TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia ortonormal formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base, y. ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta en el espacio queda determinada por un punto por el que pasa y por un vector no nulo que tenga su misma dirección. A éste se le llama vector director de la recta. Hallemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto como vector director al vector. y que tiene Para ello consideramos un punto cualquiera de r, X, de modo que. Como además y tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales ( ), con lo que la ecuación de la recta es: En coordenadas: si O(0,0,0), X(x,y,z), y, se tiene que: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta: Por último, si despejamos el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores e igualamos se obtiene la ecuación continua de r:
ECUACIONES DEL PLANO. Un plano queda determinado en el espacio por un punto A y dos vectores paralelos al plano, no nulos y no paralelos entre sí. Hallemos la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto vectores directores y. y que tiene como Para ello consideramos X un punto cualquiera del plano, de modo que. Como además, y so coplanarios, es combinación lineal de y, se tiene que, con lo que la ecuación vectorial del plano es: En coordenadas: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano: Los vectores, y son coplanarios, por tanto linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos es nulo: Desarrollando el determinante se obtiene una expresión de la forma que es la ecuación general del plano. El vector es perpendicular al plano, se llama vector normal o asociado al plano.
PROBLEMAS DE INCIDENCIA. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Consideremos las rectas y y la matriz Si y son paralelos las rectas son paralelas o coincidentes. - Si son coincidentes, y tienen la misma dirección con lo que rg(a)=1. - Si son paralelas la dirección de es distinta de la de y, luego rg(a)=2. Si y no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan. - Si se cortan los vectores, y son coplanarios, es decir, linealmente dependientes, pero y no son paralelos con lo que rg(a)=2 - Si se cruzan los vectores, y son linealmente independientes y rg(a)=3. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS. Consideremos los planos y. Si y son proporcionales los planos coinciden o son paralelos. - Si los planos coinciden. - Si los planos son paralelos. (Condición de paralelismo) Si y no son proporcionales los planos son secantes. A las ecuaciones de dos planos que al cortarse definen una recta se les llama ecuaciones implícitas de la recta. POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO. Consideremos la recta. y el plano de ecuación Si y son perpendiculares son paralelos o la recta está contenida en el plano. - Si el punto pertenece al plano, la recta está contenida en el plano. - Si el punto no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.
Si y no son perpendiculares son secantes. Si además y son proporcionales el plano y la recta son perpendiculares. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Consideremos los planos, y, el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones y sus matrices asociada y ampliada: Estudiando las posibles soluciones del sistema puede ocurrir: Si rg(a)=rg(m)=3 el sistema es compatible determinado, la solución es única, luego los tres planos se cortan en un punto. Si rg(a)= 2 y rg(m)=3 el sistema es incompatible y hay dos casos:
- Los planos se cortan dos a dos siendo las caras laterales de un prisma triangular. - Dos planos son paralelos y el otro los corta. Si rg(a)=rg(m)=2, el sistema es compatible indeterminados, hay infinitas soluciones que dependen de un parámetro, con lo que la intersección es una recta. En este caso: - Los tres planos son distintos. - Dos planos coinciden y el otro los corta. Si rg(a)=1 y rg(m)=2, el sistema es incompatible. Pude ocurrir: - Los planos son distintos y paralelos dos a dos. - Dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos. Si rg(a)=rg(m)=1, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay infinitas soluciones que dependen de dos parámetros, con lo que la intersección es un plano. O lo que es lo mismo los tres planos son coincidentes.