CLAVE Lab 11 - Regresión Lineal Simple y Polinomial

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1 Escala común CLAVE Lab 11 - Regresión Lineal Simple y Polinomial 1. A mano, construya los siguientes gráficos: a. Grafique la línea recta correspondiente a la ecuación y 2x 1 b. Grafique la línea recta correspondiente a la ecuación y 0.5x 4 Se puede definir una línea con dos puntos. Para la primera ecuación: i. El intercepto es 0 = 1. Este es el valor de y cuando x=0 (o sea, el punto [0,1]). ii. Desde el intercepto, se puede usar la pendiente ( 1 = 2) para ubicar el 2ndo punto. La pendiente es el cambio de Y sobre un cambio unitario de X. Desde el punto [0,1], nos movemos dos unidades hacia arriba ( Y) y una unidad hacia la derecha (1X). Este punto corresponde a [1,3] 2. En Infostat (usando la opción Gráficos>Graficador de fórmulas), construya los siguientes gráficos. En el eje X use el intervalo 0 x 3. En el eje Y use el intervalo -3< y <10. a. Grafique la línea recta correspondiente a la ecuación y 2x 1. b. Grafique la línea recta correspondiente a la ecuación y 0.5x 4 c. Grafique la curva cuadrática 2 y x 2 x.75 d. Grafique la curva cuadrática 2 y 2x 3x Título Y=2x Y= -0.5X y = 2x*x - 3x + 1 y=-x*x + 2x X AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 1

2 3. El punto máximo o mínimo de una curva cuadrática se da en el valor x 1 (si es que este valor 2 2 está en el intervalo de valores de x de interés). Para una ecuación lineal los valores extremos siempre son los extremos del intervalo. Encuentre los extremos (máximo y mínimo) de cada una de las curvas graficadas en la parte 1 en el intervalo 0 x 3. DENTRO DEL INTERVALO 0 < x < 3: a. y 2x 1 x mínimo = 1 x máximo = 7 b. y 0.5x 4 x mínimo = 2.5 x máximo = 4 2 c. y x 2 x.75 x máximo: - 1 /2 2 = -2/2(-1) = 1 (x = 1) 2 d. y 2x 3x 1 x mínimo: - 1 /2 2 = -(-3)/2(2) = 0.75 (x = 0.75) 4. Se estudió el efecto del tiempo sobre el peso de cerdos de la misma camada alimentados con 10% de proteína (para este experimento se seleccionaron dos cerdos aleatoriamente elegidos y su peso se observó después de 6 meses) a. El programa SAS que se acompaña permite realizar un análisis de regresión lineal simple. Corra este programa y obtenga la salida equivalente en Infostat. data dietas; input cerdo mes peso; datalines; proc reg; model peso = mes; run; AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 2

3 SAS: The SAS System The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: peso Number of Observations Read 12 Number of Observations Used 12 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estimates Variable DF Parameter Estimate Standard Error t Value Pr > t Intercept mes <.0001 INFOSTAT: Análisis de regresión lineal Variable N R² R² Aj ECMP peso Coeficientes de regresión y estadísticos asociados Coef Est. EE LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows const mes < AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 3

4 peso Modelo < mes < Error Total b. Use la prueba F (o la prueba t) para determinar si existe una regresión lineal significativa (esto es, si la pendiente es significativamente distinta de 0). Formule la hipótesis correspondiente e interprete los resultados en términos de este problema. Ho: β 1 = 0 Ha: β 1 0 R.R.: F > F α, 1, > 4.96 Conclusión: El F observado (545.06) es mayor que el F tabular (4.96); por lo tanto, se rechaza Ho en favor de Ha. Esto significa que sí existe una relación lineal entre mes y peso de los cerdos; y que la pendiente es significativamente distinta de cero. c. Grafique los datos y la recta estimada. Interprete el estimador de la pendiente Recta estimada para la regresión mes Ecuación: peso = mes Conclusiones: El aumento de peso promedio por mes en cerdos de la misma camada alimentados con 10% de proteína es de unidades. d. Comente sobre la validez de los supuestos (normalidad, varianzas homogéneas y validez de la línea recta) AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 4

5 RDUO_peso Normalidad: Shapiro-Wilks (modificado) Variable n Media D.E. W* p (una cola) RDUO_peso Conclusión: Según la prueba de Shapiro-Wilks con un valor p (0.2315) mayor que α (0.05) nos lleva a aceptar Ho. Esto significa que sí se cumple con el supuesto de normalidad. Varianza homogénea: 7.13 Residuos vs Predichos para peso Conclusión: Se cumple con el supuesto de homogeneidad de varianzas porque la variabilidad de los residuos es la misma a medida que aumentan los predichos. La dispersión de los puntos no toma forma de embudo. Validez línea recta: PRED_peso Al mirar una gráfica de dispersión de los datos, se observa que los puntos están arreglados en una línea. Además, R 2 (coeficiente de determinación) = 0.98, la cual significa que el 98% de la variación total se debe a la regresión lineal. Esto indica que el modelo se ajusta bastante bien. e. Ya que hay dos datos por mes, es posible realizar una prueba de falta de ajuste. Realice la prueba de falta de ajuste usando =.01. Cuáles son las conclusiones? Modelo < MES < Error Lack of Fit Error Puro Total AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 5

6 Análisis de la varianza Variable N R² R² Aj CV peso Modelo < mes < Error Total Notar que el Error Puro en la Regresión es igual al Error en el ANOVA. F = [( ) / (10 6)] / 6.92 = 7.43 Ho: μ Y = β 0 + β 1 x Ha: el modelo lineal no ajusta bien R.R.: F > F 0.01, 4, < 9.15 Conclusión: El F observado (7.43) es menor que el F tabular (9.15); por lo tanto, se acepta Ho. Esto significa que el modelo de regresión lineal simple sí ajusta bien. 5. Responda Cierto / Falso a. La regresión de Y=peso sobre X=mes resulta en el mismo coeficiente de regresión que el obtenido por la regresión de Y=mes sobre X=peso. FALSO b. Los coeficientes de regresión de las rectas ajustadas en el ej. 4 predicen las tasas mensuales de aumento de peso para cerdos en condiciones similares a las estudiadas. CIERTO c. Se puede usar la información del experimento del ejercicio 4 para predecir el peso de cerdos de la misma raza a los 10 meses de edad. FALSO 6. Los datos siguientes muestran los rendimientos (en libras/parcela) de 14 parcelas de tomate a las que se les aplicó distintos niveles de fertilización (libras de fertilizante por cuerda). FERT REND AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 6

7 REND a. Ajuste un modelo lineal simple, uno cuadrático y uno cúbico usando Infostat. MODELO LINEAL SIMPLE Análisis de regresión lineal Variable N R² R² Aj ECMP REND Coeficientes de regresión y estadísticos asociados Coef Est. EE LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows const < FERT Modelo FERT Error REGRESION LINEAL FERT Rendimiento = Fertilidad MODELO CUADRÁTICO Análisis de regresión lineal Variable N R² R² Aj ECMP REND Coeficientes de regresión y estadísticos asociados Coef Est. EE LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows const FERT FERT^ AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 7

8 REND Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo I) Modelo FERT FERT^ Error Modelo FERT Error REGRESION POLINOMICA DE SEGUNDO ORDEN Rendimiento = Fertilidad 0.08 Fertilidad 2 MODELO CÚBICO Análisis de regresión lineal Variable N R² R² Aj ECMP REND FERT Coeficientes de regresión y estadísticos asociados Coef Est. EE LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows const FERT FERT^ FERT^3-2.0E E Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo I) Modelo FERT FERT^ FERT^ Error AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 8

9 REND Modelo FERT Error REGRESION POLINOMICA DE TERCER ORDEN FERT Rendimiento = Fertilidad Fertilidad Fertilidad 3 b. Seleccione el grado del polinomio que mejor describe estos datos. Justifique su selección con pruebas de significancia apropiadas. (Note que en este ejemplo no es posible usar las pruebas de error puro, ya que para cada x hay un solo valor de y). El modelo que mejor describe los datos es el cuadrático, ya que a partir de las pruebas secuenciales (tipo I) podemos observar que los términos lineal y cuadrático son significativos, pero el término cúbico no lo es. Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo I) Modelo FERT FERT^ FERT^ Error c. Existe una dosis óptima de fertilizante? Cuál es esa dosis? Dosis óptima = -β1/[2 β 2 ] = -2.69/[2 (-0.08)] = libras/parcela de d. Prediga, si es posible, los rendimientos por parcela cuando se agrega 1 lb de fertilizante, 10 lb de fertilizante y 40 lb de fertilizante respectivamente. 1 lb de fertilizante: NO es posible, no se puede extrapolar 10 lb de fertilizante: SI es posible, si se puede interpolar 40 lb de fertilizante: NO es posible, no se puede extrapolar AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 9

10 Rendimiento = fertilidad 0.08 fertilidad 2 Rendimiento = (10) 0.08 (10) 2 = 24.6 libras AGRO 6600 CLAVE LAB 11 Page 10