Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y lim, es decir para que (24.1) lim f k = lim f k. En este capítulo consideraremos otras condiciones bajo las que sea cierta la fórmula 24.1. A lo largo de él hemos de tener presente que siempre que unas determinadas hipótesis conduzcan a la validez de la igualdad anterior, esas hipótesis restringidas a un conjunto medible B garantizan también, si no se dice nada en contra, la validez de la misma sobre B, es decir (24.2) lim f k = lim f k, B De igual modo, estas hipótesis sólo deberán ser verificadas normalmente en casi todo punto. Convergencia monótona El teorema de la convergencia monótona para funciones no negativas proporciona, invirtiendo las hipótesis, un teorema de convergencia para funciones no positivas. Por lo que, hasta aquí, tendríamos un teorema de convergencia para sucesiones no decrecientes de funciones no negativas (0 f k ), y otro para sucesiones no crecientes de funciones no positivas (0 f k ). En general las hipótesis de estos dos teoremas no podrán ser intercambiadas. Así, para una sucesión no creciente de funciones no negativas (0 f k ) no es seguro que la fórmula 24.1 sea válida: 239 B
240 Teoremas de Convergencia 24.1 Ejemplo 24.1 Sea {f k } la sucesión de funciones f k (x) = 1/k. Esta sucesión es claramente no decreciente, todas las funciones son no positivas y converge puntualmente a 0. Es inmediato comprobar que f k = +, k, y por tanto + = lim f k lim f k = 0 = 0. No obstante, manteniendo la monotonía de la sucesión pero sin hacer referencia alguna al signo de las funciones, aún es posible obtener un buen teorema de convergencia: Teorema 24.2 (De la convergencia monótona generalizado) Sea {f k } una sucesión monótona (da igual que sea creciente o decreciente) de funciones medibles. Si alguna de las funciones de esta sucesión es integrable, entonces las dos expresiones, lim f k y lim f k, existen y lim f k = lim f k. Demostración. Supongamos, para concretar, que la sucesión es no decreciente y que la función f k es integrable. Consideremos entonces la sucesión no decreciente de funciones medibles y no negativas, definida c.s., {f s f k } s k. Si llamamos f = lim f s, es claro que 0 f s f k f f k (c.s.) luego, por el teorema de la convergencia monótona para funciones no negativas, lim (f s f k ) = (f f k ) s y, por tanto, si fuese cierto que (24.3) (f s f k ) = f s f k ; (f f k ) = f f k,
24.3 Teoremas de Convergencia 241 se tendría lim f s f k = f f k lim f s = f. Veamos pues que 24.3 se verifica: Escribamos f s = (f s f k ) + f k. Entonces, puesto que f k es integrable y (f s f k ) 0, se satisfacen las condiciones de la proposición 23.13 para deducir que f s = (f s f k ) + f k (f s f k ) = f s De igual modo se demuestra que (f f k ) = f f k. El resultado siguiente nos servirá de lema para la demostración de otro teorema de convergencia muy utilizado, el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Teorema 24.3 (Lema de Fatou) (a) Si {f k } es una sucesión de funciones medibles no negativas, entonces limf k lim f k. (b) Si {f k } una sucesión de funciones medibles no positivas negativas, entonces limf k lim f k. f k. Demostración. (a) Sea g k = j k f j. Obviamente, {g k } es una sucesión no decreciente de funciones medibles y no negativas y lim g k = limf k, luego limf k = lim g k = lim g k lim f k, donde la desigualdad, lim g k lim f k, se obtiene así: De la definición de g k se deduce que g k f j, para cada j k, por tanto g k f j, j k g k inf f j lim g k lim f k. j k (b) Resulta de (a) aplicado a la sucesión { f k }.
242 Teoremas de Convergencia 24.4 Convergencia dominada Teorema 24.4 Sea {f k } una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente a la función f y supongamos que existe una función integrable F tal que f k F, entonces (a) f es integrable. (b) f = lim f k. Demostración. De la condición f k F y la convergencia puntual de la sucesión f k hacia la función f, se deduce trivialmente que f F, lo que implica (por F integrable) que cada función f k y f son funciones integrables. Veamos que f = lim f k. Tenemos por hipótesis que F f k F, para todo k. Aplicando entonces el lema de Fatou (a) a la sucesión de funciones no negativas {f k + F }, resulta (f + F ) = lim(f k + F ) lim (f k + F ), de donde se deduce, haciendo uso de la linealidad del operador integral, que f lim f k. Análogamente, aplicando de nuevo el teorema de Fatou, ahora a la sucesión de funciones no positivas {f k F }, obtendríamos f lim f k. y uniendo ambas desigualdades, teniendo en cuenta que el límite inferior de una sucesión de numeros reales es menor o igual que el límite superior, se tiene ya f lim f k lim f k lo que implica que todas las desigualdades anteriores son, en realidad, igualdades y por tanto, que existe lim f k (por coincidir el límite superior y el inferior) y es igual a f. El corolario siguiente proporciona una versión fuerte del teorema de la convergencia dominada. f,
24.6 Teoremas de Convergencia 243 Corolario 24.5 Sean {f k } y f como en el teorema anterior. Entonces lim f k f = 0. Demostración. Vamos a aplicar lo obtenido antes a la sucesión { f k f }. Por hipótesis la sucesión de funciones { f k f } converge a 0 en cada uno de los puntos x en que estén definidas las funciones f k f, luego en c.t.p., pues f k y f son funciones integrables. f k f 2 F, siendo la función 2 F integrable, luego lim f k f = 0. En el teorema anterior hemos hecho referencia a una versión fuerte del mismo, pareciendo indicar con ello que lim f k f = 0 lim f k = f? Esto es verdad, pero siempre que existan las integrales f k, concretamente: Proposición 24.6 Sean {f k } y f funciones medibles y supongamos que para cada k, f k, entonces lim f k f = 0 f, y lim f k = f. Demostración. Para ε > 0 sea ν N tal que f k f < ε si k ν. Supongamos en primer lugar que todas las funciones f k, k ν son integrables. Entonces, se tiene que (f k f) = f k f, por lo que podemos escribir f k f = (f k f) f k f < ε, luego, lim fk = f. Supongamos que existe p ν tal que f p = y escribamos f = (f f p ) + f p. De las hipótesis y del teorema de aditividad de la integral (Proposición 23.13) se deduce que f existe y (24.4) f = (f f p ) + f p =.
244 Teoremas de Convergencia 24.6 Por otra parte, escribiendo f k = (f k f) + f vemos que f k =, para todo k ν. Luego, también en este caso, lim fk = f. Ejemplos triviales que muestran que la condición lim fk f = 0 no implica la existencia de las integrales f k, pueden construirse sin más que tomar f k = f para todo k, y f una función medible, cuya integral no existe (por ejemplo f(x) = 1, si x 0; f(x) = 1, si x > 0). Por otra parte, el nuevo ejemplo prueba que la condición lim fk = f no implica que lim fk f = 0. Ejemplo. Sea f k = 1/k X [ k,0] + 1/k X [0,k] ; f = 0. Como f k = 0, se tiene que lim f k = f = 0. En cambio, lim f k f = 2 0. Vamos a ver a continuación dos casos particulares del teorema de la convergencia dominada: Corolario 24.7 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {f k } una sucesión de funciones medibles sobre B, que converge puntualmente sobre B a una función f. Supongamos que se satisface una de las dos condiciones siguientes: (i) Existe una constante M tal que f k (x) M, para cada x B. (ii) La sucesión {f k } converge uniformemente en B a la función f. Entonces, lim f k f = 0. B Demostración. La condición i) significa que f k X B MX B.
24.9 Teoremas de Convergencia 245 Puesto que la función F = MX B es integrable ( MX B = M m(b) < ) y {f k X B } f, aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene que 0 = lim f k X B fx B = lim f k f. B De la condición ii) se deduce que, dado ε > 0, f k f X B εx B para k suficientemente grande. Por lo que, aplicando de nuevo el teorema de la convergencia dominada, resulta lo que queremos. Consecuencias 24.8 Si {f k } es una sucesión de funciones medibles, no negativas, entonces fk = f k. Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótona y la aditividad del operador integral a la sucesión de funciones no negativas g k = k f i. i=1 24.9 Si {B k } es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, f una función medible sobre B k, y suponemos que existe su integral sobre B k, entonces f = f. B k B k Si f 0, entonces, del resultado anterior y la igualdad fx Bk = fx Bk, se deduce que fx Bk = fx Bk = B k f.
246 Teoremas de Convergencia 24.9 En el caso general, supongamos por ejemplo que B k f + <, entonces f = f + f = f + f, B k B k B k B k B k que nos dice que B k f es la diferencia de dos series de términos positivos, siendo la primera de ellas convergente. Se tiene entonces que f = f + f = ( f + f ) = f. B k B k B k B k B k B k Para escribir las igualdades anteriores hemos utilizado el siguiente resultado, cuya demostración constituye un sencillo ejercicio: Si a k, bk son dos series de términos positivos, y suponemos que una de ellas es convergente, entonces ak b k = (a k b k ). 24.10 Sea B 1 B 2... una sucesión no decreciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una función medible cuya integral sobre B k existe, entonces f = lim B k f. B k Si f 0, la demostración resulta de aplicar el teorema de la convergencia monótona a la sucesión no decreciente {fx Bk }. En el caso general se procede como antes. 24.11 Sea B 1 B 2... una sucesión no creciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una función integrable sobre algún B k, entonces f = lim f. B k B k En caso de ser f 0, la demostración resultará de aplicar el teorema 24.2 a la sucesión {fx Bk }, de ahí la necesidad de la hipótesis f integrable sobre algún B k. El caso general, como en los resultados precedentes.
24.13 Teoremas de Convergencia 247 24.12 Sea {B k } una sucesión de conjuntos medibles, tal que lim m(b k) = 0. Entonces, si f es una función integrable, se tiene que lim f = 0. B k Demostración. El resultado es evidentemente cierto si f es una función acotada, pues entonces f c f f cm(b k ) 0. B k B k En general, denotemos por C α = {x: f(x) α}. Entonces f = B k f + B k C α B k C c α f f + αm(b k ). C α Por tanto en particular, lim f B k f, α > 0, C α lim f B k f, p = 1, 2,... C p Pero la sucesión de integrales, C p f, tiende a 0 en virtud de 24.11, ya que obviamente C 1 C 2.... Se deduce pues que lim B k f = 0. Corolario 24.13 (Continuidad absoluta) Si f es una función integrable, entonces para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que m(b) < δ B f < ε. Demostración. De lo contrario, existiría un ε > 0 y una sucesión de conjuntos {B k } tales que m(b k ) < 1/k, mientras que B k f > ε, lo cual contradice 24.12.
248 Teoremas de Convergencia 24A Ejercicios 24A Sea f una función integrable y B p = {x: f(x) p}. (a) Probar que lim p p m(b p ) = 0. (b) Probar que p m(b p+1 \ B p )) < +. p=0 (c) Probar que la condición sobre f en el apartado (a) no implica f integrable. La condición en el apartado (b) implica que f es integrable si {x : f(x) 0} es de medida finita. 24B Encontrar sucesiones monótonas {f k } que no satisfagan las hipótesis de ninguno de los teoremas de convergencia monótona y tales que f k =, k. lim f k lim f k lim f k = lim f k 24C (a) Probar que si {f k } es una sucesión de funciones integrables que converge uniformemente a una función f sobre un conjunto B de medida finita, entonces f es integrable sobre B y f = lim f k. B B (b) Demostrar que la condición del apartado anterior, B de medida finita, no se puede quitar. (c) Construir una sucesión de funciones {f k } que converja uniformemente en un conjunto de medida finita B y tal que para todo k f k =. B 24D Probar que si B k y B son conjuntos medibles tales que m(b k B) 0, entonces lim f = B k B para toda f integrable. 24E Demostrar que si f es una función integrable entonces lim m 0 e m sen2 x f(x) = 0.
24K Teoremas de Convergencia 249 24F Consideremos la sucesión de funciones f p (x, y) = px2 px y cos 1 px y. (a) Probar que se trata de una sucesión de funciones medibles que converge c.s. hacia qué función? (b) Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = {(x, y): 0 < y < x < 1}. 24G Probar que si f es una función medible sobre el intervalo [a, b] y para cada x [a, b] se tiene que x c.s. f = 0, entonces f = 0. a indicación. Observar que f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y I utilizar la continuidad absoluta de la integral. 24H Sea f L 1 (R) derivable en 0 y tal que f(0) = 0. Probar que la función g(x) = f(x)/x es integrable en R. 24I Sea f k una sucesión monótona de funciones reales e integrables que converge puntualmente a una función f. Es cierto entonces que lim f fk = 0? 24J Sea f k una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente a una función f. Probar que si existe M > 0 tal que f k M entonces f M. 24K Sea f k una sucesión de funciones medibles no negativas que converge puntualmente a una función integrable f y sea para cada k, B k = {x : f(x) f k (x)}. (a) Probar que (b) Probar que lim (f f k ) = 0. B k f f k = (f f k ) + 2 (f f k ). B k (c) Deducir de los apartados anteriores que si, además de las hipótesis iniciales sobre {f k } y f, se tiene que lim f k = f, entonces lim f f k = 0. Puede suprimirse la hipótesis f k 0 para cada k? y la hipótesis f integrable?