UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL N o Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre. RESOLVER. 3 puntos. a) En una gran ciudad se producen incendios anuales por término medio. Cuál es la probabilidad de que el próximo año se produzcan más de dos? Sea X número de incendios anuales. En este caso X se puede modelar con la distribución de Poisson con λt =. La probabilidad que se pide es P (X > ) = P (X ) = P (X = ) P (X = ) P (X = ) = e e e =.333. b) Una caja con artículos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso sin reemplazamiento, cuál será la probabilidad de no incluir artículos defectuosos en la muestra? Sea X el número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño tres. Aquí X sigue una distribución hipergeométrica con parámetros N =, k = 4 y n = 3. Se pide calcular )( 8 3) P (X = ) = ( 4 ( 3 ) =.545. c) Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece dos 6. Si sabemos que no salió en la primera tirada, cuál es la probabilidad de necesitar más de 3 lanzamientos? Sea X el número de lanzamientos necesarios hasta que aparece dos 6. En este caso X se distribuye binomial negativa con probabilidad de éxito p = /6, k = y X {, 3,...}. Se pide calcular P (X > 3) P (X > 3 X > ) = = P (X > 3) P (X > ) PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No
porque seguro que se necesitan más de un lanzamiento para conseguir dos veces 6. Como mínimo se necesitan dos lanzamientos. Por lo tanto: P (X > 3) = P (X 3) = (/6) (5/6) (/6) (5/6) =.959. d) Si se contesta sin pensar (al azar) un test de preguntas en las que hay que contestar si es verdadero o falso. Cuál es la probabilidad de acertar más del 7 % de las preguntas? Primero, el test posee preguntas y el 7 % del test son 7 preguntas. Sea X el número de respuestas correctas del test. La v.a. X se distribuye binomial con parámetros n = y probabilidad de éxito p =.5. Se pide calcular P (X 8) = (.5) =.546. x x=8 e) Una agencia de arriendo de automóviles en un aeropuerto tiene disponibles cinco Hyundai, siete Chevrolet, cuatro Kia, tres Honda y cuatro Toyota. Si la agencia selecciona al azar nueve de estos autos para transportar delegados del aeropuerto al centro de convenciones de una Universidad, calcular la probabilidad de que se utilicen dos Hyundai, tres Chevrolet, un Kia, un Honda y dos Toyota. Sean los siguientes eventos: E = se utiliza un auto Hyundai E = se utiliza un auto Chevrolet E 3 = se utiliza un auto Kia E 4 = se utiliza un auto Honda E 5 = se utiliza un auto Toyota Las probabilidades correspondientes para cada evento son p = 5/3, p = 7/3, p 3 = 4/3, p 4 = 3/3 y p 5 = 4/3, respectivamente. Estos valores permanecen constantes para todas las selecciones. En este caso caso se trata de una v.a. (X, X, X 3, X 4 ) multinomial con parámetros n = 9, p = 5/3, p = 7/3, p 3 = 473, p 4 = 3/3 y p 5 = 4/3. Entonces se pide calcular f (, 3,,,, 9, 5 3, 7 3, 4 3, 3 3, 4 ) 3 3 ( 9 5 7 4 3 4 =, 3,,, 3 3 3 3 3 3 9! 5 7 4 3 4 =! 3!!!! 3 3 3 3 3 = 4893568 8566463 =.38. ) PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No
. 7 puntos. Un ingeniero desea seleccionar, entre los dos diseños de circuitos que se muestran en la Figura, aquel que brinda una mayor probabilidad de que la corriente circule entre el punto A y el punto B. Si las componentes (resistencias) funcionan de forma independiente y cada una tiene una probabilidad p de funcionar. Cuál de los dos diseños debiera escoger el ingeniero?. Justifica tu respuesta haciendo los cálculos que correspondan. Del enunciado se tiene que P (i) = p para todo i =,, 3 y 4. Sean los eventos F j : el Circuito j funciona, j =,. Con esto tenemos que la probabilidad de que funcione el Circuito es igual a P (F ) = P (( ) (3 4)) = P ( )P (3 4), porque los Circuitos y son independientes de los Circuitos 3 y 4, según las especificaciones (ver Figura). Luego: P (F ) = [P () + P () P ( )][P (3) + P (4) P (3 4)] = [P () + P () P ()P ()][P (3) + P (4) P (3)P (4)], y (3 y 4) son indep. = (p p ) = p ( p). La probabilidad de que funcione el Circuito es igual a P (F ) = P (( ) (3 4)) = P ( ) + P (3 4) P (( ) (3 4)), Usando los mismos argumentos anteriores, se tiene que, P (F ) = P ()P () + P (3)P (4) P ( )P (3 4) = P ()P () + P (3)P (4) P ()P ()P (3)P (4) = p + p p 4 = p ( p ). Por lo tanto, el ingeniero debe seleccionar el Circuito, porque ( p) p. PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
Prueba: Sabemos que, por definición p, entonces ( p). Desarrollando este binomio se llega al resultado. En efecto, ( p), p + p,, 4p + p, 4p + p p, + 4 4p + p p, ( p) p. (3 ptos.) 3. (7 ptos.) En una regulación de calles por semáforos, la luz verde está encendida durante 5 segundos, la luz amarilla 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de forma que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Para cinco automóviles que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados, calcular la probabilidad de que: Primero, sea p la probabilidad de que un automóvil cualquiera encuentre luz verde. La luz verde está encendida durante 5 segundos de un total de 75, por lo tanto p = 5 =.. Sea 75 X el número de automóviles que encuentran la luz verde. Entonces X b(n = 5, p =.). a) solo tres encuentren la luz verde, P (X = 3) = b) a lo más cuatro encuentren la luz verde P (X 4) = P (X = 5) = 5 (.) 3 (.8) =.5. 3 5 (.) 5 (.8) = (.) 5 =.9996. 5 (9 ptos.) (9 ptos.) c) más de uno encuentre la luz verde. 5 5 P (X > ) = P (X = ) P (X = ) = (.) (.8) 5 (.) (.8) 4 =.67. (9 ptos.) PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 4
4. (6 ptos.) Supongamos que se desea estudiar la temperatura máxima de una reacción en un proceso químico durante un determinado período. Para esto se lleva a cabo una investigación durante varios días y se concluye que la temperatura máxima de dicho proceso, se puede modelar por la v.a. T con función de densidad: f(t) =, t α t, < t < αe 6t, t a) Sabiendo que f(t) es la función de densidad de la v.a. T, determinar α. Se sabe que f(t)dt = por definición. Entonces Resolviendo la integral, f(t)dt = [ t α dt α ] + α tdt + α ] [ e 6t 6 = e 6t dt = Evaluando, resulta la ecuación α + α 6 =. Por lo tanto la solución es α = 3. (4 ptos.) b) Cuál es la temperatura máxima esperada? Se pide calcular la esperanza de la distribución f(t). En efecto: E(T ) = tf(t)dt = 3 t dt + 3 = 3 [ ] t 3 + 3 3 = 3 3 + 3 36 te 6t dt ver formulario. 36 = + 4 = 4 =.4583. (4 ptos.) c) Cuál es la probabilidad de que la temperatura máxima esté entre.5 y? P (.5 < T < ) = P (.5 < T < ) + P ( < T < ) = 3.5 tdt + 3 e 6t dt [ ] t ] [ e 6t = 3 + 3.5 6 = 3 8 + 4 ( e ) =.4374. (4 ptos.) PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 5
d) Probar que P ( < T < T > ) = e 6. Utilizando la definición de probabilidad condicional se tiene que, P (.5 < T < T > ) = P ( < T < ) P (T > ) = 3 e 6t dt 3 e 6t dt = = e + e 6 e 6 = e 6. [ ] e 6t 6 ] 6 [ e 6t (4 ptos.) PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 6