Transformaciones de Box-Cox

Transformaciones de Box-Cox Resumen El procedimiento para las Transformaciones de Box-Cox es diseñado para determinar una transformación optima para Y mientras se estima un modelo de regresión lineal. Es muy útil cuando la variabilidad de Y cambia como una función de X. A menudo, una apropiada transformación de Y estabiliza la variabilidad y produce que las desviaciones alrededor del modelo sean más normalmente distribuidas. La clase de transformaciones consideradas son transformaciones de potencia definidas por: λ ( + λ ) Y = Y () en la cual los datos son calculados en una potencia de λ después de cambiarlo a una cierta cantidad λ. Posteriormente, el parámetro de cambio λ se fija igual a 0. Esta clase incluyen raíces cuadradas, logaritmos, recíprocos, y otras transformaciones comunes, que dependen sobre una potencia. Los ejemplos incluyen: Potencia Transformación Descripción λ = Y = Y Cuadrado λ = Y = Y Datos sin Transformar λ = 0.5 Y = Y Raíz Cuadrada λ = 0.333 Y = 3 Y Raíz Cúbica λ = 0 Y = ln(y ) Logaritmo λ = -0.5 Raíz Cuadrada Inversa Y = Y λ = - Reciproco Y = Y Note que si λ 0, la transformación de potencia se enfoca en un logaritmo. Ejemplo StatFolio: boxcox.sgp 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox -

Datos del Ejemplo: El archivo plasma.sf3 contiene datos presentados por Neter et al. (998) que muestran el nivel de plasma de polaminos para n = 5 niños sanos. Una porción de los datos se muestra abajo: Age (Edad) 0 3.44 0.84 0.9 0 0.09 0 5.6 0..38 0.8 8.96 8.59 9.83 9 Plasma level (Nivel Plasma) Es deseable determinar un modelo relacionando el nivel de plasma para la edad de los niños. Entrada de Datos La caja de dialogo para la entrada de datos requiere los nombres de las columnas que contienen la variable dependiente Y y la variable independiente X: Y: Columna numérica que contiene las n observaciones para la variable dependiente Y. X: Columna numérica que contiene las n observaciones para la variable independiente X. Selección: Selección de un subconjunto de los datos. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox -

Resumen del Análisis En relación a las dos variables, el procedimiento para estimar un modelo es de la forma W = β 0 + β X + ε () donde la variable dependiente W se relaciona con Y de acuerdo a [( Y + λ ) ] λ + K W = si + K ln( Y + λ ) λ 0 λ = 0 (3) y K n = Y i + ) i= = λ λk / n ( λ (4) K (5) Note que K es la media geométrica de Y+λ. Después de Box y Cox (964), la transformación óptima es la que minimiza el cuadrado medio del error de W. La razón para usar la variable estandarizada W en vez de Y es ajustar la magnitud sobre la suma de cuadrados del error para que haya el efecto de la transformación potencia. El Resumen del Análisis presenta la potencia óptima y el resultado del modelo: Transformaciones Box-Cox - Plasma Level vs. Age Potencia = -0.506 Camibio = 0.0 Variable dependiente: Plasma Level Variable independiente: Age Error T Parámetro Estimado Estándar Estadístico Valor-P Intercepto 37.683 0.39999 94.359 0.0000 Pendiente -.994 0.6303 -.6 0.0000 Análisis de Varianza Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Modelo 98.85 98.85 49.4 0.0000 Residuo 30.5593 3.3866 Total (Corr.) 8.845 4 Coeficiente de Correlación = -0.93084 R-cuadrada = 86.6463 porciento Error Estándard del Est. =.568 Intervalo aproximado del 95% de confianza para la potencia: -.6 a 0.063 Se incluye en la salida: Parámetros de Potencia y Cambio: Los valores de λ y λ. Por defecto, el parámetro de potencia es optimizado, mientras que el parámetro de cambio es fijado en 0. Esto se puede cambiar usando Opciones del Análisis. También se incluye al final de la pantalla una 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 3

aproximación de un intervalo de confianza para λ por defecto en el nivel de confianza del sistema. Coeficientes: Los coeficientes estimados, errores estándares, estadístico-t, y valores P. La estimación de los coeficientes del modelo puede utilizarse para escribir la ecuación estimada, lo cuál en el ejemplo es: W = 37.6386.994 Edad (6) El estadístico-t prueba la hipótesis nula de que los parámetros correspondientes al modelo son iguales a 0, contra la hipótesis alternativa de que no sean iguales a 0. Valores P pequeños (menor que 0.05 si esta operando un nivel de significancia al 5%) indica que un coeficiente del modelo es significativamente diferente de 0. En los datos del ejemplo, ambos el intercepto y la pendiente son estadísticamente significativos. Análisis de Varianza: Es una descomposición de variabilidad en la variable dependiente W dentro de un modelo de sumas de cuadrados y residuales o suma de cuadrados del error. Es de particular interés la prueba F y su valor P asociado, el cual prueba la significancia estadística del modelo estimado. Un valor P pequeño (menor que 0.05 si esta operando un nivel de significancia al 5%) indica que existe una relación lineal significativa entre X y Y. En los datos del ejemplo, el modelo es altamente significativo. Estadísticas: Resumen de estadísticas para el modelo estimado, incluyendo: Coeficiente de Correlación Mide la fuerza de la relación lineal entre W y X oscilando sobre una escala de - (correlación lineal perfecta negativa) a + (correlación lineal perfecta positiva). R-Cuadrada - Representa el porcentaje de la variabilidad en W que puede explicarse por el modelo de regresión estimado, oscilando de 0% hasta 00%. Error Estándar de la Est. La estimación de la desviación estándar de los residuales (las desviaciones alrededor del modelo). Este valor es utilizado para crear límites de predicción para nuevas observaciones. Media del Error Absoluto El promedio de los valores absolutos de los residuales. En los datos del ejemplo, la transformación seleccionada está muy cerca de una raíz cuadrada inversa, implicando que / NivelPlasma es una función lineal de la Edad. Sin embargo, de acuerdo al intervalo de confianza, La transformación optima real puede ser cualquiera entre un reciproco y un logaritmo. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 4

Opciones del Análisis STATGRAPHICS Rev. 9/4/006 Potencia: El valor del parámetro de potencia λ. Si Optimizar esta seleccionado, esto sirve como el valor inicial de la búsqueda de optimización cuando se presiona OK. Si Optimizar no esta seleccionado, este es el valor usado para la transformación. Cambio: El valor del parámetro de potencia λ. Este valor se resta de la variable dependiente Y antes que la transformación de potencia sea desarrollada. Optimizar: Cuando se optimiza el parámetro de potencia o se usa el valor especificado. Grafico del Modelo Estimado Este panel muestra el modelo estimado, junto con límites de confianza y predicción si son deseados. 4 Gráfica del Modelo Ajustado Potencia=-0.506, Cambio=0.0 0 Plasma Level 6 8 4 0 0 3 4 Age El gráfico incluye: La línea del mejor ajuste o ecuación de predicción. Esta es la ecuación que será utilizada para predecir valores de la variable dependiente Y dado los valores de la variable independiente X. Note que se realiza un trabajo relativamente bueno al tomar el incremento de la variabilidad del Nivel de Plasma sobre Edades bajas, así como la relación de la curvatura. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 5

Intervalos de Confianza para la respuesta media en X. Estos son los límites interiores en el gráfico anterior y describen que tan bien la localización de la línea fue estimada dada la muestra disponible de los datos. Como el tamaño de n incrementa, testos límites llegarán a ser más apretados También debemos notar que la anchura de los límites varia como una función de X, con la línea estimada lo más exacto posible cerca del valor promedio x. Límites de Predicción para nuevas observaciones. Estos son los límites externos del gráfico anterior y describen como exactamente uno podría predecir donde mentiría una nueva observación. Sin importar el tamaño de muestra, las nuevas observaciones varían alrededor de la verdadera línea. La inclusión de los límites de confianza y predicción y su nivel de confianza por defecto esta determinado por la configuración sobre la sección Regresión/ANOVA de la caja de dialogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. Opciones del Panel Incluir: Los limites a incluir sobre el gráfico. Nivel de Confianza: El porcentaje del nivel de confianza para los límites. Resolución del Eje X: El número de valores de X en los cuales se determina la línea cuando se grafica. Altas resoluciones dan como resultado gráficos más suaves. Tipo de Límites: Cuando se grafican intervalos de confianza de dos-colas o límites de confianza de una-cola. Gráfico de Comparación CME Al optimizar la transformación, la potencia se reduce al mínimo sobre el cuadrado medio del error del ajuste de W como una función de X. Para ilustrar el resultado de la búsqueda, el Gráfico de Comparación CME presenta el cuadrado medio del error en la vecindad del valor óptimo: 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 6

Comparación MSE lambda = 0.0 0 8 MSE 6 4 0 - - 0 lambda Las líneas verticales se dibujan en λ calculado y sus límites de confianza. Note que el CME alcanza un mínimo cercano a λ = 0.5, aunque es relativamente plano con una región amplia alrededor del valor óptimo, indicando que la potencia puede cambiarse a otros valores sin afectar sustancialmente el modelo. Opciones del Panel Lamda- Mínimo: El valor más pequeño de λ para incluir en el gráfico. Lamda- Máximo: El valor más grande de λ para incluir en el gráfico. Resolución: Número de diferentes valores de λ en el cuál se calcula el CME. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 7

Tabla de Comparación CME Esta tabla tabula los valores graficados por el Gráfico de Comparación CME. Tabla Comparativa MSE Cambio (lambda): 0.0 lambda MSE -.0.4743-0.95.44668-0.9.493-0.85.40006-0.8.3807-0.75.36496-0.7.3577-0.65.345-0.6.334-0.55.399-0.5.3868-0.45.33055-0.4.33559-0.35.34388-0.3.35549-0.5.3705-0..38907-0.5.45-0..4378-0.05.467 0.0.50085 Las Opciones del Panel son las mismas que para el gráfico. STATGRAPHICS Rev. 9/4/006 Gráfico de Sesgo y Curtosis Este gráfico presenta los valores estandarizados del sesgo y la curtosis como una función del parámetro de potencia λ. 6 4 Gráfica de Sesgo y Curtosis lambda =0.0 sesgo curtosis 0 - - - 0 lambda La estandarización del sesgo y la curtosis se presenta para ambas entre y + para una transformación adecuada a los datos normalizados. El gráfico muestra una línea horizontal entre y +, con la línea vertical indicando el valor óptimo de λ y sus límites de confianza. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 8

Claramente, hay un amplio rango de valores para λ que crearía una transformación razonable de los datos. Prueba de Falta de Ajuste Cuando más de una observación se ha registrado en el mismo valor de X, una prueba de falta de ajuste se puede desarrollar para determinar cuando la selección del modelo es adecuado para describir la relación entre X y Y. El panel de Falta-de-Ajuste despliega la siguiente tabla: Análisis de Varianza con Carencia de Ajuste Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Modelo 98.85 98.85 49.4 0.0000 Residuo 30.5593 3.3866 Carencia de Ajuste 3.83648 3.7883 0.96 0.43 Error Puro 6.78 0.3364 Total (Corr.) 8.845 4 La prueba de Falta-de-Ajuste descompone la suma de cuadrados del error de los valores transformados de W en componentes:. Error Puro: la variabilidad de los valores de W en el mismo valor de X.. Falta-de-Ajuste: la variabilidad del promedio de los valores de W alrededor del modelo estimado. Es de interés primario el valor P para la falta-de-ajuste. Un valor P pequeño (menor que 0.05 si esta operando un nivel de significancia al 5%) indica que el modelo seleccionado no describe adecuadamente la relación observada. Para los datos del ejemplo, el valor P grande indica que el modelo lineal explica adecuadamente la relación entre Nivel de Plasma y Edad. Observado contra Predicho El gráfico de Observado contra Predicho muestra los valores observados de Y sobre el eje vertical y los valores predichos de Yˆ sobre el eje horizontal, en la métrica transformada. 4 0 Gráfica de Plasma Level observados 6 8 4 0 0 4 8 6 0 4 predichos 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 9

Si el modelo se ajuste bien, los puntos se deben dispersar aleatoriamente alrededor de la línea diagonal. Es posible algunas veces ver curvaturas en este gráfico, lo cual indicará la necesidad de un modelo curvilíneo más que un modelo lineal. En este caso, el cambio de la variabilidad sobre el gráfico anterior si los valores predichos se incrementan no es una preocupación, puesto que fue estabilizado por la transformación de Box-Cox. Gráfico de Residuales Como con todos los modelos estadísticos, es una buena practica examinar los residuales. En una regresión, los residuales están definidos por: e i = W Wˆ (7) i i ej., los residuales son las diferencias entre los valores transformados de los datos y la estimación del modelo de regresión lineal. El procedimiento de Transformaciones de Box-Cox crea 3 gráficos de residuales:. contra X.. contra valores predichos Wˆ. 3. contra número de fila. Residuales contra X Este gráfico es provechoso en la visualización cuando fue buena la transformación considerada para cualquier curvatura en los datos. 3.3 Gráfica de Residuos Residuos Estudentizados.3.3 0.3-0.7 -.7 -.7 0 3 4 Age Los residuales se deben dispersar aleatoriamente alrededor de 0. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 0

Residuales contra Predichos Este gráfico es provechoso en la visualización cuando fue bueno el modelo para cualquier heterocedasticidad en los datos. 3.3 Gráfica de Residuos Residuos Estudentizados.3.3 0.3-0.7 -.7 -.7 5.4 7.4 9.4.4 3.4 5.4 Plasma Level predicho Si la transformación fue efectiva, la variabilidad puede ser aproximadamente igual por todas partes. Residuales contra Observaciones Este gráfico muestra los residuales contra el número de fila en la base de datos: 3.3 Gráfica de Residuos Residuos Estudentizados.3.3 0.3-0.7 -.7 -.7 0 5 0 5 0 5 número de fila Si los datos fueron arreglados en orden cronológico, cualquier patrón en los dato sindican una influencia extrema. Opciones del Panel Los siguientes residuales pueden graficarse sobre cualquier gráfico residual: 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox -

. Residuales Los residuales por estimación de mínimos cuadrados.. Residuales Estandarizados La diferencia entre los valores observados w i y los valores predichos ŵi cuando el modelo es ajustado usando todas las observaciones excepto el i- ésimo, divididos por el error estándar de la estimación. Estos residuales a veces se llaman residuales externamente eliminados, puesto que miden que tan lejos esta cada valor del modelo estimado cuando el modelo es ajustado usando todos los datos excepto el punto inicial considerado. Esto es importante, puesto que un valor atípico muy grande pueden afectar de alguna manera al modelo tanto que no parecería ser inusualmente separado de la línea. Residuales Inusuales Una vez que se ha estimado el modelo, es útil estudiar los residuales para determinar donde existe cualquier valor atípico que deba ser removido de los datos. El panel Residuales Inusuales lista todas las observaciones que tienen un residual estandarizado mayor que.0 en valor absoluto. Residuos Atípicos Y Residual Row X Y Predicha Residual Estudentizado 4 0.0 0.09 3.949 6.655. 8 3.0 5.4 6.6345 -.4945 -.64 Los residuales estandarizados mayor que 3 en valor absoluto corresponden a puntos a más de 3 desviaciones estándar del modelo estimado, lo cual es un evento extremadamente raro para una distribución normal. Note que la fila 8 es más de.5 desviaciones estándar hacia afuera por la que habría que investigarlo. Los puntos pueden removerse de la estimación mientras se examina con el Gráfico del Modelo Estimado dando clic sobre un punto y presionando el botón Excluir/Incluir sobre la barra de herramientas: 4 Gráfica del Modelo Ajustado Potencia=-0.69, Cambio=0.0 0 Plasma Level 6 8 4 0 0 3 4 Age Los puntos excluidos son marcados con una X. Para los datos del ejemplo, removiendo la fila 8 se tiene poco efecto sobre el modelo estimado o la transformación optima. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox -

Puntos Influyentes En la estimación de un modelo de regresión, todas las observaciones no tienen la misma influencia sobre la estimación de los parámetros en el modelo estimado. En una regresión lineal simple, los puntos localizados con valores muy bajos o altos de X tienen mayor influencia que los que están localizados cerca de la media de X. El panel de Puntos Influyentes despliega cualquier observación que tiene una alta influencia sobre la estimación del modelo: Puntos Influyentes Y Residual Fila X Y Predicha Estudentizado Leverage Valor de influencia promedio de un punto = 0.08 La tabla anterior muestra todos los puntos con palancada igual o mayor a 3 veces sobre un valor promedio de los datos, donde la palancada de una observación es una medida de la influencia sobre la estimación de los coeficientes del modelo. En general, valores con palancada excesiva a 5 veces sobre de un valor promedio de los datos deben ser examinados a detalle, puesto que tienen inusualmente un alto impacto sobre la estimación del modelo. En los datos del ejemplo, no hay observaciones con palancada inusualmente grande. Pronósticos El panel de Pronósticos crea predicciones usando el modelo estimado. Valores Predichos 95.00% 95.00% Predicho Límites de Predicción Límites de Confianza X Y Inferior Superior Inferior Superior 0.0 3.96 9.83804..344 5.876.0 0.534 7.840 4.9464 9.77386.3866.0 8.4875 6.347.674 7.834 8.785 3.0 6.63479 5.99 8.709 6.5099 7.0554 4.0 5.4566 4.35965 7.068 5.05345 5.903 5.0 4.5609 3.6838 5.79685 4.530 5.03 Se incluyen en la tabla: X El valor de la variable independiente en la cuál la predicción es realizada. Predicción Y El valor predicho de la variable dependiente usando el modelo estimado. Límites de Predicción Límites de predicción para nuevas observaciones en la selección del nivel de confianza (correspondientes a los límites exteriores sobre el gráfico del modelo estimado). Límites de Confianza Límites de confianza para la media de Y en la selección del nivel de confianza (correspondientes a los límites internos sobre el gráfico del modelo estimado). Por ejemplo, en X = 3, 95% de todos los niños se espera tener niveles de plasma entre 5.47 y 8.53. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 3

Opciones del Panel Nivel de Confianza: Porcentaje de confianza para los intervalos. Tipo de Límites: donde se definen límites de dos-colas o una-cola. Pronósticos en X: Hasta 0 valores de X para realizar predicciones. Grabar Resultados Los siguientes resultados pueden grabarse en la base de datos:. Valores Predichos El valor predicho de Y correspondiente a cada una de las n observaciones.. Limite de Predicción Inferior El límite de predicción inferior para cada valor predicho. 3. Limite de Predicción Superior El límite de predicción superior para cada valor predicho. 4. Limite de Predicción Inferior de la Media El límite de confianza inferior para la media de Y en cada n valores de X. 5. Limite de Predicción Superior de la Media El límite de confianza superior para la media de Y en cada n valores de X. 6. Residuales Los n residuales. 7. Residuales Estandarizados Los n residuales estandarizados. 8. Palancadas Los valores de palancadas correspondientes a n valores de X. 9. Transformación de los Datos Los n valores transformados W. Nota: Si se graban los límites, corresponden a la configuración sobre el panel de Pronósticos. Si los límites de dos-colas son presentados en la tabla de Pronósticos, entonces los límites guardados serán también de dos-colas. Si los límites de una-cola son presentados en la tabla de Pronósticos, entonces los límites guardados serán también de una-cola.. Cálculos La línea de regresión es desarrollada sobre la transformación de valores W. Los límites de predicción son calculados en la métrica transformada y deben invertirse antes de ser presentados. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 4

Para más detalle sobre los cálculos, vea la documentación de Regresión Simple. 006 por StatPoint, Inc. Transformaciones de Box-Cox - 5