En la política es como en las matemáticas: todo lo que no esté totalmente correcto, está mal. Edward Kennedy Unidad 7 Ecuaciones de segundo grado con una inc ógnita Parte I Objetivos: incógnita.
ÁLGEBRA Introducción En esta unidad iniciaremos el estudio de las ecuaciones cuadráticas, también llamadas ecuaciones de segundo grado, las cuales son de gran importancia puesto que son la representación analítica de curvas tan importantes como son la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola (cónicas) Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que después de haberse simplificado al máimo puede tomar la forma a + b + c = 0, donde a, b y c son números reales con la única restricción de que a 0; es la variable de la ecuación, a es el coeficiente de, b es el coeficiente de y c es el término independiente. La forma a + b + c = 0 se conoce como la forma estándar. Observa que a debe ser diferente de cero porque de lo contrario la epresión a + b + c se convertiría en la epresión b+ c y perdería su naturaleza de cuadrática. Recuerda que el grado de una ecuación con una variable lo determina el mayor de sus eponentes, siempre y cuando el coeficiente de este término no sea cero. Términos en una ecuación cuadrática a + b + c = 0 término cuadrático término lineal término independiente Ejemplos:. 5 + = 0 es una ecuación de quinto grado, porque 5 es el mayor de sus eponentes y el coeficiente de 5 es (no cero).. 6 + = 7 + + 9 5 es una ecuación cuadrática, ya que al simplificarla y escribirla en la forma estándar obtenemos + 7 = 0 ó 7 + = 0. Con estas dos últimas epresiones tenemos un buen preteto para tocar el tema de: 7
Unidad 7 7... Ecuaciones cuadráticas equivalentes Para determinar si dos ecuaciones cuadráticas, Ec. () y Ec. (), son equivalentes, es conveniente escribirlas en su forma estándar, y si eiste una constante k tal que k Ec. () = Ec. (), entonces decimos que la Ec. () es equivalente a la Ec. (). De hecho esta característica es suficiente para asegurar que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones. 8 Ejemplos:. La ecuación + 7 = 0 es equivalente a la ecuación 7 + = 0 porque si multiplicamos la primera por la constante k= obtenemos la segunda.. La ecuación 8 + 5 = + Ec. () es equivalente a la ecuación Ec. (). Para probarlo primero escribiremos cada ecuación en su forma estándar. Ec. (): + 7 + = 0 y Ec. (): 0. Si multiplicamos la Ec. () por la constante k obtenemos la Ec. ). Esta constante es el resultado de encontrar un valor tal que el coeficiente de en la ecuación (), multiplicado por k, obtengamos el coeficiente de de la ecuación (): k = k Por lo tanto, las ecuaciones son equivalentes. Si al asignarle un valor a la variable de una ecuación cuadrática que un númer o a + b + c = 0 se satisface la igualdad, entonces se dice que es una sea solución de solución, una raíz o un cero de la ecuación. una ecuación El conjunto solución de una ecuación cuadrática tiene como elementos a de segundo gr ado? todas sus raíces, como se vio en la unidad de este libro. Ejemplos: 5. = es una raíz de la ecuación + = 0 porque si sustituimos la variable por este valor obtenemos: ( ) + ( ) = 8 = 0; es decir, se satisface la igualdad. Sin embargo, si hacemos =, obtenemos ( ) + ( ) = = 5 0. Vemos que no satisface la ecuación y entonces concluimos que no es una de sus raíces. Ahora observa que si hacemos y sustituimos este valor en la ecuación, obtenemos: 8 0 Cuántas r aíces tiene una ecuación cuadr ática? también se satisface la igualdad, lo que significa que es otra raíz de la ecuación. Una ecuación de segundo grado en una variable tiene únicamente dos raíces, y en general estos valores pueden ser distintos, pero no necesariamente. D educiremos esta aseveración un poco más adelante.
ÁLGEBRA Ejercicio En los ejercicios y escribe cada ecuación en la forma estándar y determina si es una ecuación cuadrática en una variable.. 7 5 6 7. 6 6 En los ejercicios y determina si los pares de ecuaciones son equivalentes o no. En caso afirmativo, da eplícitamente la constante que establece la equivalencia.. 0 + 6 = 0 y 6 5 0 0. + 68 8 = 7 y + = 0 En los ejercicios 5 y 6 determina si el valor dado es una raíz de la ecuación. 5. 6. 5, 0 = 0, 6 + 6 = 0 Tipos de ecuaciones cuadráticas Observa que en la definición de una ecuación cuadrática el único coeficiente que no puede tomar valores arbitrarios es el de la. Si consideramos una ecuación cuadrática en su forma estándar, digamos a + b + c = 0, la restricción consiste en prohibir que a = 0. De esta manera tenemos que eisten ecuaciones cuadráticas de tipos: a b c 0 con by c 0 a b 0 con b 0 y c 0 a c 0 con c 0 y b 0 en todosloscasos a 0 Una ecuación de segundo grado en una variable se llama ecuación completa si es equivalente a una ecuación de la forma a + b + c = 0, en donde b y c 0. En caso contrario recibe el nombre de ecuación incompleta. Recuerda que en todos los casos a 0 9
Unidad 7 Ejemplos: 6. 5 0 es una ecuación cuadrática completa. 5 7. 0 es una ecuación incompleta, porque al no tener término lineal (b ) cae en el caso b = 0. 8. 6 0 es una ecuación incompleta, porque al no tener término independiente (c), o si el término independiente es cero, cae en el caso c = 0. 7.. Ecuaciones incompletas 7... Solución de la ecuación de tipo a +c =0 El método para resolver una ecuación de este tipo es análogo al que se estudió para resolver las ecuaciones lineales con una variable, ya que consiste básicamente en:. Despejar.. Etraer la raíz cuadrada en ambos miembros. Empecemos por recordar qué significa que un número a sea raíz cuadrada de un número b. Para ello consideremos algunos casos particulares: 5 es una raíz cuadrada de 5, porque 5 = 5, de la misma manera 5 es una raíz cuadrada de 5 porque ( 5) = 5; 7 y 7 son las raíces cuadradas de 9 porque 7 = ( 7) = 9. Observación. Con respecto a la notación recordarás que en caso de raíces cuadradas reales, es decir, raíces cuadradas de números no negativos, el símbolo se refiere a la raíz positiva. Por ejemplo, es, porque el símbolo de radical desecha a la raíz negativa, es decir, no toma en cuenta al. Por esta razón, cuando queramos escribir simbólicamente las dos raíces cuadradas de un número debemos anteponer al radical el símbolo ±. Veamos un ejemplo: 6 8, 8; 6 8 y 6 8. D espués de estas observaciones estamos listos para resolver ecuaciones incompletas cuadráticas. Retomemos el tipo de ecuación a + c = 0. Para generalizar el método de solución empezaremos por resolver algunos casos particulares. Ejemplos: 9. 00 = 0 50
ÁLGEBRA ecuación. Despejando obtenemos: = 00 00 = 5 Etrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros: 5 5 Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 00 = 0 son = 5 y = 5 Comprobación: a) Sea = 5, entonces (5) 00 = 00 00 = 0. Tenemos que 5 es una raíz de la ecuación. b) Sea = 5 entonces ( 5) 00 = 00 00 = 0. Tenemos que 5 es la otra raíz de la 0. + 57 = 0 Despejando obtenemos: = 57 57 = 9 Etrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros: 9 Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación + 57 = 0 son = 9 y = 9 Comprobación: a) Sea = 9, entonces ( 9 ) + 57 = (9) + 57 = 0. Tenemos que 9 es una raíz de la ecuación. b) Sea = 9 entonces ( 9 ) + 57 = (9) + 57 = 0. Tenemos que 9 es la otra raíz de la ecuación.. El área de un cuadrado está dada en cm y tiene la siguiente característica: si se le restan 00 cm el resultado es igual a cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? A la longitud en centímetros del lado del cuadrado la llamamos El área del cuadrado es: Si al área del cuadrado se le restan 00 cm el resultado es cm : 00 = Ec. a resolver. Despejando : = 00 + = Etrayendo la raíz cuadrada en ambos lados: Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son = y =, pero como representa la longitud del lado de un cuadrado = se desecha. En consecuencia, el lado del cuadrado mide cm. 5
Unidad 7 Ejercicio En los ejercicios del al resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:. 8 = 0. 5 9. El cuadrado de la edad de Ana por 5 más 5 es igual a 60. Cuántos años tiene Ana?. Considerando únicamente las cantidades, es decir, haciendo caso omiso de las unidades, se sabe que: el lado de un cuadrado y el lado de un triángulo equilátero son iguales. Si se multiplica la longitud del lado del cuadrado por la longitud del lado del triángulo, el resultado es igual a la cantidad del perímetro del cuadrado menos el cuádruple de la longitud del lado del triángulo más 8. Cuáles son las dimensiones del cuadrado y cuáles son las dimensiones del triángulo? 7... Solución de la ecuación de tipo a + b = 0 Empecemos con algunos casos particulares. Ejemplos: 5. Resolver + = 0 Observa que en una ecuación de este tipo los términos del primer miembro tienen a la variable como factor común. Aprovecharemos esta característica para encontrar sus raíces. Factorizando el primer miembro obtenemos: ( + )= 0 Sabemos que si el producto de dos epresiones como ( + ) es igual a cero, entonces una de ellas es cero o bien ambas son cero, por lo tanto: resultado. ( + ) = 0 = 0 ó + = 0 D espejando en cada caso, obtenemos: = 0 ó = Por lo tanto, las soluciones de la ecuación + = 0 son = 0 y =. Comprueba este 6. Resolver 0 Factorizando el primer miembro obtenemos: ( ) 0 5
ÁLGEBRA L o que implica que: = 0 ó Despejando en cada caso: = 0 ó Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 0 son = 0 y 8. 0 8 7. El doble del cuadrado de un número equivale al cuádruple del número. H allar el número. Al número lo llamamos: El doble del cuadrado del número equivale a su cuádruple: = Ec. a resolver. Escribiendo en la forma estándar: = 0 Factorizando el primer miembro: ( ) = 0 L o que implica que: = 0 ó = 0 Despejando en cada caso obtenemos: = 0 ó = Por lo tanto, el problema tiene dos soluciones, el número puede ser = 0 ó =. Comprueba este resultado. Generalizando, tenemos que el método para resolver la ecuación incompleta de la forma a + b = 0 es: Factorizando el primer miembro obtenemos: (a+ b) = 0 (I ) L o que implica: = 0 ó a + b = 0 b D espejando, recuerda que a 0: = 0 ó a Observa que una ecuación del tipo a + b = 0 siempre tiene como soluciones números b reales que son: = 0 y a El cero siempre es solución de la ecuación a + b = 0. Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones:. 6 0. 5 7 0 5
Unidad 7. 0 Resuelve los siguientes problemas:. Si se toman 7 del cuadrado de la cantidad de dinero de Juan es lo mismo que si se toma el séptuple de la cantidad de su dinero. Si Juan tiene su dinero en pesos meicanos, a cuánto equivale su capital? 5. Pedro es años menor que Mónica y la suma de los cuadrados de ambas edades es 9. H allar la edad de Mónica. 7.. Ecuaciones completas H asta ahora sólo hemos estudiado los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. En esta sección veremos varias formas de resolver una ecuación cuadrática de la forma a + b + c = 0, es decir, una ecuación cuadrática completa. 7... Solución de una ecuación cuadrática por factorización Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas en los cuales es posible factorizar el primer miembro de la forma estándar, es decir, en los que a + b + c se puede descomponer como el producto de dos factores de la forma ( p+ q) y (r+ s), en donde p, q, r y s son números enteros. Si tienes dificultades con la factorización de epresiones de la forma a + b + c, te recomendamos reforzar tus conocimientos con ayuda de la unidad de este libro. 8. Resolver + 5 = 0 Factorizando el primer miembro, obtenemos: ( )( + ) = 0 (ambos factores se igualan a cero) L o que implica que: = 0 ó + = 0 Despejando en cada ecuación lineal: = ó = Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación + 5 = 0 son = y =. Comprueba este resultado. Las soluciones están dadas por S = {, }. 5
ÁLGEBRA 9. Resolver 0 = 0 Factorizando el primer miembro, obtenemos: L o que implica que: ( 5 + )(6 ) = 0 5 + = 0 ó 6 = 0 Despejando en cada ecuación lineal: = 5 ó = Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 0 = 0 son = =. Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por S = { 0. Considera la ecuación + 5 = 0. 5, }. Para factorizar buscamos dos números enteros tales que al multiplicarlos se obtenga 5 y al sumarlos sea. Según lo visto en la unidad. La siguiente tabla muestra todos los pares de números enteros cuyo producto es 5. Todas las ecuaciones cuadr áticas pueden r esolver se por el método de factor ización? 5 y Posibles números Producto Suma, 5 ()(5) = 5 + 5 = 6, 5 ( )( 5) = 5 5 = 6 En ninguno de los casos las suma es. Por lo tanto, la epresión + 5 no es factorizable (en los enteros) y, en consecuencia, la ecuación + 5 = 0 no puede resolverse por el método de factorización.. Resolver 9 + = 0. Factorizando el primer miembro obtenemos: (7 )(7 ) = (7 ) = 0 L o que implica que: 7 = 0 Despejando : = 7 Como los dos factores son iguales, las raíces de la ecuación 9 + = 0 son iguales; específicamente son iguales a =. Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por 7 55
Unidad 7 S = { 7, 7 }, esto con la finalidad de indicar que 7 es dos veces raíz y también para indicar que la ecuación original es 9 + = 0 y no 7 = 0. Generalizando, podemos decir: Las raíces de una ecuación cuadr ática siempr e son difer entes? Si en una ecuación cuadrática de la forma a + b + c = 0 la epresión a + b + c es un trinomio cuadrado perfecto, entonces las dos raíces de la ecuación a + b + c = 0 son iguales. Se dice que una ecuación con estas características tiene una raíz doble o de multiplicidad dos. Por otra parte, si la raíz de una ecuación cuadrática no se repite, entonces se dice que la raíz es de multiplicidad uno. 56. Resolver 66 + 9 = 0 Factorizando el primer miembro, obtenemos: ( )( ) = ( ) = 0 L o que implica que: = 0 Despejando : = La epresión 66 + 9 = 0 es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, la ecuación 66 + 9 = 0 tiene una raíz de multiplicidad que es =. Comprueba este resultado. Las soluciones están dadas por S = {, }.. Si a un número se le suman 6 unidades y se eleva al cuadrado, el resultado es igual al triple del cuadrado del número menos el doble del número. Cuál es el número? Al número original lo llamamos: El número más 6 unidades es: + 6 El cuadrado del número más 6 unidades es: ( + 6) El triple del cuadrado del número menos su doble es: El cuadrado del número más 6 unidades es igual al triple del cuadrado del número menos el doble del número: Desarrollando el binomio del primer miembro: ( + 6) = Ec. a resolver. + + 6 = Reduciendo términos semejantes: + + 6 = 0 Dividiendo entre : 7 8 = 0 Factorizando el primer miembro: ( 9)( + ) = 0 L o que implica que: 9 = 0 ó + = 0 Despejando en cada ecuación lineal: = 9 ó = Por lo tanto, eisten dos números que satisfacen las características deseadas: 9 y. Comprueba este resultado. Las raíces son de multiplicidad uno.
ÁLGEBRA Generalizando, podemos decir que si una ecuación cuadrática a + b + c = 0 se puede descomponer como el producto de dos factores de la forma ( p+ q) y (r + s), en donde p, q, r y s son enteros, entonces su solución se reduce a la solución de dos ecuaciones lineales: a + b + c = ( p + q)(r + s) = 0, lo cual implica que (p + q) = 0 ó (r + s) = 0. q D espejando en cada ecuación lineal obtenemos p ó s, que son las soluciones r de la ecuación a + b + c = 0. Observa que como pr = a 0, entonces queda garantizado que p 0 y q 0, por lo que siempre será posible despejar en cada una de las ecuaciones lineales que forman la factorización de la ecuación cuadrática. Ejercicio En los ejercicios del al resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización e indica si sus raíces son de multiplicidad ó.. + 5 0 = 0. 69 6 =. 0 + 0 = 9. La suma de un número más el doble de otro es y la diferencia de sus cuadrados es. Si se sabe que los números son enteros, halla los números. 5. En una caja con un solo nivel hay 80 manzanas distribuidas en un cierto número de filas. El número de manzanas en cada fila es más que el número de filas. Cuántas filas hay y cuántas manzanas hay en cada una? 57
Unidad 7 7... Solución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto De todos los trinomios de la forma a + b + c, en donde a, b y c son todos números enteros diferentes de cero, el más sencillo de factorizar es "el trinomio cuadrado perfecto", es decir, un trinomio cuya factorización es de la forma ( p + q), con p y q números enteros. Cuando se tiene una ecuación cuadrática de la forma a + b = c, con a y b enteros diferentes de cero, siempre es posible encontrar un d (número entero) tal que a + b+ d sea un trinomio cuadrado perfecto. Encontrar este d es lo que se conoce como completar el trinomio cuadrado perfecto. Empezaremos con un tipo particular de ecuación cuadrática, la que tiene a como coeficiente de : (a= ). Su forma general es: + b = c. Veamos algunos ejemplos. Consideraremos una ecuación de la forma + b = c Ec. (I). Observa que seguimos con el caso particular de a =. El cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal es: 58 b b Sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal en ambos miembros de la Ec. (I) obtenemos: b b c b Factorizando el primer miembro: b c b b Por lo tanto, b es un trinomio cuadrado perfecto. Resumimos todo este procedimiento en el siguiente recuadro: Para completar el cuadrado en una ecuación de la forma + b= c, se suma en ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Simbólicamente: b b c b En los siguientes ejemplos completaremos el trinomio cuadrado perfecto del primer miembro para resolver la ecuación.
ÁLGEBRA Ejemplos:. Resolver + 8 = 65. 8 Completando el trinomio cuadrado perfecto, obtenemos: 8 + 8 + 9 = 6 Factorizando el primer miembro: ( + 9) = 6 Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: + 9 = ± Despejando : = ± 9 = 5, Por lo tanto, las raíces de la ecuación + 8 = 65 son 5 y. Comprueba este resultado. 65 8 H emos visto que, independientemente del tipo de raíces que arroje una ecuación cuadrática de la forma + b = c, la aplicación del método de completar el trinomio cuadrado perfecto no cambia. Veamos ahora qué sucede si aplicamos este método para resolver una ecuación cuadrática con coeficiente principal (el coeficiente de la ) diferente de. Ejemplos: 6. Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto la ecuación 9 = 5 Ec. (I). Como ya estudiamos la forma como se aplica el método en ecuaciones del tipo + b = c, resulta natural proceder como sigue: Tomando como factor el coeficiente de en el primer miembro de la ecuación Ec. (I) obtenemos: ( ) = 5. Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis: también afecta a 5 7 59
Unidad 7 D ividiendo ambos miembros entre : Factorizando el primer miembro: Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: Despejando : Racionalizando: Por lo tanto, las raíces de la ecuación 9 = 5 son: 9 este resultado. 6 Recuerda que: 7 7 7 7 7 9 6 9 y. Comprueba 6 Etraer la mitad a un número es equivalente a multiplicarlo por. Mitad de a = ( )a. 7. Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto la ecuación 9 7 = 0 Ec. (I ). Escribiendo la Ec. (I) en la forma a + b = c, obtenemos: 9 7 =. Tomando como factor el coeficiente de en el primer miembro obtenemos: 9 Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis: 7 9 9 también afecta a 7 9 7 9 7 9 9 7 9 9 7 9 7 8 6 6 7 D ividiendo ambos miembros por 9: 9 7 8 6 60
ÁLGEBRA resultado. Factorizando el primer miembro: 7 8 Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: Despejando : Por lo tanto, las raíces de la ecuación 9 7 = 0 son y 7 8 7 8 9 8 6 6 9 8. Comprueba este 9 8. Cierto número de amigos compraron una computadora que costó 500 dólares. La cantidad de dinero que paga cada persona ecede en 9 al número de amigos. Si se sabe que todos pagaron la misma cantidad, cuántos amigos son? Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto. Al número de amigos lo llamamos: A la cantidad de dinero que paga cada uno la llamamos: La computadora costó 500 dls: El dinero que paga cada uno ecede en 9 dls al número de amigos: y y = 500 Ec. (I) y = + 9 Ec. (II) Sustituyendo el valor de y de la Ec. (II) en la Ec. (I): ( + 9) = 500 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro: 9 9 9 + 9 = 500 Ec. a resolver. 9 57 09 500 9 Factorizando el primer miembro: Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: Despejando : 9 57 09 9 9 57 09 507 507 6
Unidad 7 Por lo tanto, las raíces de la ecuación + 9 = 500 son 7 y 500. Como en el problema representa al número de amigos, la raíz negativa se desecha. En consecuencia, tenemos que el número de amigos es 7. Comprueba este resultado. Ejercicio 5 Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las ecuaciones de los ejercicios del al.. 8 = 0. + 5 = 5. 8 =. En un número de dos cifras se sabe que el dígito de las unidades es igual al cuadrado del dígito de las decenas y que la suma de los dos dígitos es. Cuál es el número? 5. Si se compra cierta cantidad de libros el costo total será de $78.00; si se compraran libros menos y se gastara la misma cantidad, el costo de cada libro aumentaría $.00. Cuántos libros se compraron y cuánto cuesta cada uno? 7... Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de segundo grado Consideremos la ecuación cuadrática completa de la forma a + b + c = 0 y apliquemos el método de completar el trinomio cuadrado perfecto. Restando c en ambos miembros obtenemos: a + b = c. Tomando como factor el coeficiente de en el primer miembro obtenemos: a ( b a ) c Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis: a b a b a c a b a 6
ÁLGEBRA D ividiendo ambos miembros entre a: b a b a c a b a Factorizando el primer miembro: b c b a a a b a b ac a Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros tenemos: b a b ac a b ac a Despejando : b b ac a a b b ac a L o que hemos obtenido es la fórmula para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma a + b + c = 0. Fórmula para resolver la ecuación general de segundo grado La ecuación cuadrática a + b + c = 0 tiene como raíces a: b b ac a (7.) Ejemplos: 9. Aplica la fórmula (7.) para resolver la ecuación 87 57 = 58 Escribiendo la ecuación en su forma estándar obtenemos: 87 + 58 57 = 0 Determinando los valores de a, b y c en la fórmula (7.): a= 87, b= 58, c= 57 Aplicando la fórmula (7.): 58 ( 58) ( 87)( 57) ( 87) 58 96 66 7 58 67 600 7 58 60 7 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 87 + 58 57 = 0 es S = 9,. 7 Comprueba este resultado. 6
Unidad 7 Comprueba este resultado. Todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver, ya que sus raíces pueden ser números reales o números complejos. U n número complejo es aquel que se forma de la suma de un número real con un número imaginario y su forma general es p + qi, donde p y q son números reales e i =, la unidad de los números imaginarios. Observa que en un número complejo si p = 0, se tiene 0 + qi, un número imaginario puro, y por otro lado si q = 0 se tiene p + 0i un numero real. Una forma de obtener los números complejos es resultado de resolver una ecuación general de segundo grado a + b + c = 0 con la fórmula general, siempre y cuando su discriminante b ac sea negativo. Veamos un ejemplo. Ejercicio 6 Aplica la fórmula 7. para resolver las ecuaciones de los siguientes ejercicios:. 6 0 = 0. 0 D etermina si cada problema tiene solución. En caso afirmativo resuélvelo.. Se tiene un número de dos cifras tal que la suma del dígito de las unidades más el dígito de las decenas es y la suma de sus cuadrados es 0. Cuál es el número?. Se han comprado dos rollos de alambre de diferente tipo que juntos contienen 0 m. El metro de cada rollo costó una cantidad igual, en pesos, que el número de metros que contiene el rollo. Si un rollo costó el cuádruple del otro, cuál es la longitud de cada uno? Caso práctico de aplicación Cierto piloto conversaba sobre sus eperiencias de vuelo y aseguraba que volando a una velocidad de 50 km/h le tomaba 0 minutos más recorrer una distancia de 50 km en contra del viento que a favor. Un segundo piloto lo rebatía asegurando que el primero alardeaba. Cuál de los dos pilotos tiene razón? 6
ÁLGEBRA A la velocidad del viento en kilómetros por hora la llamamos: Al tiempo que tarda en recorrer 50 km a favor del viento lo llamamos: v t La velocidad a favor del viento es: La velocidad en contra del viento es: (50 + v) km h (50 v) km h El tiempo que tarda en recorrer 50 km a favor del viento está dado por: distancia 50 t Ec. (I) velocidad 50 v t(50 + v) = 50 Ec. (I ) L e toma 0 minutos (0.5 h) más recorrer una distancia de 50 km en contra del viento: 50 v 50 t. 5 (50 v)(t +.5) = 50 Ec. (II) Igualando la Ec. (I ) con la Ec. (II): t(50 + v) = (50 v)(t +.5) vt +.5v 5 = 0 Ec. (III) 50 Sustituyendo el valor de t de la Ec. (I) en Ec. (III) tenemos: v. 5v 5 0 50 v Multiplicando ambos miembros por 50 + v: v(50) +.5v(50 + v) 5(50 + v) = 0 v + 600v 6 500 = 0 Ec. a resolver. Aplicando la fórmula 7.: 600 60 000 ( )( 6 500) v 00 0 55 km km Por lo tanto, la velocidad del viento es 00 0 55 90. 5. En consecuencia, h h el segundo piloto tenía razón; tal parece que el primer piloto eageró un poco su historia. 65
Unidad 7 Ejercicios resueltos. Si el doble de un número se eleva al cuadrado el resultado es 56. H allar el número. Al número lo llamamos: El doble del número se eleva al cuadrado y el resultado es 56: () = 56 = 56 Ec. a resolver. Dividiendo entre ambos miembros para despejar : = 6 Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: = ± 8 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 8 y 8. Como el problema no tiene restricciones, eisten dos números con las características requeridas: 8 y 8. Comprueba este resultado. 7. Resolver Escribiendo la ecuación en la forma estándar: 0 Multiplicando por ambos miembros obtenemos: = 0 Factorizando el primer miembro: ( ) = 0 L o que implica que: = 0 ó = 7 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es: S = { 0, }.. Si al triple del cuadrado de un número se le resta el doble del número, el resultado es cero. H allar el número. Al número lo llamamos: Si al triple del cuadrado del número se le resta el doble del número, el resultado es cero: = 0 Ec. a resolver. Factorizando: ( ) = 0 L o cual implica que: = 0 ó = Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación = 0 es S = { 0, }. En consecuencia, el problema tiene dos soluciones, es decir, eisten dos números que satisfacen las condiciones requeridas: 0 y. 66
ÁLGEBRA. Encontrar el valor de dos números cuyo producto es 86 y su suma es 5. Al primer número lo llamamos: Al segundo número lo llamamos: La suma de los dos números es 5: + y = 5 y y = 5 Ec.(I) El producto de los números es 86: y = 86 Ec. (II) Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I) en la Ec. (II): (5 )= 86 5 86= 0 Determinando los valores de a, b y c de la fórmula 7.: a =, b = 5 y c = 86 Aplicando la fórmula 7.: 5 8 5 ( 5) ( 86) 5 59 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 5 86 = 0 son: y 7, lo que significa que si =, el otro número es: y = 5 = 7, y si = 7, el otro número es y = 5 + 7 =. En consecuencia, el único par de números que satisface las condiciones requeridas es 7 y. Comprueba este resultado. 5. Resolver por factorización la ecuación ( ) = 0. Escribiendo la ecuación en la forma estándar: 7 0 = 0 Factorizando el primer miembro: ( 5)(7 + ) = 0 L o que implica que: = 5 ó = 7 Por lo tanto, las raíces de la ecuación ( ) = 0 son: 5 y. Comprueba este 7 resultado. 6. En una cava (llena) de forma rectangular se tienen 87 botellas de vino. El número de botellas en cada columna es 6 unidades menor que el número de columnas que hay. Cuántas botellas hay en cada columna? Al número de botellas en cada columna lo llamamos: Al número de columnas lo llamamos: El número de botellas en cada columna es 6 unidades menor que el número de columnas que hay: + 6 = y Ec. (I) La cava tiene forma rectangular y tiene 87 botellas; como el número de botellas por columna es y el número de columnas en la cava es y, tenemos que: y = 87 Ec. (II) y 67
Unidad 7 Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I) en la Ec. (II): ( + 6) = 87 + 6 = 87 Ec. a resolver. Completando el trinomio cuadrado perfecto: + 6 + = 87 + Factorizando el primer miembro: ( + ) = 96 Etrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: 96 Despejando : = ± Por lo tanto, las soluciones de la ecuación + 6 = 87 son y 7. Como representa en el problema el número de botellas en cada columna, no puede ser negativa. En consecuencia, el número de botellas que hay en cada columna es. Comprueba este resultado. 7. H allar enteros consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad del intermedio. Al menor de los números lo llamamos: Entonces los números intermedio y mayor son respectivamente: + y + El cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad del intermedio: ( ) M ultiplicando por ambos miembros: ( ) = 0 Ec. a resolver. Determinando el valor de a, b y c para aplicar la fórmula 7.: a =, b = y c =. Aplicando la fórmula 7.: 7 ( ) Por lo tanto, las raíces de la ecuación = 0 son: 7 7,. Como ninguna de las raíces es un número entero, el problema no tiene solución. 68
ÁLGEBRA Ejercicios propuestos. El precio de un automóvil usado fue 8 veces lo que costó arreglarle su tapicería. Si la suma de los cuadrados del costo del automóvil más el costo de la tapicería fue de $58 8 000.00, cuánto costó el automóvil y cuánto costó arreglar su tapicería?. Patricia es 7 años mayor que Manuel y la suma de los cuadrados de ambas edades es 05. H allar la edad de cada uno.. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) 6 + 8 8 = 0 b) 5 7 = 0 c) + 69 86 = 0. Cierto número de personas reunieron la cantidad $ 000.00 para apoyar una causa. Todas aportaron la misma cantidad, y ésta ecede en 55 al número de personas. Si se sabe que todos pagaron la misma cantidad, cuántas personas son y cuánto aportó cada una? 5. Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto cada una de las siguientes ecuaciones: a) ( ) = 6 5 b) ( ) ( ) 6. Si se compra cierta cantidad de libretas el costo total será de $ 00; si se compraran 5 libretas menos y se gasta la misma cantidad, el costo de cada libreta aumentaría $.00. Cuántas libretas se compraron y cuánto cuesta cada una? 69
Unidad 7 7. Aplica la fórmula 7. para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 5 a) 7 0 8. Retomando el problema del "caso práctico", supón que los datos del primer piloto son los siguientes: si vuela a una velocidad de 60 km le toma 0 minutos más recorrer una distancia de h 50 km en contra del viento que a favor. Cuál es la velocidad del viento? 70
ÁLGEBRA Autoevaluación. Aplica el método de factorización para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática: 7 9 + 0 = 0. a) Enteras. b) I maginarias puras. c) Racionales. d) I rracionales. e) N o tiene solución.. Aplica el método de completar el trinomio cuadrado perfecto para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática: 7 = 0. a) Complejas. b) I maginarias puras. c) Racionales. d) I rracionales. e) Enteras.. Aplica la fórmula 7. para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática: 5 87 0. 7 a) Enteras. b) Complejas. c) Racionales. d) I rracionales. e) N o tiene solución.. La diferencia de dos números es 9 y su suma multiplicada por el número mayor es 60. H allar los números. a) y b) 5 y 6 c) 8 y d) No tiene solución. e) 7 y 7
Unidad 7 5. La longitud (en metros) de un trozo de tela en forma rectangular es veces su ancho. Si su longitud se disminuye metro y su ancho se aumenta en metro, el área aumenta en metros cuadrados, cuáles son las dimensiones de la tela? a) Ancho m y largo m. b) Ancho m y largo m. c) Ancho m y largo m. d) Ancho m y largo m. e) No tiene solución. 7
ÁLGEBRA Respuestas a los ejercicios Ej.. + 7 7 = 0, sí es una ecuación cuadrática.. 7 0, no es una ecuación cuadrática.. Sí. k 60.. No son equivalentes. 5. 5, no es solución o raíz. 6., sí es solución o raíz. Ej.. = ±.. años.. L ado del cuadrado = lado del triángulo = 9 unidades. Ej.. = 9, 0. = 5, 0. =. $.00 5. años., 0 Ej.. 5 y, ambas multiplicidad. 7
Unidad 7., multiplicidad.. 5 y, ambas de multiplicidad. 5. y 5 5. 9 filas. Cada fila contiene 0 manzanas. Ej. 5. y 5 85.. 9 85. 9 5. Se compraron libros y cada libro cuesta $8.00. Ej. 6. 0 y. 6 6 6. Las soluciones de la ecuación son y 0. El problema no tiene solución ya que los dígitos son números menores o iguales que 9.. La longitud de un rollo es 80 m y la del otro 0 m. Ejercicios propuestos. Costo del automóvil $ 80.00, costo de la tapicería $ 560.00.. Manuel tiene años y Patricia 8 años.. a) y b) 7 5 y c) (multiplicidad ). 7
ÁLGEBRA. 5 personas. Cada una aportó $560.00. 5. a) y b) 9 5 6. Se compraron 80 libretas y cada una costó $5.00. 7. a) 5 5 8. L a velocidad del viento es: 0 70 50 km/h. Aproimadamente 69.7 km. Autoevaluación. c). d). b). e) 5. a) 75