1 Las funciones y sus gráficas

Transcripción

1 1 Las funciones y sus gráficas Página Observa la gráfica del helicópero y responde: a) Qué alura lleva cuando va del embalse al incendio? b) A qué alura esaba a los min? A qué alura baja para coger agua? Y cuando apaga el fuego? c) Cuáno iempo necesia para llenar de agua el depósio? Y para apagar el fuego? d) A qué velocidad media (en m/min) sube desde que sale de la base hasa que llega a 3 m de alura? a) Lleva una alura de 80 m. b) A los min esaba a 60 m del suelo. Baja casi a alura 0 para coger el agua. El helicópero apaga el fuego a los minuos de salir de la base, a 60 m del suelo. c) Para llenar el depósio de agua necesia minuos. Para apagar el fuego necesia 1 minuo. d) Sube a una velocidad media de v = 3 = 6,7 m/min. 3. Represena en unos ejes caresianos los minuos que ha esado en inmersión un buceador: sale del barco; baja hasa 36 m; se queda un rao recreándose con los corales; sube un poco y juega con unos delfines; vuelve a bajar porque ha viso una morena y, por úlimo, se queda min a m de profundidad, anes de volver al barco, para realizar la descompresión. En el eje horizonal, da min a cada cuadradio. En el verical (solo la pare negaiva), m por cuadradio ALTURA (m) TIEMPO (min) 1

2 Definiciones Página Cuaro hermanos de una familia van al mismo cenro de esudios. Observa la gráfica disancia (D) - iempo () de cada uno: D D ANA BERTA D CARLOS D DAVID A la visa de las gráficas, conesa a las siguienes pregunas: a) Quién ha salido anes? b) Quién ha llegado más arde? c) Dos de ellos han ido a buscar a sus amigos para ir junos a clase. Quiénes son? d) A cuál de ellos se le ha olvidado algo en casa? e) Cuál no ha ido hoy a clase? f) Quién ha andado más leno en algún momeno? g) Quién ha ido más rápido? h) Quién ha esado más iempo parado? a) Ha salido anes Ana. b) Ha llegado más arde Carlos. c) Ana y Carlos. d) Se le ha olvidado algo a Bera. e) No ha ido a clase David. f) Ha andado más leno Carlos. g) Bera ha ido más rápido. h) David.

3 3 Crecimieno y decrecimieno de una función Página La gráfica de abajo da la emperaura en Jaca a lo largo de un día. a) Indica los inervalos de iempo en los que crece y aquellos en los que decrece. b) Por qué crees que se producen esos aumenos y disminuciones de emperaura en esos ramos? c) Crees que en la ciudad es verano o invierno? Jusifícalo. 1 TEMPERATURA ( C) 1 TIEMPO (h) a) La emperaura en Jaca aumena en el inervalo 7-1 horas y decrece en los inervalos 0-7 horas y 1- horas. b) Por los cambios de emperaura a lo largo del día. Por la mañana las emperauras van aumenando y, al acercarse la noche, las emperauras disminuyen. c) La emperaura más ala que alcanza son los C durane el día y la emperaura más baja que alcanza son los C. Por ano, cuando se ha hecho esa gráfica era verano. 3

4 Máximos y mínimos relaivos Página La gráfica de la derecha muesra el porcenaje de ocupación de unos mulicines en una ciudad a lo largo de un deerminado mes. a) En qué días caen los fines de semana? Cómo puedes saberlo? b) Qué día ha habido más especadores? Y menos? Qué días de la semana son? c) Cuános máximos y cuános mínimos iene la gráfica de la función? d) Hubo un día enre semana que fue fesivo. De qué día se raa? e) Escribe un resumen de la asisencia que han enido los mulicines a lo largo de ese mes. f ) Un ciero día de ese mes, viernes, elevisaron un parido de fúbol imporanísimo. Qué día podemos suponer que fue? ASISTENCIA (%) DÍA 1 a) Son fines de semana los días,, 11, 1, 18, 19, y 6. Deducimos que son esos días porque son los días en los que más especadores van al cine. b) El día hubo más especadores y el 7 hubo menos especadores. Esos días son sábado y lunes, respecivamene. c) La gráfica iene 6 máximos (en verde) y 6 mínimos (en azul). 0 ASISTENCIA (%) DÍA 1 d) El miércoles. Es el día enre semana con mayor asisencia. e) La asisencia es mayor durane los fines de semana, en paricular en el primero. A lo largo del mes se puede observar que va disminuyendo con respeco a la primera semana. Desde el lunes al sábado la gráfica es creciene, es decir, el porcenaje de asisencia va aumenando, mienras que del sábado al lunes decrece. Los días de mayor porcenaje de asisencia son los sábados, en general. Sin embargo, en los días 1 y podemos ver dos máximos. El día fue día fesivo, y podemos apreciar un considerable aumeno de asisencia con respeco a los días anerior y poserior. f) El día 3. Es el viernes con la asisencia más baja.

5 Tendencias de una función Página Mercurio arda 88 días en complear su órbia alrededor del Sol. Su disancia al Sol oscila enre 70 y 6 millones de kilómeros. Complea la gráfica de la disancia de Mercurio al Sol durane 0 días. 0 0 DISTANCIA (millones de km) TIEMPO (días) DISTANCIA (millones de km) 0 TIEMPO (días) La siguiene gráfica muesra la elevación de la marea en un deerminado lugar a lo largo de horas. Compléala para 8 horas suponiendo que es una función periódica ALTURA (m) TIEMPO (h) er día.º día 3. er día ALTURA (m) TIEMPO (h) er día.º día 3. er día

6 6 Disconinuidades. Coninuidad Página La enrada al parque de aracciones vale, y por cada aracción hay que pagar 1. a) Represena esa función: número de aracciones cose b) Se pueden unir los punos de la gráfica? c) Cuáno cosará subir a 1 aracciones? Y a? a) COSTE ( ) NÚMERO DE ATRACCIONES b) No pueden unirse porque una persona no puede monarse en media aracción o solo pagar medio viaje. c) Subir a doce aracciones cosará más un euro por aracción, es decir, + 1 = 17. Subir a aracciones cosará + =.. La gráfica de abajo muesra el sueldo mensual de un rabajador en una empresa a lo largo de su vida. a) Cuáno iempo lleva en la empresa cuando le suben el sueldo por primera vez? b) Cuáno gana a los 1 años de enrar? Y a los? c) Es una función coninua? SUELDO ( ) TIEMPO (años) a) Cuando le suben el sueldo por primera vez, el rabajador lleva en la empresa años. b) A los 1 años de enrar cobra 0, y a los, 00. c) No, no es coninua. 6

7 7 Expresión analíica de una función Página Da la expresión analíica, consruye la abla y raza la gráfica de cada una de las funciones descrias a coninuación: a) El área de un cuadrado en función de su lado. b) Cose de uilización de Inerne en función del iempo (precio: 1 fijos más 0,0 por hora). c) El cose de una bolsa de naranjas en función de su peso (precio: 1, /kg). a) A = x lado x (m) área A (m) ÁREA (m ) x A = x LADO DEL CUADRADO (m) b) C = 1 + 0,x iempo x (h) cose C ( ) COSTE ( ) x C = 1 + 0,x TIEMPO (h) c) C = 1,x peso x (kg) cose C ( ) ,,60 3 3,90, 8 6 COSTE ( ) x C = 1,x P (kg) 7

8 Ejercicios y problemas Página 1 Pracica Inerpreación de gráficas 1. Se suela un globo que se eleva. La siguiene gráfica represena la alura, con el paso del iempo, a la que se encuenra el globo: ALTURA (m) TIEMPO (min) a) Qué variables inervienen? Qué escala se uiliza para cada variable? Cuál es el dominio de definición de esa función? b) Qué alura gana el globo enre el minuo 0 y el? Y enre el y el 9? En cuál de esos dos inervalos crece más rápidamene la función? c) A qué alura iende a esabilizarse? d) Haz una descripción de la alura a la que se encuenra el globo en el iempo que dura la observación. a) Las variables que inervienen son el iempo y la alura. Para la variable iempo, cada cuadradio represena un minuo y, para la alura, cada cuadradio represena 0 meros. El inervalo 0-6 es su dominio de definición. b) Enre el minuo 0 y el, el globo gana 0 meros de alura. Enre el y el 9, gana 0 meros de alura. 0 = 60 > = 0 Crece más rápido enre los minuos 0 y. c) El globo iende a esabilizarse a 00 meros. d) Al comenzar la observación, el globo esá a alura 0, en la ierra. Tras solarlo, al principio, gana alura con basane rapidez pero según pasa el iempo parece que se esabiliza a 00 meros de alura. 8

9 . En la puera de un colegio hay un pueso de golosinas. En esa gráfica se ve la canidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día: a) A qué hora empiezan las clases de la mañana? b) A qué hora es el recreo? Cuáno dura? DINERO ( ) TIEMPO (h) c) El pueso se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa. Cuáles fueron los ingresos de la mañana? d) Cuál es el horario de arde en el colegio? e) Es esa una función coninua o disconinua? a) Las clases de la mañana empiezan a las ocho y media. b) El recreo es a las 11 y dura media hora. c) Por la mañana, los ingresos fueron de. d) Por la arde, las clases empiezan a las res y media y erminan a las cinco. e) Es una función disconinua. 3. Una rana avanza dando res salos. Una de esas gráficas describe la alura a la que se encuenra al pasar el iempo. Ora muesra la disancia que recorre a lo largo de ese iempo, y la ora no vale. Di cuál es cuál. A B C A describe la alura a la que se encuenra al pasar el iempo. B describe la disancia que recorre en ese iempo. C no vale.. Las siguienes gráficas nos muesran la marcha de cuaro monañeros: DISTANCIA RECORRIDA (km) A TIEMPO (h) 1 3 d d C B d D 1 3 a) Describe el rimo de cada uno. b) Quién recorre menos camino? c) Quién camina durane menos iempo? a) El monañero A lleva un rimo consane. El monañero B va decreciendo el rimo según avanza el iempo. El monañero C comienza a un rimo y a las dos horas acelera hasa que se para a las cuaro horas. El monañero D va alernando un rimo rápido con un rimo más leno. 9

10 b) El monañero B recorre menos camino, recorre km aproximadamene. c) El monañero C camina durane menos iempo, camina casi cuaro horas.. Esas cuaro gráficas represenan la emperaura máxima diaria (T ) de cuaro ciudades, a lo largo del iempo (), durane un ciero año: a T b T c T d T a) A la visa de las gráficas, en cuál de esas cuaro ciudades oscila en menor medida la emperaura? b) Una gráfica corresponde a una ciudad de nuesro país, y ora, a una ciudad de nuesras anípodas. Qué gráficas son? Razona u respuesa. c) Una gráfica es absurda. Cuál es? Por qué? d) Elige una escala adecuada para cada variable y gradúa cada uno de los ejes en u cuaderno. e) Cuál es el dominio de las cuaro gráficas? A la visa de los recorridos de a y b, qué puedes decir del clima de esas ciudades? a) En la ciudad b. b) Las gráficas a y c, porque cuando en una la emperaura es ala en la ora es baja y al revés. c) La grafica d es absurda, porque la emperaura solo crece. d) Para la variable iempo, podemos hacer corresponder cada cuadradio con un mes. Para la variable emperaura, cada cuadradio pueden ser ó grados cenígrados. e) El dominio es el inervalo 1-1 (o de Enero a Diciembre). Son ciudades que no ienen inviernos muy fríos, ya que en ningún caso se alcanzan emperauras bajo cero. La ciudad a iene más variación enre sus emperauras. En la ciudad b, la emperaura no varía demasiado a lo largo de los meses.

11 Página 11 Piensa y resuelve 6. Un ciclisa sale de excursión a un lugar que disa km de su casa. A los 1 minuos de la salida, cuando se encuenra a 6 km, hace una parada de minuos. Reanuda la marcha y llega a su desino una hora después de haber salido. a) Represena la gráfica iempo-disancia a su casa. b) Lleva la misma velocidad anes y después de la parada? (Suponemos que la velocidad es consane en cada ramo). a) DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) b) Sí, lleva la misma velocidad porque por cada minuos recorre kilómeros en ambos ramos. 7. a) Sabiendo que la libra es una medida de peso que equivale a 0, kg, copia y complea esa abla: x (libras) 0, 1 1, 3 y (kilos) b) Represena la función que conviere libras en kilos. a) b) x (libras) 0, 1 1, 3 y (kilos) 0, 0, 0,67 0,9 1,3 1,8 LIBRAS, 1, 1 0, 0, 1 1,, 3 3,, KILOS 11

12 8. La longiud de carreera que limpia un quianieves depende del espesor de la nieve. Se han recogido daos de una de esas máquinas en un momeno deerminado: espesor de la nieve (cm) longiud que limpia en 1 hora (km) , a) Represena gráficamene esos daos y une los punos para poder analizar mejor la gráfica. Descríbela. b) Supón que para espesores mayores de nieve, la máquina se compora de manera análoga. Para un espesor de 60 cm, cuános kilómeros, aproximadamene, despejaría en una hora? a) LONGITUD QUE LIMPIA EN UNA HORA (km) Al aumenar el espesor de la nieve, la longiud de la carreera que limpia en una hora va descendiendo ESPR DE LA NIEVE (cm) b) Limpiaría aproximadamene km. 9. Esa abla recoge la medida del perímero del cráneo de un niño durane los primeros meses de vida: iempo (meses) perímero (cm) a) Haz una gráfica relacionando esas dos variables. Elige una escala adecuada. b) Qué endencia se observa en el crecimieno del cráneo de un niño? c) Cuáno crees que medirá el perímero craneal de un niño de 3 años? a) PERÍMETRO (cm) TIEMPO (meses) b) El amaño del cráneo parece esabilizarse alrededor de los 0 cm. c) Medirá unos 0 cm aproximadamene. 1

13 . Un aparcamieno iene la siguiene arifa de precios: Represena la gráfica de la función: COSTE ( ) precio desde las 9 horas hasa las horas Las dos primeras horas... grauio 3. a hora o fracción y sucesivas... 1 Máximo diario... 6 iempo de aparcamieno-cose TIEMPO (horas) 11. Los cesillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esos son los daos de una cesa que sube desde el puno más bajo al más alo: iempo (s) alura (m) 3,7 7 9,7 11, 1 a) Represena la gráfica de la función iempo-alura de uno de los cesillos a lo largo de 80 segundos. b) A qué iempos corresponden sus máximos y mínimos relaivos? c) Es una función periódica? d) A qué alura esará la cesa a los 10 segundos? a) ALTURA (m) b) Los máximos y mínimos corresponden con los múliplos de. c) Sí, es una función periódica de periodo 0. d) Como los valores se repien cada 0 segundos, enemos que ver con qué valor corresponde 10 de enre 0 y 0. Dividimos 10 enre 0 y obenemos como cociene 3 y de reso. Es decir, corresponderá con la alura para segundos, que es aproximadamene 8 meros. TIEMPO 13