3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de Ecuaciones Lineales 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Sistemas de Ecuaciones en General. 2.- Sistemas Equivalentes. 3.- Sistemas de Cramer. 4.- Teorema de Rouché - Fröbenius. 5.- Sistemas Homogéneos. 6.- Método de Eliminación de Gauss. 7.- Método de Eliminación de Gauss - Jordan. 8.-Errores de Redondeo y algunas estrategias de redondeo. 9.- Métodos de Factorización: 9.1.- Factorización LU. 9.2.- Factorización LDU. 9.3.- Factorización de Matrices Simétricas. 9.4.- Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas. PROBLEMAS RESUELTOS. BIBLIOGRAFÍA 67

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCIÓN Muchos problemas de la vida cotidiana (todos aquellos que admitan una modelización lineal) requieren de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. En su preparación preuniversitaria, el alumno ya se ha enfrentado con este tipo de sistemas, aunque en la mayor parte de los casos éstos se reducen a utilizar únicamente dos o a lo sumo tres incógnitas. En su futuro profesional esta herramienta le será imprescindible al futuro ingeniero para dar solución a numerosos problemas que se le irán presentando día a día. Es por esto que la inclusión de este capítulo es imprescindible en el temario de las matemáticas que el alumno curse a lo largo de su carrera. Los sistemas de ecuaciones lineales están íntimamente ligados a conceptos tales como matrices o determinantes que el alumno ha aprendido a manejar en el Bachillerato. Por otra parte tiene una conexión profunda con capítulos posteriores de la asignatura de Matemáticas I, tales como los espacios vectoriales (en realidad los subespacios vectoriales se presentan como el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo). En general, este capítulo se puede considerar básico para poder hacer frente a la mayor parte de los temas posteriores, ya que en casi todos ellos, la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se convierte en un paso previo o intermedio a la aplicación de cualquier otra técnica específica para enfrentarse a problemas de mayor complejidad. 68

Sistemas de Ecuaciones Lineales OBJETIVOS Con el epígrafe de los Sistemas de Ecuaciones en General se pretende que alumno sea consciente de que en realidad trabaja con una herramienta que ya conoce del bachillerato y que únicamente se generalizará para que la pueda aplicar a un campo más amplio. Con las definiciones de los distintos sistemas de ecuaciones lineales el alumno debe adquirir la destreza de reconocerlos sin dificultad, lo que le facilitará la elección del método más adecuado para resolverlo. Ofreciendo al alumno distintos métodos de resolución de un sistema se le está dando más libertad de actuación. Se pretende que el alumno sea capaz de decidir en cada caso el método más conveniente. Con los distintos métodos de factorización se persigue que el alumno logre manejar un algoritmo fácilmente programable para resolver un sistema de ecuaciones lineales de grandes dimensiones. De esta forma, con ayuda de un ordenador, cálculos que a mano resultarían muy tediosos de realizar, se podrían efectuar en cuestión de segundos. 69

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCION TEORICA 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN GENERAL Un sistema de n ecuaciones y m incógnitas se representa por: a x + a x + + a x = b a x a x a x b 11 1 12 2 1m m 1 21 1+ 22 2 + + 2m m = 2 n1 1+ n2 2+ + nm m = n a x a x a x b (1) donde a ij son los coeficientes, x j las incógnitas y b i los términos independientes. Siendo 1 i n, y 1 j m. A la matriz formada por los coeficientes: A = a a a a a a a a a 11 12 1m 21 22 2m n1 n2 nm la denominaremos matriz de coeficientes. Si a la matriz de coeficientes le añadimos una columna formada por los términos independientes del sistema, se obtiene la matriz: a11 a12 a1m b1 a21 a22 a2m b2 A' = an 1 an2 anm b n que también se simboliza por A o ( A b) ampliada. que denominaremos matriz 70

Sistemas de Ecuaciones Lineales Así, el sistema (1) se puede representar en notación matricial por: A x = b siendo, x 1 2 m x x = y x b 1 2 b n b b =. 1.1. Nomenclatura Un sistema que posea solución se dice que es compatible. Si la solución es única, se dice que es compatible determinado, en caso que no sea única, tendrá infinitas soluciones y se dice que es compatible indeterminado. Un sistema que no tenga solución se dice que es incompatible. 2. SISTEMAS DE EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si admiten las mismas soluciones. Recordemos, brevemente, tres transformaciones permitidas en la resolución de sistemas de ecuaciones, para transformar un sistema dado en otro equivalente más sencillo de resolver: Una ecuación E i puede multiplicarse (dividirse) por cualquier constante k (distinta de cero), obteniéndose otra ecuación equivalente a la primera. Esta operación la indicaremos por Ei k Ei 71

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. La ecuación E j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumársela (restársela) a la ecuación E i, obteniéndose una ecuación equivalente a ésta. Esta operación la indicaremos por: Ei Ei + k Ej. Dos ecuaciones pueden intercambiarse entre sí, obteniéndose un sistema equivalente. Lo indicaremos por Ei Ej. 3. SISTEMAS DE CRAMER Son los sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas, A x = b, con A 0. Estos sistemas tienen solución única y dicha solución es 1 x A b =, con x 1 2 n x x =. x Otra forma de calcular su solución es: i A i A x =, i = 12,,, n donde A i es la matriz deducida de la matriz A al sustituir su columna i por la matriz columna b de los términos independientes. 4. TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS 1.-El sistema A X = B tiene solución si y sólo si rang( A) = rang( A ). En este caso: a) Si rang( A) = rang( A ) = m = n o de incógnitas El sistema es compatible determinado. 72

Sistemas de Ecuaciones Lineales b) Si rang( A) = rang( A ) < m = n o de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. 2.-Si rang( A) rang( A ) El sistema es incompatible. 5. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Si b = 0, el sistema de ecuaciones se llama homogéneo (todos los términos independientes son 0). Todo sistema homogéneo admite al menos la solución trivial: 0 0 x =. 0 Una solución del sistema homogéneo A x = 0 distinta de la idénticamente nula se dice que es una solución no trivial. Un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales rang( A) < m = n o de incógnitas del sistema. Resumiendo, en los sistemas homogéneos se tiene que: a) Si rang( A) la solución x = 0. b) Si rang( A) compatible indeterminado. = m = n o de incógnitas entonces el sistema sólo admite = m = n o de incógnitas entonces el sistema es 6. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Dado el sistema general (1), el método de eliminación de Gauss consiste en efectuar las transformaciones necesarias hasta conseguir un sistema equivalente triangular de la forma: 73

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. a11x1 + a12 x2 + + a1 nxn = b 1 a 22x2+ + a2nxn = b 2 a x = b nn n n (2) obtenido siempre que a ii sea distinto de cero (elemento pivote) por la transformación: a ji j j a i ii E E E para cada j = i+,+ 1i 2,, n. Efectuando en (2) sustitución regresiva o sustitución hacia atrás, de la última ecuación, se obtiene: bn x n ann = (3) Sustituyendo en la n 1 ecuación el valor de x n, se obtiene: bn 1 an 1 n xn x =, n 1 an, 1 n 1 y continuando el proceso, llegamos a que: n bi ai j xj j=+ i 1 x i aii = para i = n 1, n 2,, 2, 1. (4) Existe una variante del proceso anterior, que consiste en hacer que todos los pivotes sean iguales a uno, es decir a ii = 1, para todo i = 12,,, n, esto se consigue dividiendo la fila pivote por a ii, es decir: E i. Ei aii Por simplificación, a la hora de aplicar el método de Gauss, se utilizan unas secuencias de matrices ampliadas de la forma: 74

Sistemas de Ecuaciones Lineales * * * a11 a1 n b1 a11 a1n b 1 * * a21 a2n b2 0 a2n b2 an 1 ann b * * n 0 ann b n 7. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Dado el sistema general (1), el método de Gauss- Jordan consiste en realizar las transformaciones adecuadas, una vez hecha la eliminación de Gauss, hasta conseguir un sistema equivalente de la forma: a x + 0+ + 0 = b 11 1 1 a 22x2+ + 0 = b2 ann xn = b n (5) Así, las soluciones se obtienen directamente de cada ecuación, es decir, bi x i aii =, i = 1, 2,, n. (6) que tiene la ventaja respecto al método de Gauss, de evitar la sustitución regresiva y la desventaja de requerir un mayor número de transformaciones. Existe, al igual que en el método de Gauss, una variante que consiste en conseguir que los coeficientes a ii = 1, para todo i = 12,,, n. De forma análoga al método de Gauss, se pueden utilizar las matrices ampliadas sucesivas, para su desarrollo simplificado. 75

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 8. ERRORES DE REDONDEO Y ALGUNAS ESTRATEGIAS DE REDONDEO Cuando se apliquen los métodos de eliminación estudiados, Gauss y Gauss-Jordan, y se obtenga algún elemento pivote a ii = 0, será necesario intercambiar ecuaciones para proseguir con el algoritmo iniciado. Pues bien, en la práctica no solamente es necesario intercambiar ecuaciones cuando a ii = 0, sino en otros muchos casos, en los que se producen errores múltiples de redondeo al utilizar un número de dígitos limitados. Una estrategia muy simple consiste en seleccionar siempre como elemento pivote el elemento de la misma columna (por debajo de la diagonal), que tenga mayor valor absoluto, e intercambiar las ecuaciones, si fuera necesario, antes de realizar las transformaciones. Esta técnica se conoce como pivotamiento máximo de columna o pivotamiento parcial. Aunque la técnica de pivoteo parcial es suficiente en la mayoría de los casos, a veces hay situaciones que resulta inadecuado. Para ello, se utiliza la técnica de pivotamiento total o máximo, que consiste en encontrar el elemento de máximo valor absoluto de la submatriz aii a nn y elegirlo de pivote, intercambiándose tanto ecuaciones como incógnitas si fuera necesario. 76

9. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Sistemas de Ecuaciones Lineales Consisten esencialmente en descomponer la matriz A de un sistema de ecuaciones como producto de dos matrices triangulares, siendo los más frecuentes los que se exponen a continuación: 9.1. Factorización LU En esta factorización se descompone la matriz A como producto de dos matrices tirangulares A = LU (L, matriz triangular inferior y U matriz triangular superior). Si partimos del sistema A X = B, se tiene que L ( U X) = B. Resolvemos primero L Y = B y una vez calculado Y, resolvemos U X = Y, y despejando aquí la X, obtenemos la solución del sistema. Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que en el proceso de eliminación de Gauss del sistema Ax cualquiera, se verifica: a 0, a 0, a 0,, a 0, a 0, (0) (1) (2) ( n 2) ( n 1) 11 22 33 n 1n 1 nn (siendo = b, donde b es una columna ( j) a ii, el elemento que ocupa la columna i y la fila i en el j ésimo paso del método de Gauss), entonces existe la descomposición LU de A, donde: i ) L es una matriz triangular inferior, con 1 en su diagonal principal, y los elementos subdiagonales l ij, con i > j, son los factores usados en el proceso de eliminación de Gauss y 77

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. ii ) U es una matriz triangular superior, con los n pivotes en su diagonal principal. Es decir: L 1 0 0 l 1 0 0 21 = l31 l32 1 0 ln 1 ln 2 lnn 1 1 U es la matriz del sistema reducido final del método de Gauss, antes de la sustitución hacia atrás, es decir, una matriz de la forma: u u u 11 12 1n 0 u22 u23 u 2n 0 0 33 3n 0 0 0 u nn U = u u con los elementos de su diagonal principal distintos de cero: u = a 0, i = 1, 2,, n. ii ( i 1) ii La regularidad de A es una condición necesaria (no suficiente) para la descomposición LU de A. En lo que sigue se van a considerar variantes de la descomposición LU de A, que son útiles en la práctica. 9.2. Factorización LDU Si A = LU es la descomposición LU de A, entonces A= LUU es una nueva descomposición de A, donde D es una matriz diagonal, con 78

Sistemas de Ecuaciones Lineales los pivotes en la diagonal principal, y U es una matriz triangular superior, con 1 en la diagonal principal y el resto coincide con U. 9.3. Factorización de Matrices Simétricas Si A= LDU es la descomposición LDU de A y A es una matriz simétrica, entonces A t = LDL. 9.4. Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas (Método de Cholesky) Si A t = LDL es la descomposición t LDL de la matriz real y simétrica A, con sus n pivotes estrictamente mayores que cero, entonces A t = CC, donde C es una matriz triangular inferior, siendo 12 C = LD / y D 12 / = d 0 11 0 0 0 0 0 dnn. 79

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Consideremos el sistema 1 1 1 x y 1 1 b = a z c donde a, b y c son números reales. Estudiar si existen valores de a, b y c para los que el sistema es compatible indeterminado. SOLUCIÓN: 1 1 1 La matriz de los coeficientes es A = cuyo rango va a ser a lo 1 1 b sumo 2, que no coincidirá nunca con el número de incógnitas del sistema que es 3. Luego, el sistema nunca será compatible determinado. Si tomamos por ejemplo a = b = c = 1. Entonces, el rango de la matriz 1 1 1 A = 1 1 1 es 1 y el rango de la matriz ampliada 1 1 1 1 A = 1 1 1 1 es también 1. Rang( A) = Rang( A ) = 1< número de incógnitas Sistema compatible indeterminado. Por lo tanto, sí que existen valores de a, b y c para los que el sistema es compatible indeterminado. Notar que también es posible encontrar valores de a, b y c para los que el sistema es incompatible: Sea por ejemplo b = 1 y a = 0, y c = 2. 80

Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 1 1 Se tiene entonces que el rango de la matriz A = es 1, pero el 1 1 1 1 1 1 0 rango de la matriz ampliada A = es 2, por lo tanto como 1 1 1 2 Rang( A) Rang( A ) el sistema es incompatible. 2.- Sea el sistema de ecuaciones: ( m+ 2) x+ y+ z = 0 mx + ( m 1) y + z = 0 ( m+ 1) x+ ( m+ 1) z = 0.Calcular el determinante de la matriz de los coeficientes. SOLUCIÓN: La matriz A de los coeficientes del sistema es la siguiente: m + 2 1 1 A= m m 1 1 m+ 1 0 m+ 1 el determinante de A es fácilmente calculable y se obtiene que A = 3 2 m m = m( m 1). 3.- Dado un sistema de 30 ecuaciones con 70 incógnitas, se sabe que el rango de la matriz del sistema es 30 y el rango de la matriz ampliada es de 30. Estudiar la compatibilidad del sistema. SOLUCIÓN: Tenemos que el rango de la matriz del sistema coincide con el rango de la matriz ampliada, lo que nos indica que el sitema es compatible, como además dicho rango es menor que el número de incógnitas, de aquí ya obtenemos que es indeterminado 81

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 4.- Dado el sistema de ecuaciones: 3x y+ 2z = 1 x + 4 y+ z = b 2x 5y+ az = z. Estudiar el sistema en función de los valores de los parámetros a y b. SOLUCIÓN: La matriz ampliada del sistema es A ( A b) El determinante de la matriz de coeficientes es: 3 1 2 1 = = 1 4 1 b 2 5 a + 1 0 A 3 1 2 = 1 4 1 = 13a, 2 5 a + 1 se obtiene que A = 0 a = 0 Por lo tanto: a) Si a 0, entonces rang( A) = 3 = rang( A ) =número de incógnitas del sistema, como consecuencia el sistema es compatible determinado. b) Si a = 0, entonces rang( A ) < 3, tenemos que el menor 3 1 0, 1 4 por lo tanto como hemos encontrado un menor de orden 2 con determinante no nulo, obtenemos que rang( A ) = 2. Vamos a estudiar el rang( A ) según los valores de b. Si tomamos el menor 3 2 1 1 1 b = b 1. Como consecuencia, se obtiene que: 2 1 0 82

Sistemas de Ecuaciones Lineales b-1) Si b 1 rang( A ) = 3 rang( A) = 2 Sistema Incompatible. b-2) Si b = 1 rang( A ) = 2 = rang( A) = 2< número de incógnitas Sistema Compatible Indeterminado. 5.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: α x+ y+ z = 1 x+ α y+ z = α. Estudiar para qué valores de α es x+ y+ α z = α incompatible. SOLUCIÓN: Para que el sistema sea incompatible tiene que darse que rang( A) rang( A ). La matriz ampliada del sistema es: A ( A b) α 1 1 1 = = 1 α 1 α. 1 1 α α En primer lugar, estudiamos el rang( A ) según los valores de α. A α 1 1 3 = = ( )( ) 2 1 α 1 1 1 α α 3α + 2= α + 2 α 1. a) Si α 2 y α 1 rang( A) = 3 = rang( A ) =número de incógnitas El sistema es compatible determinado. b) Si α = 2 Como en A tenemos un menor de orden 2, 2 1, que es distinto de 1 2 0, entonces, rang( A ) = 2. Veamos cuál es el rang( A ). 83

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. A 2 1 1 1 = 1 2 1 2, en esta matriz podemos encontrar un menor 1 1 2 2 de orden 3 que es no nulo: 2 1 1 1 1 2 1 2 2 = 9 0. Por lo tanto rang( A ) = 3 rang( A) = 2 Sistema Incompatible. c) Si α = 1 En este caso tenemos que la matriz ampliada queda: 1 1 1 1 A = 1 1 1 1. 1 1 1 1 Es inmediato ver que rang( A ) = rang( A) = 1 Sistema compatible Indeterminado. Luego, el sistema de ecuaciones dado sólo es Incompatible si α = 2. 6.- Dado el sistema ( m+ 2) x+ y+ z = m 1 mx + ( m 1) y + z = m 1 ( m+ 1) x+ ( m+ 1) z = m 1 Estudiar para qué valores del parámetro m es compatible indeterminado. SOLUCIÓN: m + 2 1 1 La matriz de coeficientes del sistema es A= m m 1 1, m+ 1 0 m+ 1 esta matriz al ser cuadrada tendrá rango máximo cuando su determinante 84

Sistemas de Ecuaciones Lineales sea distinto de cero. A = 3 m m ; 3 A = 0 m m = 0 m {01,, 1}. Si m {0, 1, 1}, entonces rango( A ) = 3, en este caso el rango de la matriz ampliada también sería 3, ya que A tendríamos un Sistema Compatible Determinado. Si m = 0, es de orden 3x4, y 2 1 1 A = 0 1 1, 1 0 1 rango( A ) = 2, ya que sabemos que no tiene rango 3 y la submatriz 2 1 0 1 tiene rango dos. A 2 1 1 1 = 0 1 1 1, también tiene rango 2 porque la nueva columna 1 0 1 1 no aporta nada nuevo ya que es la tercera columna cambiada de signo. Luego si m = 0, tenemos un Sistema Compatible Indeterminado. Si m = 1, 85

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 3 1 1 A = 1 0 1, 2 0 2 rango( A ) = 2, ya que por ejemplo la submatriz 3 1 1 0 tiene rango dos. 2 1 1 0 A = 0 1 1 0, también tiene rango 2 porque la nueva columna 1 0 1 0 no aporta nada nuevo ya que es el vector nulo. Luego si m = 1, tenemos un Sistema Compatible Indeterminado. Si m =, 1 1 1 1 A = 1 2 1, 0 0 0 rango( A ) = 2, ya que por ejemplo la submatriz 1 1 1 2 tiene rango dos. Por otro lado, 1 1 1-2 1 1 1 2 rango( A ) = rango -1-2 1-2 = rango 0 1 2 4 = 3 0 0 0-2 0 0 0 2 ya que nos han quedado tres filas no nulas después de hacer la eliminación gaussiana. Luego si m =, 1 tenemos un Sistema Incompatible. El sistema, por tanto, sólo es compatible indeterminado si m = 0 ó m = 1. 86

7.- Dadas las matrices matricial AX SOLUCIÓN: = B. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 2 0 0 A=, B =, resolver la ecuación 2 4 0 0 AX = B es un sistema matricial donde X es la matriz incognita, se plantea el este sistema matricial y se convierte en un sistema de ecuaciones lineales, igualando los elementos de la matriz del lado izquierdo con los de la matriz del lado derecho, en este caso obtenemos un sistema lineal homogeneo, por ser B la matriz nula, se resuelve ya que al ser homogéneo sabemos que es un sistema compatible y esta solución se traslada directamente a la solución matricial. AX = B 1 2 x1 x2 0 0 = 2 4 x3 x 4 0 0 x + 2x x + 2x 0 0 1 3 2 4 = 2x1 4x3 2x2 4x 4 0 0 + + igualando elemento a elemento nos queda el sistema lineal: x + 2x = 0 2 4 0 2 0 = x + x = x + x = 2x2 + 4x4 = 0 1 3 x1 + x3 = x1 + x3 = x1 2x3 2 2 4 0 2 2 4 0 x2= 2x 4 87

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Solucion x1 x2 x1 = 2x3 = X = M2x2 / : x3, x4 R = x3 x 4 x2= 2x 4 2x3 2x4 = X = M2x2 / x3, x4 R = x3 x 4 2 0 0 2 =, 1 0 0 1 Acabamos de ver que la solución del sistema matricial AX = 02 x 2es un subespacio vectorial del espacio vectorial M 2x2. La dimensión de M 2x2 es 4, y la dimensión del conjunto solución del sistema es 2, ya que hemos visto que esta generado por 2 matrices linealmente independientes. x + y = 1 a 8.- Estudiar cuándo el sistema de ecuaciones ax + y = 1 a ax+ ay = 1 a 2 2 es imcompatible. SOLUCIÓN: 1 1 A= a 0, a a 1 1 rango( A) = 0 a = rango( A) = a a 1 1 = 0 a = 2, 0 a 1 ya que si a 0 las dos primeras filas son linealmente independientes si a = 0 la primera y tercera fila son linealmente independientes. 88

1 1 1 a 2 0 1 2 a a 1 a A = a a, Sistemas de Ecuaciones Lineales sabemos que su rango es al menos 2 ya que contiene a la matriz A, su rango será tres cuando su determinante sea distinto de cero (por tratarse de una matriz cuadrada). ( ) ( ) A = 1 a a; A = 0 1 a a = 0 a = 0 ó a = 1. Si a = 0 ó a = 1 rango( A) = rango( A ) = 2 =n o de incógnitas Sistema Compatible Determinado. Si a 0 y a 1 2 = rango( A) rango( A ) = 3 Sistema Incompatible. Por lo tanto el sistema es incompatible cuando a 1. 9.- Dado el sistema de ecuaciones Ax = b. Donde 2 3 1 A= b a 2 5 5 1 y 2 b = 0. Estudiar su compatibilidad en función de los parámetros a a y b. SOLUCIÓN: 89

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Vamos a estudiar los rangos de A (matriz de los coeficientes del sistema) y de A (matriz ampliada del sistema) en función de los valores de a y b. 2 3 1 A= b a 2 A = 7a+ 10 8b 5 5 1. a) Si 7a + 10 8b 0 rang( A) = 3 = rang( A ) = número de incógnitas Sistema Compatible Determinado. b) Si 7a+ 10 8b = 0 rang( A) = 2, ya que en A podemos encontrar el menor de orden 2 : 2 1 5 1 que es distinto de 0. Vamos a estudiar cuál sería el rango de A 7a+ 10. Como b =, tenemos que 8 A 2 3 1 2 = a 2 0. 5 5 1 a 7a+ 10 8 Si tomamos el menor de orden 3 siguiente: 3 1 2 a 2 0 5 1 a = 2 8a a 20 ( a 10)( a 2) + = +. b-1) Si a 10 y a 2 rang( A ) = 3 rang( A) Sistema Incompatible. 90

Sistemas de Ecuaciones Lineales b-2) Si 2 3 1 2 30 a 10 A = = 4 10 2 0, cuyo rango es 2 5 5 1 10 rang( A ) = rang( A) = 2< número de incógnitas El sistema es Compatible Indeterminado. b-3) Si 2 3 1 2 a 2 A = = 3 3 2 0, cuyo rango es 3 5 5 1 3 rang( A ) = 3 rang( A) = 2 el sistema es Incompatible. 10.- Calcular el valor de a que hace equivalentes a los sistemas de ecuaciones siguientes: x+ y z = 1 y+ z = 2 y x 2z = 1 x+ y z = 1 y+ z = 2. ax y + 5z = 1 SOLUCIÓN: Los dos sistemas de ecuaciones serán equivalentes cuando tengan el mismo conjunto solución. En el primer sistema se tiene que la tercera ecuación es la suma de la primera más la segunda cambiada de signo. Como en el segundo sistema las dos primeras ecuaciones son idénticas a las del primer sistema, para que sean equivalentes es suficiente conque la tercera ecuación sea combinación lineal de las dos primeras: er 1 miembro ax y + 5 z = λ ( x + y z) + µ ( y + z) o 2 miembro 1= λ 1+ µ 2 91

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. a = λ λ + µ = 1 λ + µ = 5 λ + 2µ = 1 De este sistema se obtiene que µ = 2 y λ = 3 por lo que a = 3. Por lo tanto, si a = 3 los dos sistemas de ecuaciones dados son equivalentes. 11.- Si el sistema de ecuaciones Ax = b es compatible indeterminado, siendo A M ( R), qué se puede afirmar sobre la nxn dependencia o independencia lineal de sus filas o de sus columnas? SOLUCIÓN: Al ser el sistema compatible indeterminado, sabemos que: rang( A) = rang( A ) < número de incógnitas, donde A es la matriz ampliada del sistema (matriz A añadiéndole la columna de los términos independientes del sistema). El hecho de que A M ( R), lo que nos indica es que el sistema está nxn formado por n -ecuaciones y n -incógnitas, y al ser rang( A ) < número de incógnitas, lo que sabemos es que rang( A) < n, de aquí, ya deducimos que A = 0 o equivalentemente que la matriz A tiene al menos dos columnas y dos filas que son linealmente dependientes. 12.- Si x 1 y x 2 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales Ax = b, 92

Sistemas de Ecuaciones Lineales b 0, entonces, se podría afirmar que alguna de las siguientes combinaciones lineales de x 1 y x 2 son también solución del sistema? x 1 + x 2 ; x1 x 2 y 1 1 2 x1+ 2 x 2. SOLUCIÓN: Nos dicen que Ax 1 = b y Ax 2 = b. A( x1+ x2) = Ax1+ Ax2 = b+ b = 2b b x1+ x 2 no es solución del sistema. A( x1 x2) = Ax1 Ax2 = b b = 0, luego x1 x 2 tampoco es solución de Ax = b. 1 1 1 1 1 1 A( 2 x1+ 2 x2) = 2 Ax1+ 2 Ax2 = 2b+ 2b = b, luego 1 1 2 x1+ 2 x 2 sí es solución de Ax = b. 93

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. BIBLIOGRAFIA ANZOLA, M.; CARUNCHO, J.; PÉREZ-CANALES, G. (1981). Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSAG. BURGOS, J. (1999). Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid. McGraw-Hill. CARBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Matricial y Lineal. España. McGraw-Hill. DE LA VILLA, A. (1994). Problemas de Álgebra. Madrid. Clagsa. ESPADA BROS, E. (1984). Problemas resueltos de Álgebra. Barcelona. EUNIBAR. FLAQUER, J; OLAIZOLA, J; OLAIZOLA, J. (1996). Curso de Álgebra Lineal. Navarra EUNSA. FRALEIGH, J.B.; BEAUREGARD, R.A. (1989). Álgebra Lineal. U.S.A. Addison-Wesley Iberoamericana. GARCÍA, J.; LÓPEZ, M. (1990). Álgebra Lineal y Geometría. Alcoy. Marfil. GRANERO, F. (1994). Álgebra y Geometría Analítica. Madrid. McGraw-Hill. GROSSMANN, S.I. (1996). Álgebra Lineal con aplicaciones. México. McGraw-Hill. GUERRA, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resueltos tipo test de Álgebra Lineal (Con esquemas teóricos). Las Palmas de G.C. El Libro Técnico. 94

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