Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de innovación didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

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Puntos y vectores en En R 3, conviene distinguir entre punto y vector: Puntos y vectores Si consideramos R 3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos, y los escribiremos con letras mayúsculas: P, Q, R,.... Si consideramos R 3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores, y los escribiremos con letras minúsculas: u, v, w,.... Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna de números reales, que se llaman sus coordenadas. Notación Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0). Análogamente, la notación v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas (2, 1, 0).

Puntos y vectores en La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental. La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P por un vector v: Traslación de un punto por un vector Sea P (p 1, p 2, p 3) un punto y v(v 1, v 2, v 3) un vector. El punto P + v se define como el punto de coordenadas (p 1 + v 1, p 2 + v 2, p 3 + v 3).

Puntos y vectores en La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental. La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P por un vector v: Traslación de un punto por un vector Sea P (p 1, p 2, p 3) un punto y v(v 1, v 2, v 3) un vector. El punto P + v se define como el punto de coordenadas (p 1 + v 1, p 2 + v 2, p 3 + v 3). Ejemplo La traslación del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto de coordenadas: (1, 2, 10).

Geometria de rectas y planos en

en

en Definición Dado un punto P d y un par de vectores no proporcionales e, v, el plano que pasa por P con la dirección e, v es el conjunto de los puntos X que satisfacen: X = P + λe + µv para algunos λ, µ R.

en Definición Dado un punto P d y un par de vectores no proporcionales e, v, el plano que pasa por P con la dirección e, v es el conjunto de los puntos X que satisfacen: X = P + λe + µv para algunos λ, µ R. Conviene recordar: La dirección de un plano es un espacio vectorial de dimensión dos, e, v. Por tres puntos no alineados, P, Q y R, pasa un único plano, que denotamos P + Q + R: P + Q + R := P + λ P Q + µ P R.

en Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1). Dado que P Q = ( 1, 1, 0) y P R = ( 1, 0, 1), el plano definido por estos tres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en que satisfacen: (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ( 1, 1, 0) + µ( 1, 0, 1). La dirección de este plano P + Q + R es vectorial P Q, P R = ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1).

en paramétricas Sean P (p 1, p 2, p 3) un punto y dos vectores e(e 1, e 2, e 3), v(v 1, v 2, v 3), no proporcionales. El plano que pasa por P con dirección e, v es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen: x = p 1 + λ e 1 + µ v 1 y = p 2 + λ e 2 + µ v 2 λ, µ R. z = p 3 + λ e 3 + µ v 3

en paramétricas Sean P (p 1, p 2, p 3) un punto y dos vectores e(e 1, e 2, e 3), v(v 1, v 2, v 3), no proporcionales. El plano que pasa por P con dirección e, v es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen: x = p 1 + λ e 1 + µ v 1 y = p 2 + λ e 2 + µ v 2 λ, µ R. z = p 3 + λ e 3 + µ v 3 Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1). Como P Q = ( 1, 1, 0) y P R = ( 1, 0, 1), las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por estos tres puntos son: x = 1 λ µ y = λ. z = µ

en Ecuación general Todo plano admite una ecuación del tipo: ax + by + cz = d para ciertos números a, b, c, d R.

en Ecuación general Todo plano admite una ecuación del tipo: ax + by + cz = d para ciertos números a, b, c, d R. Observación A partir de dicha ecuación, podemos obtener directamente: La dirección perpendicular al plano: (a, b, c). La dirección del plano: basta encontrar dos vectores linealmente independientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando el producto vectorial: ( ) b c (b, a, 0), a 0, a c b 0, a b b a.

en Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1). Hemos calculado en el ejemplo anterior que la dirección del plano P + Q + R es vectorial ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Para calcular la dirección ortogonal, puede establecerse un sistema de ecuaciones, o bien (por estar en dimensión 3), utilizar el producto vectorial: P Q P x y z R = 1 1 0 1 0 1 = x + y + z de modo que la dirección ortogonal al plano es (1, 1, 1) y su ecuación general es de la forma x + y + z = d. Como el punto P (1, 0, 0) está en el plano, su ecuación general ha de ser x + y + z = 1.

en Ecuación, dados tres puntos El plano que pasa por los puntos P (p 1, p 2, p 3), Q(q 1, q 2) y R(r 1, r 2, r 3) admite la ecuación: x y z 1 p 1 p 2 p 3 1 q 1 q 2 q 3 1 = 0. z 1 r 2 r 3 1

en Ecuación, dados tres puntos El plano que pasa por los puntos P (p 1, p 2, p 3), Q(q 1, q 2) y R(r 1, r 2, r 3) admite la ecuación: x y z 1 p 1 p 2 p 3 1 q 1 q 2 q 3 1 = 0. z 1 r 2 r 3 1 Observación Recuérdese la fórmula para calcular un determinante, desarrollando por una fila o por una columna.

en Ejemplo La ecuación del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) y R(0, 0, 2) tiene como ecuación: x y z 1 0 = 2 0 0 1 x y z 0 2 0 1 = 2 0 0 0 0 2 1 0 2 0 2 x y 1 2 0 1 0 2 1 = 4z 2(4 2x 2y) = 4(x + y + z 2). Es decir, la ecuación de tal plano es: x + y + z = 2.

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en Definición Dado un punto P d y vector no nulo v, la recta que pasa por P con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen: para algún λ R. X = P + λv

en Definición Dado un punto P d y vector no nulo v, la recta que pasa por P con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen: para algún λ R. Ejemplo X = P + λv Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1). Dado que P Q = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la única recta que pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen: (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1).

de las rectas en paramétricas Si P (p 1, p 2, p 3) y v (v 1, v 2, v 3), la recta que pasa por P con dirección v es el conjunto de puntos X (x, y, z) que satisfacen: x = p 1 + λ v 1 para algún λ R. y = p 2 + λ v 2 z = p 3 + λ v 3

de las rectas en paramétricas Si P (p 1, p 2, p 3) y v (v 1, v 2, v 3), la recta que pasa por P con dirección v es el conjunto de puntos X (x, y, z) que satisfacen: x = p 1 + λ v 1 y = p 2 + λ v 2 z = p 3 + λ v 3 para algún λ R. Ejemplo Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1). Dado que P Q = (1, 1, 1), las ecauciones paramétricas P + Q son: x = 1 + λ y = λ. z = λ

de las rectas en Ecuación, dados dos puntos La recta que pasa por los puntos P (p 1, p 2, p 3) y Q(q 1, q 2, q 3) admite las ecuaciones: x p 1 = y p2 = z p3. q 1 p 1 q 2 p 2 q 3 p 3

de las rectas en Ecuación, dados dos puntos La recta que pasa por los puntos P (p 1, p 2, p 3) y Q(q 1, q 2, q 3) admite las ecuaciones: x p 1 = y p2 = z p3. q 1 p 1 q 2 p 2 q 3 p 3 Ejemplo La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es: x 1 2 1 = y 1 0 = z 1 0, es decir, que se trata de ecuaciones: { x 2y = 1 r. y z = 0

de las rectas en Ecuación general Toda recta en es intersección de dos planos, de modo que puede escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo: { ax + by + cz = d r a x + b y + c z = d siendo los vectores (a, b, c) y (a, b, c ) linealmente independientes.

de las rectas en Ecuación general Toda recta en es intersección de dos planos, de modo que puede escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo: { ax + by + cz = d r a x + b y + c z = d siendo los vectores (a, b, c) y (a, b, c ) linealmente independientes. Ejemplo Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte : π 1 x 2y = 1 y π 2 y z = 0.

Paralelismo de rectas y planos Definición Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección. Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano.

Paralelismo de rectas y planos Definición Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección. Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano. Condición de paralelismo Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales. Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos son proporcionales.

Paralelismo de rectas y planos Ejemplo Los planos paralelos al plano 2x y + z = 1 son los que vienen dados por ecuaciones del tipo: 2x y + z = d siendo d R una constante cualquiera.

Ángulos entre rectas y planos Definición Dados dos planos π y π, el ángulo que forman, que escribimos (π, π ), se define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta perpendicular a π.

Ángulos entre rectas y planos Definición Dados dos planos π y π, el ángulo que forman, que escribimos (π, π ), se define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta perpendicular a π. Definición Dada una recta r y un plano π, el ángulo que forman, que escribimos (r, π), se define como el ángulo que forma r con su proyección ortogonal sobre π.

Ángulos Ejemplo El ángulo que forman los planos π x + y + z = 1 y el plano π 2x y z = 3 es el ángulo que forman sus vectores normales, (1, 1, 1) y (2, 1, 1). Es decir, (π, π ) = π 2.

Distancia de un punto a plano Cálculo La distancia de un punto P (p 1, p 2, p 3) al plano π de ecuación ax + by + cz = d vale: dist(p, π) = ap1 + bp2 + cp3 d a2 + b 2 + c 2.

Distancia de un punto a plano Cálculo La distancia de un punto P (p 1, p 2, p 3) al plano π de ecuación ax + by + cz = d vale: Ejemplo dist(p, π) = ap1 + bp2 + cp3 d a2 + b 2 + c 2. La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuación 2x + 2y + 2z = 4 vale: 2 3 + 2 1 + 2 2 ( 4) dist(p, π) = = 16 22 + 2 2 + 2 2 2 3 = 8. 3

Distancia de un punto a una recta Cálculo Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección v. La distancia de un punto P a la recta r vale: dist(p, r) = P Q v v donde denota el producto vectorial y el módulo de vectores.

Distancia de un punto a una recta Cálculo Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección v. La distancia de un punto P a la recta r vale: dist(p, r) = P Q v v donde denota el producto vectorial y el módulo de vectores. Ejemplo Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v( 1, 0, 1). Según la fórmula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q + v vale: dist(p, r) = P Q v (1, 1, 1) 3 = = v 2 2.

Paralelogramos Definición Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

Paralelogramos Definición Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos. Área de un paralelogramo El área del paralelogramo de vértices P, Q, R y S es el módulo del producto vectorial de sus lados: Área del paralelogramo = P Q P S.

Área de un paralelogramos Ejemplo Sea el paralelogramo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0). Los lados vienen determinados por los vectores P Q = (1, 1, 0) y P S = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0, 3), de modo que el área que encierra el paralelogramo es: Área del paralelogramo = (0, 0, 3) = 3.

Tri Definición Tres puntos no alineados d definen un triángulo. En, se puede utilizar el producto vectorial para obtener rápidamente el área de un triángulo:

Tri Definición Tres puntos no alineados d definen un triángulo. En, se puede utilizar el producto vectorial para obtener rápidamente el área de un triángulo: Área de un triángulo El área del triángulo de vértices P, Q y R es la mitad del módulo del producto vectorial de sus lados P Q y P R Área del triángulo = 1 2 P Q P R.

Área de un triángulo Ejemplo Sea el triángulo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0). El producto vectorial de los lados P Q = (1, 1, 0) y P R = (3, 0, 0) es (0, 0, 3), de modo que el área que encierra el triángulo es: Área del triángulo = 1 2 (0, 0, 3) = 3 2.

La esfera Definición Dados un punto C y un número positivo r, la esfera de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos d cuya distancia al punto C es igual a r. Si C(c 1, c 2, c 3), la condición anterior se expresa en coordenadas: (x c 1) 2 + (y c 2) 2 + (z c 3) 2 = r 2.