Tema 2: Vectores libres

Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector Vectores deslizantes y ligados 2

Magnitudes escalares y vectoriales Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido Velocidad, aceleración, fuerza, etc Magnitud tensorial 3

Definición de vector En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial En Física es un segmento orientado: una flecha Módulo Recta soporte Dirección Sentido Sentido Punto de aplicación Punto de aplicación ct e R rte o op s a n) ó i ecc r i (d ulo d mó Representación: a o 5

Tipos de vectores Libres: módulo, dirección y sentido Pueden moverse libremente en el espacio Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación No pueden desplazarse en el espacio Una misma magnitud puede describirse con diferentes tipos de vectores en diferentes situaciones 6

Vectores libres Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan en el espacio 8

Vectores libres Suma de vectores libres Dos vectores Varios vectores 10

Vectores libres: suma Propiedades de la suma Conmutativa Asociativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto 11

Vectores libres: producto por un escalar El producto por un escalar es otro vector Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar Distributiva respecto a la suma de vectores Distributiva respecto a la suma de escalares Existencia de escalar unidad 12

Bases vectoriales Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3}, tal que cualquier vector a puede escribirse como combinación lineal de ellos a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B Para que tres vectores sean una base no deben ser ni colineales ni coplanarios (linealmente independientes) La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente independientes que pueden describir todos los vectores del espacio 14

Base cartesiana Triedro OX1X2X3 OXYZ X3 Z Base ortonormal Componentes O X2 Y Álgebra vectorial X1 X 15

Producto escalar Definición El resultado de la operación es un escalar El punto es importante Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y ángulos 17

Producto escalar: aplicaciones Condición de ortogonalidad para dos vectores = /2 Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro vector Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector Si ninguno de los vectores es unitario 18

Producto escalar: aplicaciones X3 Distancia entre dos puntos P(p1,p2,p3) Ángulo entre dos vectores O Q(q1,q2,q3) X2 X1 Permite definir una métrica en el espacio 19

Producto escalar: propiedades Propiedades Asociativa resp. prod. por un escalar Conmutativa Distributiva resp. a suma Cancelativa 20

Producto escalar: base ortonormal Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de módulo unidad Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal 21

Producto escalar: base ortonormal Aplicaciones Distancia entre dos puntos Ángulo entre dos vectores X3 Componentes cartesianas de un vector 3 Cosenos directores 2 1 O X2 X1 22

Producto escalar: ecuación vectorial de un plano Punto por el que pasa el plano Z P1 Vector normal al plano P Punto genérico del plano X O Y Condición para que el punto P esté en el plano Ecuación general del plano 23

Producto vectorial Definición El resultado de la operación es un vector Escritura alternativa Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo Permite construir rápidamente vectores perpendiculares Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal 24

Producto vectorial Condición de paralelismo = =0 Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal Si u =1 es la componente perpendicular de la proyección Área del paralelogramo que forman dos vectores 25

Producto vectorial Propiedades No es asociativo Anticonmutativa Asociativa resp. al prod. por un escalar Distributiva respecto a la suma Cancelativa 26

Producto vectorial: base cartesiana Es una base ortonormal dextrógira Expresión en una base ortonormal 27

Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta Z Punto por el que pasa la recta P1 Vector director de la recta X Punto genérico de la recta Condición para que el vector r P O Y sea paralelo al vector director Ecuaciones de la recta Vectorial Paramétricas Continua 28

Producto mixto Definición: involucra tres vectores El resultado de la operación es un escalar El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo h Condición de coplanariedad Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo 29

Producto mixto Propiedades Permutabilidad cíclica Permutabilidad acíclica Expresión en una base cartesiana 30

Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados Puntos por los que pasa el plano Z P2 Punto genérico del plano P1 P3 Condición de coplanariedad X O Y Ecuación del plano 31

Doble producto vectorial Definición: involucra tres vectores El resultado de la operación es un vector Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales 33

Derivada de un vector Un vector puede ser función de una variable (típicamente el tiempo) Variación del módulo Variación de la dirección En general varían las dos cosas 35

Derivada de un vector Derivada de un vector expresado en una base cartesiana Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores 36

Vectores deslizantes La fuerza F equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la B1 recta Δ G A B2 Vector deslizante La misma fuerza aplicada en otra recta no equilibra la barra Son vectores deslizantes distintos G Producen efectos mecánicos diferentes A En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte El vector a considerado como vector libre se llama cursor del vector deslizante 38

Vectores deslizantes: momento de un vector deslizante La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector respecto a un punto O P1 El momento es el mismo para todos los puntos P1 de la recta O P1 P2 Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O 39

Álgebra de vectores deslizantes Definimos la suma de un conjunto de vectores deslizantes El resultado es otro vector deslizante, definido por un cursor R (resultante) y su momento respecto a un punto MO (momento resultante) Y P X O P1 P2 O 40

Vectores ligados El vector está ligado a un punto Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el vector Z depende del punto de partida P X O Y Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto Si cambia el punto, cambia la recta soporte del vector deslizante 41

Resumen Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del espacio Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio Producto escalar Condición de ortogonalidad Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación al cálculo de componentes en bases cartesianas) 42

Resumen Producto vectorial Condición de paralelismo Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección Área del paralelogramo Producto mixto Condición de coplanariedad Volumen del paralelepípedo Doble producto vectorial Derivada de un vector Puede cambiar el módulo y/o la dirección Derivada de un producto escalar y vectorial Vectores deslizantes y ligados 43