UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN

UNIDAD III CONTENIDO TEMÁTICO FACTORIZACIÓN I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez

ESQUEMA--RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD III Concepto de Factorización. Máximo común divisor Casos de factorización Factorización de polinomios con factor común Factorización de polinomios por agrupación de términos FACTORIZACIÓN Factorización de Trinomios de la forma x² + bx + c Factorización de trinomios de la forma ax² + b x + c Factorización de una diferencia de cuadrados Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización de una suma y diferencia de cubos 2

3.1 CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b). La factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra. En concreto, en álgebra la factorización es el proceso inverso al de los productos notables, consistente en indicar en factores a una expresión polinomio. 3

3.2 CASOS DE FACTORIZACIÓN Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, que han sido agrupados como casos y que podemos distinguir de acuerdo a la siguiente clasificación. Binomios 1. Diferencia de cuadrados 2. Suma o diferencia de cubos 3. Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios 1. Trinomio cuadrado perfecto 2. Trinomio de la forma x²+bx+c 3. Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios 1. Factor común A manera de resumen general de los casos puedes descargar e imprimir el archivo que lleva por nombre Casos de Factorización.pdf. Revísalo detenidamente y tenlo siempre a la mano pues resultará una guía o referencia rápida para consultar los métodos concretos de desarrollo para los casos de factorización más comunes. 4

3.3 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es el término o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas. Regla para obtener el MCD: 1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes. 2. Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en común y se multiplican por el máximo común divisor de los coeficientes. Ejemplo 1: Encontrar el máximo común divisor de: 15x 2 y 2 z, 24xy 2 z, 36y 4 z 2 Se obtiene el MCD de 15, 24, y 36 (recuerda, el MCD es, para estos coeficientes, el número que divide exactamente a todos y cada uno de ellos) MCD Coeficientes: 15 24 36 3 Al dividirlos entre el 5 3 12 MCD obtenemos: Entonces, el MCD = 3 Luego, se toman los factores que tengan en común y se escogen los de menor exponente, en esta caso: y 2, z, Finalmente, el máximo común divisor será: 3y 2 z 5

Ejemplo 2: Obtener el MCD de los siguientes polinomios: 4m 2 + 8m 12, 2m 2 6m + 4, 6m 2 + 18m 24; Se factorizan los polinomios: 4m 2 + 8m 12 = 4 (m 2 + 8m 3) = 4(m+3)(m 1) 2m 2 6m + 4 = 2(m 2 3m + 2) = 2(m 2)(m 1) 6m 2 +18m 24 = 6(m 2 + 3m 4) = 6(m+4)(m 1) Se obtiene el MCD de 4, 2, y 6 MCD Coeficientes: 4 2 6 2 Al dividirlos entre el MCD obtenemos: 2 1 3 El MCD de los coeficientes 2, 4 y 6 es 2. El MCD de los factores es m 1 Por tanto el MCD (máximo común divisor) será: 2 (m 1) Ahora, continuaremos viendo un par de ejemplos que muestran igualmente cómo el MCD se emplea en la factorización de polinomios. Ejemplo 3: Factorizar: 2x 3 y 6x 2 y 2 + 8xy 3 El factor común de los coeficientes 2, -6 y 8 es su MCD: 2 6 8 2 Así, el MCD de (2 6 8) = 2 1 3 4 6

También el factor común de las bases literales es su MCD: x 3 y x 2 y 2 xy 3 x Así el MCD de (x 3 y x 2 y 2 xy 3 ) = x y = xy x 2 y x y 2 y 3 y x 2 x y y 2 Entonces, el MCD de (2x 3 y 6x 2 + 8xy 3 ) = 2 xy = 2xy Y factorizando: 2x 3 y 6x 2 y 2 + 8xy 3 obtenemos 2xy(x 2 3x 2 + 8xy 3 ) de donde decimos que 2xy es el factor común del polinomio, entonces para llegar al resultado factorizado dividimos el po2linomio inicial entre el factor común de la siguiente forma: 3 2x y 2xy 2 = x 2 2 3 6x y 8xy = 3xy = 4x 2 2xy Ejemplo 4: Factorizar: 12a 3 b 2 8ab 3 Obteniendo de forma directa el MCD de 12a 3 b 2 y de 8ab 3 12a 3 b 2 8ab 3 2 6a 3 b 2 4ab 3 2 Entonces el MCD de (12a 3 b 2 8ab 3 ) =2(2)(a)(b)(b) = 4ab 2 3a 3 b 2 2ab 3 a 3a 2 b 2 2b 3 b 3a 2 b 2b 2 b 3a 2 2b Así que 12a 3 b 2 8ab 3 = 4ab 2 (3a 2 2b) 2xy ya que 3 12a b 2 4ab 2 8ab 4ab 3 2 = 3a, = 2b 2 7

3.4 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CON FACTOR COMÚN Consideraremos a la factorización de polinomios con factor común como nuestro caso I de Factorización y también podríamos denominarlo en forma más breve como Factor Común y es el caso más simple que se presenta en la factorización y consiste en extraer un factor común en una expresión polinomio lo cual es posible por la propiedad distributiva que posemos expresar así: a(m + n) = am + an o bien: am + an = a(m + n) en la que a es el factor común de la expresión polinomio am + an. Por ejemplo, si tenemos ahora el polinomio a 2 m + a 2 n, evidentemente el factor común es a 2 y su factorización es a 2 (m + n). Dicho de otra forma: Los factores de la expresión a 2 m + a 2 n son a 2 y (m + n). Si ahora el polinomio es 2a 2 m + 2a 2 n, el factor común es 2a 2 y su factorización es 2a 2 (m + n), donde 2a 2 es el factor común. En lo general, en el factor común se dan un factor numérico y otro de carácter literal, aunque puede faltar alguno de ellos en algún caso especial. Sin embargo, el factor común siempre será el máximo común divisor (MCD) de los factores numéricos y literales del polinomio, cuando éste es factorizable. Así pues, sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. 8

3.5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Este es nuestro caso II de Factorización. Factor común por agrupación de términos. Este caso es derivado del anterior y consiste en hacer una doble extracción de factores comunes en los casos en que se presta a ello. Observa: Ejemplo 1 Sea el polinomio: 2am + 2an + bm + bn. Se observará que no existe un factor común para los cuatro términos del polinomio, pero se aprecia que los dos primeros contienen el factor 2a y los dos últimos términos contienen al factor b. Así que: 2am + 2an + bm + bn = 2a(m + n) + b(m + n) En la expresión que nos resultó se ve que el factor paréntesis (m + n) es factor común de 2a y de b. Entonces: 2am + 2an + bm + bn = 2a(m + n) + b(m + n)= (m + n)(2a + b) Esto es: 2am + 2an + bm + bn = (m + n) (2a + b) Factorización por agrupación de términos Ejemplo 2 Factorizar 3mn 2 x 12amn 2 + 2x 8a Extrayendo como factor común a 3mn 2 de los dos primeros términos del polinomio y al factor 2 para los dos últimos términos, tenemos: 3mn 2 x 12amn 2 + 2x 8a = 3mn 2 (x 4a) + 2(x 4a) = (x 4a) (3mn2 + 2) Factorización por agrupación de términos 9

Nota: Cuando alguna posible factorización de este tipo no sea muy visible, haz la conmutación (esto es, cambia de lugar) algunos de los términos del polinomio para ver si la factorización posible es más evidente. Ejemplo 3 Factorizar 2ax 15 + 10a 3x En una inspección visual del polinomio, se aprecia que los dos primeros términos no tienen factor común alguno. Lo mismo ocurre con los dos últimos términos. Sin embargo, si reordenamos los términos, por ejemplo así: 2ax + 10a 3x 15, Podemos escribir que: 2ax + 10a 3x 15 = 2a(x + 5) 3(x + 5) = (x + 5) (2a 3) Factorización por agrupación de términos Ejemplo 4 Factorizar 2y + 2j + 3xy + 3xj Agrupamos primero los términos de la siguiente manera:(2y + 2j) + (3xy + 3xj) Aplicamos luego el primer caso que ya estudiamos, el de Factor común: 2 (y + j) + 3x (y + j) Y finalmente obtenemos el resultado: = (2 + 3x) (y + j) Factorización por agrupación de términos Factor común polinomio En este particular tipo de factorización, que correspondería a una variante de la factorización por agrupación de términos, se da una expresión para la cual existe un término común polinomio (es decir, que tiene más de un término). Para factorizarla se expresa al polinomio como factor común y a los coeficientes de ellos como términos de otro factor. Primero hay que sacar el factor 10

común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se debe considerar aquí que el factor común no cuenta con un solo término, sino con dos o más. De ahí que reciba el nombre de factor común polinomio. Veamos un ejemplo: 5x 2 (x -y) + 3x(x -y) +7(x -y) Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x 2 + 3x + 7) Finalmente la respuesta será: (x -y) (5x 2 + 3x +7) En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a 2 (3a + b) + 3a + b Que se puede utilizar como: 5a 2 (3a + b) + 1(3a + b) Entonces la respuesta es: (3a +b) (5a 2 +1) Resumimos que en la factorización por agrupación de términos, el factor común puede ser pues un monomio o un polinomio: Agrupación de términos con factor común monomio Agrupación de términos con factor común polinomio 11

3.6 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA X 2 + BX + C A este tipo de factorización también se le denomina Factorización de un trinomio de segundo grado. Recordemos que el trinomio del producto de binomios con un término en común recibe el nombre de trinomio de segundo grado. Esto es: en (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab el trinomio x 2 + (a + b)x + ab es un trinomio de segundo grado, mismo que se puede expresar en la forma reducida x 2 + bx + c, si hacemos que (a + b) = b y ab = c. Así que la factorización de x 2 + (a + b)x + ab es (x + a)(x + b), ya que Si (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab esto implica que: x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) De tal forma que podríamos establecer la siguiente premisa: Factorización de Trinomios de la Forma x 2 + bx + c x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) y si hacemos que (a + b) = b y ab = c, entonces la expresión algebraica equivalente y válida sería la siguiente: x 2 + bx + c = (x + a) (x + b) En los factores (x + a) (x + b) del trinomio x 2 + (a + b)x + ab se aprecia que: El término común x es la raíz cuadrada del término cuadrático x 2 del trinomio dado. 12

a y b son términos distintos tales que la suma de ellos es coeficiente del término de primer grado x del trinomio y el producto de ellos es el término numérico del trinomio. Así, en x 2 + 8x + 12: 8x es el término que representa a (a+b)x y 12 es el término que representa a ab. Nota: En este particular caso de factorización, el de Trinomios de la Forma x 2 +bx+c, no pierdas de vista que el término cuadrático del trinomio siempre tiene coeficiente unitario, es decir, siempre es 1. Por lo anteriormente visto, la factorización de un trinomio de segundo grado está dada por el producto de dos factores que son binomios con un término en común, tales que: 1. El término común es la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio. 2. Los términos diferentes son aquellos cuya suma arroje como resultado el coeficiente del término de primer grado (o el que hace las veces de tal) y cuyo producto es el término numérico del trinomio dado (o el que hace las veces de tal). Ejemplo 1 Factorizar x 2 7x + 12 1. El término cuadrático es x 2. Su raíz cuadrada es x. 2. El coeficiente del término de primer grado (o su equivalente) es 7. 3. El término numérico (o su equivalente) es 12. Ahora bien, dos números que sumados den 7 y multiplicados den 12, son 4 y 3, ya que: ( 4) + ( 3) = 7 y ( 4)( 3) = 12 13

Entonces: x 2 7x + 12 = (x 4)(x 3) Factorización del trinomio de la forma x 2 +bx+c Ejemplo 2 Factorizar m 2 m 72 1. El término cuadrático es m 2. Su raíz cuadrada es m. 2. El término de primer grado (o su equivalente) es m. Su coeficiente es 1 3. El término numérico (o su equivalente) es 72. Ahora bien, dos números cuya suma es 1 y cuyo producto es 72 son 9 y +8, ya que: ( 9) + (+8) = 1 y ( 9)(+8) = 72 Entonces: m 2 m 72= (m 9)(m + 8) Factorización del trinomio de la forma x 2 +bx+c Nota: Cuando el cálculo de los factores que deben dar determinada suma sea complicado, recurre al siguiente procedimiento: 1. Descompón en dos factores de todas las formas posibles al factor numérico. 2. Los factores que sirven para la factorización son aquellos cuya suma de valores absolutos o diferencia de valores absolutos den el coeficiente del término de primer grado. 3. Los signos que debe llevar cada factor, en definitiva, se tantean de tal suerte que cumplen las dos condiciones numéricas de las que hemos hablado. (que sumados den el coeficiente del término de primer grado y que multiplicados den el término numérico. 14

3.7 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA AX 2 + BX + C Se llama trinomio general de segundo grado al trinomio que resulta de un producto de la forma: (ax + b) (cx + d). Esto es: (ax + b) (cx + d) = acx 2 + adx + bcx + bd = acx 2 + (ad + bc)x + bd Este trinomio acx 2 + (ad + bc)x + bd puede ser expresado en forma más simple si hacemos que ac = a, ad + bc = b y bd = c. Así que el polinomio queda expresado por: ax 2 + bx + c, que es un trinomio de segundo grado con coeficiente distinto de la unidad, en el término ax 2 (en este caso a). De manera similar a cómo hicimos en el tema anterior podríamos establecer la siguiente premisa: Factorización de Trinomios de la Forma ax 2 + bx + c acx 2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d) y si hacemos que ac = a, ad + bc = b y bd = c, entonces la expresión algebraica equivalente y válida sería la siguiente: ax 2 + bx + c = (ax + b) (cx + d) Ejemplo 1 Factorizar 2x 2 + 3x 2 1. Pensemos en dos números a y b tales que su suma sea igual al coeficiente del término de primer grado (o el que actúa como tal): a + b = 3. 15

2. Y tales que esos mismos números tuvieran por producto a la multiplicación del coeficiente del término cuadrático por el término numérico, esto es: ab = (2) ( 2) = 4 3. Los números que satisfacen estas dos condiciones señaladas son +4 y 1, ya que: (+4) + ( 1) = 3 y (+4)( 1) = 4 4. Descompongamos al término de primer grado (en este caso 3x) en la suma de dos términos en x tales que sus coeficientes sean los números que acabamos de obtener: 3x = 4x 1x. Así que el trinomio original se puede escribir: 2x 2 + 3x 2 = 2x 2 + 4x 1x 2 Factoricemos los dos primeros términos y los dos últimos términos extrayendo a cada par de términos su propio factor común: 2x 2 + 4x 1x 2 = 2x(x + 2) 1(x + 2) Observa bien que en este último paso = (x + 2) (2x 1) Factorización del empleamos la factorización por trinomio de la forma agrupación de términos. ax 2 +bx+c Ejemplo 2 Factorizar 5x 2 + 13x 6 a + b = 13 (dos números que sumados den 13) ab = 5( 6) = 30 (y multiplicados den 30) Así que son a = 15 y b = 2, ya que: (+15) + ( 2) = 13 y (+15)( 2) = 30 Entonces, 13x se puede escribir: 13x = 15x 2x Y el trinomio 5x 2 + 13x 6 se puede escribir: 5x 2 + 13x 6 = 5x 2 + 15x 2x 6 = = 5x(x + 3) 2(x + 3) = 16

=(x + 3) (5x 2) Factorización del trinomio de la forma ax 2 +bx+c 3.8 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Habíamos visto que (a + b) (a b) = a 2 b 2. Esto es, que el producto de binomios conjugados resulta ser una diferencia de cuadrados. Entonces se cumple que: a 2 b 2 = (a + b) (a b) Es decir, la factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de binomios conjugados, los cuales están formados por términos que son: El término común es la raíz cuadrada del minuendo a 2 Los términos simétricos son la raíz cuadrada del sustraendo b 2. Ejemplo 1 Factorizar 1 a 2 1 a 2 = (1) 2 (a) 2 = (1 + a) (1 a) Raíz cuadrada del minuendo (términos comunes) Raíz cuadrada del sustraendo (términos simétricos) 17

Ejemplo 1 Factorizar x 4 2 y 9 2 4 y 2 2 x = ( ) 9 2 2 y 3 2 y 2 y x = x + x 3 3 Raíz cuadrada del minuendo (términos comunes) Raíz cuadrada del sustraendo (términos simétricos) 18

3.9 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.) Recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto el trinomio que resulta del producto notable denominado cuadrado de un binomio. Así en (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, el trinomio a 2 + 2ab + b 2 es un trinomio cuadrado perfecto. En él se aprecia que está formado por dos términos, al menos, cuyo valor absoluto tiene raíz cuadrada exacta y, un tercer término que es, en valor absoluto, el doble de las raíces cuadradas mencionadas. Esto es, en a 2 + 2ab + b 2 : a 2 tiene raíz cuadrada exacta. b 2 tiene raíz cuadrada exacta. 2ab es el doble producto de estas dos raíces: 2(a)(b) = 2ab Entonces la factorización de a 2 + 2ab + b 2 es (a + b) (a + b) Esto quiere decir que los factores de a 2 + 2ab + b 2 son a + b y a + b, y que los términos a y b que los forman son las raíces cuadradas de los términos cuadráticos a 2 y b 2, respectivamente. Entonces, para factorizar un T.C.P. primero habrá que identificarlo como tal. Trinomios Cuadrados Perfectos (T.C.P.) Un trinomio cuadrado perfecto es igual a su binomio al cuadrado respectivo. a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al 19 cuadrado.

Ejemplo 1 Factorizar x 2 + 6x + 9 Vamos a identificar si el trinomio es T.C.P. x 2 + 6x + 9 Raíz cuadrada de 9 es 3 Doble producto de las raíces cuadradas: 2(3)(x) = 6x. Raíz cuadrada de x 2 es x. Como los tres términos quedaron identificados, el trinomio dado es T.C.P. Entonces, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 2 Factorización de un T.C.P. El signo (+) entre los términos x y 3 en el binomio es el del término que sirve de comparación (+ 6x) para 2ab en el trinomio dado. Ejemplo 2 Factorizar 4x 2 + 9y 2 12xy Identificando al trinomio: 4x 2 + 9y 2 12xy Doble producto de las raíces cuadradas: 2(3y)(2x) = 12xy, que coincide, en valor absoluto con el término ( 12xy) Raíz cuadrada de 9y 2 = 3y. Raíz cuadrada de 4x 2 = 2x. Entonces, 4x 2 + 9y 2 12xy = (2x 3y) (2x 3y) = (2x 3y) 2 Factorización del T.C.P. En resumen, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza mediante el cuadrado de un binomio cuyos términos son las raíces cuadradas de los términos cuadráticos del trinomio, separados, ambos términos, por el signo que corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos. 20

Ejemplos resueltos: 1. 2. 3. 4. Organizando los términos tenemos Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda: (2x 5) 2 21

3.10 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Factorización de una Suma de Cubos a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) Procedimiento de factorización 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término en la suma de cubos original.. 2) Se debe formar un producto de dos factores. Se determina el primero de los dos factores de que constará el resultado. Este 3) primer factor siempre es un binomio y para determinarlo se suman las raíces cúbicas de los términos de la suma de cubos. El segundo factor se determina aplicando siempre la siguiente regla: El cuadrado de la primera raíz cúbica obtenida del primer término en la suma de 4) cubos original, menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz cúbica obtenida del segundo término en la suma de cubos original. Ejemplo 1: Factorizar x 3 + 1 1. La raíz cúbica de : x 3 es x 2. La raíz cúbica de : 1 es 1 3. Según procedimiento x 3 + 1 = (x + 1)[(x) 2 - (x)(1) + (1) 2 ] Luego x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 x + 1) Factorización de la suma de cubos. Ejemplo 2: Factorizar 8x 3 + 64 22

1. La raíz cúbica de : 8x 3 es 2x 2. La raíz cúbica de : 64 es 4 3. Según procedimiento 8x 3 + 64 = (2x + 4)[(2x) 2 - (2x)(4) + (4) 2 ] Luego 8x 3 + 64 = (2x + 4)(4x 2-8x + 16) Factorización de la suma de cubos. Ejemplo 3: Factorizar 1000x 6 y 3 + 125z 12 w 15 1. La raíz cúbica de : 1000x 6 y 3 es 10x 2 y 2. La raíz cúbica de : 125z 12 w 15 es 5z 4 w 5 3. Según procedimiento 1000x 6 y 3 125z 12 w 15 = (10x 2 y + 5z 4 w 5 ) [(10x 2 y) 2 - (10x 2 y)(5z 4 w 5 ) + (5z 4 w 5 ) 2 ] Luego,1000x 6 y 3 + 125z 12 w 15 = (10x 2 y + 5z 4 w 5 )(100x 4 y 2-50x 2 yz 4 w 5 + 25z 8 w 10 ) Factorización de una Diferencia de Cubos a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Procedimiento de factorización 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la diferencia de cubos original. 2) Se debe formar un producto de dos factores. Se determina el primero de los dos factores de que constará el resultado. Este 3) primer factor siempre es un binomio y para determinarlo se restan las raíces cúbicas de los términos de la suma de cubos. El segundo factor se determina aplicando siempre la siguiente regla: El cuadrado de la primera raíz cúbica obtenida del primer término en la suma de 4) cubos original, más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz cúbica obtenida del segundo término en la suma de cubos original. 23

Ejemplo 1: Factorizar y 3-27 1. La raíz cúbica de : y 3 es y 2. La raíz cúbica de : 27 es 3 3. Según procedimiento y 3-27 = (y - 3)[(y) 2 + (y)(3) + (3) 2 ] Luego y 3-27 = (y - 3)(y 2 + 3y + 9) Ejemplo 2: Factorizar 125x 3-1000 1. La raíz cúbica de : 125x 3 es 5x 2. La raíz cúbica de : 1000 es 10 3. Según procedimiento 125x 3-1000 = (5x - 10)[(5x) 2 + (5x)(10) + (10) 2 ] Luego 125x 3-1000 = (5x - 10)(25x 2 + 50x + 100) 24

REFERENCIAS Aula Virtual de Matemática. (Última actualización 2010) Consultado en Enero 10, 2010 en http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos.htm Fundación Wikimedia (2001) Wikipedia. La Enciclopedia Libre Consultado en Julio 28, 2009 en http://es.wikipedia.org/wiki/factorizaci%c3%b3n_de_enteros Fernández, J.C. (2008) Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos gratuitos para todos sus usuarios. Consultado en Mayo 23, 2009 en http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html# Matemáticas I para bachillerato: enfoque por competencias. Santiago Valiente Barderas y Santiago Igor Valiente Gómez. Limusa. México, 2009. p. 151-171- Matemáticas Simplificadas. Arturo Aguilar Márquez, Fabián Valapai Bravo Vázquez y otros. Pearson. México, 2009. p. 332. Pierce, R. (2008) "Menú de Álgebra" Disfruta Las Matemáticas. Consultado en Mayo 23, 2009 en http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/index.html 25