1 Unidad :Funciones circulares y trigonométricas Tem: Ángulos Lección 6: Ángulos de referencia 11 ÁNGULO DE REFERENCIA: Triángulo de referencia y ángulo de referencia Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo θ, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de θ al eje horizontal. El ángulo de referencia α es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de θ y el eje horizontal. b θ α a P(a,b) O sea, es el ángulo agudo que se forma con el lado terminal de un ángulo y el semieje de x que se encuentre a una distancia más cercana de dicho lado. Todos los ángulos mayores de 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado.
Si el lado inicial de un ángulo θ está en posición estándar, entonces el ángulo agudo que se forma con el lado terminal y el eje x se llama ángulo de referencia de θ, denominado θ R ; donde 0 < θ R < 90. Ejemplo: El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje x, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que NO sea múltiplo de 90 y se encuentre en posición normal.
3 Funciones trigonométricas de ángulos de 45 0, 3 y 6 Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 45 0, construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 45 0 en posición normal y los dos lados iguales. Recuerda que un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 9. Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal. Observa la ilustración a continuación. b (1,1) 1 45 0 a 1 Como a = 1 y b = 1 entonces: r = ( 1) + ( 1) = Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con ángulos para θ = 45 0 tenemos: sin 45 cos 45 tan 45 = = = csc 45 = = = = = = sec 45 = = = = = = 1 cot 45 = = = 1
Para hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 3, construimos el triángulo rectángulo con los ángulos agudos de 3 y 6, y la hipotenusa es el doble del largo del lado opuesto al ángulo de 3. Construimos el ángulo de 3 en posición normal y seleccionamos el punto (a,1) en el lado terminal de manera que la hipotenusa es de longitud. Observa la figura a continuación. 4 b (a,1) r = 1 0 3 a a De manera que, el valor de y = 1, r = y por el teorema de Pitágoras: = ( a) + ( 1) ( a ) ( ) = ( ) + ( 1) 4 = x + 1 3 = x ± 3 = x Como el valor de x en el Cuadrante I es positivo entonces: x = 3. coordenadas del punto en el lado terminal del ángulo de 3 son: ( ) 3, 1 y r =. Así que las Al utilizar la definición de funciones trigonométricas para θ = 3 tenemos: sin 30 cos 30 tan 30 = = csc 30 = = = a 3 = = sec 30 = = = a 3 3 a 3 = = = cot 30 = = = a 3 3 3 3 3
Al construir el triángulo rectángulo con el ángulo de 6 en la posición normal tenemos que: r =, a = 1, y b = 3. b 5 r= ( 1, 3) 0 6 a 1 sin 60 cos 60 tan 60 b 3 3 = = csc 60 = = = b 3 3 = = sec 60 = = = b 3 = = = 3 cot 60 = = = b 3 3 3 Cuadrantes donde las funciones trigonométricas son positivas:
6 Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el II cuadrante: 180 ángulo 180-135 = 45 Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el III cuadrante: Ángulo - 180 5-180 = 45
7 Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el IV cuadrante: (180 )- ángulo =360 -ángulo =360 315 = 45 Ángulos de referencia mayores de 360 y π: Si el ángulo positivo está en grados, divide por 360 para encontrar el ángulo principal (entre 0 y360 ). El ángulo coterminal será el residuo de la división. Si el ángulo es negativo, el coterminal es negativo y debe sumarle 360 para convertirlo en positivo. Use las fórmulas para encontrar el ángulo de referencia Veamos los ejemplos:
8 Ejemplo 1: Encuentra el ángulo de referencia de 840. 360 840 θ = 10 70 10 c Este ánguloestá en el II cuadrante q = 180 θ = 180 10 = 60 r r θ Caso II: Si el ángulo esta en múltiplos de π radianes, divide poπ para encontrar el ángulo coterminal entre 0 y π. El ángulo coterminal será el residuo de la división multiplicado poπ. Si el el ángulo coterminal es negativo, súmele π para convertirlo en positivo.
9 Use las fórmulas para encontrar el ángulo de referencia. Ejemplo : Encuentra el ángulo de referencia de, 3π 6 3π 6 3π 1 = i π 6 π 3 11 = = 1 1 1 11 11π θ c = (π ) = Esteángulo está en el IV cuadrante qr = π θ. 1 6 Ejemplo 3: 3π 3π 3 1 3 3 3 3 5 ( ) π π θc π π = i π = 4 = 4 = 4 = Referencias: http://trigonometriacbc.wordpress.com/angulos-de-referencia/ http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/trig5.htm http://books.google.com.pr/books?id=us8e8kfrvnkc&pg=pa137&lpg=pa137&dq=angulos+de+referen cia+definicion&source=bl&ots=huxk3o-- Bd&sig=HNiHkoyHzC9sSZhtjObOBc8N7Q&hl=es&ei=qpHRTY7mAaXr0gGC5rDDQ&sa=X&oi=book_result &ct=result&resnum=9&ved=0cgmq6aewca#v=onepage&q&f=false http://matematicas.bach.uaa.mx/descargas/alumnos/trigonometria/mateu4.pdf