TEMA 3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A)

TEMA 3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Álgebra y estructuras finitas/discretas Grupos A Curso 2007-2008 1

2 1 Anillos y cuerpos Definición 1 Un anillo viene dado por un conjunto R y por dos operaciones binarias definidas sobre R, denominadas usualmente suma y producto, y representadas por los símbolos + y, de forma que: R, + es un grupo conmutativo, cuyo elemento neutro denotaremos por 0, R, es un monoide, cuyo elemento neutro denotaremos por 1, se verifican las leyes distributivas del producto respecto de la suma: a, b, c R, a b + c = a b + a c, b + c a = b a + c a Si además se verifica la propiedad conmutativa para el producto, se dice que el anillo es conmutativo Definición 2 Un elemento a perteneciente a un anillo R es una unidad, si existe un elemento b R tal que a b = 1 = b a Si a es una unidad en R, como consecuencia de los resultados estudiados en el Tema 2, sabemos que existe un único elemento b perteneciente a R verificando que a b = 1 = b a, el cual se denomina el inverso de a, y se denota por a 1 Definición 3 Un cuerpo es un anillo conmutativo R, +, en el cual todo elemento distinto de cero es una unidad Ejemplos 4 1 Z, +, es un anillo conmutativo, pero no es un cuerpo 2 Ejemplos típicos de cuerpos son Q, R y C, con las operaciones suma y producto usuales 3 Si m es un número entero mayor o igual que 2, entonces Z m es un anillo conmutativo respecto de las operaciones suma y producto de clases El anillo Z m, +, es un cuerpo si y sólo si m es un número primo 2 Matrices Definiciones generales Dados dos números naturales m, n > 0 y un conjunto X, una matriz de orden m n con coeficientes en X es una colección formada por m n elementos de X no necesariamente distintos dispuestos en m filas y n columnas Denotamos por M m n X el conjunto de todas las matrices de orden m n con coeficientes en X Usaremos principalmente las primeras letras mayúsculas A, B, C, del alfabeto para representar matrices Dada una matriz A, cuando queramos referirnos a los elementos que componen A, escribiremos A = a i,j, significando que a i,j es el elemento que aparece en la fila i-ésima y columna j-ésima de A Decimos que dos matrices A = a i,j y B = b i,j, ambas pertenecientes a M m n X, son iguales, y escribimos A = B, si para todo i {1, 2,, m} y para todo j {1, 2,, n} se verifica que a i,j = b i,j

Una submatriz de A es aquella matriz que resulta al suprimir algunas filas y/o columnas de A La diagonal principal de la matriz A = a i,j es la sucesión a 1,1, a 2,2, formada por todos los elementos de A cuyo índice de fila es igual a su índice de columna Para una matriz A = a i,j M m n X, la matriz traspuesta de A es la matriz A t = b i,j M n m X tal que para cualesquiera i, j se verifica que b i,j = a j,i Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas Una matriz de orden n n, diremos simplemente que es una matriz cuadrada de orden n A veces también representaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con coeficientes en X como M n X Una matriz cuadrada A = a i,j se dice que es una matriz simétrica si a i,j = a j,i, para cualesquiera i, j, es decir, si A = A t Sea R es un anillo y A M n R Decimos que A es una matriz triangular superior respectivamente, triangular inferior cuando son nulos todos los elementos situados por debajo respectivamente, por encima de la diagonal principal de A A se denomina matriz diagonal, si es triangular superior y triangular inferior, es decir, si todo elemento que no está en la diagonal principal de A es igual a cero A es una matriz escalar, si es diagonal y además todos los elementos de su diagonal principal son iguales A se dice que es una matriz antisimétrica si a i,j = a j,i, para cualesquiera i, j, es decir, si A = A t 3 3 Operaciones con matrices Sea K un cuerpo y sean las matrices A = a i,j y B = b i,j pertenecientes a M m n K La matriz suma de A y B, es la matriz A+B = c i,j de nuevo perteneciente a M m n K, tal que c i,j = a i,j + b i,j para cualesquiera i y j Es inmediato comprobar que M m n K, + es un grupo abeliano cuyo elemento neutro es la matriz nula de orden m n, es decir, aquella en la que todos sus elementos son iguales a 0 K Dado un elemento λ K, llamado escalar, y una matriz A = a i,j M m n K, el producto de λ por A, es la matriz λ A = b i,j M m n K tal que b i,j = λ a i,j, para todo i y j Para cualesquiera λ, λ 1, λ 2 K y A, B M m n K, se verifican las siguientes propiedades: 1 λa + B = λa + λb 2 λ 1 + λ 2 A = λ 1 A + λ 2 A 3 λ 1 λ 2 A = λ 1 λ 2 A 4 1 A = A El conjunto M m n K, por ser un grupo abeliano respecto de la suma de matrices y por verificar estas cuatro propiedades se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K Ahora definimos el producto de dos matrices

4 Sean las matrices A = a i,k M p q K y B = b k,j M q r K Obsérvese que el número de columnas de A es igual al número de filas de B La matriz producto de A y B, es la matriz de orden p r que representaremos por A B = c i,j, siendo q c i,j = a i,k b k,j, k=1 para cualesquiera i y j Vemos que el elemento que ocupa la fila i-ésima y columna j-ésima en la matriz A B se obtiene sumando el resultado de multiplicar cada elemento de la fila i-ésima de A por el correspondiente de la columna j-ésima de B Ejemplo 5 Dadas las matrices con coeficientes en R, 1 2 1 A = y B = 1 4 0 1 8 1 1 5 5 3 4 1 0 2 3 entonces A B = 1 2 1 5 3 4, 1 4 0 1 8 1 1 5 16 6 0 8 = 33 17 5 2 1 0 2 3 Obsérvese que en este ejemplo el producto B A no tiene sentido, pues el número de columnas de B es distinto del número de filas de A La justificación de la definición anterior para el producto de matrices se encuentra en la estrecha relación existente entre las matrices y un tipo especial de aplicaciones denominadas aplicaciones lineales y que serán estudiadas más adelante Cuando multiplicamos dos matrices estamos haciendo la composición de dos aplicaciones lineales La matriz identidad de orden m es la matriz I m = a i,j M m m K tal que { 1 si i = j, a i,j = 0 si i j Para cualquier A M m n K se verifica que I m A = A = A I n Por tanto cada matriz identidad se comporta como un elemento neutro para el producto de matrices Insistiendo nuevamente en la estrecha relación existente entre matrices y aplicaciones, compárese la propiedad anterior con la siguiente que ya vimos en el Tema 1: Para cualquier aplicación f : X Y, se verifica 1 Y f = f = f 1 X El producto de matrices verifica las siguientes propiedades, siempre que éstas tengan sentido: 1 ABC = ABC, 2 AB + D = AB + AD y B + DE = BE + DE, 3 λab = λab, con λ K

Obtenemos que M m K, +, es un anillo, el cual sólo es conmutativo para m = 1 Por ejemplo, 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 = y = 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 Como consecuencia, varias identidades aritméticas que se verifican en los anillos conmutativos, dejan de ser ciertas en general en M m K La identidad x + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 que se verifica en cualquier cuerpo K, en general no se verifica en M m K Concretamente, si A, B M m K, entonces A + B 2 = A 2 + AB + BA + B 2, valor que en general no es igual a A 2 + 2AB + B 2, ya que A B B A Un comentario similar puede hacerse acerca de la identidad x 2 y 2 = x + yx y Ejercicio 6 Dadas las matrices A y B pertenecientes a M 2 R y tales que 3 0 1 2 A + B = y A B =, 2 1 0 3 calcúlese la matriz A 2 B 2 Como en general A + B A B A 2 B 2, calculamos previamente cada matriz, a continuación su cuadrado y por último la diferencia entre ambas con lo cual Por otra parte, 2A = A + B + A B = A = 1 2 B = 3 0 2 1 2 2 2 4 3 0 2 1 Elevando al cuadrado, obtenemos 0 3 A 2 = 3 3 y por consiguiente, A 2 B 2 = + = A = y B 2 = 1 2 0 3 1 1 1 2 2 1 1 1 5 4 2 1 5 1 1 2 =, 2 2 2 4, 5 4 Operaciones elementales sobre las filas de una matriz Forma normal de Hermite por filas Recordemos que K denota un cuerpo Referido a una matriz A M m n K: Definición 7 Decimos que una fila es nula, si está formada sólo por ceros

6 Definición 8 El Pivote o término líder de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila de izquierda a derecha Definición 9 A está en forma escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones: 1 Si A tiene filas nulas, éstas estarán agrupadas en la parte inferior de la matriz 2 El pivote de cada fila no nula estará situado siempre más a la derecha que el pivote de cualquier fila anterior a ella Definición 10 A está en forma escalonada reducida por filas, cuando está en forma escalonada por filas, el pivote de cada fila no nula es igual a 1, y además verifica que todos los elementos que aparecen en la misma columna que un pivote, ya sea por encima o por debajo de él, son todos cero Ejemplos 11 Sean las matrices con coeficientes en R: A = 1 0 2 0 0 0, B = 1 0 2 0 1 5, C = 1 7 4 6 0 0 1 2 0 1 4 0 1 3 0 0 0 0, D = 1 7 0 0 9 0 0 1 0 8 0 0 0 1 5 A no está en forma escalonada por filas, pues no se cumple la condición 1 B no está en forma escalonada por filas, pues no se cumple la condición 2 C está en forma escalonada por filas, pero no está en forma escalonada reducida por filas, aún cuando todos los pivotes son iguales a 1 D está en forma escalonada reducida por filas Definición 12 Una transformación u operación elemental sobre las filas de la matriz A puede ser: 1 Intercambiar la posición de dos filas: F i F j 2 Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar λ no nulo: F i λf i 3 Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar cualquiera: F i F i + µ F j Dada una matriz A, pretendemos transformar A en una matriz escalonada reducida por filas empleando un número finito de operaciones elementales de filas Definición 13 Diremos que dos matrices A, B M m n K son equivalentes por filas, y escribiremos A B, si A = B, o bien se puede ir desde A hasta B aplicando un número finito de operaciones elementales por filas Es inmediato comprobar que la relación binaria definida sobre M m n K es una relación de equivalencia Proposición 14 Si A, B M m n K son ambas matrices escalonadas reducidas por filas y A B, entonces A = B Esta proposición se puede demostrar por inducción sobre n Corolario 15 Toda matriz A M m n K es equivalente por filas a una única matriz H M m n K escalonada reducida por filas, la cual se denomina la forma normal de Hermite por filas de A

Obsérvese que una vez que hemos calculado una matriz B en forma escalonada por filas para una matriz A, el número de filas no nulas que aparecen en la forma normal de Hermite de A sigue siendo el mismo que el que aparece en B Definición 16 El rango por filas, o simplemente, rango de la matriz A es el número de filas no nulas que aparecen en cualquier matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas con la matriz A Ilustramos el cálculo de la forma normal de Hermite con algunos ejemplos Ejemplo 17 Calcúlese la forma normal de Hermite por filas de la matriz 3 2 1 2 0 A = 1 3 1 1 4 M 3 5 Q 4 0 4 1 5 Aplicando las operaciones de filas indicadas obtenemos A F 1 F 2 F 1 1F 1 1 3 1 1 4 3 2 1 2 0 4 0 4 1 5 F 3 F 3 +F 2 F 2 F 3 1 3 1 1 4 0 1 4 2 9 0 11 4 5 12 F 2 F 2 3F 1 F 3 F 3 +4F 1 1 3 1 1 4 0 11 4 5 12 0 12 0 3 21 F 3 F 3 +11F 2 1 3 1 1 4 0 1 4 2 9 0 0 48 27 87 de lo cual deducimos que el rango de A vale 3 Por último, para obtener la forma escalonada reducida por filas, aplicamos en primer lugar la operación elemental F 3 1 F 48 3 y obtenemos 1 3 1 1 4 0 1 4 2 9 0 0 1 27 87 48 48 Una vez que todos los pivotes son 1, aplicamos las operaciones 1 0 13 7 23 F 1 F 1 +13F 3 1 0 0 5/16 9/16 F 1 F 1 3F 2 F 0 1 4 2 9 2 F 2 4F 3 0 1 0 1/4 7/4 0 0 1 27 87 0 0 1 27/48 87/48 48 48 obteniendo la forma normal de Hermite de la matriz dada,, 7 Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, el cálculo de la forma escalonada reducida se hace engorroso al tener que trabajar con fracciones Hay que decir que en la mayoría de nuestras aplicaciones tan sólo requeriremos el cálculo de una forma escalonada no necesariamente reducida equivalente a la matriz inicial

8 Ejemplo 18 Calcúlese la forma escalonada reducida por filas de la matriz A = 6 2 1 4 5 3 1 3 M 3 4 Z 7 4 6 3 5 El elemento a 1,1 lo escribimos como 1 facilitándose los cálculos con ello, pues en Z 7 se verifica que 6 = 1 Otra posibilidad sería multiplicar la primera fila por 6 ya que 6 1 = 6 en Z 7, obteniendo un pivote de valor 1 con el que siempre es más fácil trabajar Aplicando las operaciones de filas indicadas obtenemos 1 2 1 4 5 3 1 3 4 6 3 5 F 2 F 2 +5F 1 F 3 F 3 +4F 1 1 2 1 4 0 1 6 2 0 0 0 0 F 1 F 1 +2F 2 1 0 1 1 0 1 6 2 0 0 0 0 Multiplicando ambas filas por 1 resulta la forma normal de Hermite por filas: 1 0 1 6 0 1 1 5 0 0 0 0 En los capítulos siguientes utilizaremos las matrices para resolver problemas relacionados con espacios vectoriales De manera similar a como hemos hecho para las filas, se pueden definir referido a las columnas de una matriz los conceptos de matriz escalonada, forma normal de Hermite y rango Recordemos que K representa un cuerpo 5 Sistemas de ecuaciones lineales Definición 19 Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de ecuaciones de la forma a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 a m,1 x 1 + a m,2 x 2 + + a m,n x n = b m donde los elementos a i,j y b i de K se llaman coeficientes y términos independientes, respectivamente, y los elementos x j, cuyos posibles valores se suponen en K, se llaman incógnitas Definición 20 Se llama solución del sistema, a toda n-tupla α 1,, α n de elementos de K que satisface simultáneamente las m ecuaciones del sistema Definición 21 Resolver el sistema, es determinar el conjunto el cual puede ser vacío formado por todas las soluciones del sistema

Las matrices a 1,1 a 1,2 a 1,n A = M m n K, B = a m,1 a m,2 a m,n b 1 b m M m 1 K, se denominan matriz de los coeficientes y matriz de los términos independientes, respectivamente Las matrices a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 A B = M m n+1 K, X = a m,1 a m,2 a m,n b m se denominan matriz ampliada y matriz de las incógnitas, respectivamente Con la notación anterior es posible expresar el sistema de la forma A X = B, que se denomina la expresión matricial del sistema Definición 22 Un sistema se dice incompatible si no tiene ninguna solución, y se dice compatible si tiene al menos una solución Los sistemas compatibles pueden tener una o varias soluciones Definición 23 Un sistema se dice compatible determinado, y escribimos SCD, si tiene una única solución, y se dice compatible indeterminado, y escribimos SCI, si tiene más de una solución Definición 24 Dos sistemas de ecuaciones lineales sobre las mismas incógnitas se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones Vemos a continuación que las operaciones elementales sobre las filas de una matriz nos permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales Proposición 25 Dado un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es A B, si realizamos operaciones elementales sobre las filas de dicha matriz y obtenemos otra matriz A B, entonces el sistema correspondiente a esta nueva matriz es equivalente al sistema inicial Obsérvese que como consecuencia de la propiedad anterior, dos sistemas de ecuaciones lineales sobre las mismas incógnitas, son equivalentes si y sólo si sus matrices ampliadas son equivalentes, es decir, tienen la misma forma normal de Hermite Supongamos un sistema S de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es A B y tras aplicarle ciertas operaciones elementales de fila obtenemos una matriz escalonada A B que representa a un sistema S Denominamos incógnitas principales de S a aquellas que corresponden a los pivotes de la matriz A Las restantes incógnitas se denominan secundarias o parámetros Si rga < rga B, entonces en S existirá una ecuación de la forma 0x 1 + + 0x n = b, con b 0, la cual es incompatible Por tanto x 1 x n 9

10 S también será un sistema incompatible Por el contrario, si rga = rga B, tendremos un sistema compatible pues en cada ecuación de S basta pasar al miembro de la derecha aquellos términos en los que aparece una incógnita secundaria Para cada valor que le asignemos a cada uno de los parámetros, el hecho de que A esté en forma escalonada, nos proporciona un único valor para cada incógnita principal Por tanto, cuando rga = rga B tenemos un sistema compatible En dicho caso, el sistema será compatible determinado si y sólo si no existen incógnitas secundarias, lo cual equivale a que rga = rga B = número de columnas de A Puesto que rga = rga y rga B = rga B, obtenemos el resultado siguiente Teorema 26 Teorema de Rouché-Frobenius El sistema AX = B es compatible si y sólo si se verifica que rga = rga B El sistema AX = B es compatible determinado si y sólo si se verifica que rga = rga B = número de incógnitas Este tipo de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se denominan métodos de eliminación iterada Definición 27 Un sistema AX = B se dice homogéneo, si la matriz B de los términos independientes está formada por ceros Todo sistema homogéneo es compatible, pues siempre admite la solución x 1 = 0,, x n = 0, que se denomina la solución trivial Ejemplo 28 Resuélvase el siguiente sistema en el cuerpo R: x + 3y + 5z = 1 x 2y + 3z = 2 2x 14y + 2z = 7 1 3 5 1 1 2 3 2 2 14 2 7 A B = F 2 F 2 F 1 F 3 F 3 2F 1 1 3 5 1 0 5 2 1 0 20 8 5 F 3 F 3 4F 2 Como rga = 2 rga B = 3, el sistema es incompatible Ejemplo 29 Resuélvase el siguiente sistema en el cuerpo R: x + 3y + 5z = 1 x 2y + 3z = 2 2x 14y + 2z = 6 1 3 5 1 1 2 3 2 2 14 2 6 A B = F 2 F 2 F 1 F 3 F 3 2F 1 1 3 5 1 0 5 2 1 0 20 8 4 F 3 F 3 4F 2 1 3 5 1 0 5 2 1 0 0 0 1 1 3 5 1 0 5 2 1 0 0 0 0

Como rga = 2 = rga B, entonces el sistema es compatible Además, al ser rga = rga B = 2 < 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado SCI Por tanto x 1, x 2 son las incógnitas principales, mientras que x 3 es la única incógnita secundaria { x + 3y = 1 5z 5y = 1 + 2z Llamando z = λ parámetro, obtenemos las expresiones paramétricas x = 8 5 19λ 5 y = z = 1 5 2λ 5 que representan a todas las soluciones del sistema λ 11 6 Matrices invertibles o regulares Definición 30 Una matriz cuadrada A M m K se dice regular, si existe otra matriz B M m K tal que A B = I m = B A La matriz B, caso de existir, es única y recibe el nombre de la matriz inversa de A, y se denota por A 1 Las matrices regulares también se denominan matrices invertibles o no singulares Las matrices cuadradas no regulares se llaman matrices singulares El conjunto formado por todas las matrices regulares que pertenecen al anillo M m K es un grupo con respecto al producto, se representa por GL m K y se denomina el grupo lineal general Claramente, si A, B GL m K, entonces A B GL m K y A B 1 = B 1 A 1 Nos proponemos ahora ver cómo se pueden utilizar las operaciones elementales de filas para saber cuándo una matriz cuadrada es regular, y en caso afirmativo calcular su inversa Una matriz elemental de orden m es aquella que se obtiene aplicando a la matriz identidad I m una operación elemental de filas Ya que hay tres tipos de operaciones elementales por filas, tenemos tres tipos de matrices elementales Por ejemplo, las matrices 1 0 0 0 5 0 0 0 1, 1 0 0 0 1 0 7 0 1 y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 son matrices elementales, correspondiendo éstas a las operaciones elementales de filas F 2 5F 2, F 3 F 3 + 7F 1 y F 1 F 3, respectivamente

12 Si E es una matriz elemental de orden m que representa una operación elemental Θ, entonces es lo mismo aplicar la operación Θ a una matriz A M m n K que calcular E A Como consecuencia de lo anterior, si las matrices A y B son equivalentes por filas, entonces existen matrices elementales E 1, E 2,, E r 1, E r de orden m tales que B = E r E r 1 E 2 E 1 A Observamos además que toda matriz elemental es una matriz regular por qué? Por último recordemos que en un grupo, si b a = 1 entonces a = b 1 y b = a 1 Proposición 31 Para una matriz A M m K, son equivalentes: 1 A es regular, 2 rga = m, 3 La forma de Hermite por filas de A es I m, 4 A se puede escribir como producto de matrices elementales Demostración Sea H la forma normal de Hermite por filas de A, y sean E 1, E 2,, E r 1, E r matrices elementales de orden m tales que H = E r E r 1 E 2 E 1 A 1 2 Supongamos que A es regular Obsérvese que E r E r 1 E 2 E 1 A es entonces una matriz regular por ser producto de matrices regulares Si rga < m, entonces la igualdad H = E r E r 1 E 2 E 1 A nos diría que una matriz regular tiene al menos una fila formada íntegramente por ceros, lo que es imposible 2 3 Es evidente 3 4 Si I m = H = E r E r 1 E 2 E 1 A, entonces A = E r E r 1 E 2 E 1 1 = E1 1 E2 1 Er 1E r 1, que es un producto de matrices elementales 4 1 Es inmediato puesto que cada matriz elemental es regular Recalcamos el siguiente hecho que está incluído en la demostración de la propiedad anterior: Si tras aplicar determinadas operaciones elementales de filas a la matriz A resulta que E r E r 1 E 2 E 1 A = I m, en tal caso podemos concluir que A 1 = E r E r 1 E 2 E 1 De este modo obtenemos el siguiente método basado en operaciones elementales de fila para calcular la inversa de una matriz regular A Partimos de la matriz ampliada A I m y aplicamos a la matriz de la derecha inicialmente I m las mismas operaciones elementales de fila que vayamos aplicando a la matriz A Cuando alcanzamos la forma normal de Hermite para A, si la matriz ampliada es I m B entonces B = A 1 Caso de que la matriz que aparece a la izquierda no sea I m, entonces A no será regular, y por tanto no existirá A 1 Ejemplo 32 Estudiese si la matriz siguiente con coeficientes en R es regular, y en caso afirmativo calcúlese su matriz inversa: 1 2 A = 3 5

Aplicando el método anterior, resulta 1 2 1 0 F 2 F 2 3F 1 1 2 3 5 0 1 0 1 Por tanto rga = 2, A es regular y F 2 1F 2 1 0 0 1 A 1 = 1 0 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 F 1 F 1 +2F 2 1 0 0 1 5 2 3 1 Para cerrar esta sección, comentaremos que el rango de una matriz, que lo hemos definido a partir de operaciones de filas, se podría haber definido a partir de operaciones de columnas, o bien simultaneamente permitiendo ambas Se puede demostrar que independientemente de la forma de definirlo, el valor obtenido es el mismo Por tanto si A M m n K, se verifica que rga = rga t 13 7 Determinante de una matriz cuadrada Se define la función determinante como una aplicación det : M n K K que asigna a cada matriz A el valor numérico de la expresión siguiente σ S n sgnσ a 1,σ1 a n,σn donde S n es el grupo simétrico de grado n, y para toda σ S n, sgnσ = 1 ó 1, según σ sea una permutación par ó impar Dada una matriz A = a i,j M n K, representaremos el determinante de A indistintamente por deta o bien por A Obsérvese que el determinante de una matriz cuadrada A se obtiene como la suma de todos los productos afectados de un signo de n elementos de A tomados de filas y de columnas distintas Ejemplos 33 Casos particulares Cuando n = 1, si A = a entonces A = a Cuando n = 2, si a b A =, deta = a d b c c d pues S 2 = {1, α = 1, 2} y sgn1 = 1, sgnα = 1 Cuando n = 3, si A = a b c d e f, deta = aei + bfg + dhc ceg bdi fha g h i

14 identidad que se conoce como la regla de Sarrus El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos que aparecen en su diagonal principal La justificación de esta propiedad utilizando la fórmula anterior es simple, ya que en una matriz triangular de orden n, al elegir n elementos que estén situados en filas distintas y en columnas distintas y que no sean los n que constituyen la diagonal principal, siempre al menos uno de ellos será igual a cero Para los n elementos de la diagonal principal, σ es la permutación identidad, de donde sgnσ = 1, con lo cual deta se reduce al producto de tales elementos La fórmula anterior sólo tiene interés teórico y no es nada práctica para el cálculo de determinantes pues si n vale por ejemplo 10, tendríamos que calcular 10! = 3,628,800 sumandos tarea sólo aconsejable para tardes lluviosas Veremos propiedades que nos van a permitir calcular determinantes de forma más fácil Damos antes unas definiciones referidas a filas de una matriz no necesariamente cuadrada y que serán generalizadas en el tema siguiente Definición 34 Una fila F es una combinación lineal de las filas F 1, F 2,, F r, si existen escalares λ 1, λ 2,, λ r K, tales que F = λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + + λ r F r Definición 35 Las filas F 1, F 2,, F r son linealmente dependientes si existen escalares λ 1, λ 2,, λ r K, no todos nulos, tales que λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + + λ r F r = 0, la fila nula Definición 36 Las filas F 1, F 2,, F r se dicen linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ 1, λ 2,, λ r K, si λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + + λ r F r = 0, entonces necesariamente λ 1 = λ 2 = = λ r = 0 Observación: Las filas no nulas de una matriz en forma escalonada son linealmente independientes De manera similar se definen estos conceptos para las columnas de una matriz Proposición 37 La función determinante verifica las siguientes propiedades: 1 El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta, es decir, A = A t Como consecuencia, todas las propiedades para determinantes referidas a filas, son igualmente válidas para columnas 2 Si se permutan dos filas de A, el determinante cambia de signo 3 La aplicación determinante es lineal en cada una de sus filas, es decir, a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n λa i,1 λa i,n = λ a i,1 a i,n y a n,1 a n,n a n,1 a n,n

15 a 1,1 a 1,n x i,1 + y i,1 x i,n + y i,n a n,1 a n,n = a 1,1 a 1,n x i,1 x i,n a n,1 a n,n + a 1,1 a 1,n y i,1 y i,n a n,1 a n,n 4 El determinante de A es nulo si y sólo si sus filas son linealmente dependientes En particular: a Si hay dos filas proporcionales, entonces A = 0 b Si alguna fila es nula, entonces A = 0 c Si alguna fila es combinación lineal de otras, entonces A = 0 d Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras, el determinante de la matriz así obtenida no cambia de valor 5 Si A, B M n K, entonces deta B = deta detb Demostración Supongamos que A = a ij, B = b jk y C = A B = c ik Representamos la fila j-ésima de B por B j y la fila i-ésima de C por C i Obsérvese que C i se obtiene como combinación lineal de las filas de B usando como escalares los elementos a i1,, a in de A, con lo cual C i = n j=1 a ijb j Usando ésto obtenemos deta B = detc = det C 1 C n = det n j=1 a 1jB j n j=1 a njb j Ahora aplicando las propiedades de linealidad obtenemos una suma de n n determinantes, de los cuales decartamos aquellos en los que aparezcan filas proporcionales Por tanto sólo dejamos aquellos en los que aparecen exactamente las filas B 1,, B n, con lo cual deta B = sgnσ a1,σ1 a n,σn det σ S n σ S n sgnσ a 1,σ1 a n,σn det B 1 B n B 1 B n = = deta detb Es fácil encontrar ejemplos de matrices A, B M 2 K para las cuales deta + B deta + detb Definición 38 Dada una matriz A = a i,j M n K, denotaremos por A i,j a la submatriz cuadrada de orden n 1 que se obtiene al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima

16 de A El determinante de A i,j se llama el menor complementario del elemento a i,j de A Definimos el adjunto de a i,j, denotado por α i,j, como 1 i+j A i,j Se llama matriz adjunta de A a la matriz A = α i,j, es decir, la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son los adjuntos correspondientes de los elementos de A Ejemplo 39 Dada la matriz su matriz adjunta es A = 1 1 0 2 4 3 7 8 5 A = 44 11 44 5 5 1 3 3 6 M 3 Q, Como veremos en las siguientes propiedades, los adjuntos de una matriz se pueden utilizar para el cálculo del determinante de la misma Proposición 40 Desarrollo de Laplace para el determinante de una matriz Sea A = a i,j M n K Entonces deta = n a i,j α i,j i=1 Éste es el desarrollo de Laplace del determinante de A por los elementos de la columna j-ésima También: n deta = a i,j α i,j j=1 Éste es el desarrollo de Laplace del determinante de A por los elementos de la fila i-ésima Esta proposición, junto con las propiedades ya vistas para los determinantes, nos da un método práctico para el cálculo de los mismos Se elige un elemento de la matriz como pivote, se hace el mayor número de ceros en su fila o columna mediante operaciones de columna o fila, y a continuación se aplica uno de los desarrollos de Laplace Ejemplo 41 Dada la matriz calcúlese deta A = 3 5 1 2 1 10 2 3 7 15 5 1 4 75 2 4 M 4Q,

17 Observamos que la segunda columna es múltiplo de 5, luego 3 5 1 2 3 1 1 2 deta = 1 10 2 3 7 15 5 1 = 5 1 2 2 3 7 3 5 1 4 75 2 4 4 15 2 4 Elegimos como pivote el elemento a 1,2 y hacemos ceros en la primera fila mediante las operaciones elementales de columna siguientes: C 1 C 1 3C 2, C 3 C 3 + C 2, C 4 C 4 2C 2 deta = 5 0 1 0 0 7 2 4 1 16 3 2 7 41 15 17 34 Desarrollando el determinante por la primera fila, 7 4 1 deta = 5 1 1+2 16 2 7 41 17 34 Ahora podríamos seguir reduciendo con respecto de un pivote, o aplicar ya directamente la regla de Sarrus De cualquiera de las dos formas, deta = 9915 Ejemplo 42 Calcúlese el siguiente determinante sobre R: x a b c = a x b c a b x c a b c x Observamos que en cada fila aparecen x, a, b, c una sóla vez Por tanto reemplazamos la primera columna por ella más la suma de todas las demás columnas, y a continuación hacemos uso de la linealidad, obteniendo = x + a + b + c a b c x + a + b + c x b c x + a + b + c b x c x + a + b + c b c x = x + a + b + c 1 a b c 1 x b c 1 b x c 1 b c x A continuación a cada fila le restamos la primera, y después aplicamos la fórmula de Laplace, resultando una matriz triangular cuyo determinate es inmediato

18 = x + a + b + c 1 a b c 0 x a 0 0 0 b a x b 0 0 b a c b x c = x + a + b + c x + a + b + c x a x b x c x a 0 0 b a x b 0 b a c b x c Ahora vamos a ver una propiedad que nos permite saber mediante el uso de determinantes cuándo una matriz cuadrada es regular En dicho caso, además nos permitirá calcular su matriz inversa Proposición 43 Para toda matriz A M n K, se verifica que A A t = A t A = deta I n La justificación de esta propiedad está en la Proposición 40 Como consecuencia, obtenemos la siguiente forma alternativa para calcular la inversa de una matriz regular Proposición 44 Una matriz cuadrada A es regular, si y sólo si A 0, en cuyo caso A 1 = 1 A At Ejemplo 45 Dada la matriz A = 1 1 0 2 4 3 7 8 5 M 3 Q, estudiamos si es regular, y en caso afirmativo calculamos su inversa Como deta = 33 0, entonces A es una matriz regular obsérvese que si la matriz A estuviera definida en el cuerpo Z 3 o Z 11, entonces no sería regular Puesto que la matriz adjunta de A es obtenemos que A 1 = 1 33 A = 44 11 44 5 5 1 3 3 6 44 11 44 5 5 1 3 3 6 t, = 1 33 5 44 3 5 11 3 1 44 6 Finalmente, veamos cómo se pueden utilizar los determinantes para el cálculo del rango de una matriz Proposición 46 El rango de una matriz no necesariamente cuadrada es el mayor de los órdenes de sus submatrices cuadradas regulares =

La idea para demostrar esta propiedad es observar que si rga = r, entonces la forma normal de Hermite para A contiene una submatriz cuadrada regular de orden r; concretamente aquella que contiene a los pivotes, siendo cualquier submatriz cuadrada de orden mayor o igual que r + 1 singular ya que siempre contendrá una fila de ceros Ejemplo 47 Calcúlese el rango de la matriz siguiente en R, usando la proposición anterior: 1 2 1 4 1 2 1 5 2 4 2 7 Al ser las dos primeras columnas proporcionales, calculamos 1 1 4 1 1 5 = 4 0, 2 2 7 con lo cual rga = 3 19 Ejemplo 48 Calcúlese el rango de la matriz siguiente sobre Q: 3 2 1 0 2 A = 3 2 2 1 5 3 2 4 1 1 4 1 1 2 5 En primer lugar obtenemos el rango de A aplicando operaciones elementales de filas: A F 1 F 1 F 4 F 2 F 2 +F 3 1 1 2 2 3 0 0 6 2 6 3 2 4 1 1 4 1 1 2 5 F 2 1/2F 2 F 4 F 4 F 3 F 3 F 3 +3F 1 F 4 F 4 +4F 1 1 1 2 2 3 0 0 3 1 3 0 5 10 7 10 0 0 3 1 3 1 1 2 2 3 0 0 6 2 6 0 5 10 7 10 0 5 7 6 7, de donde deducimos que rga = 3 Ahora obtenemos la misma conclusión usando determinantes Partimos de la submatriz 2 1 B = 2 2 cuyo determinante es 6 Obsérvese que si ampliamos B a la submatriz 3 2 1 3 2 2, 3 2 4

20 ésta no es regular, pues sus dos primeras columnas son proporcionales Ampliamos B usando la cuarta fila y obtenemos: C = 3 2 1 3 2 2, 4 1 1 cuyo determinate vale 15 Por tanto, rga 3 Además deducimos que: Las columnas de A 1,2 y 3 son linealmente independientes Las filas de A 1,2 y 4 son linealmente independientes Vemos ahora si C se puede o no ampliar a una submatriz regular de orden 4 Calculamos el determinante 3 2 1 0 = 3 2 2 1 3 2 4 1 4 1 1 2 Usamos el elemento a 2,4 como pivote y aplicando las operaciones de fila F 3 F 3 F 2, F 4 F 4 + 2F 2, resulta 3 2 1 0 = 3 2 2 1 3 2 1 6 4 2 0 = 1 1 2+4 6 4 2 2 3 3 0 2 3 3 = 0, pues F 1 y F 2 son proporcionales Deducimos que la cuarta columna de A es combinación lineal de las tres primeras Ahora ampliamos C con la quinta columna y calculamos el determinante = 3 2 1 2 3 2 2 5 3 2 4 1 4 1 1 5 Elegimos como pivote el elemento a 4,2 y aplicamos las siguientes operaciones de columna: C 3 C 3 + C 2, C 1 C 1 4C 2, C 4 C 4 5C 2 Obtenemos = 5 2 3 8 5 2 0 5 5 2 6 11 0 1 0 0 Aplicando el desarrollo de Laplace resulta un determinante cuyo valor es cero Por consiguiente podemos afirmar que rga = 3, las columnas 4 y 5 son combinación lineal de las columnas 1,2 y 3, y además la fila 3 es combinación lineal de las filas 1,2 y 4

8 La regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Definición 49 Un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial como A X = B, donde A M m n K, se dice que es de Cramer si: 1 tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, es decir m = n, y 2 la matriz A de los coeficientes es regular, es decir, rga = n Por consiguiente un sistema de Cramer verifica que rga = rga B = n, con lo cual todo sistema de Cramer es compatible determinado Proposición 50 Fórmula de Cramer Dado un sistema A X = B de Cramer, con rga = n, su única solución viene dada por x i = M i, para i = 1,, n, A donde M i es la matriz que se obtiene a partir de A reemplazando la columna i-ésima por la matriz B de los términos independientes Esta propiedad es consecuencia de las Proposiciones 40 y 44 En efecto, si el sistema es de Cramer, tenemos que A es una matriz regular y por tanto X = A 1 B Como A 1 = 1 A At, obtenemos que x i = 1 b A 1 α 1,i + + b n α n,i Finalmente, obsérvese que el numerador de dicha expresión es el desarrollo de Laplace sobre la columna i-ésima para el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la columna i-ésima de A por la matriz columna B Ejemplo 51 Resuélvase el siguiente sistema en R: Puesto que 2x + 3y = 5 x + 2y = 6 2 3 1 2 = 7 0, el sistema es de Cramer Obsérvese que si el cuerpo fuera Z 7, el sistema no sería de Cramer La única solución del sistema viene dada por x = 1 7 5 3 6 2 = 8 7, y = 1 2 5 7 1 6 = 17 7 } 21