4.2. Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales Veremos en esta sección que los campos y los potenciales cumplen ecuaciones de onda. Parte de las soluciones de estas ecuaciones tienen caracter de onda viajera, es decir, implican la propagación de los campos y las magnitudes asociadas a ellos, como la energía y la cantidad de movimiento, con una velocida finita, la velocidad de la luz c 3 0 8 ms, que es una constante universal 4. Este hecho, no concorde con el principio de relatividad de Galileo, será el punto de partida de la teoría de la Relatividad de Einstein. En el caso de los campos, nos limitaremos a demostrar que, incluso en ausencia de fuentes primarias ρ y j, es posible la propagación ondas cuyos campos son automantenidos. En el de los potenciales, se tendrá en cuenta la existencia de cargas y corrientes y se comprobará que los potenciales lorenzianos cumplen ecuaciones análogas a las de los campos. Ecuaciones de onda para los campos : En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell toman la forma simétrica E = 0 (4.8) E = B 27 (4.9) B = 0 (4.0) B = c 2 E, c = µ0 ε 0 (4.) y, como únicas fuentes del campo, aparecen las de los propios campos. Hallando el rotacional a 4.9 ( E) = B y teniendo en cuenta 4. y 4.8 y que a = ( a) 2 a 2 E c 2 2 E 2 = 0 (4.2) 2 B c 2 2 B 2 = 0 (4.3) Cada componente cartesiana de los campos Φ cumple la ecuación de D Alembert 5. 2 Φ c 2 2 Φ 2 = 0 4 En la actualidad, el metro se define en función del segundo y de la velocidad de la luz. El segundo se relaciona a una transición hiperfina del Cesio 33 y a la velocidad de la luz se le asigna el valor exacto c 2, 99792458 0 8 m s. 5 En el caso de coordenadas curvilíneas, ésto no es cierto.
28 Las ecuaciones de onda 4.2 y 4.3 se deducen de las ecuaciones de Maxwell por un proceso de diferenciación y eliminación de variables en el que se pierde información sobre los campos, en particular, sobre la relación mútua entre ellos. Por esta razón, no todas sus soluciones son válidas y será necesario exigirles que sean compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones de onda para los potenciales : Prodediendo de forma análoga para los potenciales pero haciendo uso de las ecuaciones 3.8 a 3.2, se tiene que: - Partiendo de B E = µ 0 j + µ 0 ε 0 y expresando a los campos en función de los potenciales A = µ 0 j + µ 0 ε 0 [ V A ] = ( A) 2 A o, de otra forma, 2 A µ0 ε 0 2 A 2 ( ) = A V + µ 0 ε 0 µ 0 j (4.4) - Partiendo de E = ρ ε 0 y expresando al campo eléctrico en función de los potenciales 2 A V = ρ (4.5) ε 0 Para potenciales culombianos A = 0. Haciendo uso del mismo en 4.4 y 4.5 se obtienen las ecuaciones de onda 2 V = ρ ε 0 (4.6) 2 A µ0 ε 0 2 A 2 = µ 0ε 0 V µ 0 j (4.7) El potencial eléctrico escalar responde a la misma ecuación, la de Poisson, que el electrostático; es un potencial de tipo electrostático aunque dependiente del tiempo. La propagación de la onda viene descrita exclusivamente por el potencial magnético vector, cuya ecuación de onda es no-homogénea. Las ecuaciones de onda se caracterizan por incluir, al menos, derivadas segundas espaciales y temporales. El uso del contraste de Lorenz A V + µ 0 ε 0 = 0 nos lleva a las ecuaciónes de onda de los potenciales lorenzianos 2 V µ 0 ε 0 2 V 2 = ρ ε 0 (4.8) 2 A µ0 ε 0 2 A 2 = µ 0 j (4.9)
29 Luego, como los campos, los potenciales lorenzianos responden ecuaciones del tipo Φ = f, 2 c 2 2 t 2 (4.20) donde es el operador de D Alembert o dalambertiano. El potencial eléctrico escalar no tiene por que cumplir una ecuación de onda pero es evidente que, junto con el potencial vector, debe dar cuenta del carácter propagativo de los campos. 4.2.. Propagación de ondas electromagnéticas planas en el vacío En la sección anterior vimos cómo las componentes de los campos cumplían en el vacío la ecuación de onda de D Alembert 4.20. De entre las posibles soluciones de esta ecuación buscaremos las que tengan carácter de onda plana. Entendemos, en un principio, por onda plana 6, una solución de la ecuación de onda en la que Φ sólo depende de una coordenada espacial ξ que, como se muestra en la figura 4., es la distancia de un plano, que llamaremos frente de onda, a otro, paralelo al anterior, que tomamos como origen. En un instante determinado, Φ es constante en todos los puntos de un determinado frente de onda. n n ξ O r Figura 4.: donde Como puede verse en la figura ξ = r n = n x x + n y y + n z z (4.2) n = n x x + n y ŷ + n z ẑ, n 2 x + n 2 y + n 2 z = es el vector normal al frente de onda o vector unitario de propagación. 6 Estrictamente, la calificación debería concretarse a ondas planas homogéneas para distiguirlas de las planas no homogéneas que se definen en otros contextos [García Olmedo]. Más adelante acotaremos esta definición eliminando de la misma componentes independientes de las variables espacial y temporal.
30 Para no introducir nueva notación, sin pérdida de generalidad, rotemos los ejes coordenados de forma que n x, La ecuación de onda quedará reducida a ξ = x = x x, ( = n ξ ) (4.22) 2 Φ(x, t) x 2 c 2 2 Φ(x, t) 2 = 0 (4.23) la cual admite soluciones del tipo f(x ct) y g(x + ct), donde f y g son funciónes arbitrarias y derivables. Definiendo u x ct y w x + ct f x = df du, 2 f x 2 = d2 f du 2, f df = c du, 2 f 2 = c2 d2 f du 2 (4.24) Substituyendo en 4.23 confirmamos que f(u) es solución y por el mismo procedimiento comprobamos que g(w) también lo es. Dado que la ecuación es de segundo orden y que las funciones f(u) y g(w) son linealmente independientes, la solución general es del tipo Φ(x, t) = f(x ct) + g(x + ct) (4.25) Diremos que la solución anterior resulta de la superposición, o interferencia de dos modos que se propagan en sentidos opuestos entre sí. En la figura 4.2 vemos cómo la función f se propaga sin deformarse en el sentido positivo del eje x, mientras que g lo hace en el negativo, con una velocidad de fase ( ) dx v f = = c (4.26) dt Efectivamente, para u=cte u = cte du = dx cdt = 0 La velocidad de fase es, por lo tanto, la velocidad con que se desplaza un punto de fase constante f(u 0 ). Relación de estructura: Ahora bien, no todas las soluciones de la ecuación de onda son físicamente válidas puesto que hemos de comprobar si son compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Limitándonos al modo que viaja en la dirección n = + x E = E(u), B = B(u) En particular, E = 0 x d E d u = 0 (4.27) E = B t x d E d u = cd B d u (4.28)
3 f(u) g(w) f(x- ct ) f(x- ct ) 2 g ( x+ ct ) g ( x+ ct ) 2 +c -c x c (t 2 -t ) c (t 2 -t ) Figura 4.2: De la ecuación 4.27 se deduce que d E x d u = 0 E x = cte E x no puede depender ni de x ni de t. Es, pués, una constante trivial que de ahora en adelante consideraremos nula. De hecho, estas posibles componentes no contribuyen a la propagación y transporte de energía y consideraremos que no están incluidas en el concepto de onda. Integrando la ecuación 4.28, anulando la constante de integración por las mismas razones que nos han llevado a eliminar la componente longitudinal E x, y teniendo en cuenta 4.27, concluimos que los campos E(u) y B(u) están ligados mediante la relación de estructura, la cual, para cada uno de los dos modos posibles, se expresa de la forma n E = 0 (4.29) B = c n E (4.30) E B P n Figura 4.3: Dado que E es perpendicular a n, véase la figura 4.3, E y B forman, con la dirección de propagación n, un triedro rectángulo a derechas y la relación entre las amplitudes de los campos es E = c B (4.3)
32 Cada uno de estos modos es tránsversal, es decir, ambos campos son paralelos a los frentes de onda y perpendiculares a la dirección de propagación. Además, son perpendiculares entre sí y están en fase 7. Si E tiene una dirección fija en todos los puntos, la onda se dice que está polarizada linealmente en dicha dirección. Transporte de energía: La onda plana, por extenderse hasta el infinito y transportar, como veremos a continuación, una potencia infinita, es una idealización y, por tanto, no es físicamente realizable. Sin embargo, mediante la superposición de ondas planas pueden construirse paquetes de ondas localizados espacialmente que transportan una cantidad finita de energía. El balance energético, en un volumen V, para una onda progresiva en el vacío, en ausencia de cargas y corrientes, es Φ( P) = dw em dt En nuestro caso, las densidades de energía eléctrica y magnética son iguales, como puede comprobarse haciendo uso de la relación 4.3. ω em = ω e + ω m = ) (ε 0 E 2 + µ0 B 2 = ε 0 E 2 = B2 2 µ 0 (4.32) ω e = ω m Multiplicando vectorialmente la expresión 4.29 por E µ 0 y desarrollando el triple producto, se tiene que P = µ 0 E B = µ 0 c E2 n (4.33) donde se ha tenido en cuenta que n E = 0. En consecuencia, el vector de Poynting de una onda plana progresiva admite las expresiones P = c ε 0 E 2 n = c B2 µ 0 n = ω em c, c = c n (4.34) Es decir, el vector de Poynting, en un instante dado, es constante dentro de cada frente de onda, ya que E y B también lo son, y su dirección y sentido coinciden con los de propagación. Aparece además, formalmente, como un vector densidad de flujo de energía, donde c representa la velocidad de arrastre, o transporte, de dicha energía. Es fácil comprobar, integrando sobre un frente de onda, que la energía transportada por una onda plana es infinita. Fuerza sobre cargas. Transmisión de cantidad de movimiento: Aunque no vamos a tratar en su forma general el problema de la conservación de la cantidad de movimiento, vamos a comprobar que una onda plana es capaz de comunicar, a una carga, cantidad de movimiento en la dirección de propagación. 7 E y c B están definidos, para cada modo, por la misma función espacio-temporal.
33 La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es F = q( E + v B) = q[ E + β ( n E)], β = v c por lo que la fuerza magnética es normalmente, para cargas con velocidades no relativistas, muy inferior a la fuerza eléctrica F m F e vb E = β Este pequeño término de fuerza magnética es sin embargo el que posibilita el intercambio de momento, en la dirección de propagación, entre la onda y la carga. Desarrollando el triple producto F = q( n β) E + q( β E) n con lo que la componente longitudinal de la fuerza, F n, provocará un incremento de la cantidad de movimiento en la dirección de propagación F n = q( β E) = dp n dt = dw c dt donde dw = q v dt E es la potencia que el campo eléctrico suministra a la carga. Luego, teniendo en cuenta que F n dt = dp n, el momento transferido por el campo a la carga, en la dirección de propagación y en un intervalo de tiempo arbitrario, es p n = W c Lo que nos confirma que la onda, además de transportar energía, transporta cantidad de movimiento. 4.2... Ondas planas monocromáticas Un caso particular de onda es la monocromática, en el que las componentes son funciones armónicas de t y de x. Las ondas monocromáticas planas que viajan en el sentido positivo del eje x pueden escribirse de las formas Φ = Φ 0 cos {k (c t x) + ϕ} = Φ 0 cos (ω t k x + ϕ) = = Φ 0 cos {2π ( tt xλ } ) + ϕ donde k es el número de onda, ω = k c la frecuencia angular, T = 2 π ω λ = 2π ω la longitud de onda. La frecuencia es f = k 2 pi = T. Como puede verse en la figura 4.4 (4.35) el periodo y
34 Φ x=x 0 T t 0 t +T 0 t Φ t=t 0 x 0 λ x + 0 λ x Figura 4.4: Φ(t 0, z 0 ) = Φ(t 0 + T, z 0 ) = Φ(t 0, z 0 + λ) Estas funciones son solución de la ecuación 4.23 porque Φ = f(u). Por la misma razón, también es solución de dicha ecuación la función compleja, (fasorial) 8 interpretando la amplitud como compleja Φ = Φ 0 e j (ω t k x) (4.36) Φ 0 = Φ 0 e j ϕ Obsérvese que la función real Φ es la parte real de la compleja 9 Φ = Re(Φ) (4.37) 4.3. Potenciales retardados Consideremos, como se muestra en la figura 4.5, el problema de determinar cual es el potencial creado en un punto P por una carga elemental q(t) situada en r 0 y encerrada en un pequeño elemento de volumen v. 8 Según la identidad de Euler e jθ = cos θ + j sen θ, donde j =. 9 Se empleará la misma notación para ambas soluciones.