x 1 5x