Otras páginas Matemáticas 2º MATEMÁTICAS II Álgebra: Espacios Vectoriales Concepto de espacio vectorial. Propiedades. Distintos espacios vectoriales. El espacio real tridimensional. Combinación lineal. Sistema generador. Propiedades. Dependencia lineal. Propiedades. Concepto de base. Coordenadas de un vector en una base. Subespacios vectoriales. Subespacios generados. (Ampliación) Matrices Conceptos generales; matriz, fila, tipos de matrices, Operaciones: Suma, producto por un número real y producto de matrices. Propiedades. Combinación lineal de las filas de una matriz. Rango. Método de Gauss para calcular el rango. Matriz inversa. Cálculo por el método de Gauss. Resolución de sistemas por el método de la matriz inversa. Ecuaciones y sistemas matriciales. Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss (incluidos los dependientes de parámetros). Determinantes Definiciones. Cálculo de determinantes de 2º y 3er orden. Otras páginas 1
Propiedades. Desarrollo de un determinante por una línea, aplicando las propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes por el método pivotal o el de Gauss, mediante las operaciones elementales correspondientes. Aplicaciones de los determinantes al cálculo de la matriz inversa y del rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación. Sistemas equivalentes. Teorema de Rouché. Regla de Cramer. Resolución de sistemas aplicando esta regla. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones con parámetros, utilizando los determinantes. Geometría. Espacio afín Definiciones. Sistema de referencia. Coordenadas de puntos. Punto medio de un segmento y división en partes iguales de un segmento. Ecuaciones de la recta. Ecuaciones del plano. Planos especiales. Ecuación del plano determinado por 3 puntos. Posiciones relativas de puntos, rectas y planos. Incidencia y paralelismo. Recta que pasa por un punto y corta a otras dos rectas que se cruzan. Haces de rectas y de planos. Espacio Euclídeo Producto escalar de 2 vectores. Propiedades Ángulo de dos vectores. Módulo de un vector. Propiedades. Vector unitario. Matemáticas 2º 2
Ortogonalidad. Bases ortonormales. Perpendicularidad entre rectas y planos. Ángulo entre 2 rectas. Vector característico de un plano. Ángulo entre dos planos. Ángulo entre rectas y planos. Puntos simétricos respecto de una recta o de un plano. Espacio métrico Definiciones. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades. Distancia entre puntos. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Distancia de un punto a una recta. Distancia de un plano a una recta. Distancia entre dos rectas. Áreas y volúmenes. Perpendicular común a dos rectas que se cruzan. Curvas y superficies Curvas y superficies en el espacio. La esfera, elipsoides, hiperboloides y paraboloides. (Ampliación) Utilización del programa Derive para visualizar superficies en el espacio. (Ampliación) Análisis Diferencial. Límites de funciones Repaso del concepto de función y asociados. Repaso de sucesiones: sucesiones monótonas y acotadas, límite de una sucesión. cálculo de límites. El número e. Definiciones de límite de una función y límites laterales. Límites en el infinito. Matemáticas 2º 3
Propiedades de los límites. Cálculo de límites. Comportamiento asintótico de una función. Infinitésimos e infinitésimos equivalentes, y su aplicación al cálculo de límites. Continuidad Definiciones de continuidad en un punto, continuidades laterales, y en un intervalo. Discontinuidades: clases. Operaciones con funciones continuas. Composición. Continuidad en intervalos cerrados. Teoremas de Bolzano, de acotación, de Weierstrass y propiedad de Darboux. Derivadas Definición de derivada de una función en un punto, interpretación geométrica. Función derivada, derivadas sucesivas. Derivabilidad. Cálculo de funciones derivadas. Teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange y Cauchy. Regla de L Hôpital. Cálculo de límites por la regla de L Hôpital. Aplicaciones de las derivadas Ecuación de la tangente a una curva en un punto. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Representación gráfica de funciones. Problemas de optimización. Análisis Integral. Matemáticas 2º 4
Integral indefinida. Primitiva de una función. Propiedades Cálculo de integrales indefinidas sencillas: integrales inmediatas, por cambio de variable, racionales y por partes. Integral definida: Sumas de Riemann. Concepto de integral definida. Propiedades. Teoremas del valor medio, y Fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Aplicaciones al cálculo de áreas de regiones planas. Aplicaciones al cálculo de volúmenes de cuerpos de revoluci Matemáticas 2º 5