Acividades del final de la unidad ACTIVIDADES DEL FINAL DE LA UNIDAD. Dibuja las gráficas x- y v- de los movimienos que corresponden a las siguienes ecuaciones: a) x = +. b) x = 8. c) x = +. Calcula la posición inicial, la velocidad inicial y la disancia al origen al cabo de s correspondiene a cada uno de ellos. Para dibujar las gráficas consruiremos, en cada caso, una abla de valores. a) Para el movimieno de ecuación x = +, enemos: x 9 9 v v (m/s) Por ano: x = m ; v = v = m/s ; x ( = s) = m b) Para el movimieno de ecuación x = 8, enemos: x 8 8 v 8 8 v (m/s) Enonces: x = 8 m ; v = v = m/s ; x ( = s) = m c) Para el movimieno de ecuación x = +, enemos: x v v (m/s) Finalmene, en ese caso enemos: x = m ; v = v = m/s ; x ( = s) = m Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 9
. La gráfica x- del movimieno de un cuerpo es la represenada en la figura adjuna: 6 6 Calcula: a) La velocidad del cuerpo en cada eapa. b) Su disancia al origen en = s y = s. c) Su velocidad media enre = s y = s. Cómo esá el cuerpo en = s? a) La velocidad media en la primera eapa es: 6 v = = m/s La velocidad media en la segunda eapa es: 6 6 v = = m/s La velocidad media en la ercera eapa es: 6 v = = m/s 6 b) La ecuación del movimieno para la primera eapa es x = ; luego: x () = = m La ecuación del movimieno para la ercera eapa es x = 6 ( ); luego: x () = 6 ( ) = m c) La velocidad media enre s y s es: x v = x = = = =, m/s El cuerpo esá en reposo para = s.. Desde el pueblo A sale, hacia el pueblo B, que disa km, un auomóvil con una velocidad de 9 km/h. En el mismo insane, desde B, sale a su encuenro un moorisa con una velocidad de 8 km/h. a) Obén las ecuaciones y las gráficas de ambos movimienos siuando el origen de coordenadas en A. b) Calcula el puno y el insane en que se produce el encuenro. Tomando el origen en A y el senido posiivo de A hacia B, enemos: 6 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
Para el auomóvil, que se mueve con una velocidad v = 9 km/h = m/s, enemos: x = Y para el moorisa, que se mueve con una velocidad v = 8 km/h =, m/s: x =, Como hemos omado el mismo origen para los dos cuerpos, cuando se encuenran se hallan a la misma disancia del origen; luego: x = x 8 =, 7, = 8 = 87 s El encuenro se produce a los 87 s, es decir, a los minuos y 7 segundos, y, como se muesra en la gráfica, a una disancia de A: x = 87 = 7 m 7 6 87. Desde un mismo puno, pero con una diferencia de segundos, paren dos móviles en la misma dirección y senido. Si el primero circula a m/s, qué velocidad debe ener el segundo para que lo alcance al cabo de s? Como los dos móviles ienen disinos origenes de iempos, sus ecuaciones son: x = ; x = v pero ambos iempos esán relacionados en la forma: = + ; luego: x = ( + ) ; x = v Como el segundo móvil adelana al primero cuando han ranscurrido s para él, enonces: x = x 8 ( + ) = v 8 ( + ) = v 8 v = m/s Y, por ano: x = x = x = v 8 x = = m La velocidad del segundo móvil ha de ser de m/s, y alcanza al primero a una disancia de m. Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 6
. Un cuerpo pare del reposo desde el origen de coordenadas y alcanza una velocidad de m/s en s. Calcula su aceleración, supuesa consane. Escribe las ecuaciones de ese movimieno y dibuja las gráficas x- y v-. Calcula su velocidad y el espacio recorrido a los 7 s. El cuerpo realiza un m.r.u.a. desde la posición inicial x = y con velocidad inicial v = ; luego, sus ecuaciones son: x = a ; v = a Sabiendo que para = s su velocidad es v = m/s, podemos calcular la aceleración: v a = = = m/s y sus ecuaciones pariculares son: x = a = ; v = Para dibujar las gráficas que nos piden, damos valores al iempo en las ecuaciones del movimieno y consruimos la siguiene abla: x 8 8 v 8 6 Con esos valores, las gráficas posición-iempo, x-, y velocidad-iempo, v-, son las que se muesran a coninuación: v (m/s) Como el móvil pare desde el origen de coordenadas, el espacio recorrido en el insane = 7 s es: x () = Y su velocidad en ese momeno: 8 x (7) = 7 = 98 m v () = 8 v (7) = 7 = 8 m/s 6 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
6. Un vehículo que circula a km/h frena, deeniéndose después de recorrer m. a) Calcula su aceleración. b) Dibuja las gráficas v- y x-. a) El cuerpo realiza un m.r.u.a., cuya velocidad inicial es v = km/h =,6 m/s. Tomando el origen en el puno donde empieza a frenar, las ecuaciones del movimieno son: x = v + a ; v = v + a Cuando se deiene, su velocidad es cero (v = ) y ha recorrido m (x = m); luego: =,6 + a ; =,6 + a Despejando a de la segunda ecuación y susiuyendo en la primera, obenemos el iempo que arda en deenerse: a =,6 8 =,6,6 =, 8 = 6, s Por ano, su aceleración es:,6 a = =,7 m/s 6, b) Las ecuaciones del movimieno del vehículo son: x =,6, ; v =,6,7 Dando valores al iempo consruimos la abla de daos con la que dibujamos las gráficas correspondienes a esas ecuaciones: x v 6 6,,8 8,8 99,6,,8, 7. La gráfica v- del movimieno de un cuerpo es: 8 6 6 8 v (m/s) 6 8 v (m/s) B C Calcula: a) La aceleración en cada eapa. b) Su velocidad a los s, a los s y a los s. c) El espacio oal recorrido por el cuerpo. a) y b) Durane la eapa AB, el cuerpo realiza un m.r.u.a., pues su velocidad aumena linealmene con el iempo. Su aceleración vale: A D v B v A a = = = m/s Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 6
Las ecuaciones del movimieno en esa eapa son: x = a = ; v = a = Luego, la velocidad a los s y el espacio recorrido en esa eapa valen: v = m/s ; Dx = x B = = m Durane la eapa BC, el cuerpo realiza un m.r.u., pues su velocidad permanece consane: v = m/s. Luego, su aceleración es nula, con lo que las ecuaciones de esa eapa son: x = x B + v ( ) = + ( ) ; v = m/s La velocidad para = s vale m/s. Al final de esa eapa, el cuerpo se encuenra en la posición: x C = + ( ) = + = 8 m Por ano, durane ese eapa recorre un espacio: Dx = x C x B = 8 = m Durane la eapa CD, el cuerpo realiza un m.r.u.a., pues su velocidad disminuye linealmene con el iempo. Su aceleración vale: v D v C a = = =,7 m/s Las ecuaciones del movimieno en esa eapa son: x = x C + v C + a = 8 + ( ) + (,7) ( ) Luego, la velocidad para = s vale: v = v C + a = + (,7) ( ) v = + (,7) ( ) = 7, =, m/s Cuando finaliza esa eapa, el cuerpo se encuenra en la posición: x D = 88 + Por lo que el espacio recorrido en esa eapa es:,7 = m Dx = x D x C = 8 = 6 m c) El espacio oal recorrido por el cuerpo es de m. 8. Un cuerpo, que se mueve con aceleración consane, a los s de iniciado el movimieno ha recorrido 9 m y lleva una velocidad de m/s. Calcula su velocidad inicial y su aceleración. El cuerpo realiza un m.r.u.a. Si siuamos el origen del sisema de referencia en el puno en que se encuenra el cuerpo en el insane inicial, es decir, x =, las ecuaciones del movimieno del cuerpo son: x = v + a ; v = v + a 6 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
El enunciado nos asegura que para = s el cuerpo se encuenra en x = 9 m y se mueve con v = m/s; enonces: 9 = v + a = v + a ; = v + a Despejando en la segunda ecuación y susiuyendo en la primera: v = a 9 = ( a) + a = a Despejando, obenemos la aceleración del cuerpo y, con ella, su velocidad inicial: a = ( 9) =,8 m/s 8 v =,8 = = m/s 9. Un móvil se encuenra, en el insane inicial, a m del origen y iene una velocidad de m/s. Cuando se encuenra a 76 m del origen lleva una velocidad de m/s. Calcula su aceleración y el iempo empleado en ir de una posición a ora. El cuerpo realiza un m.r.u.a. cuyas ecuaciones, considerando los daos del enunciado, son: x = x + v + a = + + a ; v = v + a = + a Teniendo en cuena que para x = 76 m la velocidad es v = m/s, enemos: 76 = + + a ; = + a 8 a = 8 Susiuyendo la úlima expresión en la primera: 6 76 = + + ( 8) = + 6 8 = = s 8 a = m/s 6 También podíamos haber resuelo el ejercicio uilizando la ecuación: v v = a (x x ) = a (76 ) 8 6 = a 6 8 a = m/s. Un auobús circula a 8 km/h. Al pasar por delane de un moorisa, ese arranca con una aceleración de m/s. Qué disancia hay enre ambos al cabo de s? Cuáno arda el moorisa en alcanzarlo? Cuál es su velocidad en ese insane? Siuamos el origen del sisema de referencia en el puno en que arranca el moorisa. El movimieno del auobús es un m.r.u., cuya velocidad es v = 8 km/h = m/s. Por ano, su ecuación es: x = El movimieno del moorisa es un m.r.u.a. sin velocidad inicial y con aceleración m/s ; luego, sus ecuaciones son: x = =, ; v = Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 6
Al cabo de s, el auobús ha recorrido una disancia x = = m, y el moorisa, x =, = 6, m; luego, el camión se encuenra 87, m por delane del moorisa. Cuando el moorisa alcance al camión, ambos se enconrarán a la misma disancia del origen; luego: x = x 8 =, ecuación que iene dos soluciones: = (el insane inicial) y = s, que es cuando lo alcanza. Por ano, el moorisa adelana al camión al cabo de segundos, y su velocidad en ese insane es: v = = 6 m/s. Un camión y un auomóvil circulan por una carreera reca a 9 km/h, esando siuado el auomóvil, inicialmene, m derás del camión. El auomóvil ve espacio libre para adelanar y se decide a hacerlo, empleando 8 s y colocándose m delane del camión. Calcula la aceleración del auomóvil y el espacio que recorre cada vehículo durane el adelanamieno. Expresamos la velocidad inicial de ambos vehículos en unidades del S.I.: v, = v, = m/s Siuando el origen, para ambos móviles, en la posición inicial del auomóvil, las ecuaciones de cada uno son: Para el camión: x = + ; v = m/s Para el auomóvil: x = + a ; v = + a Cuando ermina el adelanamieno, el auomóvil se encuenra m por delane del camión; eso es: Por ano: x = x + + a = + + 8 a = Como el adelanamieno se produce en 8 s: a 8 = 8 a = 8 a =, m/s la disancia que recorre cada vehículo es: x = 8 = m x = 8 +, 8 = m Ese adelanamieno requiere una disancia libre de oros vehículos de m, y la velocidad final del auomóvil es v = +, 8 = + = m/s = 6 km/h. Observa que la velocidad alcanzada supera la máxima permiida en auovías y auopisas, de km/h. 66 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
. El sisema de lanzamieno de un poraaviones acelera un avión desde el reposo hasa la velocidad de despegue, 7 km/h, en m. Calcula la aceleración y el iempo de despegue. El avión realiza un m.r.u.a. durane el despegue. Si suponemos la aceleración consane y expresamos su velocidad de despegue en unidades del S.I., v = 7 km/h = 7 m/s, podemos obener la aceleración aplicando la ecuación: v = a x 8 7 = a 8 a = 8, m/s El piloo se encuenra someido a una aceleración,87 g; es decir, casi res veces la aceleración de la gravedad. El iempo de despegue es: v 7 v = a 8 = = =,67 s a 8,. Sabiendo que el iempo de reacción de un conducor es,8 s y que la aceleración de frenado del vehículo vale 7 m/s, calcula la disancia que recorre hasa deenerse cuando circula a: a) 6 km/h. b) 9 km/h. c) 6 km/h. El iempo de reacción del conducor es el iempo que ranscurre enre el insane en que se produce el suceso que obliga al conducor a frenar y el momeno en que empiezan a acuar los frenos. Durane ese iempo, el vehículo coninúa circulando a la misma velocidad y recorre una disancia: Dx R = v R a) La velocidad inicial, en unidades del S.I., es: v = 6 km/h = 6,67 m/s y la disancia que recorre durane el iempo de reacción: Dx R = 6,67,8 =, m Mienras frena, el vehículo recorre una disancia: v v = a Dx 8 Dx = v = 6,67 = 9,8 m F F a ( 7) Por ano, la disancia recorrida circulando a 6 km/h es: Dx = Dx R + Dx F =, + 9,8 =,9 m b) Procediendo como en el caso anerior, ahora v = 9 km/h = m/s; enonces: Dx R =,8 = m ; Dx F = La disancia recorrida a esa velocidad es: Dx = +,6 = 6,6 m =,6 m c) En ese caso, la velocidad es v = 6 km/h = m/s; por ano: Dx R =,8 = 8 m ; Dx F = Dx = 8 + 87, =, m ( 7) ( 7) = 87, m Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 67
. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la Luna sabiendo que un cuerpo que se suela desde una alura de,6 m arda en llegar a la superficie s. El movimieno de caída libre es siempre un m.r.u.a. sin velocidad inicial; luego, su ecuación es: y = H g L 8 =,6 g L 8 g L =,6 m/s. Desde el brocal de un pozo solamos una piedra y ardamos s en escuchar el impaco con el agua. Sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de m/s y que la aceleración de la gravedad vale 9,8 m/s, calcula a qué profundidad se encuenra el agua. Tomando el brocal del pozo como origen de coordenadas, la superficie del agua esá en y = h. Por ora pare, los segundos que ardamos en oír el impaco con el agua corresponden al iempo que arda la piedra en caer ( ) más el iempo que arda el sonido en recorrer la disancia h ( ); luego: Caída libre de la piedra (m.r.u.a.): = + 8 = y = g 8 h = 9,8 8 h =,9 Sonido (m.r.u.): s = v 8 h = Teniendo en cuena que la piedra y el sonido recorren la misma disancia: =,9 =,9 ( ) 8,9 69, +, = Las soluciones de esa ecuación de segundo grado son, s y 7,6 s. La segunda solución no es válida, pues, al ser mayor que, endría que ser negaivo, lo cual no iene senido; por ano: =, s y =, =,88 s. El agua esá a una profundidad: h =,9,88 =,6 m. 6. Si una nube de granizo se ha formado a una alura de m, con qué velocidad (en km/h) llegará el granizo al suelo? Toma g = m/s y considera despreciable la resisencia del aire. Las ecuaciones de la caída libre son: y = H g = v = g = Cuando el granizo llega al suelo, y = ; luego: = 8 = 8 = s v = = m/s = 8 km/h 68 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
7. Un cuerpo que se deja caer desde una alura h recorre / de h en el úlimo segundo. Calcula el valor de h, el iempo que arda en caer y la velocidad con que llega al suelo. Las ecuaciones de la caída libre son: y = H g = h,9 ; v = g = 9,8 Si llamamos f al iempo que arda el cuerpo en caer, al cabo de f segundos llega al suelo; luego: = h,9 f [] y como en el úlimo segundo recorre un ercio de h, en el insane f su alura es y = h/; por ano: h = h,9 ( f ) [] Despejando en la ecuación [] y susiuyendo en []:,9 f h =,9 f 8 =,9 f,9 ( f ) 8 f = f ( f ) f 6 f + = f =, s =, s La primera solución no iene senido, ya que, según indica el enunciado, el iempo de caída debe ser mayor que s. Por ano, la solución correca es f =, s. Con ese valor del iempo de caída calculamos la alura desde la que se soló el cuerpo y la velocidad con que llega al suelo: = h,9 f 8 h =,9 f =,9, =, m v = 9,8 f = 9,8, =, m/s El signo negaivo de la velocidad corresponde a un movimieno de caída. 8. Se lanza desde el suelo vericalmene hacia arriba una peloa con una velocidad de m/s: a) En qué insanes la alura de la peloa es de m? b) Cuándo iene la peloa una velocidad de m/s hacia arriba? c) Y hacia abajo? d) Calcula la alura, la velocidad y la aceleración en el puno más alo. La peloa sigue un lanzamieno verical hacia arriba desde el suelo, cuyas ecuaciones, siuando el origen en el puno de lanzamieno, son: y = v g =,9 ; v = v g = 9,8 a) Si la alura de la peloa es de m, enonces y = m; luego: =,9 8,9 + = =,76 s =,6 s Para =,76 s, el cuerpo se encuenra a una alura de m cuando esá subiendo, pues su velocidad es posiiva: v = 9,8,76 =, m/s Para =,6 s, el cuerpo se encuenra a una alura de m cuando esá bajando, pues su velocidad es negaiva: v = 9,8,6 =, m/s f Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 69
b) Si la peloa iene una velocidad de m/s hacia arriba: v = = 9,8 8 =, s c) Si la peloa iene una velocidad de m/s hacia abajo: v = = 9,8 8 =, s d) En el puno más alo, el cuerpo se deiene momenáneamene; luego, su velocidad es cero. La aceleración se debe a la fuerza de aracción graviaoria, que no deja de acuar en ningún momeno, y es la misma en la subida, en la bajada y en el puno más alo: a = g = 9,8 m/s El iempo que arda en subir es: Y la alura máxima: = 9,8 8 =,6 s y =,6,9,6 =,9 m 9. El ripulane de un globo aerosáico, que esá subiendo con una velocidad de m/s, suela un saco de arena cuando se encuenra a una alura de m. Calcula la alura del globo y la velocidad del saco cuando ese llega al suelo. El ripulane suela el saco, pero ano el ripulane como el saco ienen, en ese insane, la misma velocidad que el globo: m/s hacia arriba. Por ano, el saco, para un observador siuado en el suelo, sigue la rayecoria de un iro verical hacia arriba, cuyas ecuaciones son: y = H + v g = +,9 ; v = v g = 9,8 Observa que de esas ecuaciones se deduce fácilmene que el saco coninúa subiendo durane, s hasa que comienza a caer: v = = 9,8 s 8 s = =, s 9,8 El iempo oal que arda en llegar al suelo se obiene susiuyendo y = en la ecuación para la alura: y = = +,9 8 =,7 s =,6 s La segunda solución no iene senido físico, por lo que el saco llega al suelo,7 s después de ser solado. La velocidad con la que llega es: v = 9,8,7 =, m/s Por su pare, durane ese iempo, el globo sigue subiendo con velocidad consane, por lo que se enconrará a una alura: y g = + 8 y g = +,7 = 9,9 m. Calcula la velocidad con la que se lanzan vericalmene hacia arriba dos cuerpos si uno sube m y el oro esá en el aire s. Las ecuaciones para ambos movimienos son: y = v g = v,9 ; v = v g = v 9,8 El primero alcanza una alura de m; luego, cuando y = m, alura máxima, v =. 7 Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición
Por ano: = v,9 ; = v 9,8 8 v = 9,8 = 9,8,9 =,9 8 =, s v = 9,8, = 9,8 m/s El segundo esá en el aire s; es decir, arda s en llegar al suelo, donde y = ; luego: = v,9 8 v =, 8 v =, m/s Por ano, el segundo cuerpo fue lanzado con una velocidad de, m/s, mayor que la del primero, de 9,8 m/s.. Un cuerpo lanzado vericalmene hacia abajo desde una alura de m arda s en llegar al suelo. Calcula la velocidad con que fue lanzado y la velocidad con que llegó al suelo. El movimieno del cuerpo es el que corresponde a un iro verical hacia abajo, de ecuaciones: y = H v g = v,9 ; v = v g = v 9,8 Sabiendo que llega al suelo (y = ) en el insane = s, obenemos la velocidad inicial: = v,9 8 v = 9,6 =, 8 v =, m/s La velocidad en ese insane es: v = v 9,8 =, 9,8 =,8 m/s El cuerpo llega al suelo con una velocidad de,8 m/s, y fue lanzado con una velocidad de, m/s.. Desde una alura de m solamos una piedra. Por oro lado, lanzamos vericalmene hacia arriba una peloa y hacia abajo una moneda, ambas a m/s. Cuándo se ha de lanzar cada objeo para que lleguen odos a la vez al suelo? La piedra realiza una caída libre; luego: y = H g 8 =,9 8 = s Por ano, la piedra arda en caer s. El movimieno de la peloa es el de un iro verical hacia arriba; luego: y = H + v g 8 = +,9 La solución válida de esa ecuación es = s; por ano, la peloa arda s en llegar al suelo. La moneda se mueve siguiendo un iro verical hacia abajo, de ecuación: y = H v g 8 =,9 La solución válida de esa ecuación es = s; luego, la moneda arda s en llegar al suelo. Por ano, primero se ha de lanzar la peloa; segundo más arde se solará la piedra, y segundo después se lanzará hacia abajo la moneda. Unidad. Esudio de movimienos sencillos y su composición 7