Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla. Teoría de Conjuntos

Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla Teoría de Conjuntos Curso 2010 2011

Contenido I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 1 1. Objetivos.................................. 1 2. La idea intuitiva de conjunto........................ 6 2.A. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos............... 6 2.B. Clases y conjuntos......................... 8 3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel............... 9 4. Extensionalidad, Vacío y Separación.................... 13 5. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes............... 13 6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano............. 14 7. Relaciones y aplicaciones.......................... 15 8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento................. 17 9. Ejercicios.................................. 19 II. Buenos órdenes. Ordinales 23 1. Clases bien ordenadas [Z ]........................ 23 1.A. Introducción............................. 23 1.B. Los teoremas de minimización, inducción y recursión...... 24 1.C. Isomorfismos entre clases bien ordenadas............. 26 2. Números ordinales [Z ].......................... 28 2.A. La clase de los números ordinales................. 28 2.B. Ord como clase bien ordenada................... 30 2.C. Ordinales límites.......................... 33 2.D. Conjuntos bien ordenados y ordinales............... 35 2.E. Teoremas de inducción y recursión sobre Ord.......... 35 3. El teorema del buen orden [ZF ]..................... 36 i

II Contenido 4. Sucesiones de ordinales [ZF ]....................... 37 5. Aritmética ordinal [ZF ]......................... 39 6. Números naturales [ZF ]......................... 41 7. Ejercicios.................................. 41 III. Cardinales 45 1. El número de elementos de un conjunto [ZF ].............. 45 2. Conjuntos finitos.............................. 47 2.A. Álgebra de conjuntos finitos [Z ]................. 47 2.B. Conjuntos D finitos [ZF ]..................... 49 3. Conjuntos numerables [ZF ]....................... 50 4. Números enteros y racionales [ZF ].................... 53 4.A. Números enteros.......................... 53 4.B. Números racionales......................... 54 4.C. Órdenes totales densos....................... 54 5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [ZF ].............. 56 6. Aritmética cardinal [ZF ]......................... 58 6.A. Suma y producto.......................... 59 6.B. Exponenciación........................... 60 7. Números reales [ZF ]............................ 61 7.A. Completación............................ 61 7.B. Topología de la recta real..................... 63 7.C. El cardinal de R. La Hipótesis del Continuo, CH........ 64 8. Aritmética cardinal infinita [ZF ]..................... 67 9. Exponenciación cardinal [ZF ]...................... 69 9.A. Cofinalidad............................. 69 9.B. Cardinales regulares........................ 70 9.C. El lema de König.......................... 71 9.D. Las funciones Continuo y Gimel.................. 72 9.E. La Hipótesis Generalizada del Continuo, GCH......... 73 10. Ejercicios.................................. 74 IV. El axioma de regularidad 81

Contenido III 1. La clase WF [ZF ]............................. 81 2. El axioma de regularidad [ZF ]...................... 84 3. Inducción y recursión [ZF ]..................... 86 3.A. Relaciones adecuadas........................ 86 3.B. Teoremas de inducción y recursión sobre relaciones bien fundamentadas y adecuadas....................... 86 4. Ejercicios.................................. 87 V. El Axioma de Elección 89 1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC................ 89 1.A. El Axioma de Elección....................... 89 1.B. Principios maximales........................ 90 2. Cardinales.................................. 91 3. Formas débiles del Axioma de Elección.................. 91 4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad............... 93 5. Espacios compactos............................. 94 6. Ejercicios.................................. 98 VI. Espacios Polacos 99 1. Espacios Polacos.............................. 99 1.A. Conjuntos G δ............................ 100 1.B. Árboles [ZF ]............................ 101 1.C. El espacio métrico A ω....................... 102 2. Inmersiones entre Espacios Polacos.................... 103 2.A. El Conjunto de Cantor....................... 103 2.B. Esquemas de Lusin......................... 104 3. Espacios Polacos no numerables...................... 106 3.A. Espacios Polacos perfectos..................... 106 3.B. El teorema de Cantor Bendixson [ZF + AC ω ]......... 108 3.C. La derivada de Cantor Bendixson [ZF ]............. 110 4. Ejercicios.................................. 111

Capítulo I La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 1 Objetivos Los objetivos básicos de la Teoría de Conjuntos son los siguientes. 1. Fundamentar las Matemáticas: Desde el punto de vista de la Teoría de Conjuntos todos los objetos matemáticos son conjuntos. ( ) En Álgebra se estudia la estructura de grupo. Un grupo es un conjunto con una operación entre sus elementos que satisface ciertas propiedades. En Álgebra es irrelevante la naturaleza conjuntista de los elementos de un grupo: dos grupos isomorfos son idénticos. Sin embargo, desde la fundamentación que proporciona la Teoría de Conjuntos, los elementos de un grupo también son conjuntos. A lo largo del curso se describirán los objetos más importantes en Matemáticas: ( ) Conjuntos básicos en Matemáticas: Números naturales (II.6), enteros, racionales (III.3) y reales (III.7). ( ) Conjuntos esenciales en Matemáticas: Aplicaciones y relaciones (I.7). Para obtener esta descripción se introduce la Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel. Para la Teoría de Conjuntos este objetivo es secundario. Por ejemplo, se define el conjunto de los números reales, R, y las operaciones aritméticas habituales (suma y producto), la relación de orden y el valor absoluto. Sin embargo, se considera que a partir de estas definiciones, con una formación básica en Matemáticas, se puede probar sin grandes dificultades que: R es un cuerpo conmutativo, el orden es total y denso, y con respecto al valor absoluto es un espacio métrico separable y completo. 2. Conjuntos y clases: La idea intuitiva de que toda colección de objetos es un conjunto es inconsistente (ver I.2). Existen colecciones de objetos que no son conjuntos y las denominaremos clases propias. Es importante determinar que ciertas clases son propias. 1

2 1. Objetivos La clase de todos los conjuntos y la clase de los números ordinales son los ejemplos más importantes de clases propias. 3. Inducción y recursión: Las pruebas por inducción y las definiciones por recursión son herramientas básicas en Matemáticas. Sin embargo, no es posible justificar determinadas construcciones usando esta metodología (inducción y recursión) sobre los números naturales, conjunto que se denota por ω. Para ello introduciremos la clase de los números Ordinales (ω es un ordinal) y demostramos que esta clase satisface los teoremas de inducción y recursión. En el curso veremos numerosas aplicaciones del uso de inducción y recursión sobre la clase de los números ordinales y sobre ordinales mayores que ω; por ejemplo, en el estudio sobre subconjuntos de R: conjuntos de Borel, analíticos, de Baire y medibles. Históricamente, el primer resultado cuya prueba requiere una definición por recursión sobre un ordinal mayor que ω, trata sobre la existencia y estructura del mayor subconjunto sin puntos aislados de un conjunto (cerrado) de números reales (para más detalles ver VI.3.C). Puntos aislados: En lo que sigue R es el conjunto de los números reales. ( ) Sean a, b R tales que a < b. El intervalo abierto de extremos a y b, (a, b), es ( ) Sea A R. (a, b) = {c R : a < c < b}. ( ) Sea a A. Diremos que a es aislado en A si existen b 1 < b 2 R tales que A (b 1, b 2 ) = {a}. ( ) A = {a A : a no aislado en A}. ( ) Por recursión sobre n ω definimos A (n). { A, si n = 0; A (n) = A (m), si n = m + 1. Sea A R. Diremos que A es n Cantor si m < n [A (m) ] A (n) =. Seguidamente describiremos conjuntos n Cantor. Sea a R. Un conjunto 1 Cantor: Sea A 1,a = {a}. Es evidente que A 1,a es 1 Cantor. Un conjunto 2 Cantor: Para cada n ω sea a n = a 1 n+1. Sea A 2,a = {a n : n ω} {a}. Para todo n ω, a n es aislado en A 2,a. Por tanto, A 2,a = A 1,a = {a}. En consecuencia, A 2,a es 2 Cantor. Un conjunto 3 Cantor: Sea A 3,a = n ω A 2,a n {a}. Entonces A 3,a = ( n ω A 2,a n ) {a} = ( n ω A 1,a n ) {a} = ( n ω {a n}) {a} = A 2,a. Por tanto, A 3,a es 3 Cantor. Un conjunto 4 Cantor: Sea A 4,a = n ω A 3,a n {a}. Entonces A 4,a = A 3,a. Por tanto, A 4,a es 4 Cantor.

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 3 Un conjunto ω Cantor: Sea A (ω) = n ω A(n). Diremos que un conjunto es ω Cantor si n ω [A (n) ] A (ω) =. Existe un conjunto ω Cantor? Sean b = {b k : k ω} una sucesión creciente de números reales, y A b = k ω A k+1,b k. Entonces ( ) A (1) b ( ) A (2) b = k ω A(1) k+1,b k = k 1 A k,b k ; = k ω A(2) k+1,b k = k 2 A k 1,b k. Por tanto, n ω A(n) =. En consecuencia, A b es ω Cantor. Un conjunto (ω + 1) Cantor: Sea A (ω+1) = A (ω). Diremos que A es (ω + 1) Cantor si A (ω) A (ω+1) =. Existe un conjunto (ω + 1) Cantor? En el ejemplo anterior supongamos que la sucesión {b k : k ω} es convergente. Sean c = lim k ω b k, y A b,c = A b {c}. Entonces para todo n ω, c A (n) b,c. En consecuencia, A (ω) b,c = {c} y A (ω+1) b,c =. Por tanto, A b,c es (ω + 1) Cantor. Más importante, que el ejemplo anterior, para la consolidación de la Teoría de Conjuntos es la prueba del Teorema del Buen Orden: Todo conjunto puede ser bien ordenado. En este caso es necesaria una definición por recursión sobre la clase de los ordinales. Las pruebas por inducción y las definiciones por recursión sobre clases bien ordenadas es la forma más común de estas metodologías. La propiedad fundamental para aplicar estas herramientas es que todo subconjunto no vacío tiene un elemento minimal. Puesto que no es necesario que exista un único elemento minimal, podemos usar inducción y recursión sobre órdenes parciales que verifiquen la propiedad anterior. 4. Cardinales: El objetivo principal de la Teoría de Conjuntos es estudiar el concepto de cardinal (número de elementos) de un conjunto. En el Capítulo III estableceremos las propiedades básicas de las operaciones entre cardinales infinitos. Mientras que la suma y el producto de cardinales (asociadas a la unión y al producto cartesiano) tienen una solución elemental, la exponenciación (asociada a las partes de un conjunto) no es posible determinarla. En este sentido, uno de los problemas más conocidos es la Hipótesis del Continuo, CH: para todo A R, es A numerable o tiene el cardinal de R? La Hipótesis del Continuo es independiente de la Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel; es decir, en esta teoría no se puede probar la Hipótesis del Continuo ni su negación. 5. El Axioma de Elección, AC: El Axioma de Elección es el axioma de la Teoría de Conjuntos que ha suscitado más controversia. El Capítulo V está dedicado al estu-

4 1. Objetivos dio del Axioma de Elección. Se probará la equivalencia del Axioma de Elección con otras propiedades (lema de Zorn,... ) usadas en Matemáticas. Uno de los objetivos es aprender a determinar cuando se usa el Axioma de Elección y si es posible eliminar su uso. En algunos casos el Axioma de Elección sólo hace que la prueba sea más simple. En otros, la prueba del resultado en su forma más general usa el Axioma de Elección; sin embargo, casos particulares de éste, de gran interés, no requieren el Axioma de Elección para su demostración. Por ejemplo: Lema. (AC). Si A es un conjunto infinito, existe f : A A 2 biyectiva. La prueba de este resultado requiere el uso del Axioma de Elección. Sin embargo, se tiene que: Lema. ( ) Si A es un conjunto numerable infinito, existe f : A A 2 biyectiva. ( ) Existe f : R R 2 biyectiva. Veamos otro ejemplo. Lema. Sean X de Hausdorff y A X. A compacto = A cerrado. Demostración: Supongamos que A no es cerrado. Entonces existe a cl(a) A. Puesto que X es de Hausdorff, para cada x A existen G x y U x abiertos tales que ( ) x G x, a U x, ( ) G x U x =. Es evidente que A x A G x. Puesto que A es compacto, existen G x1,..., G xn tales que A G x1... G xn. Entonces ( ) a U x1... U xn. ( ) A (U x1... U xn ) =. Lo cual está en contradicción con a cl(a). La prueba anterior usa el Axioma de Elección para elegir G x y U x. Para los siguientes espacios es posible eliminar el uso del axioma de elección. Espacios segundo numerables: Sea B = {V n : n ω} una base numerable de X. Para cada x X sean } { G x = V n x (n, m) = (µ(k, k U x = V Vk a V )) k m V k V k =. Espacios métricos: Para cada x X sean r = d(x, a) G x = B(x, r/2) U x = B(a, r/2) En ambos casos la prueba procede como anteriormente. Sin embargo, la prueba del lema no requiere el uso del Axioma de Elección. Nueva prueba: Supongamos que A no es cerrado, sea a cl(a) A. Sea

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 5 Se tiene que: G A = {G G(X) : U G(X) (a U G U = )}. Aserto. Para todo x A existe G G A tal que x G. Prueba del aserto: Sea x A. Puesto que X es de Hausdorff, existen G x y U x abiertos tales que x G x, a U x y G x U x =. Lo que prueba el aserto. Por el aserto, A G A. Puesto que A es compacto, existen G 1,..., G n G A tales que A G 1... G n. Sean U 1,..., U n G(X) tales que para todo j, 1 j n, ( ) a U j, ( ) G j U j =. Entonces ( ) a U 1... U n. ( ) A (U 1... U n ) =. Lo cual está en contradicción con a cl(a). Resumen de resultados: Resumimos a continuación los resultados más importantes que se presentan en el curso. Teorema 1. (a) La clase de los ordinales, Ord, es una clase propia. (b) La relación α < β es un buen orden sobre Ord Teorema 2. Son equivalentes: (a) El Axioma de Elección. (b) Todo conjunto puede ser bien ordenado. Teorema 3. (a) A B B A = A = B. (b) A < P(A). Teorema 4. ℵ 0 < R = R n = 2 ℵ 0. Teorema 5. (a) ℵ α + ℵ β = ℵ α ℵ β = max(ℵ α, ℵ β ). (b) ℵ α < 2 ℵα = ℵα ℵα. (c) (AC). ℵ α+1 2 ℵ α. ℵ α < cf(2 ℵ α ). Teorema 6. (AC). ℵ α+1 es regular. Teorema 7. (AC). Supongamos GCH( α (2 ℵα = ℵ α+1 )). Para todo λ ℵ 0, κ 2

6 2. La idea intuitiva de conjunto λ +, si κ λ; κ λ = κ +, si cf(κ) λ < κ κ, si λ < cf(κ). 2 La idea intuitiva de conjunto En Matemáticas el procedimiento básico para describir los objetos de estudio es caracterizarlos mediante una definición. Por ejemplo, sea R el conjunto de los números reales Definición: Sea f una aplicación de R en R. Diremos que f es continua si x ε > 0 δ > 0 y [d(x, y) < δ = d(f(x), f(y)) < ε]. Por tanto, debemos proceder a definir lo que es un conjunto. Definición : Un conjunto es cualquier colección de objetos que verifican una determinada propiedad. La definición de función continua se basa en otros conceptos definidos con anterioridad: aplicación, números reales, 0, relación de orden, distancia. La definición de conjunto se construye usando: colección, objetos, propiedad. Esta definición es (en apariencia) circular pues colección y objetos son palabras sinónimas de conjunto. Más aún, en I.2.A y I.2.B veremos que la definición de conjunto dada anteriormente es incorrecta. 2.A El lenguaje de la Teoría de Conjuntos Notas I.2.1. (Primera incorrección: La paradoja de Berry). Sea P (n) la propiedad: P (n) n es un número natural definible con menos de mil símbolos. Consideremos el conjunto: C = {n : P (n)}. Sea m el menor número natural que no está en C. Se tiene que: (a) Existe m. Basta observar que C es finito. (b) m / C. Se sigue de la definición de m. (c) m C. En efecto, m está definido por: el menor número natural no definible con menos de mil símbolos. Lo anterior es una definición de m que usa menos de mil símbolos. De (b) y (c) se sigue una contradicción. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos. La contradicción obtenida en I.2.1 se debe a que la propiedad P (n) que considerabamos para definir al conjunto C no tiene una

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 7 formulación adecuada. Ahora precisaremos lo que entenderemos que es una propiedad. ( ) El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consta de un único símbolo de predicado binario, (pertenencia). Además, tiene los simbolos habituales: ( ) variables: x, y,...; ( ) = (igualdad); ( ) conectivas proposicionales: (disyunción), (conjunción), (implicación), (equivalencia), (negación); y ( ) cuantificadores: (existencial) y (universal). Las fórmulas del lenguaje de la Teoría son: ( ) x = y, (x es igual a y). ( ) x y (x pertenece a y). ( ) Si Φ y Ψ son fórmulas, entonces las siguientes expresiones son fórmulas ( ) Φ Ψ, Φ Ψ, Φ Ψ, Φ Ψ, Φ. ( ) Si Φ(x) es una fórmula, entonces son fórmulas Usaremos ( ) x Φ(x) (existe x tal que Φ(x)). ( ) x Φ(x) (para todo x se tiene Φ(x)). ( ) x y Φ(x) para denotar a x (x y Φ(x)). ( ) x y Φ(x) para denotar a x (x y Φ(x)). ( )!x Φ(x) para denotar a x Φ(x) x y (Φ(x) Φ(y) x = y). ( ) x y para denotar a (x = y). ( ) x / y para denotar a (x y). Ahora podemos precisar que es una propiedad: ( ) Una propiedad es una fórmula del lenguaje de la Teoría de Conjuntos. No se trata de realizar un desarrollo formal de la Teoría de Conjuntos. Por tanto, las propiedades sobre conjuntos se presentarán, analizarán y demostrarán de la forma habitual en Matemáticas, con las notaciones específicas de la Teoría de Conjuntos, ver I.2.3. Sin embargo, debemos tener presente que toda propiedad sobre conjuntos que consideremos debe transcribirse sin ambigüedad al lenguaje de la Teoría de Conjuntos. Por ejemplo, la propiedad P (x) (considerada en I.2.1) x es un número natural definible con menos de mil símbolos sólo la aceptaríamos si la transcribimos al lenguaje de la Teoría de Conjuntos. Extensiones por definición. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos es muy simple, sólo tiene el símbolo (pertenencia). Describir en este lenguaje propiedades sobre conjuntos es en general muy laborioso. Por ello el lenguaje se extiende añadiéndole nuevos simbolos que hace más simple la descripción de propiedades. Este proceso de

8 2. La idea intuitiva de conjunto extensión del lenguaje se realiza en ciertas condiciones, descritas más abajo en (a) y (b), de forma que no es posible: ( ) describir nuevas propiedades en la extensión (es decir, toda fórmula de la extensión es equivalente a una del lenguaje original); ( ) probar más propiedades sobre conjuntos (la extensión es conservativa). Los métodos de extensión se dividen en los siguientes tipos: (a) Predicados: Sean Φ(x 1,..., x n ) una fórmula y p un nuevo símbolo predicado n ario. Se tiene que: Aserto. T + p + [p(x 1,..., x n ) Φ(x 1,..., x n )] es conservativa sobre T. Ejemplos: Contención (x y); x es una aplicación; x es un ordinal (Ord(x)); x e y tienen el mismo cardinal ( x = y ). (b) Funciones: Sean Φ(x 1,..., x n, y) una fórmula y f un nuevo símbolo de función n aria (si n = 0, se considera un nuevo símbolo de constante). Se tiene que: Aserto. Si T x!y Φ( x, y), entonces la teoría T + f + [f( x) = y Φ( x, y)] es conservativa sobre T. Ejemplos: El conjunto vacío ( ); la unión de x e y (x y); las partes de x (P(x)); el conjunto de los numeros naturales (ω); el conjunto de los números reales (R); el cardinal de un conjunto (card(x)); la función aleph (ℵ α ). 2.B Clases y conjuntos Sea Φ(x) una fórmula. La colección de los conjuntos que satisfacen Φ(x) diremos que es una clase, que notaremos por: {x : Φ(x)}. Usaremos ( ) las letras a, b, c,..., A, B, C,... para designar conjuntos. ( ) las letras A, B, C,... (en negrita) para designar clases. Sea A la clase {x : Φ(x)}. Probar que ( ) A es una clase propia, es decir que no es un conjunto, consiste en establecer que: y x [x y Φ(x)]. ( ) A es un conjunto consiste en establecer que: y x [x y Φ(x)]. Teorema I.2.2. (Segunda incorrección: La paradoja de Russell). La clase {x : x / x} es una clase propia. Demostración: Supongamos que R = {x : x / x} es un conjunto. Entonces

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 9 R R R / R. Lo cual es una contradicción. Nota I.2.3. (Operaciones y relaciones entre clases). En lugar de usar directamente fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos, para referirnos a propiedades sobre conjuntos, usaremos el concepto de clase. Sean A = {x : Φ(x)} y B = {x : Ψ(x)} clases. En primer lugar prestaremos atención a las relaciones básicas entre conjuntos: pertenecia,, e igualdad, =. ( ) Escribiremos x A y x / A en lugar de Φ(x) y Φ(x), respectivamente. Nota: Observemos que si escribimos a A, entonces a es un conjunto. Si B es una clase propia, no tiene ningún sentido escribir B A. ( ) A = B representará: x (x A x B); es decir, ( ) A B representará: (A = B). x [Φ(x) Ψ(x)]. Ahora describiremos sobre clases las relaciones y operaciones básicas sobre conjuntos. ( ) A B representará: x (x A = x B). ( ) A B representará: A B A B. ( ) A c = {x : x / A}. ( ) A B = {x : x A x B}. ( ) A B = {x : x A x B}. ( ) A B = {x : x A x / B}. ( ) A = {x : y A (x y)}. ( ) A = {x : y A (x y)}. ( ) P(A) = {x : x A}. ( ) La clase vacía,, es la clase definida por: = {x : x x}. ( ) Par no ordenado de x e y, {x, y}, es la clase definida por: {x, y} = {z : z = x z = y}. ( ) La clase universal, V, es la clase definida por: V = {x : x = x}. 3 La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel Si los conjuntos son los objetos básicos de las Matemáticas, entonces no disponemos, como en el caso de las funciones continuas, de objetos más simples a partir de los cuáles podamos definir lo que es un conjunto. La solución consiste en caracterizar los conjuntos como los elementos de un sistema de objetos con una relación binaria

10 3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel entre ellos (relación de pertenencia) que satisfacen determinadas propiedades (fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos) que denominaremos axiomas. Los conjuntos que existen son aquellos cuya existencia se puede probar usando estos axiomas. Los conjuntos satisfacen las propiedades que podamos deducir a través de los axiomas. La Teoría de Conjuntos apareció en la primeras décadas del siglo XX. Con anterioridad, durante más de dos milenios, se desarrollaron conceptos, métodos y resultados matemáticos muy importantes. Los axiomas de la Teoría de Conjuntos sirven para fundamentar y unificar toda esta metodología; en particular, el desarrollo que se había llevado a cabo en la segunda mitad del siglo XIX. Por tanto, la configuración del sistema axiomático es un acto convencional que está guiado por la necesidad de clarificar ciertos conceptos y justificar métodos y resultados sobre éstos. La primera axiomática de conjuntos apareció en 1908. E. Zermelo introdujo estos axiomas para justificar la prueba del Teorema del Buen Orden que había presentado en 1904. Los axiomas que presentamos son esencialmente los que consideró Zermelo con ligeras modificaciones. El Axioma de Reemplazamiento fue introducido por Fraenkel (1922), el Axioma de Regularidad por Hausdorff (e independientemente por otros) (1920). T. Skolem (1925) propuso que el concepto de propiedad se sustituyese por el de fórmula del lenguaje de primer orden de la Teoría de Conjuntos. Axiomas: Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel garantizan que los conjuntos satisfacen determinadas propiedades. Dividimos los axiomas en cuatro grupos. Grupo I: Existencia de determinados conjuntos: ( ) Axioma del Vacío, Ax0; ( ) Axioma del Infinito, Ax8. Grupo II: Propiedades básicas de la relación de pertenencia: ( ) El carácter fundamental: Axioma de Extensionalidad, Ax1. Lo importante es la extensión de un conjunto no la intención (propiedades con las se puede definir dicho conjunto). ( ) Descripción estructural: Axioma de Regularidad, Ax9. Es posible, sin usar este axioma, describir los objetos básicos de las Matemáticas de tal forma que todos ellos lo satisfacen. Este axioma afirma que la relación de pertenencia es bien fundamentada. Esto permite realizar pruebas por inducción sobre la relación de pertenencia. Sin embargo, en Matemáticas la naturaleza conjuntista de los elementos de un conjunto es, en general, irrelevante; por tanto, es poco habitual usar inducción y recursión sobre la relación de pertenencia entre los elementos de un conjunto para establecer propiedades de dicho conjunto. Grupo III: Procesos para obtener conjuntos.

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 11 { Axioma de Separación, Ax2; ( ) Usando propiedades: Axioma de Reemplazamiento, Ax7. Axioma del Par, Ax3; Axioma de la Unión, Ax4; ( ) Mediante operaciones: Axioma de las Partes, Ax5; Axioma del Producto Cartesiano, Ax6. Grupo IV: Axioma de Elección, AC, Ax10. Todo conjunto puede ser bien ordenado. Este axioma es puramente existencial: afirma que existe un buen orden. Sin embargo, para conjuntos muy importantes (por ejemplo, los números reales) no existe una descripción explícita de un buen orden del conjunto. Por ello su uso ha generado muchas controversias. Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel son los siguientes. Ax0. Axioma del Conjunto Vacío. Existe un conjunto que no tiene elementos. y x (x / y). Ax1. Axioma de Extensionalidad. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales. A B B A = A = B. Ax2. Axioma de Separación (esquema). Sea C una clase. Para todo conjunto A la clase es un conjunto. {x : x A x C} = {x A : x C} = C A Ax3. Axioma del Par. Para cualesquiera conjuntos x, y, la clase es un conjunto. {x, y} = {z : z = x z = y} Ax4. Axioma de la Unión. Para todo conjunto A, la clase A = {y : x A (y x)} es un conjunto. Ax5. Axioma de las Partes. Para todo conjunto A, la clase es un conjunto. P(A) = {x : x A} Ax6. Axioma del Producto Cartesiano. Para cualesquiera conjuntos A y B, la clase es un conjunto. A B = { x, y : x A y B}

12 3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel Ax7. Axioma de Reemplazamiento (esquema). Si F es una función, entonces para todo conjunto A la clase es un conjunto Ax8. Axioma del Infinito. F[A] = {y : x (x A F(x) = y)} = {F(x) : x A} Ax9. Axioma de Regularidad. x ( x y x (y {y} x)). x = y x (x y = ). Ax10. Axioma de Elección, (AC). Para todo conjunto A existe f tal que f es una aplicación dom(f) = A y A (y = f(y) y). Diremos que f es una función de elección sobre A. En los capítulos que siguen usaremos las siguientes teorías. Ext. Sep. Par Un. Partes Cart. Rp Inf. Reg. Elec. Z sí sí si sí sí no sí sí no Z sí sí sí sí no si no sí sí no Z sí sí sí sí no sí no sí no no ZF sí sí sí sí sí sí sí sí no ZFC sí sí sí sí sí sí sí sí sí PA sí sí sí sí sí sí Inf sí sí Si T es una teoría, notaremos por ( ) T = T Ax. Regularidad. ( ) T = T Ax. Partes. ( ) TF = T + Ax. Reemplazamiento. ( ) TC = T + AC. En las siguientes secciones de este capítulo describiremos las notaciones que vamos a usar a lo largo del curso (algunas de ellas se han empleado para formular los axiomas) y estableceremos algunas propiedades elementales sobre conjuntos. No se trata de desarrollar de forma axiomática la Teoría de Conjuntos. No estamos interesados en especificar los axiomas usados en cada demostración. Sin embargo, ( ) en cada capítulo al inicio de una sección o subsección indicaremos los axiomas que usaremos en las pruebas de los resultados que allí aparecen; ( ) el capítulo V está dedicado al estudio del Axioma de Elección. En los capítulos que siguen los resultados que se obtengan estarán probados en ZFC. Sin embargo, debido a la posición particular que ocupa el Axioma de Elección, escribiremos las siglas AC (Axiom of Choice) delante de todos los resultados cuya prueba (o al menos la prueba que presentamos) dependa de este axioma. Por ejemplo,

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 13 Lema. (AC). Si A es un conjunto infinito, existe f : A A 2 biyectiva. 4 Extensionalidad, Vacío y Separación Proposición I.4.1. Ax0 Ax1 =!y x (x / y). Definición I.4.2. (El Conjunto Vacío). A = x (x / A). Lema I.4.3. Ax2 = Ax0. Demostración: Sea A un conjunto. Por Ax2, la clase B = {x : x A x x} es un conjunto. Además, x (x / B). Lema I.4.4. (Ax2). Sea A una clase. Si existe un conjunto B tal que A B, entonces A es un conjunto. Demostración: Sea B un conjunto tal que A B. Entonces (por el axioma de separación) C = {x : x B x A} es un conjunto. Es evidente que Por tanto, A es un conjunto. x (x A x C), Teorema I.4.5. Ax2 = V es una clase propia. Demostración: En caso contrario, por Ax2, la clase {x : x V x / x} es un conjunto. Es decir, {x : x / x} es un conjunto. Lo cual está en contradicción con el teorema I.2.2, paradoja de Russell. 5 Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes Definición I.5.1. (a) {x, y} = {u : u = x u = y}. (b) {x} = {x, x}. Definición I.5.2. (a) A = {z : u (u A z u)}. (b) A B = {A, B} = {z : z A z B}. (c) A = {z : u (u A z u)}.

14 6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano (d) A B = {A, B} = {z : z A z B}. (e) A B = {z : z A z / B}. (f) A B = (A B) (B A). Lema I.5.3. [(Ax1, Ax2)] (a) A = A es un conjunto. (b) = V. Sin embargo, si entendemos que P(A) (es decir, si consideramos a como una familia de subconjuntos de A), definimos = A (c) A B es un conjunto. (d) A B es un conjunto. Definición I.5.4. (a) A B z (z A = z B). [A es un subconjunto de B ]. (b) A B A B A B. [A es un subconjunto propio de B ]. (c) P(A) = {z : z A}. Definición I.5.5. (a) Si A B =, diremos que A y B son disjuntos. (b) Diremos que A es una colección de conjuntos disjuntos dos a dos (o una colección disjunta) si para cualesquiera B, C A tales que B C, entonces B C =. 6 Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano Definición I.6.1. (Par ordenado). x, y = {{x}, {x, y}}. Teorema I.6.2. x, y = z, u = x = z y = u. Demostración: Veamos primero que x = z. x, y = z, u = {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, u}} = {x} {{z}, {z, u}} = {x} = {z} {x} = {z, u} = z {x} = z = x. Para concluir la prueba del teorema probaremos primero el siguiente resultado. Aserto I.6.2.1. {x 1, x 2 } = {x 1, x 3 } = x 2 = x 3. Prueba del aserto: Primero observemos que

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 15 x 3 {x 1, x 3 } = x 3 {x 1, x 2 } [{x 1, x 2 } = {x 1, x 3 }] = x 3 = x 1 x 3 = x 2. Supongamos que x 3 = x 1. Entonces x 2 {x 1, x 2 } = x 2 {x 1, x 3 } [{x 1, x 2 } = {x 1, x 3 }] = x 2 {x 3 } [x 1 = x 3 ] = x 2 = x 3. Lo que prueba el aserto. Veamos ahora que y = u. x = z x, y = z, u Lo que prueba el teorema. } = x, y = x, u = {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, u}} = {x, y} = {x, u} [I.6.2.1] = y = u [I.6.2.1]. Lema I.6.3. [(Ax2, Ax5)] (a) x y, z x [{y, z} es un conjunto]. (b) x y, z x [ y, z es un conjunto]. Definición I.6.4. (Producto Cartesiano). A B = { x, y : x A y B}. Proposición I.6.5. Ax2 Ax3 Ax4 Ax5 = Ax6. 7 Relaciones y aplicaciones Definición I.7.1. (a) x es un par ordenado y z (x = y, z ). { Π1 (x) = y u [u y v w (x = v, w u v]. (b) Π 2 (x) = y u [u y v w (x = w, v u v]. { y, si w (x = y, w ); Observemos que: Π 1 (x) =, en cualquier otro caso. (c) R es una relación y (y R = y es un par ordenado). { dom(r) = {y : z ( y, z R)} (d) rang(r) = {z : y ( y, z R)} (e) R A = { z, u R : z A u A} = R (A A).

16 7. Relaciones y aplicaciones (f) R es una relación sobre A R es una relación dom(r), rang(r) A. (g) R 1 = { y, x : x, y R}. Proposición I.7.2. (a) dom(r) y rang(r) son conjuntos. (b) R A es un conjunto. Definición I.7.3. (a) R es una relación de equivalencia sobre A si: (a.1) R es una relación sobre A, y y A ( y, y R) (a.2) y, z A ( y, z R = z, y R) y, z, u A ( y, z R z, u R = y, u R). (b) < es una relación de orden parcial sobre A si: (b.1) < es una relación sobre A, y { y A (y y) (b.2) y, z, u A (y < z z < u = y < u) (c) < es una relación de orden total sobre A si: (c.1) < es una relación de orden parcial sobre A, y (c.2) y, z A (y < z z < y y = z). (d) Sean < una relación de orden parcial sobre A, B A (B ), y z A. Diremos que: (d.1) z es un elemento maximal de B si: z B u B (z u). (d.2) z es un elemento minimal de B si: z B u B (u z). (d.3) z es el mayor elemento de B si: z B u B (u z). (d.4) z es el menor elemento de B si: z B u B (z u). (d.5) z es una cota superior de B si: u B (u z). (d.6) z es una cota inferior de B si: u B (z u). (d.7) z es el supremo de B, z = sup(b), si: z es la menor cota superior de B. (d.8) z es el ínfimo de B, z = inf(b), si: z es la mayor cota inferior de B. Definición I.7.4. (a) f es una aplicación { f es una relación x y z ( x, y f x, z f = y = z) Si f es una aplicación y x, y f, escribiremos f(x) = y. Usaremos indistintamente los términos aplicación y función. (b) f A = { y, z f : y A}. Observemos que f A, considerando f como una aplicación, no coincide con f A,

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 17 considerando f como una relación. (c) f : A B f aplicación dom(f) = A rang(f) B. Leeremos f : A B como f es una aplicación de A en B. (d) Si f : A B y g : B C, g f = { u, v : w ( u, w f w, v g)} (e) Sea f : A B. (e.1) f es suprayectiva rang(f) = B. (e.2) f es inyectiva z, u A (f(z) = f(u) = z = u). (e.3) f es biyectiva f es suprayectiva e inyectiva. (f) A B = {f : f es una aplicación de A en B}. { f[c] = {y : x (x C f(x) = y)}, (g) f 1 [C] = {x : f(x) C}. Proposición I.7.5. (a) A B es un conjunto. (b) Sean f : A B, C A y D B. Entonces f C,, f[c] y f 1 [D] son conjuntos. (c) f : A B g : B C = g f : A C. En particular, g f es un conjunto. Lema I.7.6. Sea f : A B una aplicación inyectiva. Entonces (a) f 1 es una aplicación, y (b) dom(f 1 ) = rang(f) y rang(f 1 ) = A. 8 Funciones. Axioma de Reemplazamiento Definición I.8.1. (a) Sea R una clase. Diremos que R es una relación (binaria) si x R (x es un par ordenado). (b) Sea F una relación. Diremos que F es una función si x y z ( x, y, x, z F = y = z). Notaremos (b.1) F(x) = y x, y F. (b.2) dom(f) = {x : y ( x, y F)}. (b.3) rang(f) = {y : x ( x, y F)}. (c) F : A V F función dom(f) = A. Lema I.8.2. Ax7 = Ax2.

18 8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento Demostración: Sean C una clase y A un conjunto. Veamos que A C es un conjunto. Sea F : C V la función: F(x) = x. Por el Axioma de Reemplazamiento F[A] = {F(x) : x A}. es un conjunto. Por tanto, {x A : x C} es un conjunto. Lo que prueba el resultado. Lema I.8.3. Ax5 Ax7 = Ax3. Demostración: Por el Axioma de las Partes, Ax5, existe P( ). Usando otra vez el Axioma de las Partes, P(P( )) es un conjunto. Además, P(P( )) = {, { }}. Sean a y b conjuntos. Consideremos la función F definida por F(x) = { a, si x = ; b, en caso contrario. Entonces F[P(P( ))] = {a, b}. Por el Axioma de Reemplazamiento, Ax7, {a, b} es un conjunto. Proposición I.8.4. Ax3 Ax4 Ax7 = Ax6. Definición I.8.5. Sea I un conjunto. Una familia de conjuntos sobre I, {A j : j I}, es una aplicación H tal que (a) dom(h) = I, y (b) para todo j I, H(j) = A j. Puesto que {A j : j I} = H[I], por el Axioma de Reemplazamiento, una familia de conjuntos sobre I es un conjunto. Proposición I.8.6. Sean C una clase y A un conjunto. (a) Si existe F : A C suprayectiva, entonces C es un conjunto. (b) Si existe F : C A inyectiva, entonces C es un conjunto. Demostración: ((a)): Sea F : A C suprayectiva. Entonces C = F[A]. Entonces, por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto. ((b)): Sea D = F[C]. Puesto que D A, D es un conjunto. Puesto que F es inyectiva, F 1 es una función. Además, F 1 [D] = C. Puesto que D es un conjunto, por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto.

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 19 9 Ejercicios Ejercicio I.9.1. (I.4.1). Ax0 Ax1 =!y x (x / y). Ejercicio I.9.2. (I.5.3). [(Ax1), (Ax2)] (a) A!y z (z y u (u A z u)). (b) x y!u z (z u z x z / y). Ejercicio I.9.3. (I.5.3). (a) Si A, entonces A es un conjunto. (b) = V. Sin embargo, si entendemos que P(A) (es decir, si consideramos a como una familia de subconjuntos de A), definimos = A Ejercicio I.9.4. (I.6.3). [(Ax2, Ax4)] (a) x y, z x [{y, z} es un conjunto]. (b) x y, z x [ y, z es un conjunto]. Ejercicio I.9.5. (I.6.5). Ax2 Ax3 Ax4 Ax5 = Ax6. Ejercicio I.9.6. (I.7.2). (a) dom(x) y rang(x) son conjuntos. (b) x y es un conjunto. Ejercicio I.9.7. (I.7.5). (a) A B es un conjunto. (b) Sean f : A B, C A y D B. Entonces f C,, f[c] y f 1 [D] son conjuntos. (c) f : A B g : B C = g f : A C es un conjunto. Ejercicio I.9.8. (I.7.6). Si f : A B es una aplicación inyectiva, entonces (a) f 1 es una aplicación, y (b) dom(f 1 ) = rang(f) y rang(f 1 ) = A. Ejercicio I.9.9. (I.8.4). Ax3 Ax4 Ax7 = Ax6. Ejercicio I.9.10.

20 9. Ejercicios (a) Encontrar dos conjuntos A y B tales que A B y A = B. (b) Para todo B A, B A. (c) A B = A B. (d) C A (C B) = A B. Ejercicio I.9.11. Definimos la diferencia simétrica de dos conjuntos como sigue Probar que A B = (A B) (B A). (a) A B es un conjunto. (b) A B = B A. (c) A (B C) = (A B) C. (d) A (B C) = (A B) (A C). (e) A B = C A C = B. (f) A = A. (g) A A =. (h) A B = C B A = C. (i) A B = A = B. (j) A B = (A B) (A B). (k) (A C) (B C) = (A B) C. (l) A C = B C A B C. (m) A, B!C (A C = B). (n) A, B disjuntos A B = A B. (ñ) A B = A B (A B). Ejercicio I.9.12. Sean A y B conjuntos y F una función. Probar que (a) F 1 [ A] = {F 1 [C] : C A}. (b) A = F 1 [ A] = {F 1 [C] : C A}. (c) F 1 [A B] = F 1 [A] F 1 [B]. Ejercicio I.9.13. Sean A y B conjuntos. Probar que las siguientes clases son conjuntos. (a) {R : R relación sobre A}. (b) {{{x}} : x A B}. (c) {A C : C B}. (d) {P(C) : C A}. (e) {C D : C A, D B}. En cada caso especificar los axiomas que se usan.

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel 21 Ejercicio I.9.14. Sea A un conjunto. Probar que: (a) {x : x / A} es una clase propia. (b) Si / A, {f : f función de elección sobre A} es un conjunto. Qué sucede si A? (c) Es {f : f aplicación dom(f) = A} una clase propia? (d) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecen a algún elemento de A. (e) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecen a algún elemento de un elemento de A. Ejercicio I.9.15. Sea f : A B. (a) Sea g la aplicación de dominio P(A) definida por: g(c) = f[c]. Probar que f inyectiva = g : P(A) P(B) inyectiva (b) Sea g : B P(A) definida por: g(c) = {x A : f(x) = c}. Probar que f suprayectiva = g inyectiva Es cierto el recíproco? Ejercicio I.9.16. (a) Demostrar que siguiente definición sirve para definir el concepto de par ordenado; es decir, x, y = x, y x = x y = y. x, y = {{{x}, }, {{y}}} (b) Determinar cuáles de las siguientes propuestas puede servir como definición de par ordenado. (b.1) x, y = {{x, }, y}. (b.2) x, y = {{x, }, {y, }}. (b.3) x, y = {{x, }, {y}}. Ejercicio I.9.17. Usando el axioma de regularidad, Ax9, probar que: x (x / x).

22 9. Ejercicios

Capítulo II Buenos órdenes. Ordinales 1 Clases bien ordenadas [Z ] 1.A Introducción Definición II.1.1. Sean A una clase y < una relación sobre A; es decir, < A A. Sean x, y A. Notaremos ( ) x < y si x, y <. ( ) x y si x < y x = y. ( ) x y si x, y / <. Diremos que < es un buen orden sobre A si (a) < es un orden total sobre A; es decir, (a.1) < es irreflexiva: x A (x x). (a.2) < es transitiva: x, y, z A (x < y y < z = x < z). (a.3) x, y A (x y y x). (b) < es adecuada a izquierda: x A ({y A : y < x} es un conjunto). (c) B [B A B = x (x B y B (y x))]. Nota II.1.2. Sea < un buen orden sobre A. Sea B A tal que B. Por II.1.1-(c) existe x A tal que ( ) x B. ( ) y B (x y), [el orden es total]. Diremos que x es un elemento < minimal. Además, el elemento x es único. Notaremos x = inf A,< (B), o bien x = (µy) A,< (y B). Si la clase A y la relación de orden < están determinadas por el contexto, escribiremos 23

24 1. Clases bien ordenadas [Z ]] x = inf(b) ó x = (µy)(y B). Notas II.1.3. Sean < un buen orden sobre A y B A. Diremos que B es un segmento inicial de A si: x, y A [x B y < x = y B]. Se tiene que Aserto II.1.3.1. B y C segmentos iniciales = Para todo x A sea A x = {y A : y < x}. { B segmento inicial de C C segmento inicial de B Por II.1.1-(b), A x es un conjunto. Además, A x es un segmento inicial de A. Puesto que el orden es total, se tiene que: Aserto II.1.3.2. x y = A x A y. 1.B Los teoremas de minimización, inducción y recursión Teorema II.1.4. (Minimización). Sean < un buen orden sobre A y B A. Entonces B = x [x B y B (x y)]. Notaremos x = inf(b) = (µz)(z B). Demostración: Sea a A tal que a B. Entonces, por II.1.1-(b), ( ) C = {z A : z a} es un conjunto. Por tanto, (axioma de separación) ( ) D = {z C : z B} es un conjunto. Puesto que a D, D. Por tanto, de II.1.1-(c) se sigue que existe b A tal que b = inf(d). Se tiene que: ( ) b B. [b D B]. ( ) y B (b y). [ y D (b y), {y < b : y D} = {y < b : y B}]. Lo que prueba el teorema. Corolario II.1.5. Sea B un segmento inicial de A. Entonces B = A x (B = A x ). Demostración: Supongamos que B A. Entonces existe x = inf(a B). Es evidente que B = A x.

Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales 25 Teorema II.1.6. (Inducción). Sean < un buen orden sobre A y B A. Entonces x A [ y < x (y B) = x B] = A = B. La parte y < x (y B) se denomina hipótesis de inducción. Demostración: Supongamos lo contrario; es decir, (1) x A [ y < x (y B) = x B]. (2) x A (x / B). (2) = A B = a A (a = inf(a B)) [II.1.4] = y < a (y B) = a B [(1)]. Lo cual está en contradicción con a A B. Teorema II.1.7. (Definición por recursión, ZF ). Sean < un buen orden sobre A y G : V V. Entonces existe una única función F : A V tal que: x A [F(x) = G(F Ax )]. Demostración: Existencia: Sea C la clase definida por: { f aplicación dom(f) segmento inicial de A f C y dom(f) [f(y) = G(f Ay )]. Sea F = C. Las siguientes propiedades son consecuencia inmediata de la definición de F. (1) dom(f) = f C dom(f) = {dom(f) : f C}. (2) dom(f) es un segmento inicial de A. (3) f, g C = dom(f) dom(g) dom(g) dom(f). Se tiene que: Aserto II.1.7.1. (i) f, g C dom(f) dom(g) = f = g dom(f). (ii) F es una función. (iii) f C x dom(f) = F Ax = f Ax. (iv) dom(f) = A. Prueba del aserto: ((i)): Observemos que f = g dom(f) x dom(f) (f(x) = g(x)). Probaremos, por inducción, la parte derecha de la equivalencia anterior. Sea a dom(f) tal que x < a [f(x) = g(x)]. Entonces Por tanto, ( ) f Aa = g Aa.

26 1. Clases bien ordenadas [Z ]] f(a) = G(f Aa ) [f C y definición de C] = G(g Aa ) [( )] = g(a) [g C y definición de C]. De lo anterior por II.1.6, x dom(f) (f(x) = g(x)). ((ii), (iii)): Se siguen de (i). ((iv)): Supongamos lo contrario. Entonces A dom(f). Por tanto, existe a = inf(a dom(f)). Luego, dom(f) = A a. En consecuencia, dom(f) es un conjunto. Por tanto, F es un conjunto. Sea y dom(f). Entonces existe f C tal que y dom(f). Se tiene que: F(y) = f(y) = G(f Ay ) [f C] = G(F Ay ) [f Ay = F Ay, (iii)]. De lo anterior se sigue que F C. Por tanto, F { a, G(F) } C. Luego, a dom( C) = dom(f). Contradicción. Como en la prueba de la parte (iv) del aserto anterior se obtiene que para todo x A, Lo que prueba la existencia. F(x) = G(F Ax ). Unicidad: Sea F : A V tal que para todo x A, F (x) = G(F A x ). Veamos que F = F. Sea a A tal que (hipótesis de inducción) x < a (F (x) = F(x)). Entonces F(a) = G(F Aa ) = G(F A a ) [Hip. Ind. F Aa = F A a ] = F (a). Lo que prueba la unicidad. 1.C Isomorfismos entre clases bien ordenadas Definición II.1.8. Sean < una relación de buen orden sobre A y < una relación de buen orden sobre B. (a) Diremos que una función F : A B es: (a.1) creciente: si x, y A (x < y F(x) < F(y)). (a.2) un isomorfismo (F : A = B): si F es biyectiva y creciente. (b) Diremos que A y B son isomorfas, A = B, si existe un isomorfismo de A en B.

Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales 27 En los resultados que siguen < es una relación de buen orden sobre A y < es una relación de buen orden sobre B. Proposición II.1.9. F : A A creciente = x A [x F(x)]. Demostración: Sea C = {y A : y F(y)}. Veamos que A = C. Supongamos lo contrario; es decir, A C. Entonces por II.1.4 existe a = inf(a C). Por tanto, a / C = a F(a) = F(a) < a = F(F(a)) < F(a) [F creciente] = F(a) A C. Puesto que F(a) < a, lo anterior está en contradicción con a = inf(a C). Corolario II.1.10. (a) F : A = A = F = id A. (b) F, G : A = B = F = G. Demostración: ((a)): Supongamos lo contrario; es decir, ( ) x A [x F(x)]. Entonces, por II.1.4, existe ( ) a = (µx)(x F(x)). En consecuencia, a F(a); luego, por II.1.9, a < F(a). Además, se tiene que: Aserto II.1.10.1. b A (F(b) a). Prueba del aserto: Sea b A. Entonces: b < a a b. Además, b < a = F(b) = b a b = F(a) F(b) = F(b) a [b < a] = F(b) a [a < F(a)]. Lo que prueba el aserto. El aserto anterior está en contradicción con que F es suprayectiva. ((b)): Sean F, G : A = B. Entonces G 1 F : A = A. Por (a), G 1 F = id A. Por tanto, F = G. Corolario II.1.11. (a) A no es isomorfa a una subclase suya estrictamente acotada. Es decir, C A x A y C [y < x] = A = C. (b) A no es isomorfa a una sección inicial suya. (c) A x = Ay = x = y. Demostración: Es evidente que (b) se sigue de (a) y que (c) se sigue de (b). Por tanto, es suficiente probar (a). Sean C A y a A tales que y C (y < a). Supongamos que existe F : A = C. Entonces

28 2. Números ordinales [Z ]] ( ) F : A A es creciente, y ( ) F(a) C. Por tanto, F(a) < a. Lo cual está en contradicción con II.1.9. Lema II.1.12. F : A = B = x A [F Ax : A x = BF(x) ]. Demostración: Sea a A. Puesto que F es creciente, lo único que es necesario probar es que F Aa : A a B F(a) es suprayectiva. Sea b B tal que b < F(a). Puesto que F es biyectiva, existe c A tal que F(c) = b. Entonces F(c) < F(a). Por tanto, c < a; es decir, c A a. Luego, b = F(c) = F Aa (c). Teorema II.1.13. Se verifica una y sólo una de las condiciones siguientes: (a) A = B. (b) y B (A = B y ). (c) x A (A x = B). Demostración: De II.1.11 se sigue que sólo puede darse una de estas condiciones. Sea F = { x, y A B : A x = By }. De II.1.11-(c) y II.1.12 se sigue que ( ) F : dom(f) = rang(f), ( ) dom(f) es un segmento inicial de A y ( ) rang(f) es un segmento inicial de B. Se tiene que: Aserto II.1.13.1. dom(f) = A rang(f) = B. Prueba del aserto: Supongamos que dom(f) A y rang(f) B. Sean ( ) a = inf(a dom(f)) y b = inf(b rang(f)). Entonces F : A a = Bb. Por tanto, a, b F. Lo cual está en contradicción con la definición de a y b. De lo anterior se sigue el resultado. 2 Números ordinales [Z ] 2.A La clase de los números ordinales Definición II.2.1. Diremos que una clase A es transitiva, y notaremos Trans(A), si y A (y A).

Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales 29 Lema II.2.2. (a) Trans(A) = Trans(A {A}). [A conjunto]. (b) y A (Trans(y)) = Trans( A) Trans( A). Definición II.2.3. (Ordinales). Ord(x) Trans(x) ( relación de buen orden sobre x). Usaremos α, β, δ, γ,... como variables sobre ordinales. Representaremos a la clase de los ordinales por: Ord = {x : Ord(x)}. Ejemplos II.2.4. (a) Conjuntos transitivos: (a.1) 0 =, {0}, {0, {0}}. Son también ordinales. (a.2) {0, {0}, {{0}}}. No es ordinal. (b) {{0}} no es transitivo. Lema II.2.5. (a) 0 Ord. (b) α / α. (c) a α = a Ord. Por tanto, Ord es una clase transitiva. (d) α {α} Ord. Demostración: ((a)): Trivial. ((b)): Puesto que es una relación de orden en α, no es reflexiva. Por tanto, α / α. ((c)): Puesto que α es transitivo si a α, a α. Puesto que es un buen orden en α, a, es un buen orden. Por tanto, es suficiente probar el siguiente aserto. Aserto II.2.5.1. a es transitivo. Prueba del aserto: Sea b a. Veamos que b a. Sea c b. Puesto que α es transitivo, a, b, c α. Puesto que es una relación de orden en α (en particular es una relación transitiva), c b b a = c a. Lo que prueba que b a. Del aserto se sigue (c). ((d)): Por II.2.2-(a), α {α} es transitivo. Además, por (b), es un orden total sobre α {α}. Veamos que es un buen orden. Sea B α {α} no vacio. Sea B = B α. Consideremos los siguientes casos Caso 1: B. Entonces b = inf(b ) = inf(b). Caso 2: B =. Entonces B = {α}. Por tanto, B tiene elemento mininal.

30 2. Números ordinales [Z ]] De lo anterior se sigue que bien ordena a α {α}. Definición II.2.6. (a) α + 1 = α {α}. (b) 0 =, 1 = {0}, 2 = {0, 1},..., n + 1 = {0, 1,..., n},... Lema II.2.7. α + 1 = β + 1 α = β. Demostración: Supongamos que α β. Entonces α + 1 = β + 1 = α {α} = β {β} = α β {β} β α {α} = α β β α [α β ] = α α [α transitivo]. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). 2.B Ord como clase bien ordenada Lema II.2.8. Sean α Ord y A α. Si A es transitivo, entonces (a) A Ord. (b) A = α A α. Demostración: ((a)): Puesto que A α, entonces bien ordena al conjunto A. Puesto que A es transitivo, de lo anterior se sigue que A Ord. ((b)): Supongamos que A α. Sea β = inf(α A). Por definición, β / A. Además, (β A): De la definición de β se sigue que: γ β (γ A). (A β): Sea γ A. Puesto que γ, β α y es una relación de orden total sobre α β = γ β γ γ β. Veamos que no se dan los dos primeros casos: ( ) Supongamos que β = γ. Entonces β A. Contradicción. ( ) Supongamos que β γ. Puesto que A es transitivo, β A. Contradicción. Por tanto, γ β. Luego, A β. Definición II.2.9. En la clase de los ordinales, Ord, definimos la relación < como sigue: α < β α β. Lema II.2.10. (a) α β α < β α β.

Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales 31 (b) α β α β. Demostración: (α β α < β): Se tiene por definición. (α β = α β): En efecto, α β = (α β = α β): En efecto, { } α β α β = α β Lo que prueba el resultado. { α β [β transitivo] α β [II.2.5-(b)] = α β. = α β [α transitivo y II.2.8]. Teorema II.2.11. La relación < es un buen orden sobre Ord. Demostración: El teorema se sigue de los lemas II.2.12, II.2.13 y II.2.14. Lema II.2.12. < es un orden total sobre Ord. Demostración: (α α): Se sigue de II.2.5-(b). (α < β β < γ = α < γ): En efecto, α < β β < γ = α β β γ = α γ [γ es transitivo] = α < γ. (α < β α = β β < α): Consideremos el conjunto α β. Puesto que α β α y, por II.2.2-(b), α β es transitivo, entonces por II.2.8, α β es un ordinal. Sea δ = α β. Entonces ( ) δ α = δ α. ( ) δ β = δ β. Se tiene que: Aserto II.2.12.1. δ = α δ = β. Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces δ < α y δ < β. Por tanto, δ α y δ β. Luego, δ α β = δ. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). Supongamos que δ = α. Entonces α = δ = α β β. Por tanto, α β. Lema II.2.13. α = {β : β < α}. Por tanto, α Ord ((Ord) α es un conjunto). Demostración: Es consecuencia inmediata de II.2.5-(c) y la definición de <. Lema II.2.14. Sea C Ord tal que C. Entonces

32 2. Números ordinales [Z ]] (a) C Ord. (b) inf(c) = C. Por tanto, C tiene primer elemento. Demostración: Puesto que C, C es un conjunto. ((a)): Sea α C. Entonces ( ) C es un conjunto transitivo. [II.2.2-(b)]. ( ) C α. Por tanto, de II.2.8 se sigue que C Ord. ((b)): Sea β = C. Se tiene que Aserto II.2.14.1. δ C [β δ]. Prueba del aserto: Sea δ C. Entonces δ C = C δ = β δ [ C = β ] = β δ [II.2.10]. Lo que prueba el resultado. Aserto II.2.14.2. β C. Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces β / C = δ C (δ β) = δ C (β < δ) [II.2.14.1] = δ C (β δ) [II.2.10] = β C = β. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). De los asertos se sigue (b). Teorema II.2.15. Ord es una clase propia. Demostración: En caso contrario, por II.2.5-(c) y II.2.11, Ord es un ordinal. Por tanto, Ord Ord. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). Corolario II.2.16. (a) Sea A Ord tal que Trans(A). Se tiene uno de los siguientes casos: (a.1) A = Ord. Por tanto, A es una clase propia. (a.2) A Ord. Por tanto, A es un conjunto. (b) A Ord = A Ord. Esto permite definir sup(a) = A. (c) α + 1 = inf({β : α < β}). Demostración: ((a)): Supongamos que A Ord. Sea α = ínf(ord A). Puesto que A es transitiva, como en II.2.8 se obtiene que A = α. ((b)): Por II.2.2-(b), A es transitivo. Por tanto, el resultado se sigue de (a).