Contenido Prefacio... 8 Contenido... 10 Primera Parte: Historia del Cálculo... 22 Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas... 23 1.1 Thales y Pitágoras... 24 1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables... 28 1.3 Zenón y las paradojas... 35 1.4 Ejercicios... 38 Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua... 41 2.1 Eudoxo yarquímedes... 42 2.2 El método de Exhausción... 43 2.3 Ejercicios... 52 Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas... 55 3.1 De los romanos a la Escolástica.... 56 3.2 Los árabes y las matemáticas... 60 3.3 Técnicas, ideología y sociedad... 64 3.4 Ejercicios... 65 Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida... 67 4.1 Renacimiento y humanismo... 68 4.2 Navegación y ciencias matemáticas... 71 4.3 Un poco de matemáticas... 72 4.4 Ejercicios... 76 Capítulo 5: Revolución en la cosmología... 77 5.1 Copérnico: el heliocentrismo... 79 5.2 Kepler : la geometría celeste... 82 5.3 Galileo y la nueva cosmología... 85 5.4 Ejercicios... 92 Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia... 95 6.1 Galileo y la nueva ciencia... 97
6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes... 102 6.3 Las sociedades científicas... 107 6.4 Ejercicios... 109 Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII... 111 7.1 Los límites de la matemática antigua... 113 7.2 Cuatro problemas fundamentales... 115 7.3 Las matemáticas del siglo XVII... 118 7.4 Ejercicios... 120 Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes... 121 8.1 La geometría analítica... 122 8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos... 131 8.3 Ejercicios... 139 Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes... 141 9.1 Los métodos de Kepler... 142 9.2 Galileo y los conjuntos infinitos... 146 9.3 El área bajo una curva... 148 9.4 Ejercicios... 153 Capítulo 10 : Newton... 154 10.1 La obra científica de Newton... 156 10.2 El cálculo... 158 10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones... 165 10.4 Ejercicios... 168 Capítulo 11: Leibniz... 170 11.2 El cálculo de Leibniz... 172 11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz... 176 11.4 Ejercicios... 178 Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII... 180 12.1 La revolución industrial... 181 12.2 La química... 183 12.3 Ejercicios... 186 Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII... 188
13.1 El carácter de las matemáticas... 189 13.2 La época de Euler... 190 13.3 La Edad Heroica... 197 13.4 Ejercicios... 203 Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX... 205 14.1 La preocupación por el rigor... 206 14.2 Gauss y las geometrías... 210 14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna... 214 14.4 Ejercicios... 216 Capítulo 15: La aritmetización del análisis... 218 15.1 el rigor a través del límite... 220 15.2 Weierstrass... 224 15.3 La construcción de los números reales... 228 15.4 Un balance... 231 15.5 Ejercicios... 233 Capítulo 16: El análisis no standard y la naturaleza de las matemáticas... 235 16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general... 236 16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard... 237 16.3 Una síntesis final... 244 16.4 Ejercicios... 246 Segunda Parte: Ejercicios Resueltos... 248 Presentación... 249 Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada... 251 Capítulo 2: Límites... 259 Capítulo 3: Límites laterales y continuidad... 269 Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito... 276 Capítulo 5: La derivada... 284 Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo... 298 Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo... 306 Capítulo 8: Algunas aplicaciones... 312 Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción... 319
Capítulo 10: Definiciones y métodos formales... 325 Bibliografía general... 329 Indice de recuadros teóricos... 333 Indice analítico... 334
Prefacio
Contenido
Primera Parte: Historia del Cálculo
Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas
1.1 Thales y Pitágoras
1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables
1.3 Zenón y las paradojas
1.4 Ejercicios
Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua
2.1 Eudoxo yarquímedes
2.2 El método de Exhausción
2.3 Ejercicios
Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas
3.1 De los romanos a la Escolástica.
3.2 Los árabes y las matemáticas
3.3 Técnicas, ideología y sociedad
3.4 Ejercicios
Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida
4.1 Renacimiento y humanismo
4.2 Navegación y ciencias matemáticas
4.3 Un poco de matemáticas
4.4 Ejercicios
Capítulo 5: Revolución en la cosmología
5.1 Copérnico: el heliocentrismo
5.2 Kepler : la geometría celeste
5.3 Galileo y la nueva cosmología
5.4 Ejercicios
Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia
6.1 Galileo y la nueva ciencia
6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes
6.3 Las sociedades científicas
6.4 Ejercicios
Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII
7.1 Los límites de la matemática antigua
7.2 Cuatro problemas fundamentales
7.3 Las matemáticas del siglo XVII
7.4 Ejercicios
Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes
8.1 La geometría analítica
8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos
8.3 Ejercicios
Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes
9.1 Los métodos de Kepler
9.2 Galileo y los conjuntos infinitos
9.3 El área bajo una curva
9.4 Ejercicios
Capítulo 10 : Newton
10.1 La obra científica de Newton
10.2 El cálculo
10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones
10.4 Ejercicios
Capítulo 11: Leibniz
11.1 Una mente universal
11.2 El cálculo de Leibniz
11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz
11.4 Ejercicios
Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII
12.1 La revolución industrial
12.2 La química
12.3 Ejercicios
Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII
13.1 El carácter de las matemáticas
13.2 La época de Euler
13.3 La Edad Heroica
13.4 Ejercicios
Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX
14.1 La preocupación por el rigor
14.2 Gauss y las geometrías
14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna
14.4 Ejercicios
Capítulo 15: La aritmetización del análisis
15.1 el rigor a través del límite
15.2 Weierstrass
15.3 La construcción de los números reales
15.4 Un balance
15.5 Ejercicios
Capítulo 16: El análisis no standard y la naturaleza de las matemáticas
16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general
16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard
16.3 Una síntesis final
16.4 Ejercicios
Segunda Parte: Ejercicios Resueltos
Presentación
Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada
Capítulo 2: Límites
Capítulo 3: Límites laterales y continuidad
Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito
Capítulo 5: La derivada
Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo
Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo
Capítulo 8: Algunas aplicaciones
Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción
Capítulo 10: Definiciones y métodos formales
Bibliografía general
Indice de recuadros teóricos
Indice analítico