CÁLCULO INTEGRAL TEMARIO 1. LA INTEGRAL 1.1 La integral indefinida Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular. Integral indefinida. Elementos de la integral indefinida. Definiciones de integral indefinida. Propiedades de linealidad de la integral indefinida. Operaciones con integrales. Derivación e integración como operaciones inversas. Las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Regla de las potencias. Regla generalizada de las potencias. Reglas de integración de funciones trigonométricas. Tipos de funciones que ya podemos integrar. Proceso de integración. Naturaleza del problema. La diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas. 1.2 Introducción a ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial. Solución general de una ecuación diferencial. Solución particular de una ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables y cálculo de sus soluciones. Modelado matemático de problemas cuya solución demanda el cálculo de primitivas. Aplicaciones de la integral indefinida a problemas de movimiento. 1.3 El problema del área El problema del área. Propiedades del área. El método del agotamiento. Elementos de la suma. El operador Sigma. Propiedades de linealidad de Sigma. Fórmulas para algunas sumas especiales. Regiones acotadas por curvas. Aproximación del área de un círculo a partir de polígonos. Aproximación del área bajo una curva a partir de rectángulos. El área como límite. Interpretación física del área bajo una curva. 1.4 La integral definida Partición y norma. Puntos muestra. Suma de Riemann. Integral definida. Integrabilidad de funciones en sentido de Riemann. Elementos de la integral definida. Algunos tipos de funciones integrables. La integral definida como área. La integral definida como límite. Elementos de la integral definida. Propiedades de la integral definida. Interpretaciones físicas del área bajo una curva. Aplicaciones de la integral definida a problemas de movimiento. 1.5 Teoremas del cálculo integral Los dos problemas del cálculo. Función de acumulación. La función integral o función área. Interpretación geométrica de la función integral. Vinculación entre la integral definida y la integral indefinida a través de la función integral. Distinciones esenciales de la integral. Aplicaciones de la función integral a problemas de movimiento. Teorema fundamental del cálculo, parte 1 y demostración. Interpretación geométrica del teorema fundamental del cálculo, parte 1. Distinciones del teorema fundamental del cálculo, parte 1. Cálculo de derivadas de funciones integrales. Teorema fundamental del cálculo, parte 2 y demostración. Interpretación geométrica del teorema fundamental del cálculo, parte 2. Distinciones del teorema fundamental del cálculo, parte 2. Cálculo de integrales definidas aplicando la regla de Barrow. Aplicaciones del teorema fundamental del cálculo, parte 2. Teorema del valor medio para integrales. Interpretación geométrica del teorema del valor medio para integrales. Cálculo de valores promedio. Aplicaciones del teorema del valor medio para integrales. 1.6 La diferencial Diferencial de una función en un punto e interpretación geométrica. Derivabilidad y diferenciabilidad. Definición formal de diferencial de una función e interpretación geométrica. La diferencial como función lineal. Distinciones de la diferencial. Contexto de la diferencial. Génesis de la diferencial. La diferencial de Leibniz. La diferencial de Cauchy. La diferencial de Fréchet. Distinciones entre incrementos y diferenciales. La notación de Leibniz como cociente de diferenciales. Reglas de diferenciación. Regla de la cadena en notación de diferenciales. Cálculo de diferenciales. Notas históricas sobre diferenciales. 1.7 Evaluación de integrales Procedimiento de evaluación de integrales definidas. Funciones lineales y uso de la geometría. Funciones pares e impares y uso de la simetría. Funciones periódicas y uso de la periodicidad. Evaluación de integrales. La integración como un proceso de prueba y error. Alternativas para el cálculo de primitivas. Reglas básicas de integración. Procedimiento general para el cálculo de primitivas. Estrategia para el cálculo de primitivas. Procedimientos de ajuste del integrando. Cálculo de primitivas mediante las reglas básicas de integración y uso de tablas de integrales. Evaluación de integrales.
2. FUNCIONES TRASCENDENTES 2.1 Funciones logarítmicas La función logaritmo natural. Interpretación geométrica, propiedades, gráfica y variaciones. El número e como base de la función logaritmo natural. Logaritmos naturales o neperianos y sus propiedades. Operaciones con logaritmos. Reglas de derivación de la función logaritmo natural. Derivación logarítmica. Cálculo de derivadas y diferenciales. Reglas de integración de la función logaritmo natural. Cálculo de primitivas y evaluación de integrales. Otras reglas básicas de integración de funciones trigonométricas. Aplicaciones. Desarrollo en series de potencias de la función logaritmo natural. La función logarítmica general base a. Propiedades, gráfica y variaciones. Propiedades de los logaritmos. Cambio de base. Logaritmos comunes. Papel semilogarítmico. Reglas de derivación de la función logarítmica general. Cálculo de derivadas y diferenciales. Aplicaciones de la función logarítmica general. 2.2 Funciones exponenciales La función exponencial natural como inversa de la función logaritmo natural. Propiedades, gráfica y variaciones. Propiedades de los exponentes. El número e como límite. Reglas de derivación de la función exponencial natural. Cálculo de derivadas y diferenciales. Reglas de integración de la función exponencial natural. Cálculo de primitivas y evaluación de integrales. Aplicaciones. Desarrollo en series de potencias de la función exponencial natural. La función exponencial general base a. Propiedades, gráfica y variaciones. Propiedades de los exponentes. Reglas de derivación de la función exponencial general. Cálculo de derivadas y diferenciales. Función potencia variable. Reglas de integración de la función exponencial general. Cálculo de primitivas y evaluación de integrales. Aplicaciones de la función exponencial general. 2.3 Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas. Gráficas y propiedades. Identidades hiperbólicas. Cálculo de derivadas y diferenciales de funciones hiperbólicas. Cálculo de primitivas y evaluación de integrales de funciones hiperbólicas. Expansión en serie de Maclaurin del seno y el coseno hiperbólicos. La catenaria y su ecuación. Diferencia entre parábola y catenaria. Cálculo de catenarias. Funciones hiperbólicas inversas. Gráficas y propiedades. Cálculo de derivadas y diferenciales de funciones hiperbólicas inversas. Cálculo de primitivas y evaluación de integrales de funciones hiperbólicas inversas. Expansión en serie de Maclaurin de la tangente hiperbólica inversa. Relación entre funciones trigonométricas e hiperbólicas. Obtención de las funciones hiperbólicas a partir de la hipérbola unitaria. La curva tractriz. Deducción de su ecuación. Cálculo de tractrices. Relación entre catenaria y tractriz. 3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.1 Integración por sustitución Objetivo de la sustitución. Integración por sustitución como regla de la cadena en sentido inverso. Procedimiento general de integración por sustitución. Cálculo de primitivas mediante cambio de variable. El cambio de variable en integrales definidas. Evaluación de integrales mediante cambio de variable. Interpretación geométrica de la sustitución. 3.2 Integración por partes Integrandos que contienen productos de funciones algebraicas y trascendentes. La fórmula de integración por partes como consecuencia de la regla de la derivada de un producto. Estrategia general para elegir u y dv: una regla mnemotécnica. Integración sucesiva por partes. Cinco estrategias para el cálculo de primitivas mediante integración por partes. El método tabular. Evaluación de integrales mediante integración por partes. Interpretación geométrica de la integración por partes. Fórmulas de reducción. 3.3 Integración de expresiones trigonométricas Integración de expresiones trigonométricas. Productos de potencias de senos y cosenos. Cálculo de primitivas de productos de potencias de senos y cosenos. Productos de potencias de secantes y tangentes. Cálculo de primitivas de productos de potencias de secantes y tangentes. Cálculo de primitivas de productos seno-coseno de ángulos diferentes. 3.4 Integración por sustitución trigonométrica Objetivo de la sustitución. Integrandos de la forma. Integrandos que involucran la función seno. Integrandos que involucran la función tangente. Integrandos que involucran la función secante. Calculo de primitivas por sustitución trigonométrica. Sustitución trigonométrica en funciones racionales. Formas disfrazadas. Sustitución trigonométrica en polinomios cuadráticos. Sustitución trigonométrica en expresiones con exponente racional. Sustitución trigonométrica en integrales definidas. Transformación de los límites de integración.
3.5 Integración de funciones racionales Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales. Fracciones propias e impropias. Descomposición de una fracción impropia. La suma de fracciones y su proceso inverso. El método de descomposición en fracciones parciales. Determinación de constantes mediante un sistema de ecuaciones. Determinación de constantes por inspección directa. La factorización del denominador. Identificación de factores lineales y cuadráticos, distintos y repetidos. Tipos de factores y sus fracciones parciales. Factores lineales distintos. Factores lineales repetidos. Factores cuadráticos distintos. Factores cuadráticos repetidos. Cálculo de primitivas por fracciones parciales. 4. FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS 4.1 Formas indeterminadas Noción intuitiva y definición formal de límite de una función. Noción intuitiva y definición formal de continuidad de una función en un punto. Discontinuidades evitables y no evitables. Indeterminaciones en el cálculo de límites. Competencia de fuerzas. Formas indeterminadas y no indeterminadas. Límite de un cociente de funciones. Teorema del valor medio generalizado de Cauchy. La regla de L Hôpital, interpretación geométrica y distinciones. Forma indeterminada (0/0). Límites en el infinito. Crecimiento de funciones típicas. Cálculo de límites por comparación. Forma indeterminada ( / ). Forma indeterminada (0. ). Forma indeterminada ( - ). La presencia oculta del número e. Derivación logarítmica para calcular límites. Forma indeterminada (0 0 ). Forma indeterminada ( 0). Forma indeterminada (1 ). Cálculo de límites mediante la regla de L Hôpital. 4.2 Integrales impropias Funciones asintóticas. Noción intuitiva de integral impropia. Integración de funciones acotadas en recintos no acotados: integrales impropias de primera especie. Caso especial de convergencia. Valor principal de Cauchy. Funciones de densidad de probabilidad. Integración de funciones no acotadas en recintos acotados: integrales impropias de segunda especie. Caso especial de convergencia. Integración de funciones no acotadas en recintos no acotados: integrales impropias de tercera especie. Integrabilidad en sentido impropio. Propiedades de las integrales impropias. Criterios de convergencia. La paradoja de la trompeta de Gabriel. Convergencia absoluta y convergencia condicional de integrales impropias. Evaluación de integrales impropias. Determinación del carácter de una integral impropia. 5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 5.1 Área de una región plana Área de una región por arriba del eje x. Área de una región por debajo del eje x. Área de regiones por arriba y por debajo del eje x. Área de una región entre dos funciones y el eje x. Uso de la geometría. Posición y distancia recorrida. Área de una región entre dos curvas. Área de una región delimitada por dos curvas que se intersectan. Integración con respecto a x y con respecto a y. Áreas de regiones entre curvas que se intersectan en más de dos puntos. Teorema de Cavalieri. Distintas maneras de calcular el área. Interpretación física del área entre dos curvas. Aplicaciones del cálculo de áreas a problemas diversos. Área de una región en coordenadas polares. Área de una región entre dos curvas polares. Aplicaciones del cálculo de áreas en coordenadas polares. Momentos. Centroide de una región plana en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares. 5.2 Volumen de sólidos y líquidos Sólidos de revolución. Disco de revolución. Generación del método de los discos. Cálculo de volúmenes por el método de los discos. Arandela de revolución. El método de las arandelas. Cálculo de volúmenes por el método de las arandelas. Cálculo de volúmenes con discos y arandelas. Capa cilíndrica. Generación del método de las capas cilíndricas. Cálculo de volúmenes por el método de las capas cilíndricas. Comparación de métodos. Estrategia de selección del método. Teorema de Pappus para volúmenes de revolución. Sólidos de sección transversal conocida. El método de las rebanadas. Cálculo de volúmenes por el método de las rebanadas. Aplicaciones del cálculo de volúmenes al dimensionamiento de sólidos y a la determinación de la capacidad de almacenamiento de tanques, tirantes y gasto. 5.3 Longitud de una curva plana Curvas planas. Perímetro del círculo. Aproximación del perímetro del círculo a partir de polígonos. Distancia entre dos puntos. Ecuaciones paramétricas de una curva plana. Curva suave. Longitud de una curva plana como límite. Longitud de arco en su forma paramétrica general. Longitud de arco en coordenadas rectangulares. Longitud de arco en coordenadas polares. Cálculo de longitudes de curvas. Aplicaciones del cálculo de longitud de arco. Diferencial de la longitud de arco en coordenadas rectangulares y en coordenadas
polares. Función longitud de arco en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares. Cálculo de funciones de longitud de arco. Centroide de un arco de curva en coordenadas rectangulares y polares. 5.4 Área de una superficie curva Superficies de revolución. Área de una superficie de revolución. Generación del método de los conos truncados. Área de una superficie de revolución para curvas parametrizadas, en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares. Teorema de Pappus para superficies de revolución. Cálculo del área de superficies de revolución. Superficies cilíndricas. Área de una superficie cilíndrica. Cálculo del área de una superficie cilíndrica. Superficies cónicas. Área de una superficie cónica. Cálculo del área de una superficie cónica. 5.5 Crecimiento y decaimiento exponencial Crecimiento lineal y crecimiento exponencial. Modelo general de crecimiento/decaimiento exponencial. Conversión del modelo exponencial natural al modelo exponencial general. Aplicación del modelo de crecimiento exponencial a problemas de interés compuesto en forma continua y de crecimientos poblacionales. Limitaciones del modelo exponencial por disponibilidad de recursos. El modelo logístico de crecimiento. Aplicación del modelo de decaimiento exponencial a problemas de desintegración radiactiva y eliminación de una sustancia tóxica. Ley de enfriamiento de Newton. 6. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6.1 Funciones de varias variables Función real de variable vectorial. Entornos abiertos, cerrados y reducidos. Punto interior, punto frontera y punto de acumulación. Región en el plano. Regiones abiertas y cerradas. Contorno de una región. Interior de una región. Regiones acotadas y no acotadas. Dominio y recorrido de una función real de variable vectorial. Conjunto conexo. Trayectoria. Región en el espacio. Función de dos variables independientes. Interpretación geométrica de una función de dos variables independientes. Operaciones con funciones. Composición de funciones de varias variables. Conjuntos de nivel. Curvas de nivel y mapas de contorno. Curvas de contorno. Trazas en planos paralelos a los coordenados. Gráficas de superficies de revolución. Interpretación geométrica de una función de tres variables independientes. Superficies de nivel. Funciones de dos variables como superficies de nivel. Función de varias variables independientes. Operaciones con funciones de varias variables. 6.2 Límites y continuidad de funciones de dos variables Noción de límite de funciones de dos variables. Existencia y unicidad del límite de una función de dos variables. Límite de una función de dos variables en un punto. Cálculo de límites de funciones elementales. Propiedades de los límites. Cálculo de límites mediante operaciones algebraicas. Continuidad de funciones de dos variables. Propiedades de las funciones continuas. Continuidad de la composición de funciones. Estudio del límite de funciones racionales de dos variables en un punto. Límites iterados. Límites direccionales. Límites a través de coordenadas polares. Límites a través de sucesiones. Comprobación de límites aplicando la definición. Estudio de la continuidad de funciones de dos variables. Discontinuidad evitable. 6.3 Derivadas parciales Derivadas parciales de una función de dos variables en un punto. Las funciones derivadas parciales. Notación. Cálculo de derivadas parciales aplicando la definición y utilizando reglas de derivación. Razones de cambio instantáneo en funciones de dos variables. La derivada parcial como incremento marginal. Interpretación geométrica de las derivadas parciales: las pendientes de las tangentes. Ecuaciones de las rectas tangentes. Derivadas parciales de una función de varias variables en un punto. La existencia de derivadas parciales y la continuidad de una función. Derivadas parciales de segundo orden. Notación. Cálculo de derivadas parciales de segundo orden. Teorema de Schwarz. Derivadas parciales de orden r. Cálculo de derivadas parciales de tercer orden. Matriz hessiana. Hessiano. Ecuación de Laplace. 6.4 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Función diferenciable de dos variables en un punto. Función diferenciable de dos variables. Diferenciabilidad de una función de dos variables. Propiedades de las funciones diferenciables. Condiciones necesarias de diferenciabilidad. Condiciones suficientes de diferenciabilidad. Diferencial de una función de dos variables en un punto. Diferencial de una función de dos variables. Notación. Propiedades de la diferencial. Estudio de la diferenciabilidad de una función de dos variables. Función diferenciable de varias variables en un punto. Función diferenciable de varias variables. Diferenciabilidad de funciones de varias variables en un punto. Diferencial de una función de varias variables.
6.5 Derivadas direccionales y vector gradiente Derivada direccional de una función de dos variables. Función derivada direccional. Cálculo de derivadas direccionales a través de la definición. Interpretación geométrica y física de la derivada direccional. Derivada direccional de una función de varias variables. Las derivadas parciales como derivadas direccionales. Relación de la derivada direccional con las derivadas parciales, con la continuidad y con la diferenciabilidad. Vector gradiente. Interpretación geométrica del gradiente. Propiedades del gradiente. Derivadas direccionales a través del gradiente. Cálculo de derivadas direccionales mediante el producto escalar. Interpretación geométrica. Relaciones entre la derivada direccional y el vector gradiente. Aplicaciones de las derivadas direccionales. Dirección de máximo crecimiento. Gradiente ortogonal a la curva de nivel que pasa por el punto. 6.6 Plano tangente y aproximaciones Cálculo de ecuaciones de las rectas tangentes. Candidato a plano tangente a la superficie en un punto. Recta normal a la superficie. Cálculo del plano tangente y la recta normal. Aplicaciones geométricas del plano tangente y la recta normal. Recta tangente a la curva de intersección entre dos superficies. Ángulo de inclinación de un plano. Incrementos. Diferencial total. Interpretación geométrica de la diferencial. Aproximación por diferenciales. Análisis de errores. 6.7 Regla de la cadena Regla de la cadena para funciones de dos variables intermedias y una variable independiente. Regla de la cadena para funciones de varias variables intermedias y una variable independiente. Regla de la cadena para funciones de dos variables intermedias y dos variables independientes. Regla de la cadena para funciones de una variable intermedia y dos variables independientes. Interpretación física. Estrategia para utilizar la regla de la cadena. Derivación implícita.