RELACIONES Y FUNCIONES FUNCIÓN

1 RELACIONES Y FUNCIONES FUNCIÓN, en matemáticas,el término es usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés RENÉ DESCARTES para degnar una potencia n de la variable. En 1694 el matemático alemán GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha do el definido en 189 por el matemático alemán PETER DIRICHLET. DIRICHLET entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se agnen a la variable independiente, o a varias variables independientes 1,,, k.. Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La epreón y = f(), leída y es función de indica la interdependencia entre las variables e y; Cuando la matemática se aplica al estudio de las ciencias, bien sea de la naturaleza o del hombre y la sociedad, es necesario cuantificar y medir las diferentes magnitudes que intervienen en el estudio. Una magnitud esta compuesta por un valor numérico y su correspondiente unidad de medida, así la magnitud se mide en metros, el volumen en centímetros cuadrados y la corriente eléctrica en amperios. Las magnitudes no se presentan sueltas o aisladas, no que están relacionadas unas con otras. El área de un cuadrado depende de la longitud de los lados; el tiempo que gasta en recorrer cierta distancia, depende de la velocidad del móvil; la cantidad de pintura necesaria para pintar una casa depende del área de las paredes. El volumen de un gas depende de la preón a la que está sometido y de su temperatura. En los ejemplos anteriores la palabra DEPENDE indica que una magnitud no toma valores arbitrariamente. Dichos valores dependen de otra magnitud, es decir, las magnitudes en cada ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 1

objeto de estudio o fenómeno de la naturaleza toman una de estas dos alternativas: o son independientes o son dependientes. VARIABLE INDEPENDIENTE: El sujeto que estudia le agna el valor arbitrariamente. VARIABLE DEPENDIENTE: Su valor depende del valor agnado a la variable independiente. La aparición de la teoría de conjuntos primero etendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación. DEFINICIÓN 1. Si A y B son conjuntos cualesquiera, una función f de A en B es una relación entre los elementos de A y B de tal manera que a cada elemento de A le corresponde uno y solo un elemento y que pertenece a B. DEFINICION. Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números (, y ) en el cual dos parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer elemento. El conjunto de todos los valores pobles de es el dominio de la función y el conjunto de todos los valores pobles de y se llama el rango de la función. EJEMPLO 1. Sea A = Seres humanos, B = números naturales. Una función f: A B, es f(h) = Edad en años de h. es una función ya que a cada ser humano le corresponde una y solo una edad en años. Ejemplo. A = Seres humanos, B = Seres humanos f: A B, es f( h) = Progenitora de h. es una función ya que a cada ser humano le corresponde una y solo una progenitora. Ejemplo 3. A = Niños, B = mascotas. f: A B, es f(a) = mascota de a. no es una función ya pueden haber niños que tengas mas de una mascota.. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página

3 Ejemplo 4. A = seres humanos, B seres humanos. f: A B, es f( h ) = es amante de h. Será una función? Una función tiene una interpretación dinámica, como una maquina donde los elementos del dominio entran, realizan un proceso dinámico mediante la definición de la función y sale como producto un valor que pertenece al recorrido de la función. Entrada : elementos del dominio Proceso: definido por la función Salida : elementos del recorrido ( imágenes) Evaluar una función en un punto = a conste en sustituir el valor en la función y realizar las operaciones indicadas, con el fin de determinar el valor de la variable dependiente y. Las funciones se representan de la guiente manera: 1. verbal: cuando se hace un descripción de la regla que liga las variables dependiente e independiente de la función. ejemplo : El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.. Numérica: Cuando se da una tabla de valores que relacionan las variables dependiente e independiente. Ejemplo. la guiente tabla de valores muestra la relación entre el área y el lado de un cuadrado. Lado 1 3 4 5 Área 1 4 9 14 5 3. Algebraica: cuando se describe mediante una epreón matemática la forma como se relacionan las variables dependiente e independiente. Ejemplo, es el lado de un cuadrado. Su área es: A( ) 4. Visual: cuando se presenta un esquema grafico de las variables, ejemplo. El guiente grafico nos muestra la relación entre el lado de un cuadrado y su área. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 3

4 Area 8 y 6 4-8 -6-4 - 4 6 8 Lado - -4-6 -8 ACTIVIDAD. - Si g() es la función real definida por g()= 1- +. Hallar : a) g( - ) = b) g( ½ ) = c) g( + y )= - Si f() es la función real definida por f() = 1. Determine : a) f( -1 ) = f( a )= c) f( m + 1 ) f( m) = - Sea h() la función definida por h() = 1. Calcule : a) h( ) = c) h( y z ) = b. h( y ) h( z ) = d) Es h( y - z ) = h( y ) h( z )? DOMINIO DE UNA FUNCION: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente. Para determinar el dominio de una función se tienen en cuanta: - Si la función es polinómica, el dominio es el conjunto de los números reales. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 4

5 - Si la función es racional, hallamos los valores de la variable independiente para los cuales la función denominador se hace cero y los eceptuamos del conjunto de los números reales. - Si la variable independiente forma parte de una radical de índice par, se buscan los valores para los cuales la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero. CODOMINIO: es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. RANGO O RECORRIDO: Es el conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente. Para determinar el rango: - se epresa la variable independiente en términos de la variable dependiente. - Se identifican los valores que puede tomar la variable dependiente, para que la variable independiente sea un numero real. GRAFICA DE UNA FUNCION Si f es una función, se define su gráfica como el conjunto de puntos (, f()) tales que es Gráfico de f = { (, f() ) / está en el dominio de f } un elemento del dominio de f. También se llama gráfica de la función a la representación del conjunto anterior en el plano carteano. En una función y = f(), a se le acostumbra dar el nombre de variable independiente ya que puede tomar cualquier valor que este en el dominio de la función. Como el valor de y depende del valor que se le agne a, entonces a y se le llama variable dependiente. Para realizar la representación gráfica de una función se acostumbra a elaborar un tabla de valores, localizar las parejas ordenadas (, y ) en e l plano y luego mediante una línea visualizar el gráfico pedido. Así por ejemplo: ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 5

6 Trazar el gráfico de la función: f() = - 5 F() = 4 F() = ( 3 + 5) / ( 1 ) F() = 3 + 5 F() = F( ) = 1 / Algunas funciones son: Constante Lineal PolinomicasCuadratica Cubica Polinomica en general Trigonometricas FUNCIONESTrascendentas Eponencial Logaritmica Valor absoluto Racional Especiales Parte entera o mayor entero contenido en Segmentada o por tramos FUNCIÓN CONSTANTE: Toda función de la forma f() = k, donde k es una constante, recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real del dominio, le agna empre el mismo valor de k. La gráfica de este tipo de función es una recta paralela al eje de las. Un ejemplo de la función constante es: f( ) = 3, la tabla de valores para la función es: La gráfica es una recta paralela al eje de las X. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 6

7 X - 3 - - 1 0 1 3 F() 3 3 3 3 3 3 3 FUNCION LINEAL ( de grafica lineal ) : La familia de funciones de la forma f()= m + b, tienen por representación gráfica una línea recta, es por ello que se les denominan funciones de gráfica lineal o función afín. En ocaones, cuando en un problema se hace referencia a una dependencia lineal, se trabaja con una función de la forma: f()= m + b, FUNCION CUADRATICA. Un función cuadrática es aquella función que tiene como forma general f()= a +b + c, donde a 0. Su grafica corresponde a una parábola y su punto más alto o más bajo corresponde al vértice de la parábola cuyas coordenadas son: y 8 f() = a +b+c 6 4 Vertice -8-6 -4-4 6 8 - -4-6 Vértice = b a, f b a -8 ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 7

8 FUNCIÓN EXPONENCIAL: Si a > 0 y a 1, entonces la función eponencial con base a es la función definida por: f() = a donde toma cualquier valor real. Son ejemplos de funciones eponenciales: F() = ; f() = ( /3 ) ; f() = 3 - Algunas representaciones gráficas de funciones eponenciales son: Gráfica de f() = Gráfica de f()= ( /3 ) En las gráficas anteriores se observan que las características de la función eponencial son: Es una función potiva, su gráfica esta orientada hacia el eje potivo de las y. Es una función continua Es creciente para valores de a > 1 ( gráfico de la izquierda ) Es decreciente para los valores de a comprendidos entre 0 y 1 La gráfica de la función empre pasa por el punto ( 0, 1 ) La función eponencial no tiene ceros, es decir, su gráfico no corta al eje de las. Como la función eponencial es creciente o decreciente, entonces nunca toma el mismo valor dos veces, esto nos permite escribir esta propiedad como: Si a = a y, entonces = y ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 8

Por otra parte, las gráficas de las funciones f() = a = 0, lo cual nos permite afirmar que: y f() = b sólo se intersecan cuando 9 Si a = b para todo 0, entonces a = b EL NUMERO e: de la definición de la función eponencial se tiene que la base a puede ser cualquier numero potivo diferente de 1. Además, para cada valor de a hay una función eponencial diferente. Eiste en particular un valor de a que es muy importante en matemáticas y finanzas. Este numero irracional, que se denota por la letra e, en honor a EULER se define como: e Lim1 1 y se obtiene un valor aproimado de la constante de Euler cuando toma valores muy grandes. La guiente tabla muestra algunos valores: 1 10 100 1000 1000 0 10000 0 1000000 1 1, 5,5393 7,704 8,716 9,718 1,718,7188 Si se guen dando valores cada vez más grandes obtenemos un valor aproimado del número de Euler el es e =,71881786. ALGUNAS APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. La función eponencial tiene aplicación en una gran cantidad de problemas sobre crecimiento de una población, crecimiento de bacterias en un cultivo, dentegración radiactiva, determinación de la vida media de materiales radiactivos, calculo de intereses entre otras. Así, la función q(t) definida por q(t) = q 0 e kt con k > 0, en donde t es una variable que representa el tiempo, es llamada un MODELO EXPONENCIAL DE CRECIMIENTO, en donde k es una constante llamada constante de crecimiento y t la ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 9

10 variable independiente representa un instante de tiempo determinado, q 0 representa la cantidad inicial y q la cantidad de sustancia en cualquier instante de tiempo. Si K es negativa el modelo es de DECRECIMIENTO. POR EJEMPLO: Un número de bacterias en un cultivo está dado después de t horas por el modelo eponencial de crecimiento: q(t) = 50e 0,7t. 1. Hallar el número inicial de bacterias con el que se inicio el cultivo: El numero inicial de bacterias se obtiene cuando t = 0 q(0) = 50e 0,7*0 = 50e 0 =50 bacterias. Cuantas bacterias hay en cultivo después de 10 horas: Después de 10 horas, se obtiene: q(10) = 50e 0,7*10 = 50e 7 =50*(1096,6) = 54.380 bacterias. EJEMPLO DOS: Una sustancia tiene una constante de decrecimiento del 5% por hora. Si 500 gramos se tienen inicialmente. Cuánta sustancia queda después de 4 horas?. El modelo de decrecimiento es: q(t) = q 0 e -kt. en donde: q(0) = 500 y k= 5% = 0,05, realizando sustituciones, el modelo es: q(t) = 500e -0,05t después de 4 horas, se obtiene: q(4) = 500e -0,05*4 = 500e -0, = 500*(0,8187) = 409,4 gr. luego al cabo de 4 horas quedan 409,4 gramos. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 10

11 A C T I V I D A D. 1. El numero de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por q(t) = 00e 0,5 t. Cuál e el número inicial de bacterias? Completar la guiente tabla t 1 3 5 7 8 10 1 q(t) Encontrar el número de bacterias en el cultivo después de 0 horas.. El número de bacterias en un cierto cultivo de bacterias después de t horas está dada por q(t)=q 0 e 0,05t. 5000 bacterias están presentes después de 10 minutos, cuántos bacterias están presentes inicialmente? 3. Una sustancia radiactiva tiene constante de dentegración radiactiva de 4% por hora. Si 1000 g están presentes inicialmente. Cuánta sustancia se tiene después de 10 horas? 4. Al comienzo de 1975 la población mundial era aproimadamente de 4 billones. Suponga que el crecimiento de la población se rige por un modelo eponencial de crecimiento, y que la constante de crecimiento es de % por año. Dar aproimadamente la población mundial en año 005 FUNCIÓN LOGARITMICA: Se llama logaritmo de un numero a en la base b y se indica por log b a, al eponente al que hay que elevar la base b para obtener como resultado el numero a ( empre que el eponente eista y sea único en el conjunto de los números reales). Cuando se escribe = log b a, se indica que es el único numero real que verifica la ecuación: b = a. Ejemplo: log 5 65 = 4 puesto que 5 4 = 65. Log 3 = 5 puesto que 5 = 3 Log 10 0,001 = -3 puesto que 10-3 = 0,001 ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 11

1 Una función logarítmica es la inversa de la función eponencial. Sea b un número potivo diferente de 1. Se llama función logarítmica de base b a la función definida por f() = log b. Gráfica de la función logarítmica. Graficar f(x) = log X 1/8 1/4 1/ 1 4 8 F() -3 - -1 0 1 3 CARACTERISTICAS DE LA FUNCION LOGARITMICA. 1. b>1, la función es potiva para todos los valores de >1, pero es negativa para todos los valores de comprendidos entre 0 < < 1.. Si b< 1, la función es negativa para todos los valores de >1, pero es potiva para todos los valores de comprendidos entre 0 < < 1. 3. La función no esta definida para valores < 0 o = 0. 4. Si b>1 la función es creciente. Si b < 1 la función es decreciente. 5. La función tiene sólo un cero, en = 1. 6. Gráficamente todas las curvas de la función logarítmica pasan por el punto ( b, 1 ). FUNCION UNO A UNO FUNCION INYECTIVA: una función es uno a uno cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio. FUNCION SOBREYECTIVA O SOBRE: elementos del codominio pertenecer al rango de la función. Una función es sobreyectiva cuando todos los ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 1

13 FUNCION BIYECTIVA: Una función es biyectiva es inyectiva y sobreyectiva a la vez. f( ) f() FUNCIÓN CRECIENTE. Una función f se dice que es f( 1 ) estrictamente creciente en un intervalo I, para cualquier par de números 1 y del intervalo I, tales que 1 <, se 1 tiene que I f( 1 ) < f( ). FUNCIÓN DECRECIENTE. Una función f se dice que es estrictamente decreciente en un intervalo I, para cualquier par de números 1 y del intervalo I, tales que 1 <, se tiene que f( 1 ) > f( ). f() f( ) f( 1 ) 1 I FUNCION PAR: Una función f se dice que es métrica respecto al eje Y o par, para cualquier (, y ) de la gráfica, (-, y ) también es de gráfica. Es decir f es par y solo f() = f(-). Para todo en el dominio de f. El gnificado geométrico de un función par es que su grafica es métrica con respecto al eje y. Esto gnifica que hemos trazado la gráfica de f para 0, obtendremos la grafica con solo reflejar con respecto al eje y. EJEMPLO: Demuestre que la función f() = + 5 es una función par. Para ello se debe comprobar que f(-) = f(). ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 13

14 f(-) = (-) + 5 = + 5 = f() Con lo que se demuestra que la función dada es par. FUNCION IMPAR: Una función f se dice que es métrica respecto al origen o es impar, para cualquier (, y ) de la gráfica, ( -, -y ) también es de la gráfica. Es decir, f es impar y sólo f( - ) = - f() para todo en el dominio de f. La grafica de una función impar es métrica con respecto al origen. EJEMPLO: Demuestre que f() = 3 3 5 es una función impar. Se debe comprobar que f(-) = - f(). f(-)= 3(-) 3 5(-) = -3 3 + 5 = - (3 3 5 ) = - f(). Con lo que queda demostrado que la función es impar. FUNCIÓN PERIODICA. Una función f() se dice que es periódica de periodo k 0 para todo X perteneciente al dominio de f(), X + k también pertenece a su dominio y f( X + k ) = f(). FUNCIÓN COMPUESTA: Dadas las funciones f : A B y g : B C, la función compuesta de f y g, denotada por g o f, es la función definida por : ( g o f )() = g(f()) el dominio de g o f es el conjunto de todos los elementos del dominio de f para los cuales f() está en el dominio de g. g o f f f() g g(f()) Ejemplo : dadas las funciones f() = + 1 y g() =. Deternime: ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 14

15 (g o f )() = g(f()) = g ( +1 ) = ( + 1) = 1 ( f o g ) () = f(g()) = f( ) = ( ) + 1 = 4 + 4 + 1 = + 4 + 5 observe que ( g o f )() = ( f o g )() ( f o g )() = f(g())= f( ) = f(0) = 0 + 1 = 1 ( g o f )(3) = g(f(3)) = g( 3 +1) = g( 9+1)= g(10) =10 = 8 OPERACIONESENTRE FUNCIONES Sean las funciones f y g : para dichas funciones se define las guientes operaciones: I. La suma, denotada por ( f + g ), es la función definida por ( f + g ) () = f() + g() II. La diferencia, denotada por ( f g ), es la función definida por ( f g ) ()= f() g() III. IV. El producto, denotado por ( f g), es la función definida por ( f g)()= f() g() El cociente, denotado por ( f/g), es la función definida por ( f/g )()= f()/g() En cada caso el Dominio de función resultante conste de aquellos valores de comunes a los dominios de f y g ( Dom f Dom g ), con ecepción de que en el caso del cociente los valores de para los cuales g()=0 se ecluyen. ACTIVIDAD 1. Sea f ( ) 1; g ( ) 5 ; h ( ) 5 3 determinar. a)( f g)( ) b)( h f )( ) c)( g h)( ) ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 15

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 16 16. Sea 3 5 3 1 4 5 5 ) ( 3 ) ( 4 3 ) ( g h f Determinar : a) f ( -0,85 ) = c) g( 7) = d ) h(,5) = b) f( ) + g( -) h(1,5)= f) (g(6,4) + g( 0) )*(g(-5)) = c) h() 3h(-1.5) = g) *f() 3*h(5) + 1,5*g(-4) = 8 15, 8 1 7, 1 6, ) ( 0 0 6 4 8 4 6 4 1 3 5 1 ) ( g f Determine. a) f() + g(5). = f(-10) g(-3). = b) f(0) *g(0).= f(5,) / g(9).= c) ( f o g )(5) = ( f o g )()= d) ( f o g )(-3)= ( g o f )(-1)=