Introducción a las Estructuras Capítulo nueve: Pandeo DOS 6. Método omega. General. Este método simplificado utiliza un coeficiente de seguridad establecido en tablas y determina las cargas y tensiones de pandeo según el tipo de material de la columna. Explicación del método. Distinguimos otra vez las diferencias: Carga crítica: es la que produce el fenómeno de pandeo y posible colapso de la columna según el material utilizado. Carga de pandeo: es la carga que debe actuar sobre la columna sin producir inestabilidad. Lo hemos visto en el ejemplo anterior. Esta última carga se lo obtiene de dividir el valor de la carga crítica por un coeficiente de seguridad: La tensión de pandeo: Para obtener un coeficiente que dependa de la tensión admisible del material: multiplicamos ambos miembros por la tensión admisible del material a la compresión sin pandeo: 1
Esta relación entre la tensión admisible del material y la tensión de pandeo se encuentra en tablas y es función del tipo de material empleado en la columna y de la esbeltez de la misma. En el ejemplo anterior hemos hallado una tensión de pandeo de 16 kg/cm 2, mientras que la tensión admisible de la madera a compresión es 85 kg/cm 2. Si dividimos ambos valores obtenemos: Este resultaría el coeficiente omega para las cargas de pandeo, en el caso del ejemplo anterior. El omega crece en la medida que aumenta la esbeltez de la columna y en general, se establece como esbelteces límites valores cercanos a 150. Visualización práctica. Resolvemos el ejemplo anterior, pero con la utilización del método omega. El valor de la esbeltez de la pieza λ = 128 hallado antes, ingresamos a la tabla de coeficientes de pandeo para maderas y determinamos el valor: ω = 5,48 La tensión admisible de la madera es de 85 kg/cm2, entonces la carga de pandeo será: Valor muy cercano al hallado en el ejemplo anterior. Además si observamos el omega de tablas con el hallado observamos su similitud. Las tablas se encuentran en el Capítulo 13 de Tablas. Una esbeltez como la columna de estudio λ = 128 es muy elevada, en la tabla figura en los últimos renglones. 2
7. Método de fórmula directa (maderas). General. El siguiente método para el diseño de columnas de madera, pertenece a la National Products Association y ha sido aceptado en las normas de numerosos países. El método está basado en la fórmula de Euler y distingue tres tipos de columnas, según su esbeltez: a) Columnas cortas. b) Columnas intermedias. c) Columnas altas. Columnas cortas. Entran en colapso por aplastamiento sin pandeo. La tensión de pandeo σ p es igual a la tensión de compresión σ adm indicada por la Resistencia de Materiales. Estas columnas se ubican dentro de las esbelteces de 0 < λ < 11. Destacamos que se refiere a esbeltez no al grado de esbeltez (λ=l p /b) Columnas intermedias. Las tensiones de pandeo se obtienen de afectar a la tensión pura de compresión σ adm de un factor reductor. Estas columnas pueden fallar por pandeo o también por aplastamiento. La esbeltez se ubica entre 11 <λ 1 <20. Columnas altas. Falla exclusivamente por pandeo y la tensión de pandeo depende de la esbeltez y del módulo de elasticidad. Se ubican en 20 < λ <50 El método es sencillo y de fácil conceptualización, especialmente al observar el diagrama siguiente: La tensión de trabajo (eje yy) se reduce en la medida que aumenta la esbeltez (eje xx). En él destacamos los tres tipos diferentes de columnas: las cortas, las intermedias y las altas. Vemos que la tensión admisible de pandeo disminuye en la medida que aumenta la esbeltez. Las curvas que le corresponden a cada una de las columnas responden a las fórmulas que se indican en el diagrama. 3
Este mismo diagrama, en otra escala se encuentra en Diagrama de pandeo para maderas en Capítulo 13 de Tablas. Visualización práctica. Determinaremos la carga que puede soportar la columna indicada en la figura. Datos: Condiciones de borde: empotrada articulada. Material: madera dura. Sección cuadrada: 10. 10 = 100 cm 2. Módulo de elasticidad: 70.000 kg/cm 2. Tensión admisible: 90 kg/cm 2. Altura total de columna: 250 cm. Longitud de pandeo: lp = 0,7. 250 = 175 cm. Esbelteces: λ 1 = l p /b = 175 / 10 = 17,5 Esta esbeltez (relación entre altura y lado menor) se ubica en la zona de columnas intermedias por ser menor de 20. Aplicación de la fórmula empírica: [ ( ) ] Por efecto de pandeo la tensión admisible se reduce. La carga de pandeo que puede soportar la columna: Este valor de carga es superior al calculado en el ejemplo anterior, porque la longitud de pandeo es menor. Esta columna podemos resolverla utilizando los diagramas de pandeo. Eligiendo el diagrama de tensión admisible y módulo de elasticidad corres- 4
pondiente, ingresamos con el valor de la esbeltez (abscisas) y obtenemos las tensiones de pandeo en ordenadas. Para la columna anterior ingresamos con la esbeltez 17,5 y encontramos en las ordenadas el valor 65 kg/cm 2 cercano al calculado. 8. Las formas y cargas en pandeo. General. Ante el fenómeno de pandeo, como vimos, la capacidad portante de las columnas ya no sólo depende de la superficie de la sección. Ahora es necesario saber diseñar las formas de las columnas. Adquiere singular importancia el valor del radio de giro, porque es función de la configuración y traza de la sección. Para interpretar bien este fenómeno, efectuaremos unos ejemplos. En ellos estudiaremos la variación de la capacidad resistente de las columnas modificando las secciones transversales. Caso a): columna madera maciza. Datos: Condición de borde: articulada en ambos extremos. Altura total: 300 cm. 5
Tensión admisible: 80 kg/cm 2. Lado menor: 10 cm Lado mayor: 15 cm Superficie: 150 cm 2. Inercia I xx = 2812 cm 4. Inercia I yy = 1250 cm 4. Radios de giros: Capacidad de carga. La columna pandeará según la sección de menor inercia; la capacidad portante real será la de P y. Caso b): columna madera compuesta. Al tirante anterior lo cortamos a lo largo para conformar una sección compuesta tal como se muestra. Momento de inercia en el ejen xx: Radio de giro: Momento de inercia en el eje yy: 6
Radio de giro: Esbelteces: Capacidad de carga: Ahora la capacidad máxima es la correspondiente a Px y con una pequeña adición de mano de obra y materiales hemos aumentado la capacidad de la columna casi al doble. Si además del cambio de forma de la sección realizamos un ajueste en las condiciones de borde y logramos empotrar los dos extremos, la longitud de pandeo será: Vemos que combinando de manera adecuada las formas y las condiciones de borde, podemos aumentar notablemente las capacidades portantes de las columnas, sin agregar material. Caso c): columna metálica PNI 180. Datos: s k : 300 cm I x : 1450 cm 4 I y : 81,3 cm 4 I x : 7,21 cm i y : 1,71 cm 7
Sección: 27,90 cm 2 σ adm : 1400 kg/cm 2 Caso d): columna metálica compuesta (2PNI 180). Datos: S k : 300 cm I x : 1450 cm 4 I y : 81,3 cm 4 I x : 7,21 cm i y : 1,71 cm Sección: 2. 27,90 cm 2 = 55,8 cm 2 σ adm : 1400 kg/cm 2 La capacidad portante de esta nueva columna se aumenta nueve veces, mientras el material hemos aumentado solo al doble. En todas las columnas compuestas, se deben colocar presillas que impidan el pandeo individual de los perfiles. 8
9. Columnas de hormigón armado. General. En capítulos anteriores hemos anticipado sobre la imposibilidad de ubicar una carga en el baricentro de la sección transversal de una columna y también que la dirección de esa carga coincida en toda la altura de con el eje de la columna. Esta situación se presenta de manera evidente en las columnas de hormigón armado. Detallamos las acciones que existen: Excentricidad e inevitable de la carga: es lo dicho con anterioridad. Imperfecciones en la sección de hormigón: el hormigón además de heterogéneo, en obra copia los desperfectos del encofrado. Imperfecciones en la longitud de las barras: los empalmes de las barras o dobleces involuntarios. Acción de flectores desde vigas que apoyan: la viga en su deformación transmite momentos flectores. Acción de fuerzas horizontales (viento y sismo): se produce un desplazamiento elástico que transmite los esfuerzos a través de los nudos. Acciones térmicas: los diferenciales de temperatura del lado externo con el interno genera deformaciones. Además las esbelteces de las columnas de hormigón armado son bajas y es raro que se presente el efecto pandeo. El análisis. Con estas consideraciones a las columnas de hormigón se las analiza desde la flexo compresión, que tiene una particularidad; posee el efecto PΔ que lo vemos en la figura. Las acciones y deformaciones de la columna son el resultado de todas las situaciones planteadas en el punto anterior. En la figura lo resumimos: Mv: el momento flector transmitido por las vigas que llegan a la columna que genera una elástica y v (allí están incluidas también los efectos de las diferentes excentricidades de la carga). P: es la carga que actúa bajo el supuesto de centrada. La acción de la carga al encontrarse con una columna deformada vuelve a generar otro momento adicional: M v = Py El flector total de manera resumida debe ser la suma del M v enviado por las vigas que es constante a lo largo de la columna, más del Py adicional que aumenta con la deformación y. En la figura de la derecha se muestra la superposición de los flectores. El problema es complejo y se lo resuelve mediante los diagramas de interacción que se encuentran en la mayoría de los libros de hormigón armado o de las tablas de cálculo. Fin pandeo segunda y última parte 9