Capítulo 6 Cambio de variable 1. Particiones de la Unidad En este capítulo extenderemos la conocida ecuación (6.1) g(b) g(a) f = b a f g g, válida para funciones iemann-integrables f y funciones diferenciables g en un intervalo [a, b]. La extensión se tiene que hacer de manera cuidadosa porque, en primer lugar, si g : n n es una función diferenciable, entonces su derivada es una transformación lineal, por lo que la ecuación (6.1) ni siquiera tiene sentido sobre un rectángulo. Más aún, la imagen de un rectágulo bajo g, g(), podría ser un conjunto no Jordan-medible, por lo cual el lado izquierdo de (6.1) podría no estar definido. La manera de resolver el problema es extendiendo la integral de iemann a funciones definidas sobre conjuntos abiertos de manera local. Esto se puede hacer porque, en cada punto de un conjunto abierto U, existe un rectángulo abierto que lo contiene y a su vez está contenido en U. Es decir, de cierta manera dividimos el conjunto U en pedazos donde podemos calcular la integral, y luego pegamos dichos pedazos. La mejor manera de hacerlo apropiadamente es a travéz de particiones de la unidad, las cuales definimos a continuación. Definición 6.1. Sea n, y sea F una colección de funciones ϕ C definidas sobre un conjunto abierto que contiene a. Decimos que F es una partición de la unidad para si satisface las siguientes condiciones. 1. Para x, ϕ F, 0 ϕ(x) 1. 83
84 6. Cambio de variable 2. Para cada x existe un abierto V que contiene a x tal que sólo un número finito de las ϕ F son desiguales a 0 en V. 3. Para cada x, ϕ(x) = 1. Como ϕ(x) = 0 excepto para un número finito de las ϕ F, la suma en (3) es finita. Sea {U α } una cubierta para. Decimos que la partición de la unidad F está subordinada a {U α } si, para cada ϕ F, existe U α tal que ϕ(x) = 0 para x / U α. Es decir, supp ϕ U α. Teorema 6.2. Sea n y {U α } una cubierta para. Entonces existe una partición de la unidad para subordinada a {U α }. Para la demostración de este teorema utilizaremos el siguiente lema. Lema 6.3. Sea U n abierto y C n compacto tal que C U 1. Entonces existe ϕ C tal que ϕ 1 en C y supp ϕ U. Demostración. Sea f : dada por {e 1 (x+1) f(x) = 2 e 1 (x 1) 2 x ( 1, 1) 0 x / ( 1, 1). Entonces f C, f 0 y supp f = [ 1, 1] (véase la figura 1). Tomaremos -1 1 Figura 1. La fución f(x) de la demostración. F (x) ahora la función F : definida por F (x) = x 1 1 Es decir, F es la integral indefinida de f, normalizada para que F (1) = 1. 1 Esto se suele escribir como C U 1 f. f
1. Particiones de la Unidad 85-1 1 Figura 2. La función de clase C F (x). Nota que F (x) = 0 si x < 1, y F (x) = 1 para x > 1. Desde luego, también es de clase C y no-negativa. Véase la figura 2. Dado ε > 0, definimos entonces la función F ε dada por ( 2x ε ) F ε (x) = F. ε F ε es entonces una función no-negativa de clase C tal que supp F ε [0, ε]. Sea ahora x 0 n y δ > 0. Definimos la función g(x 0, δ; ) : n por ( x 1 x 1 ) ( 0 x 2 x 2 ) ( 0 x n x n ) 0 g(x 0, δ; x) = f f... f. δ δ δ Tenemos entonces que g(x 0, δ; x) > 0 si x δ (x 0 ), donde δ (x 0 ) es el rectángulo abierto δ (x 0 ) = (x 1 0 δ, x1 0 + δ) (xn 0 δ, xn 0 + δ), y g(x 0, δ, x) 0 fuera de δ (x 0 ). Para cada x C, sea δ x > 0 tal que B 2δx (x) U. Entonces δx (x 0 ) U y la colleción { δx (x)} x C es una cubierta para C. Como C es compacto, existen x 1,..., x k tales que Definimos ψ : n por C δx1 (x 1 )... δxk (x k ). ψ(x) = k g(x i, δ xi ; x). Entonces ψ > 0 en C, y ψ 0 fuera de k i=1 δ xi (x i ). De hecho, supp ψ = i=1 k δxi (x i ) U. i=1 Como C es compacto, mín C ψ > 0. Entonces, si tomamos ε = mín C ψ ε > 0, y la función buscada la obtenemos definiendo ϕ = F ε ψ.
86 6. Cambio de variable En esta demostración, podemos observar que C = k δxi (x i ) i=1 k δxi (x i ) U. Como cada δxi (x i ) es un rectángulo abeirto y tenemos una unión finita, podemos concluír el siguiente corolario, del cual haremos uso más adelante. Corolario 6.4. Sea C U n, tales que C compacto y U abierto. Entonces existe un compacto D tal que C D 0 y D U. hora ya estamos listo para la demostración del teorema referente a particiones de la unidad. Demostración del teorema 6.2. Separaremos la demostración del teorema en varios varios casos. Caso 1. Suponemos primero que es compacto. Entonces existen α 1,..., α k tales que k U αi. i=1 i=1 Vamos ahora a construír compactos D 1,..., D k tales que Escogemos primero D 1... D k y D i U αi. C 1 = \ (U α2... U αk ). Tenemos entonces que, como es compacto y cada U αi es abierto, C es complacto. demás, C 1 U α1, porque los U αi cubren a. Por el corolario 6.4, existe un compacto D 1 tal que C 1 D 0 1 y D 1 U α1. Procedemos inductivamente: una vez construídos D 1, D 2,..., D i, tomamos C i+1 = \ ( D 0 1 D0 2... D0 i U α i+2... U αk ). Entonces C i+1 es compacto y C i+1 U αi+1, y usamos de nuevo el corolario 6.4 para escogemos un compacto D i+1 U αi+1 tal que C i+1 D 0 i+1. Por el lema 6.3, existen funciones ψ i C tales que ψ i > 0 en D i y supp ψ i U αi. Definimos entonces ϕ i : n por ψ i x k i=1 ϕ i = ψ 1 +... + ψ supp ϕ i k 0 de otra forma. Entonces la colección F = {ϕ i : i = 1, 2,..., k} es una partición para de la unidad subodinada a {U α }.
1. Particiones de la Unidad 87 Caso 2. Suponemos ahora que es de la forma = C 1 C 2..., donde los C i son compactos y, para cada i, C i Ci+1 0. Definimos entonces, para cada i, la colección C i = {U α (C 0 i+1 \ C i 2)} α, Como C i C i+1, C i 2 C 0 i+1, y {U α} α es una cubierta para, C i \ C 0 i 1 α U α (C 0 i+1 \ C i 2). Entonces C i es una cubierta para el compacto C i \ Ci 1 0. Por el caso 1, existe una partición de la unidad, a la que llamaremos F i, para cada C i \ Ci 1 0 subordinada a C i. Supongamos que x C i y ψ F j. Como F j está subordinada a C j, existe U C j tal que supp ψ U Cj+1 0 \ C j 2. Como C i C i+1, si j 2 i entonces ϕ(x) = 0. sí que, para cada x, sólo existe un número finito de funciones ψ en la colección F j desiguales a 0 alrededor de x. Podemos definir entonces σ(x) = ψ(x). ψ F j Esta suma está bien definida para cada x porque sólo tiene un número finito de sumandos. Entonces, la colección { ψ F = σ : ψ } F j es una partición de la unidad para subordinada a {U α } α. Caso 3. Suponemos ahora que es abierto. Si = n, entonces podemos reducir este caso al anterior simplemente recordando que n = B n (0), n=1 donde B n (0) es la bola cerrada, y por lo tanto compacta, de radio n alrededor de 0. Si no es todo n,. Definimos dist(x, ) = mín{ x y : y }. Entonces, escribimos = {x : x i, dist(x, ) 1/i}. i=1
88 6. Cambio de variable La igualdad la obtenemos porque, como es abierto, dist(x, ) > 0. Cada conjunto {x : x i, dist(x, ) 1/i} es cerrado y acotado, y por lo tanto compacto, así que hemos reducido al caso anterior. Caso 4. general. En este caso simplemente tomamos B = U α. α Entonces B es abierto y contiene a. Por el caso anterior, existe una partición de la unidad para B subordinada a {U α } α. Es claro que también es una partición de la unidad para, subordinada a la misma cubierta. Observación 6.5. De la demostración del teorema 6.2, podemos escoger la colección F de tal forma que sea contable y cada uno de los soportes supp ϕ sea compacto. Usaremos este hecho más adelante. Observación 6.6. Supongamos que C es compacto. Para cada x C, existe un abierto V x tal que sólo un número finito de las ϕ F no son cero. Como C es compacto, existen x 1,..., x k tales que C V x1... V xk, así que sólo un número finito de las ϕ F no son cero en C. 2. Extensión de la integral de iemann En esta sección extenderemos la integral de iemann a conjuntos abiertos. En el capítulo anterior lo habíamos hecho a conjuntos Jordan-medibles. Sin embargo, no todos los conjuntos abiertos son Jordan-medibles, así que es necesario extender la definición de la integral aún más. Esto lo haremos a través de las particiones de la unidad, construídas en la sección anterior. Definición 6.7. Sea n abierto y {U α } una cubierta para. Decimos que {U α } es admisible si cada U α. Ejemplo 6.8. Si es abierto, para cada x existe un rectángulo abierto x tal que x x y x. Entonces la colección { x : x } es una cubierta admisible para. Definición 6.9. Decimos que f : es localmente acotada si, para cada x, existe un abierto V tal que x V y f es acotada en V. Ejemplo 6.10. Las funciones continuas son localmente acotadas. Si f : es continua, para x existe un abierto V tal que x V y f(y) f(x) < 1. Entonces f(y) < f(x) + 1 para todo y V, así que f es acotada en V. Ejemplo 6.11. La función f : [0, 1], dada por { 1 f(x) = x x > 0 0 x = 0
2. Extensión de la integral de iemann 89 no es localmente acotada en 0, ya que no existe un conjunto abierto V que contenga a 0 tal que f sea acotada en V. Es posible, de hecho, encontrar una función que no sea localmente acotada en ningún punto. Ejemplo 6.12. Sea f : [0, 1] dada por { q x = p f(x) = q, p, q primos relativos 0 x / Q. Esta función no es acotada en ningún conjunto abierto. Sea n abierto, y consideramos una función f : localmente acotada tal que {x : f es discontinua en x} es de medida cero. Sea {U α } una cubierta admisible para y F una partición de la unidad para subordinada a {U α }. Por la observación 6.5, podemos escoger F tal que sea contable y cada supp ϕ sea compacto; de hecho, de la demostración del teorema 6.2, podemos suponer que los conjuntos supp ϕ son rectángulos cerrados. Entonces, para cada ϕ F, la integral ϕ f = ϕ f está bien definida. supp ϕ Decimos que f es integrable (con respecto a F) si ϕ f <. Es decir, f es integrable (con respecto a F) si la serie de número no-negativos ϕ f converge. Como para cada ϕ ϕf ϕ f, porque ϕ 0, tenemos que y entonces la serie converge absolutamente. ϕf < Lo primero que haremos es garantizar que la convergencia de la serie anterior, al igual que su límite, es independiente de la partición de la unidad F. ϕf
90 6. Cambio de variable Teorema 6.13. Sea n un conjunto abierto, {U α } una cubierta admisible para y F una partición de la unidad subordinada a {U α }. Sea f : integrable (con respecto a F). Entonces, si {V β } β es un cubierta admisible para y G es una partición de la unidad subordinada a {V β }, entonces f es integrable (con respecto a G) y ψf = ϕf. ψ G Demostración. Como cada supp ϕ es compacto, por la observación 6.6 sólo un número finito de las ϕ G no es cero, así que la suma ψϕ ψ G tiene un número finito de sumandos en supp ϕ. Entonces, para cada ϕ F ϕ f = ψϕ f = ϕψ f, ψ ψ donde hemos usado el hecho que ψ 1. Como ϕ f < y tenemos que ψ G ϕ f = ψ G ψ G ψϕf <. ψϕ f, sí que todas las sumas dobles involucradas onvergen absolutamente, por lo que podemos intercambiar las sumatorias. Primero, ψϕ f = ϕψ f = ϕψ f = ψ f, ψ G ψ G ψ G ψ G y entonces ψ ψ f <. sí que ya sabemos que f es integrable (con respecto a G). De igual forma, ψϕf = ψϕf. ψ G ψ G
2. Extensión de la integral de iemann 91 La suma de la izquierda es igual a ψϕf = ψϕf = ψ G ψ G ϕ mientras que la de la derecha es igual a ψϕf = ϕψf = ψ G ψ G ψ G Por lo tanto ϕf = ψf. ψ G ϕf, ψf. Este teorema entonces nos permite concluír que la integrabilidad es independiente de la partición, por lo que no es necesario hacer referencia a ella, y simplemente diremos, si f es integrable con repsecto a alguna partición en particular, que es integrable. Si n es abierto y f : es integrable, definimos la integral de f sobre como f = ϕf, donde F es una partición de la unidad para subordinada a alguna cubierta admisible. hora demostraremos que esta definición extiende la integral de iemann a conjuntos abiertos. Teorema 6.14. Si es un conjunto abierto Jordan-medible y f : integrable y acotada. Entonces f = χ f, donde la integral del lado derecho es la integral de iemann sobre un cualquier rectángulo. En el teorema simplemente hemos extendido la función f a tal que f(x) = 0 si x \. Como el conjunto de discontinuidades de f en tiene medida 0, su extensión a de esa forma también tiene conjunto de discontinuidades de madida 0, ya que la única diferencia son, a lo más, los puntos en, y tal conjunto tiene medida 0 porque es Jordan-medible. Nótese que tenemos que asumir que la función f es acotada para poder calcular su integral de iemann.
92 6. Cambio de variable Demostración. Sea ε > 0 y C un conjunto compacto Jordan-medible tal que 1 < ε. \C Tal conjunto existe por la proposición 5.35. Por la observación 6.6, el conjunto F = {ϕ F : ϕ C 0} es finito. Entonces χ f ϕf = f (χ ϕf) ( M 1 ) ϕ, ( χ ) ϕ f donde M > 0 es una constante tal que f(x) M. Como ϕ 1 y ϕ C 0 si ϕ / F, tenemos que χ f ϕf M Como ε > 0 es arbitrario, ϕ \C ϕ/ F ϕf = ϕ M χ f. \C 1 < Mε. El teorema 6.14 nos garantiza que la nueva integral, definida en conjuntos abiertos a través de particiones de la unidad, es efectivamente una extensión de la integral de iemann. De hecho, si es acotado, entonces cualquier función iemann integrable sobre un rectángulo es integrable en este sentido. Proposición 6.15. Si es abierto y acotado y f : tiene discontinuidades de medida cero y es acotada, entonces es integrable. Demostración. Sea un rectángulo tal que. Como f es acotada, existe M > 0 tal que f(x) M para todo x. Si tomamos F F finito, entonces ϕ f M ϕ = M ϕ M 1 = M v().
3. Cambio de Variable 93 Como F es arbitrario, podemos concluír que la serie ϕ f converge. De esta proposición concluímos, por ejemplo, que todas las funciones continuas acotadas sobre conjuntos abiertos acotados son integrables. continuación presentamos un ejemplo de una función no acotada que es integrable. Ejemplo 6.16. Consideremos la función f : (0, 1) dada por f(x) = 1 x. Sea F una partición de la unidad subordinada a la cubierta admisible formada por los conjuntos ( 1 U n = 2 n+1, 1 ) 2 n 1, n = 1, 2,.... Podemos suponer que F = {ϕ n : n = 1, 2,...}, donde cada supp ϕ n U n. Entonces 1 1/2 n 1 ϕ n f x dx 2 n+1 = 3, U n 1/2 n+1 2 n+1 y por lo tanto (0,1) sí que f es integrable. (0,1) 3. Cambio de Variable ϕf n=1 3 2 n+1 <. hora estamos listos para establecer y demostrar la versión de cambio de variables en n. Teorema 6.17. Sea n abierto, g : n de clase C 1, inyectiva y tal que detg (x) 0 para todo x. Entonces (6.2) f = f g det g, g() para toda función integrable f : g(). ntes de proceder a la demostración del teorema 6.17, hagamos algunas observaciones. Por el teorema de la función inversa, la imagen del conjunto abierto, bajo la función de clase C 1 g, es abierto, así que la integral del
94 6. Cambio de variable lado derecho de (6.2) también debe entenderse en el sentido extenso de la sección anterior. También observamos que, mientras que en la versión unidimensional del teorema 6.17, es decir la ecuación (6.1), la composición f g está multiplicada por g (x), aquí está multiplicada por el determinante del Jacobiano g (x). Demostración. Para la demostración del teorema 6.17, primero haremos una serie de reducciones. Paso 1. El teorema es cierto si existe una cubierta admisible {U α } para tal que f = f g det g U α g(u α) para todo α y toda función integrable f. Como cada g(u α ) es abierto, por el teorema de la función inversa, la colección {g(u α )} es también una cubierta admisible para g(). Sea F una partición de la unidad para g() subordinada a {g(u α )}. Entonces, para cada ϕ F, existe α tal que supp ϕ g(u α ). sí que supp(ϕ g) U α y ϕf = (ϕf) g det g U α es equivalente a Entonces g() f = g() g(u α) ϕf = g() ϕf = (ϕ g)(f g) det g. (ϕ g)(f g) det g = f g det g. Es fácil ver ahora que el teorema también se sigue si existe una cubierta admisible {V β } es para g() tal que f = f g det g, V β g 1 (V β ) para todo β y toda f integrable. Paso 2. Es suficiente con demostrar el teorema para el caso f 1. Si el teorema es cierto para la función constante igual a 1, la linealidad de la integral implica que también es cierto para cualquier función constante.
3. Cambio de Variable 95 hora bien, sea V un rectángulo en g(), y sea P una partición de V. Entonces, si f es una función acotada en V, L(f, P) = m S (f)v(s) = m S (f) 1 S P S P S 0 = m S (f) 1 g det g S P = S P S P g 1 (S 0 ) g 1 (S) g 1 (S 0 ) m S (f) g det g f g det g = g 1 (V ) nálogamente, para U(f, P) obtenemos U(f, P) f g det g. g 1 (V ) Por lo tanto, si f es integrable en y acotada en V, f = f g det g. V g 1 (V ) f g det g. Como los rectángulos abiertos en g() forman una cubierta admisible para g(), el teorema es verdad por el Paso 1. Paso 3. Si g() B y el teorema es cierto para g : n y h : B n, entonces es cierto para h g : n. Esto se sigue de la aplicación del teorema para cada una de las funciones, es decir, f = f = f h det h h g() = h(g()) g() f (h g) det h (g) det g = donde también hemos usado la regla de la cadena. Paso 4. El teorema es verdad si g es lineal. g() f (h g) det(h g), Esto se sigue del ejercicio 3 y del Paso 2, porque 1 = det g v() = 1 g det g = 1 g det g. También hemos usado el hecho que, si g es lineal, Dg = g. hora procedemos a la demostración del teorema, la cual se lleva a cabo por inducción en n, la dimensión del espacio.
96 6. Cambio de variable Si n = 1, entonces simplemente tenemos la ecuación (6.1). Suponemos entonces que el teorema es verdad para n 1. Sea x 0. Por el Paso 1, es suficiente con encontrar una vecindad U de x 0 tal que 1 = det g. g(u) demás, por los pasos 3 y 4, podemos suponer que g (x 0 ) = I n. Definimos h : n por h(x) = (g 1 (x), g 2 (x),..., g n 1 (x), x n ). Entonces h (x 0 ) = I n. Por el teorema de la función inversa, existe una vecindad U 1 de x 0 tal que h es 1 1 en U 1 y det h (x) 0 para todo x U 1. Definimos ahora k : h(u 1 ) n por Entonces k h = g y, si y 0 = h(x 0 ), así que k (y 0 ) = I n. k(y) = (y 1, y 2,..., y n 1, g n (h 1 (y))). (g n h 1 ) (y 0 ) = (g n ) (x 0 ) = (0,..., 0, 1), Por el teorema de la función inversa, existe una vecindad V h(u 1 ) de h(x 0 ) = y 0 tal que k es 1 1 en V y det k(y) 0 para todo y V. Sea U = h 1 (V ). Tenemos entonces que h(u) V, h : U n, k : V n, y g = k h. Por el Paso 3, es sufiente con demostrar el teorema para h y para k. Procedemos primero para h. Sea W = [a n, b n ] un rectángulo en U, donde es rectángulo apropiado en n 1. Queremos entonces mostrar 1 = det h. h(w ) Por el teorema de Fubini, 1 = h(w ) [a n,b n] U ( W h( {x n }) ) d x dx n, donde hemos escrito, para simplificar la notación, x = ( x, x n ). Si escribimos h x n( x) = h( x, x n ), nuestra hipótesis de inducción implica que d x = d x = det h x n. h( {x n }) h x n()
3. Cambio de Variable 97 Entonces h(w ) 1 = = [a n,b n] ( [a n,b n] det h x )dx n n = det h = W det h. [a n,b n] ( ) det h dx n La demostración para la función k es muy similar. Tomamos ahora un rectángulo W = S [c n, d n ] V. De nuevo, por el teorema de Fubini, ( 1 = 1dx n) d x k(w ) = S S ( k({ x} [c n,d n]) [c n,d n] det k x dxn) d x, donde hemos escrito k x (x n ) = k( x, x n ) = k(x). El teorema se sigue entonces porque det k x(xn ) = det k (x). Consideremos, por ejemplo, la transformación dada por g : + (0, 2π) 2 g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). La imagen de g está dada por el plano 2 excepto el eje x positivo, como se ve en la figura 3. g() Figura 3. La imagen del domino = + (0, 2π) bajo la transformación g. Es claro que g es inyectiva. Su Jacobiano en cada punto (r, θ) está dado por ( ) g cos θ r sen θ (r, θ) =, sen θ r cos θ
98 6. Cambio de variable así que det g = r > 0 para todo (r, θ) + (0, 2π). La transformación g describe al plano 2 en coordenadas polares. Si 0 < r 1 < r 2, 0 < θ 1 < θ 2 < 2π y B es el arco de anillo g ( (r 1, r 2 ) (θ 1, θ 2 ) ), el teorema 6.17 implica que f = f g det g = B [r 1,r 2 ] [θ 1,θ 2 ] para cualquier función f integrable en B. [r 1,r 2 ] [θ 1,θ 2 ] f(r cos θ, r sen θ)rdrdθ, Ejemplo 6.18. El uso de coordenadas polares nos permite calcular explícitamente, por ejemplo, integrales que el simple uso del teorema fundamental del cálculo no es suficiente. Por ejemplo, consideremos la integral impropia e x2 dx = lím N N e x2 dx. La idea es utilizar coordenadas polares para evaluar esta integral. Lo primero que debemos hacer es relacionarla con una integral sobre algún conjunto en 2. Esto se logra reescribiendo el cuadrado de la integral de la siguiente forma: ( N ) 2 N e x2 dx = = = N N N e x2 dx ( N ( N Por el teorema de Fubini, esta integral es igual a F, [,N] [,N] e y2 dy ) e x2 dx e y2 dy e (x2 +y 2) ) dx dy donde F : 2 está dada por F (x, y) = e (x2 +y 2). Llamamos = [, N] [, N]. Entonces, como F es positiva, (6.3) F F B N (0) B 2N (0) F, donde B N (0) y B 2N (0) son los discos alrededor de 0 de radio N y 2N, respectivamente, como en la figura 4. Demostraremos que el límite
3. Cambio de Variable 99 N 2 N N Figura 4. Los discos B N (0) y B 2N (0) alrededor de 0 de radio N y 2N, respectivamente. Se observa que BN(0) B 2N (0). lím F N B N (0) existe, y lo calcularemos explícitamente. Primero, observemos que B N (0) = g((0, N) (0, 2π)) S donde S es un conjunto de contenido cero. Entonces, por el teorema 6.17, F = F (r cos θ, r sen θ)rdrdθ. B N (0) Como F (x, y) = e (x2 +y 2), así que B N (0) Por el teorema de Fubini, N ( 2π F = sí que B N (0) 0 0 (0,N) (0,2π) F (r cos θ, r sen θ) = e r2, F = (0,N) (0,2π) e r2 rdrdθ. ) N e r2 rdθ dr = 2πe r2 rdr = π(1 e 2 ). 0 lím F = π. N B N (0) Por las desigualdades (6.3), podemos concluír que ( N 2 e dx) x2 = π, y por lo tanto lím N N lím e x2 dx = π. N
100 6. Cambio de variable 4. El teorema de Sard Teorema 6.19 (Sard). Sea n abierto y g : n de clase C 1. Sea Entonces g(b) es de medida cero. B = {x : det g (x) = 0}. Demostración. Sea un rectángulo cerrado de lados con longitud L. La demostración se sigue de las siguientes tres observaciones: 1. Existe M > 0 tal que, para todo x, y, g(x) g(y) M x y. 2. Para todo ε > 0, podemos subdividir en N n subrectángulos, de lados con longitud L/N, tales que si x y y pertenecen a uno de estos subrectángulos, g(x) g(y) Dg(x)(x y) < ε x y. 3. puede ser cubierto por un número contable de rectángulos. La primer observación se sigue del hecho que g es continuamente diferenciable, la compacidad de, y del lema 3.25. La segunda, de la definición de la derivada y, de nuevo, de la compacidad de. La última, sólo que tenemos que restringirnos a rectángulos cuyos vértices tienes coordenadas racionales. Demostraremos entonces que g( B) tiene medida cero. Sea ε > 0, y tomemos S uno de los rectángulos de la observación (2) tal que S B. Si x S B, entonces det g (x) = 0 y Dg(x)(x y) pertenece a un subespacio V de dimensión menor o igual a n 1 en n. Si v = Dg(x)(x y) y y S, g(x) g(y) v < ε n L N, es decir, g(x) g(y) está a distancia menor que ε nl N está a distancia ε nl N de v + g(x). Pero, por la observación (1), g(x) g(y) M n L N, de v, es decir, g(y) así que g(y) pertenece a un rectángulo en n que tiene como base un rectángulo de dimensión n 1, cuyos lados miden 2M n L N,
Ejercicios 101 y cuya altura mide 2ε n L N. sí que este rectángulo tiene volumen ( 2M n L ) n 12 ( ε n L ) = C ε N N N n, donde C no depende de ε ni de N. Hemos demostrado entonces que, si S B, g(s) está contenido en un rectángulo de volumen Cε N n. Como a lo mas hay N n de esos subrectángulos, g( B) está contenido en una unión de rectángulos cuyos volumenes suman a lo más Cε. Como ε es arbitrario, g( B) es de medida cero. El teorema de Sard, entre otras cosas, nos permite generalizar el teorema de cambio de variables 6.17 al caso cuando det g (x) = 0 en algunos puntos. Véase el ejercicio 4. Ejercicios 1. Muestra que, si p < 1, la función f p : (0, 1) dada por es integrable, y calcula f p (x) = 1 x p (0,1) 2. Sea f : (a, b) continua tal que f(x) 0 para todo x (a, b). Muestra que f es integrable si y sólo si f existe. lím ε 0 f p. [a+ε,b ε] 3. Sea T : n n una transformación lineal y n un rectángulo. a) Muestra que si { e i i j T (e i ) = λe j i = j, entonces el volumen de T () es λ v(), donde v() es el volumen de. quí e 1,..., e n es la base estándar de n.
102 6. Cambio de variable b) Muestra que si e i i j, k T (e i ) = e k i = j e j i = k, entonces v(t ()) = v(). c) Muestra que si { e i i j T (e i ) = e j + e k i = j, entonces v(t ()) = v(). d) Concluye que v(t ()) = det T v() para toda transformación lineal T. 4. Utiliza el teorema de Sard para evitar la hipótesis det g (x) 0 en el teorema 6.17.