Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,..., x,... se define de manera natural una función de los enteros positivos N en R n tal que a cada entero positivo se le asigna un vector x R n A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos {x } =, {x } Ejemplos.-Considerando el espacio R sea la sucesión {x } dada por x = (, ) cuyos elementos podemos listar como sigue: { ( (, ),, ) (, 3, ) },... 3 Considerando la sucesión {x } R n. Cada vector x {x } esta dado de la siguiente manera: x = (x,, x,,..., x n, ) Es decir, dicho vector define de manera natural n sucesiones en R {x}, las cuales llamaremos sucesiones componentes o sucesiones proyección, así, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: {x, } = y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es {x, } = Ejemplos.-Sea la sucesión {x } dada por x = ( +, ) + cuyas sucesiones componentes son: ( ) ( ) + x = x = + Ejemplos.-Sea la sucesión {x } dada por x = ( ( + ) cuyas sucesiones componentes son: x = ),, ( + ) x = x = 3
Convergencia de Sucesiones en R n Definición. Una sucesión {x } en R n se dice que converge a un vector x en R n si ɛ > 0 N 0 N tal que x x < ɛ > N 0 En este caso diremos que la sucesión es convergente y que x es el limite de la sucesión y escribimos lím x = x Proposición. Unicidad del Limite Consideremos una sucesión {x } en R n y sean x, y R n tal que entonces x = y x = lím x y y = lím x Demostración. Supongamos que x y y tomemos ɛ = x y > 0. Por definición x = lím x por lo que N 0x N tal que x x < ɛ para > N 0x y analogamente se tiene que y = lím x por lo que N 0y N tal que x y < ɛ para > N 0y Sea ahora N 0 = máx{n 0x, N 0y } entonces se cumple simultaneamente que x x < ɛ y x y < ɛ para > N 0 x y = x x + x y x x + x y < ɛ = ( ) x y = x y (falso) Proposición. Sea {x } una sucesión en R n y sean {x } = (x, x,...) {x } = (x, x,...).
{x n } = (x n, x n,...) las sucesiones componentes de la sucesión {x }. Entonces la sucesión {x } converge a x = (x, x,...) en R n si y solo si para cada j =,,... se tiene que x nj converge a x j Demostración. Supóngase que la sucesión {x } converge a x = (x, x,...) esto quiere decir que N 0 N tal que x x < ɛ para > N 0 y dado que 0 x j x j x x < ɛ entonces se tiene que 0 x j x j < ɛ lo que significa que Reciprocamente, supongamos que para cada j lo que significa que lím x j = x j lím x j = x j x j x j < ɛ n 0 x x x x + x x +... + x n x n < ɛ n + ɛ n +... + ɛ n = ɛ lím x j = x Ejemplo.-Consideremos la sucesión x = (, +) tenemos que lím x = lím = 0, lím x = (0, ) = x Ahora para comprobarlo tenemos que ( ) x x =, (0, ) + = lím x = lím + + = lím + = lím + = ( ) + = + ( + ) < = 3
< ɛ < N 0 = ɛ ɛ ( ) Si > N 0 entonces, (0, ) + < ɛ Definición 3. Deciimos que A R n es un conjunto acotado si y solo si M > 0 tal que a A se cumple a M Proposición 3. Sea {x } R n, si {x } converge entonces {x } es acotada Demostración. Si {x } converge entonces lím x = x lím x,j = x j j =,..., n por lo tante se tiene {x,j } es acotada y por tanto M j > 0 tal que x,j M j se tiene que x x, + x, + + x n, n máx{x,j } = n M j = M {x } es acotada Teorema. Un subconjunto A R n es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación Demostración. ( ) Suponemos que A es cerrado. Sea x un punto de acumulación de A y suponemos que x / A. Como A c es abierto y x A c existe r > 0 tal que B(x, r) A c B(x, r) A = pues x es punto de acumulaión de A ( ) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea U = A c queremos probar que U es abierto. Sea x U como x no es de acumulación r > 0 tal que B(x, r) A = B(x, r) A c A c es abierto Teorema. Sea A R n y x R n. Entonces, x es un punto de acumulación de A si y solo si {x } A con x x tal que x x Demostración. Suponemos que x es punto de acumulación de A entonces para cada N x A B(x, ) con x x x x Sea B(x, r) como x x 0 N tal que x B(x, r) > 0 x A B(x, r) x es punto de acumulación 4
Criterio de Convergencia de Cauchy Definición 4. Sea {x } una sucesión de puntos de R n. Se dice que {x } es una sucesión de Cauchy si dado ɛ > 0 N 0 N tal que x x l < ɛ, l N 0 Teorema 3. Una sucesión {x } R n es convergenta si y solo si cumple el criterio de Cauchy Demostración. Suponemos que {x } x x x < ɛ > N 0. Se tiene entonces que x x l = x x + x x l x x + x x l < ɛ + ɛ = ɛ, l > N 0 {x } cumple la condición de Cauchy Supongamos que {x } cumple la condición de Cauchy por tanto se tiene que: x x l < ɛ x i, x i,l < ɛ i {x i, } cumple Cauchy x i, es convergente i {x } es convergente Teorema 4. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión x en R n acotada tiene un punto limite. Dicho de otro modo, toda sucesión en R n tiene una subsucesión convergente Demostración. Sea x en R n suponiendo x es acotada, entonces cada x i, es acotada según el teorema de Bolzano-Wierstrass para sucesiones en R {x i, } tiene una subsucesión convergente α i, la cual es una sucesión convergente, podemos formar la sucesiòn x α, = {x α,,, x α,,,..., x α,n, } la cual es una sucesión convergente, pero x α, es subsucesión de x x tiene una subsucesión convergente Definición 5. Sea A un subconjunto de R n. Se dice que A es compacto cuando toda sucesión de puntos de A tiene una subsucesión que converge a un punto de A. Teorema 5. Sea A R n. Entonces, A es compacto si, y solo si, A es cerrado y acotado. Demostración. ( ) Supongamos que A es compacto. Sea {x } una sucesión de elementos de A tal que x x en R n. Por la compacidad de A, {x } tiene una subsucesión convergente a 5
un punto de A. x es punto de acumulación de A A es cerrado Si A no fuera acotado podriamos encontrar x A tal que x l por lo que {x } no tendra ninguna subsucesión convergente A es acotado ( ) Supongamos ahora que A es cerrado y acotado. SPG consideraremos el caso R. Sea x = (x,, x, ) A al ser x acotado entonces x, y x, es acotada Por el teorema de Bolazano-Weierstrass existe {x α,, } y {x α,, } subsucesiones de {x, } y {x, } respectivamente, cada una de las cuales converge a x α, y x α, y como A es cerrado (x α,, x α, ) A A es compacto Lema. Si A i R son conjuntos acotados, entonces A = A A A n es un conjunto acotado Demostración. Como A i es acotado r i > 0 tal que A i B(0, r i ). Entonces si consideramos r = n máx{r, r,..., r n } se tiene que A B(0, r ) B(0, r )... B(0, r n ) B(0, r) con lo cual A es acotado Teorema 6. Los intervalos cerrados y acotados de R son compactos Demostración. Sea x n una sucesión de puntos del intervalo [a, b] R, según el teorema de Bolzano-Weierstrass una subsucesión convergente x α,n de x n y el límite de esta sucesión pertence a [a, b]. Si [a, b] y [c, d] R y ambos son compactos entonces A = [a, b] [c, d] es compacto en R Demostración. Sea z = (x, y ) una sucesión cualquiera de [a, b] [c, d] com [a, b] es compacto x α,i, subsucesión de x que tiene limite en [a, b]. Analogamente por la compacidad de [c, d] y α,i, que posee limite en [c, d], entonces la sucesión z α,i, = (x α,i,, y α,i, ) es una subsucesión de la sucesión z que converge a (x, y) [a, b] [c, d]. [a, b] [c, d] es compacto. 6