2 Matrices Álgebra
Introducción Las matrices son tablas de datos, es decir, datos organizados en filas y columnas, que proporcionan información de la relación existente entre dos magnitudes. La unidad comienza con la definición de los distintos tipos de matrices y se estudian sus operaciones. En la resolución de problemas se desarrolla cómo organizar datos en matrices, para tratar información en situaciones reales. Las matrices son una herramienta de gran utilidad para el estudio de ecuaciones lineales y aparecen de forma natural en la estadística, la economía, la informática, etc. Por ejemplo, la utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hoja de cálculo, bases de datos, etc. y sirven para organizar las conexiones de las grandes redes como Internet. Organiza tus ideas Matrices son tablas de datos que se clasifican operan utilizan para el su forma matriz fila matriz columna matriz cuadrada matriz simétrica matriz antisimétrica o hemisimétrica según sus elementos matriz nula matriz diagonal matriz escalar matriz unidad o identidad matriz triangular suma resta multiplicación por un número multiplicación traspuesta tratamiento de la información en la resolución de problemas 35
Álgebra 1. Tipos de matrices Piensa y calcula Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 en comida y 150 en vestir; en febrero, 500 en comida y 100 en vestir; y en marzo, 300 en comida y 200 en vestir». 1.1. Definición de matriz Evitar errores Las filas son horizontales. Las columnas son verticales. a ij es el término que está en la fila i y en la columna j Una matriz es una tabla de números distribuidos en filas y columnas. Se representa por: a 11 a 12 a 1p a a ij n Ò p = 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np Se dice que es de dimensión n Ò p, es decir, tiene n filas y p columnas. Vectores y matrices Una matriz se puede interpretar como un conjunto de vectores fila o columna. Ejemplo Dada la matriz : 2 8 A 2 Ò 3 = 4 0 7 5 se puede interpretar que está formada por 2 vectores de 3 8 u2, 8, 7 8 v 4,0,5 y también que está formada por 3 vectores de 2 8 2 8 8 u, v, w 7 4 8 0 5 1 Ejemplo 2 8 7 En la matriz A 2 Ò 3 =, el elemento a 21 = 4 4 0 5 Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales. Halla x e y para que las siguientes matrices sean iguales: 2 x 2 7 ò x = 7, y = 3 3 5 y 5 Tipos de matrices según su forma Matriz fila: es una matriz que solo tiene una fila. Matriz columna: es una matriz que solo tiene una columna. Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas, n Ò n; se dice que es de orden n Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos a ii. Va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Ejemplo A 1 Ò 3 = 3, 5, 7 4 A 3 Ò 1 = 6 8 3 2 A 2 Ò 2 = 5 7 Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que 2 7 5 los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, es decir, a ij A 3 Ò 3 = 7 1 4 = a ji Matriz antisimétrica o hemisimétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos, es decir, a ij = a ji Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros. A 3 Ò 3 = 1 3 5 8 6 0 2 3 9 5 4 9 0 5 6 A 3 Ò 3 = 5 0 3 6 3 0 36
Tema 2. Matrices 1.2. Matriz traspuesta de una matriz La matriz traspuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Se representa por A t 2 Tipos de matrices según sus elementos Matriz nula: es una matriz en la que todos sus elementos son cero. Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. 1 4 1 2 3 A 2 Ò 3 = ò A t 3 Ò 2 = 2 5 4 5 6 3 6 Aplica la teoría Ejemplo 0 0 0 2 Ò 3 0 0 0 3 0 0 A 3 Ò 3 = 0 5 0 0 0 8 3 0 A 2 Ò 2 = 0 3 Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar en 1 0 la que todos los elementos de la diagonal principal A 2 Ò 2 = son 1. Se representa por I n Ò n 0 1 Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada 3 7 8 en la que todos los elementos que están debajo de la A 3 Ò 3 = 0 2 4 diagonal principal son nulos. 0 0 5 Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están encima de la diagonal principal son nulos. 3 0 0 A 3 Ò 3 = 2 5 0 7 8 9 1. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 4 2. Escribe una matriz columna de dimensión 2 Ò 1 3. Escribe una matriz cuadrada de orden 3, y marca la diagonal principal. 4. Completa la siguiente matriz para que sea simétrica: 1 2 3 4 5 0 5. Halla el valor de a, b, c, d, e y f para que la siguiente matriz sea antisimétrica o hemisimétrica: a b c 5 d e 0 7 f 6. Escribe una matriz nula de dimensión 2 Ò 3 7. Escribe una matriz diagonal de orden 2 8. Escribe una matriz escalar de orden 3 en la que el elemento a 22 = 6 9. Escribe una matriz unidad de orden 3 10. Escribe una matriz triangular superior de orden 2 y su traspuesta. Cómo es la traspuesta? 11. Escribe una matriz triangular inferior de orden 3 y su traspuesta. Cómo es la traspuesta? 12. Dado el sistema lineal: 2x + 3y + z = 5 4x 7y z = 9 a escribe la matriz C de los coeficientes de las incógnitas. De qué dimensión es? b escribe una matriz columna X con las incógnitas. De qué dimensión es? c escribe una matriz columna B con los términos independientes. De qué dimensión es? 37
Álgebra 2. Operaciones con matrices Piensa y calcula 5 3 Halla mentalmente el producto escalar de los siguientes vectores: a 3, 4 ; b 2, 3 6 2 Propiedades de la suma de matrices a Asociativa: A + B + C = A + B + C b Conmutativa: A + B = B + A c Matriz nula: O A + O = O + A d Matriz opuesta: es la matriz que se obtiene al cambiar todos los elementos de signo. Verifica: A + O Ejemplo 2 3 6 0 4 5 2 3 5 6 0 4 Evitar errores Para que se pueda multiplicar una matriz fila por una matriz columna han de tener el mismo número de elementos. Evitar errores Para que se puedan multiplicar dos matrices tiene que coincidir el número de columnas de la 1ª con el de filas de la 2ª 2.1. Suma de matrices Para sumar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se suman elemento a elemento. 3 4 7 6 2 3 1 6 4 5 + = 5 0 3 5 3 4 0 3 7 2.2. Resta de matrices Para restar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se restan elemento a elemento. 4 6 4 5 2 3 1 4 7 6 = 0 3 7 5 3 4 5 0 3 2.3. Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de la matriz. 5 3 2 4 15 10 20 5 = 7 0 1 35 0 5 2.4. Producto de matrices Producto de una matriz fila por una matriz columna Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican elemento a elemento y se suman los productos obtenidos. Se obtiene un número. 6 Este cálculo debe hacerse mentalmente 4 1, 2, 3 5 = 1 4 + 2 5 + 3 6 = 4 + 10 + 18 = 32 6 Producto de dos matrices Para multiplicar dos matrices, se multiplica cada fila de la 1ª matriz por cada columna de la 2ª. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la 1ª y tantas columnas como la 2ª A n Ò p B p Ò q = C n Ò q 38
Tema 2. Matrices 7 1 2 1 9 + 2 2 1 0 + 2 3 1 1 + 2 4 3 4 9 0 1 3 9 + 4 2 3 0 + 4 3 3 1 + 4 4 = = 5 6 2 3 4 5 9 + 6 2 5 0 + 6 3 5 1 + 6 4 7 8 7 9 + 8 2 7 0 + 8 3 7 1 + 8 4 En la práctica los productos y sumas indicados en la matriz del centro no se hacen y se escriben directamente los resultados de la última matriz. 2.5. No conmutatividad Este cálculo debe hacerse mentalmente 13 6 9 35 12 19 57 18 29 79 24 39 En general, el producto de matrices no es conmutativo. A B? B A Propiedades del producto de matrices a Asociativa: A B C = A B C c Matriz unidad: I A I = I A Propiedad distributiva A B + C = A B + A C 8 1 3 2 4 20 28 2 4 1 3 22 34 = = 5 7 6 8 52 76 6 8 5 7 46 74 Al no ser conmutativo el producto de matrices, tampoco serán ciertos los productos notables: A + B 2 no tiene por qué ser igual a A 2 + 2AB + B 2 A B 2 no tiene por qué ser igual a A 2 2AB + B 2 A + BA B no tiene por qué ser igual a A 2 B 2 2.6. Producto no simplificable En general, el producto de matrices no es simplificable. De A B = A C no se sigue que B = C 9 1 2 4 8 10 12 1 2 4 2 10 12 = = 2 4 3 2 20 24 2 4 7 5 20 24 2.7. Potencia de matrices Para que se pueda calcular la potencia de una matriz tiene que ser cuadrada. Se define la potencia de matrices como un producto en el que los factores son iguales. A n = A A n A 10 Propiedades de la traspuesta a A t t = A b A + B t = A t + B t c A B t = B t A t Evitar errores Hay una cierta tendencia a creer que todas las propiedades que se verifican en los números reales se verifican siempre. Esto es falso con las matrices. Ejemplo El producto no siempre es conmutativo. Si dos matrices están multiplicando, no siempre se pueden simplificar. Existen matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula. 1 2 2 1 2 1 2 7 10 = = 3 4 3 4 3 4 15 22 Aplica la teoría 1 3 7 8 13. Dadas las matrices: y B = 4 5 calcula: 4 0 a A + B b A B c 5A d 2A 3B 4 3 2 1 0 14. Sean las matrices: y B = 2 1 5 3 4 0 5 Calcula, de los siguientes productos, los que sean posibles, y de los que no sean posibles, razona por qué no se pueden multiplicar: a A B b B A 15. Dadas las matrices: 2 3 0 8 y B = 5 1 4 7 calcula A B y B A. Del resultado obtenido, qué propiedad muy elemental se ha probado que no se verifica? 16. Dada la matriz: calcula A 2 y A 3 1 2 0 3 39
Álgebra 3. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas Piensa y calcula Una empresa de electrodomésticos tiene tres fábricas: una en Madrid, otra en Málaga y otra en Vigo. La producción semanal viene dada por la siguiente matriz: Madrid Málaga Vigo Frigoríficos 150 140 130 Lavadoras 175 155 125 Lavaplatos 160 140 100 a Interpreta el elemento a 12 de la matriz A b Interpreta el elemento a 21 de la matriz A c Interpreta el elemento a 33 de la matriz A Modelización matemática 1. Identificar un problema real Una fábrica necesita decidir sobre los presupuestos de distintas empresas para distribuir sus productos. 2. Identificar factores importantes y representar estos factores en términos matemáticos La información de productos y costes se representa en matrices. 3. Usar técnicas matemáticas para obtener resultados Con la multiplicación de dos matrices obtenemos los resultados del coste de cada empresa por llevar cada producto a los distintos países. 4. Interpretar y evaluar los resultados matemáticos y ver cómo afectan al mundo real Los resultados matemáticos nos permiten tomar decisiones. 3.1. Organización de datos en matrices Una de las aplicaciones más importantes de las matrices es su aplicación a la resolución de problemas algebraicos cuando hay muchos datos y éstos se pueden organizar en tablas de doble entrada, que son matrices. 11 Una fábrica distribuye sus productos alimenticios A, B y C a cuatro países P, Q, R y S, según se describe en la matriz M cantidades de toneladas. Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas E y F para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz N en euros por tonelada. M = P Q R S A B C 200 100 120 110 130 200 220 200 100 150 160 150 y N = P Q R S E 500 450 375 350 F 510 400 400 350 Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a Qué representa el elemento a 11 de la matriz producto? b Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa F? c Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decidir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países. Solución 200 100 120 500 450 375 350 110 130 200 = 284 500 239 500 240 000 510 400 400 350 220 200 100 286 500 239 000 233 700 150 160 150 a El elemento a 11 de la matriz producto representa lo que cobra la empresa E por distribuir el producto A a todos los países. b El elemento a 23 c El elemento a 22, que es más barato que a 12 40
Tema 2. Matrices 3.2. Representación matricial de un sistema Las matrices son una buena herramienta para resolver algebraicamente problemas en los que intervienen muchos datos. Estos problemas pueden ser directos y se resuelven aplicando las operaciones con matrices; o inversos: se conocen los resultados finales, pero no los valores intermedios. En estos casos la operación entre matrices se transforma en un sistema de ecuaciones lineales. 12 En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos y aceros especiales. Estos productos requieren, por cada unidad de producto fabricado, chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades en kilogramos que se indican en la tabla de la derecha: a Si durante el próximo mes se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de acero en rollo y 3 unidades de aceros especiales, obtén la matriz que indica las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. Láminas Chatarra 8 Carbón 6 Aleaciones 2 Rollos 6 6 1 Especiales 6 4 3 b Si se dispone de 34 kg de chatarra, 28 kg de carbón y 9 kg de aleaciones, cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales? Solución a 8 6 6 6 8 6 6 6 90 y B = ò A B = = 6 6 4 4 6 6 4 4 72 2 1 3 3 2 1 3 3 25 Se necesitan 90 kg de chatarra, 72 kg de carbón y 25 kg de aleaciones. b 8 6 6 x 34 = ò 6 6 4 2 1 3 y z 28 9 8x + 6y + 6z = 34 6x + 6y + 4z = 28 2x + y + 3z = 9 Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 2, y = 2, z = 1 x = 2 unidades de acero en láminas. y = 2 unidades de acero en rollo. z = 1 unidad de aceros especiales. Aplica la teoría 17. Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 2000 al 2003 viene reflejada en la matriz B, expresada en céntimos de euro. 450 800 650 500 810 620 F 1 F 2 F 3 2000 2001 2002 2003 85 90 90 95 B = 28 30 30 35 pan agua leche pan agua leche 200 500 600 70 72 75 80 a Halla, si es posible, A B y B A e indica qué información proporciona el producto matricial. b Qué información nos da el elemento c 34 de la matriz producto? 18. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por la matriz: L T M C 8 13 6 6 6 12 7 8 P Q R 7 14 6 7 El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita: a Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento. b Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento. c Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento. El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. Qué proveedor es el más económico para cada obra? 41
Ejercicios y problemas Ejercicios y problemas resueltos Multiplicación de matrices 13. Dadas las matrices: 1 0 3 2 1 0 1 0 1 2 0 1 B = 3 2 0 1 0 1 calcula A B La matriz A es 3 Ò 3 y la matriz B es 3 Ò 3 El producto es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda; por tanto, es 3 Ò 3 1 0 3 2 0 1 5 0 2 A B = 2 1 0 3 2 0 = 7 2 2 1 0 1 1 0 1 3 0 0 Operaciones con matrices 14. Sea la matiz: 5 4 2 2 1 1 4 4 1 a Prueba que: A 2 2A + I = 0 donde I es la matriz identidad y O es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. b Calcula A 3 a Se calcula primero A 2 y 2A 5 4 2 5 4 2 9 8 4 A 2 = A 2 1 1 2 1 1 = 4 3 2 4 4 1 4 4 1 8 8 3 5 4 2 10 8 4 2 2 2 1 1 = 4 2 2 4 4 1 8 8 2 9 8 4 10 8 4 1 0 0 A 2 2A + I = 4 3 2 4 2 2 + 0 1 0 = 8 8 3 8 8 2 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b A 2 se ha calculado en el apartado a 9 8 4 5 4 2 13 12 6 A 3 = A 2 4 3 2 2 1 1 = 6 5 3 8 8 3 4 4 1 12 12 5 42
Ejercicios y problemas Ejercicios y problemas Preguntas tipo test PAU Contesta en tu cuaderno: 1 2 3 En una matriz hemisimétrica o antisimétrica, los elementos de la diagonal principal: son todos unos. pueden ser cualesquiera. son unos cero y otros uno. son todos cero. Para poder multiplicar dos matrices: la primera ha de tener tantas filas como columnas la segunda. la primera ha de tener tantas columnas como filas la segunda. tienen que ser cuadradas. Dos matrices se pueden multiplicar siempre. Sean A y B matrices tales que se pueda multiplicar A B y B A Unas veces A B = B A y otras A B? B A Siempre A B = B A Siempre A B? B A No es cierta ninguna de las anteriores. 7 8 Calcula el producto: 2 1 5 3 2 6 5 15 17 11 1 3 Calcula el producto A B, siendo: x 1 1, B = x m y x y x m x y x my x 2 my + 1 x xy x my 2 5 4 5 6 Sean A, B y C matrices tales que A B = A C Siempre B = C Unas veces B = C, y otras, B? C Nunca B = C No es cierta ninguna de las anteriores. Sean A y B las matrices siguientes: 2 3 9 12, B = 4 6 6 8 Calcula A B 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 Calcula el producto: 2 1 3 5 1 2 1 0 3 5 0 1 17 11 9 10 Calcula el producto D E, siendo: 3x D =, E = 1 4 4x 3x 16x 3x 12x 4x 16x 3x 16x 19x Calcula el producto E D, siendo: 3x D =, E = 1 4 4x 3x 12x 4x 16x 3x 16x 3x 16x 19x Tema 2. Matrices 43
Ejercicios y problemas Ejercicios y problemas propuestos 1. Tipos de matrices 19. Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 3 20. Escribe una matriz columna de dimensión 3 Ò 1 21. Escribe una matriz cuadrada de orden 2 y marca la diagonal principal. 22. Halla el valor de a, b, c para que la siguiente matriz sea simétrica: 3 a b 2 7 c 0 1 4 23. Completa la siguiente matriz para que sea antisimétrica o hemisimétrica: 5 1 0 24. Escribe una matriz nula de dimensión 3 Ò 2 25. Escribe una matriz diagonal de orden 3 26. Escribe una matriz escalar de orden 2 en la que el elemento a 11 = 5 27. Escribe una matriz unidad de orden 4 28. Escribe una matriz triangular superior de orden 3 y su traspuesta. Cómo es la traspuesta? 29. Escribe una matriz triangular inferior de orden 2 y su traspuesta. Cómo es la traspuesta? 30. Dado el sistema lineal: 3x + 2y 5z = 4 7y + 6z = 8 z = 9 a escribe la matriz C de los coeficientes de las incógnitas. De qué dimensión es?, de qué tipo es? b escribe una matriz columna X con las incógnitas. De qué dimensión es? c escribe una matriz columna B con los términos independientes. De qué dimensión es? 32. Sea la matriz: Halla la matriz opuesta A y comprueba que A + A es la matriz nula de dimensión 2 Ò 2 33. Sean las matrices: 2 1 5 2 1 3 1 y B = 6 0 4 0 5 Calcula, de los siguientes productos, los que sean posibles, y respecto a los que no sean posibles, razona por qué no se pueden multiplicar: a A B b B A 34. Dadas las siguientes matrices: 4 5 7 4 2 1, B = y C = 6 7 3 8 6 3 calcula A C y B C. Del resultado obtenido, qué propiedad muy elemental se ha probado que no se verifica? 35. Dada la matriz: calcula A 2 5 1 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 3. Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas 36. En un centro escolar, el 80% de los alumnos de 4º de ESO pasan a Bachillerato, el 70% de los alumnos de 1º de Bachillerato pasa a 2º, el 65% de los alumnos de 2º aprueban el curso. Repiten curso el 20% de los alumnos de 1º y el 30% de los alumnos de 2º. En este centro no se admiten alumnos nuevos para Bachillerato y todos los que aprueban el curso pasan al curso siguiente. 2. Operaciones con matrices 31. Dadas las siguientes matrices: 2 3 6 0 0 1 y B = 1 4 1 5 2 3 calcula: a A + B b A B c 3A d 5A + 2B 44
Ejercicios y problemas a Escribe la matriz de dimensión 3 Ò 3 que muestra la evolución entre cursos. b En un cierto curso había 150 alumnos en 4º de ESO, 110 alumnos en 1º de Bachillerato y 100 alumnos en 2º de bachillerato. Cuál será la distribución de alumnos en el curso siguiente? El porcentaje de tornillos defectuosos del tipo A es de un 5%, del tipo B es de un 4% y del tipo C es de un 2%. Calcula el número de tornillos planos y de estrella que no sean defectuosos. 37. Un industrial produce dos tipos de tornillos: planos P y de estrella E. De cada tipo hace tres modelos:a, B y C. La siguiente matriz da la producción semanal de tornillos: A B C P 2 000 2 500 3 000 E 2 500 3 500 4 000 Para ampliar 38. Sean las matrices: 2 3 5 y B = Calcula, de los siguientes productos, los que sean posibles, y respecto de los que no sean posibles, razona por qué no se pueden multiplicar: a A B b B A Comprueba que: A B t = B t A t 4 1 7 39. Sean las matrices: 6 0 1 2 3 y B = 7 2 0 4 5 5 1 42. Una empresa produce tres tipos de artículos,a, B y C. Los precios de coste por unidad son 30, 46 y 75, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 50, 80 y 150, respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2 000, 1 500 y 800, respectivamente. Halla: a la matriz fila de costes por unidad. b la matriz fila de ventas por unidad. c la matriz fila de beneficios por unidad. d la matriz columna de unidades vendidas. e el beneficio obtenido. 40. Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas esto es, de dimensión 3 Ò 4 y C una matriz 2 Ò 3. Cuántas filas y columnas tiene B sabiendo que existe la matriz A B C?, qué dimensión tiene A B C? 41. Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su traspuesta da una matriz de dimensión 1 Ò 1 y el producto de la traspuesta de D por D es 3 Ò 3. Cuántas filas y columnas tiene D? Tema 2. Matrices 45
Ejercicios y problemas Ejercicios y problemas propuestos 43. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno. a Construye la matriz correspondiente a las ventas de enero. b Construye la matriz correspondiente a las ventas de febrero. c Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero. d Si los precios de los artículos son 100, 80 y 90, respectivamente, calcula lo que factura la fábrica por sus pedidos en los meses de enero y febrero. Problemas 44. Sea la matriz: 2 1 3 2 Calcula la matriz A 2I 2 45. Considera la matriz: 0 1 0 1 0 1 Calcula A t A y AA t, donde A t denota la matriz traspuesta de A 46. Sean las matrices: 1 0 2 0 1 y B = 1 2 0 1 0 0 1 Comprueba que A B t = B t A t t indica traspuesta 47. Dada la matriz: 0 1 1 1 0 1 1 1 0 y sea I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3, comprueba que: A 2 A 2I = O 48. En un centro se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen asignado semanalmente un número de horas de clase, tutorías y guardias que deben cubrir de acuerdo con la siguiente matriz: clase guardias tutorías 1º 20 5 3 M = 2º 18 6 5 3º 22 1 2 El centro paga cada hora de clase a 12, cada hora de guardia a 3 y cada hora de tutoría a 6, según el vector: 12 C = 3 6 El centro dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero, representados por el vector: P = 5 4 6 Calcula cada uno de los siguientes productos de matrices e interpreta los resultados. a PM b MC c PMC 49. Dadas las matrices: 2 0 0 1 0 0 1 2 1 e I 3 = 0 1 0 0 0 2 0 0 1 calcula: A 2 4A + 4I 3 46
Ejercicios y problemas 50. Dada la matriz: 3 1 0 2 calcula 3AA t 2I, siendo I la matriz unidad de orden 2 51. Una fábrica produce dos modelos de acumuladores de calor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y especial. del modelo G, produce 500 unidades normales, 300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P, produce 400 unidades normales, 200 unidades de lujo y 100 especiales. La terminación normal necesita 20 horas de fabricación de piezas y 1,5 horas de montaje. La terminación de lujo necesita 25 horas de fabricación y 2 horas de montaje, y la terminación especial necesita 30 horas de fabricación y 2,5 horas de montaje. a Representa en dos matrices la información dada. b Escribe una matriz que exprese las horas de fabricación y de montaje empleadas para cada uno de los modelos. c Si cada hora de fabricación se paga a 15 y cada hora de montaje a 18, escribe una matriz que exprese el coste total de los acumuladores G y P Para profundizar 53. Sea la matriz: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Calcula la matriz B tal que A + B = AA T 54. Considera la matriz: a Siendo I la matriz identidad 3 Ò 3 y O la matriz nula 3 Ò 3, prueba que A 3 + I = O b Calcula A 10 0 3 4 1 4 5 1 3 4 52. Una fábrica de muebles hace mesas M, sillas S, y armarios A, y cada uno de ellos en tres modelos: económico E, normal N y lujo L. Cada mes produce de mesas, 50 E, 40 N y 30 L; de sillas, 200 E, 150 N y 100 L; de armarios, 40 E, 30 N y 20 L. a Representa esta información en una matriz. b Calcula la matriz que da la producción de un año. 55. Dada la matriz: 0 0 1 0 a 0 1 0 2 halla el valor de a para que se cumpla la igualdad: A 2 + 2A + I = O siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3 Tema 2. Matrices 47
Tema 2. Matrices Paso a paso 56. Dadas las siguientes matrices: 4 7 6 2 3 1 y B = 5 0 3 5 3 4 halla: A + B; A B; 2A 3B; A B t Solución: Solución: Para escribir las potencias, en Potencia. elige a Escribe. Para introducir la matriz, en elige Matriz y se escribe el número de filas y columnas. b Escribe los elementos de la matriz. c Introduce, de igual forma, la matriz B d Escribe las operaciones A + B, A B, 2A 3B y A B T ; para escribir la traspuesta, en elige Transponer. 58. Sea la matriz: a Prueba que: 5 4 2 2 1 1 4 4 1 A 2 2A + I = 0 donde I es la matriz identidad y O es una matriz con todos los elementos iguales a cero. b Calcula A 3 57. Dada la matriz: calcula A 2 y A 3 4 3 3 5 4 4 1 1 0 59. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 48
Linux/Windows Así funciona Introducción de matrices Para introducir una matriz, en se elige Matriz. En la ventana Matriz, se escribe en Filas el número de filas de la matriz, y en Columnas, el número de columnas, y se hace clic en el botón Aceptar. Matriz identidad: en se elige Matriz identidad; en el subíndice hay que escribir la dimensión. Operaciones con matrices Sumar: A + B Restar: A B Multiplicar un número por una matriz: 2A Multiplicar dos matrices: A B Matriz traspuesta: en se elige Transponer. Potencia de una matriz: en se elige Potencia. Practica 60. Calcula A B, siendo: 1 2 3 4 9 0 1 B = 5 6 2 3 4 7 8 61. Dadas las matrices: 1 3 2 4 B = 5 7 6 8 calcula A B, B A y comprueba que el producto de matrices no es conmutativo. 62. Dadas las matrices: 1 2 4 8 4 2 B = C = 2 4 3 2 7 5 comprueba que A B = A C y, sin embargo, B? C 63. Dadas las matrices: 2 3 9 12 B = 4 6 6 8 comprueba que A B = O 2 Ò 2 y, sin embargo, A? O 2 Ò 2 y B? O 2 Ò 2 64. Calcula A 2, A 3 y A 4, siendo: 1 0 0 1 1 0 1 0 1 65. Dadas las siguientes matrices: 1 3 7 8 B = 4 5 4 0 calcula: a A + B b A B c 2A 3B d A t B 66. Dada la matriz: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 calcula: A 2, A 3 y A 4 67. Dadas las matrices: 2 0 0 1 0 0 1 2 1 B = 0 1 0 0 0 2 0 0 1 calcula: A 2 4A + 4I 68. Dada la matriz: 1 1 0 1 1 0 0 0 1 calcula A 2 y A 3 Tema 2. Matrices 49
Tema 2. Matrices Paso a paso 56. Dadas las siguientes matrices: 4 7 6 2 3 1 y B = 5 0 3 5 3 4 halla: A + B; A B; 2A 3B; A B t Solución: a En la barra de herramientas elige Introducir Matriz; escribe en filas 2 y en columnas 3 b Introduce los elementos de la matriz A. Para pasar de una celda a la siguiente pulsa la tecla [Tab] c Asigna a la letra A el contenido de la matriz. Para ello, estando seleccionada la matriz en la ventana Álgebra, escribe en la Entrada de Expresiones A := entre los dos puntos y el signo igual no puede haber espacio y pulsa la tecla [F3] para que copie a continuación la matriz. d Elige Introducir Expresión. e De igual forma, introduce la matriz B y asígnale a la letra B su contenido. f En la Entrada de Expresiones escribe A + B y elige Introducir y Simplificar. 6 4 5 0 3 7 g En la Entrada de Expresiones escribe A B y halla el resultado. 2 10 7 10 3 1 h En la Entrada de Expresiones escribe 2A 3B y halla el resultado. 2 23 15 25 9 6 i En la Entrada de Expresiones escribe AB` el símbolo de traspuesta es el acento grave francés `; está en la barra de símbolos y halla el resultado. 19 17 7 13 57. Dada la matriz: 4 3 3 5 4 4 1 1 0 calcula A 2 y A 3 Solución: a Introduce la matriz y asigna a la letra A su contenido. b En la Entrada de Expresiones escribe A^2 y elige Introducir y Simplificar. 4 3 0 4 3 1 1 1 1 c En la Entrada de Expresiones escribe A^3 y halla el resultado. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 58. Sea la matriz: 5 4 2 2 1 1 4 4 1 a Prueba que: A 2 2A + I = 0 donde I es la matriz identidad y O es una matriz con todos los elementos iguales a cero. b Calcula A 3 Solución: a Introduce la matriz y asigna a la letra A su contenido. b Introduce la matriz unidad 3 Ò 3 y asigna a la letra I su contenido. c En la Entrada de Expresiones escribe: A^2 2A + I y elige Introducir y Simplificar. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 59. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 50
Windows Derive Así funciona Introducción de matrices Se elige en la barra de herramientas Introducir Matriz. Aparece la ventana Tamaño de la Matriz en el marco Dimensiones; se escribe en Filas el número de filas de la matriz, y en Columnas, el número de columnas, y se hace clic en el botón Sí. Aparece la ventana en la que se introducen los elementos, cada uno en la celda correspondiente. Para pasar a la celda siguiente se pulsa la tecla de tabulación [Tab], y para pasar a la celda anterior se pulsan las teclas [Shift] [Tab]. Cuando se termina, se hace clic en el botón Sí. Asignación Para asignar el contenido de una matriz a una letra, se utiliza el signo := entre los dos puntos y el signo igual no pede haber espacio en blanco. La tecla [F3] repite lo que esté seleccionado en la ventana Álgebra en la barra de Entrada de Expresiones, y la tecla [F4] hace lo mismo pero lo copia entre paréntesis. Operaciones con matrices Sumar: A + B Restar: A B Multiplicar un número por una matriz: 2A Multiplicar dos matrices: A B Matriz traspuesta: A`; se utiliza el acento grave francés. Se puede obtener en el teclado o en la Barra de Símbolos Practica 60. Calcula A B, siendo: 1 2 3 4 9 0 1 B = 5 6 2 3 4 7 8 61. Dadas las matrices: 1 3 2 4 B = 5 7 6 8 calcula A B, B A y comprueba que el producto de matrices no es conmutativo. 62. Dadas las matrices: 1 2 4 8 4 2 B = C = 2 4 3 2 6 8 comprueba que A B = A C y, sin embargo, B? C 63. Dadas las matrices: 2 3 9 12 B = 4 6 6 8 comprueba que A B = O 2 Ò 2 y, sin embargo, A? O 2 Ò 2 y B? O 2 Ò 2 1 0 0 64. Calcula A 2, A 3 y A 4, siendo: 1 1 0 1 0 1 65. Dadas las siguientes matrices: 1 3 7 8 B = 4 5 4 0 calcula: a A + B b A B c 2A 3B d A t B 66. Dada la matriz: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 calcula: A 2, A 3 y A 4 67. Dadas las matrices: 2 0 0 1 0 0 1 2 1 B = 0 1 0 0 0 2 0 0 1 calcula: A 2 4A + 4I 68. Dada la matriz: 1 1 0 1 1 0 0 0 1 calcula A 2 y A 3 51 Tema 2. Matrices