Matemáticas Avanzadas I El estudiante reunirá habilidades en el manejo del cálculo diferencial e integral para aplicarlo en la interpretación, planteamiento y resolución de problemas y modelos matemáticos típicos de la administración Ing. Romeo Altúzar Meza Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010
Unidad I.- Funciones 1.1.- Naturaleza y definición de función matemática En el siglo XVII, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básicos en todas las matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo. En forma breve, una función es un tipo especial de relación que se expresa cómo una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (entrada). Por ejemplo: cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés, el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) del dinero que se está invirtiendo. Para expresar la dependencia decimos que I es una función de t. las relaciones funcionales como esta general se especifican mediante una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar las salida. Un ejemplo práctico: Supongamos que se invierten $100 se invierten y ganan de interés simple a una tasa anual del 6%. Entonces puede mostrarse que el interés y el tiempos están relacionados por la formula I = 100 (0.06)t Donde I está en dólares y t en años. Por ejemplo: Si t = ½ entonces I = 100(0.06)(1/2) = 3 Así, la fórmula anterior se la asigna a la entrada ½ la salida 3 y así sucesivamente. La regla asigna a cada número de entreada t exactamente un número de salida I, el cual se simboliza mediante la siguiente notación de flecha: Esta regla es una ejemplo de una función. Definición t I ó t 100(0.06)t Una funcion es una regla que asigna a cada numero de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla se llama el dominio de la función. El conjunto de todos los número de salida se le llama el rango de la función. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 2
Al domino de la función se le denota por Df que significa el dominio de la función. El rango, imagen, contradominio, recorrido se denota por Rf que significa el rango de la función. Hasta aquí hemos usado el término función en un sentdi restringido, ya que en general, las entradas o salidas no tienen por qué ser números, por ejemplo, una lsita de estados y capitales asigna a cada estado su capital (exactamente una salida), de modo que hay una función implicada. Una variable que representa a los números de entrada para una función se denomina variable independiente. Una varable que representa a los números de salida se denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice que la variable dependiente es una función de la variable independiente, en otras palabra la salida es una función de la entrada. Por ejmplo de la fórmula I = 100(0.06)t; la variable independiente es t y la variable dependiente es I por que depende de los valores que tome el tiempo (t) así sera el valor del interes (I). Matematicamente una función se puede expresar de varias formas: 1. f(x) que se lee f de x, Representa el número d salida en el rango de f que corresponde al número de entrada x en el dominio. 2. y que representa la variable dependiente. Por ejemplo: f(x) = x + 1, tambien se puede escribir y = x +1 que representa la funcion de y respecta a x Ejercicios resueltos: 1. De los siguientes ejercicios determinar el dominio de cada función a., solución Df = R {2, -1} b., solución Df = [1/2, ) 1.2.- Función Lineal y su representación geométrica Definición Una función f es una función lineal si y sólo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) = ax + b, en donde a y b son constantes y a 0. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 3
Supongamos que f(x) = ax + b es una función lineal y que y = f(x). Entonces y = ax + b, la cual es la ecuación de una recta con pendiente a e intersección con el eje y b. Así la gráfica de una función lineal es una recta y se dice que la función f(x) = ax + b tiene pendiente a. Gráfica de funciones lineales Ejemplo: Graficación de funciones lineales a. Graficar f(x) = 2x -1 Solución: Aquí f es una función lineal ( con pendiente m = 2), de modo que su grafica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos. Observe que uno de los puntos graficados es la intersección con el eje vertical, - 1, que ocurre cuando x = 0 b. 1.3.- Función cuadrática y su representación geométrica Definición Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b y c son constante y a 0. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 4
La gráfica de la función cuadrática y = ax 2 + bx + c se llama parábola y tiene una forma parecida a las curvas de la figuras siguiente. Grafica de una función cuadrática La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c es una parábola. 1. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo 2. El vértice es 3. La intersección y es c Ejemplo: graficar f(x)= -x 2 4x + 12 Ing. Romeo Altúzar Meza Página 5
1.4.- Función Polinomial y su representación geométrica Definición: Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real. Una función Polinomial f es una función de la forma: Donde n es un entero no negativo, los coeficientes a n,, a 1, a 0 son números reales. Ejemplos de funciones polinomiales: ;, Alguna propiedades de las funciones polinomiales 1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c). 2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la ecuación 3. 3. Las funciones polinomiales son funciones continuas. Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas. Ejemplo: 1. Para la función (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes Ing. Romeo Altúzar Meza Página 6
(a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si x = 0 por lo tanto y = 6 y la curva se intercepta al eje y en el punto (0, 6) Si y = 0 Por división sintética: Los factores de 6 son: Por lo tanto, f tiene un factor de la forma. El factor, puede descomponerse en: Finalmente: Si y = 0 Los valores de x son: La curva corta al eje x en los puntos: (1,0 ), (3,0) y (-2, 0) Ing. Romeo Altúzar Meza Página 7
Grafica de funciones polinomiales 1.5.- Función exponencial y su representación geométrica Existe una función que desempeña una función importante no sólo en matemáticas, sino también en finanzas, economía, y otras áreas de estudio. Incluye una constante elevada a un exponente variable, como. A tales funciones les llamamos funciones exponenciales Definición La función f definida por f(x) = b x Donde: b > 0, b 1, y el exponente x es cualquier número real, se llama función exponencial con base b Cuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplica las reglas de los exponentes. Estas reglas se presenta a continuación, en ellas m y n son números reales y a y b son positivos Ing. Romeo Altúzar Meza Página 8
Algunas funciones que parecen tener la forma exponencial b x puede ponerse en esa forma aplicando las reglas anteriores. Por ejemplo: 2 -x = ; Otro ejemplo: Creciemiento de bacterias. El número de bacterias presentes en un cultivo después de t miutos está dado por Observe que N(t) es un múltiplo constante de la función exponencial a. Cuántas bacterias estan presentes al inicio? Solución: aquí se determina N(t) cuando t = 0. Tenemos Así que 300 bacterias están presentes al inicio. b. En forma aproximada, cuantas baterias estan presentes depues de 3 minutos? Solucion: en este caso se determina N(t) cuando t= 3 minitos Sustituyendo: Asi que aproximadamente 711 batecterias se encuentran presente a los 3 minutos. Gráficas de funcines exponenciales Ing. Romeo Altúzar Meza Página 9
Ejemplo 1: Graficacion de funciones exponenciales con b>1 Graficar las funciones exponenciales f(x) = 2 x y f(x) = 5 x Solución: Al trazar puntos y conectarlos observaos las grafias de la figura a y b. Ejemplo 2: Graficacion de funciones exponenciales con 0 < b< 1 Graficar la funcións exponencial Propiedades de la función exponencial f(x) = b x 1. El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales, el rango es el conjunto de todos los números positivos. 2. La gráfica de f(x) = b x tiene intersecciones con el eje y (0,1). No existe intersección con el eje x 3. Si b > 1, la grafica asciende de izquierda a derecha Si 0 < b < 1, la grafica desciende de izquierda a derecha. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 10
4. Si b > 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x toma valores negativos cada vez más grandes en valor absoluto. Si 0 < b < 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x tomo valores positivos cada vez más grandes Función exponencial con base e Uno de los números más útiles como base de una funcioón exponenciale es cierto numero irracional danotdo por la letra e, en honor del matematico Suizo Leonardo Euler (1707-1783): La funcion exponencial con base e se conoce como funcion exponencial natural. Aunque e puedae parecer una base extraña, surge de manera natural en cálculo. También surge en el analisis economicos y en problemas que implican crecimiento o decaimiento natural, como estudios poblacioneales, interes compuesto y decaimiento radiactivo. En la figura se muestraa la estructura general de una funcion exponencial con base e 1.6.- Función logarítmica y su representación geométrica Definición: La función logarítmica de base b, donde b > 0 y b 1. Se denota por log 10 y se define como: y = log b x si y sólo si b y = x El dominio de log b es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango es conjunto de todos los números reales. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 11
Puesto que una función logarítmica invierte la acción de la correspondiente función exponencial y viceversa, cada función logarítmica es llamada la inversa de su correspondiente función logarítmica. y = log b x significa b y = x En este sentido, un logaritmo de un número es un exponente: log b x es la potencia a la cual debe elevarse b para obtener x por ejemplo: Decimos que es la forma logarítmica de la forma exponencial Conversión de forma exponencial a forma logarítmica Forma exponencial a. Como Se concluye que b. Como Se concluye que c. Como Se concluye que Forma logarítmica Conversión de forma logarítmica a exponencial Forma logarítmica a. Significa b. Significa c. Significa Forma exponencial Gráfica de funciones logaritmica Ejemplo 1 Gráfica de una funcion logarítmica con b > 1 Graficar la funcion y = log 2 x Puede se dificil sustituir valores de x y después encontrar los corrrepondientes valores de y. por ejemplo, si x = 3, entoces y = log 2 3, lo que no se determina con facilidad. Una manera más sencilla para trazar los puntos es utilizar la forma exponencial equivalente x = 2 y. Seleccionamos valores de y y encontramos los correspondiente valores de x. Por ejemplo, si y = 0, entonces x = 1 y así sucesivamente. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 12
Ejemplo 2 Gráfica de una funcion logarítmica con 0 < b < 1 Graficar la funcion y = log 1/2 x Ing. Romeo Altúzar Meza Página 13