TEMA 2: La inecia otacional AL LEER APRENDERÁS A explica la otación de los cuepos ígidos a pati del concepto de inecia otacional. PRERREQUISITOS Conceptos y leyes de la dinámica unidimensional. Conoce cinemática del movimiento cicunfeencial unifome. CONCEPTOS CLAVE Inecia otacional Enegía cinética de otación La inecia de los cuepos El concepto de inecia no es nuevo paa ti. En segundo año medio, estudiaste las leyes de Newton, y en estas tiene un papel impotante la inecia. Recuedas a qué se efiee? Pensemos en una situación cotidiana como la siguiente. Dos vehículos van ápido po una caetea ecta: un camión de gan tonelaje y un automóvil pequeño. A cuál de los dos le es más difícil loga educi su apidez o detenese? O, si están detenidos, cuál tiene una patida más lenta? Figua 1.25 El camión tiene una masa inecial mucho mayo que la del vehículo meno, entonces si está en movimiento, tendeá po supuesto a conseva su movimiento, igual que el oto vehículo, y si se intenta detenelos, al camión se le debe aplica una fueza también mucho mayo. A la invesa, paa tata de movelos desde el estado de eposo, es más fácil move al auto pequeño que al camión. La masa inecial puede intepetase como una especie de esistencia de los cuepos a cambia su estado de eposo o de movimiento, según sea el caso. Genealizando, la masa inecial es una medida de la esistencia de un cuepo a la aceleación. La inecia otacional de los cuepos En este capítulo estamos estudiando la otación de los cuepos. Veemos que, al igual que en los cuepos que se mueven ectilíneamente, sin oda, en los cuepos que otan o que pueden ota también, hay un concepto simila al de la masa inecial y que explica la difeente esistencia de los cuepos a inicia una otación o, a la invesa, si se encuentan otando, la difeente esistencia a deja de ota. Este nuevo concepto se denomina inecia otacional. Un pime acecamiento al nuevo concepto lo tuviste en la actividad exploatoia de la página 11 de este capítulo: Qué cuepos llegan pimeo a la base de un plano inclinado? Ahí se advitió que volveíamos en la Sección 2 a las conclusiones de esa actividad. Revisa tus apuntes, si no ecuedas las conclusiones. Cuál fue la espuesta al título de la actividad? Tenla pesente en lo que sigue. Figua 1.25. Cómo se aplica el concepto de inecia a los vehículos de la caetea? Cuál tiene una mayo inecia? Capítulo 1 cómo vas? Si aún tienes dudas especto al concepto de masa inecial, ealiza la siguiente acción en tu banco de estudio: empuja con tu dedo un libo gueso y después un lápiz. Cuál objeto tiene mayo masa inecial? 36 Unidad 1: Fueza y movimiento
Pecisando el significado del concepto de inecia otacional, podemos asegua que: un cuepo que ota alededo de un eje tiende a segui otando, suponiendo que no haya una acción extena que intevenga en el movimiento. el cuepo que no ota tiende a segui sin ota. La inecia otacional, símbolo I, epesenta la popiedad de los cuepos paa esisti los cambios de su estado de movimiento otatoio. Más adelante veemos cómo se puede detemina la inecia otacional de los cuepos. En la siguiente actividad expeimental podás compaa la inecia otacional de dos cuepos. De qué factoes depende la inecia otacional de los cuepos? La inecia otacional de un cuepo dado depende: de sus dimensiones geométicas. de su masa. de la foma como está distibuida la masa; la inecia aumenta en la medida que la distibución de masa se aleja del eje de otación, como lo pudiste compoba en el minilaboatoio anteio con los péndulos. de la posición del eje alededo del cual ota el cuepo. Este nuevo concepto nos ayudaá a compende situaciones de divesa natualeza, como las que muestan las fotogafías siguientes. (Figua 1.26) INVESTIGA Y RESPONDE Al lee lo que está inmediatamente a tu izquieda, qué te ecueda en elación a algún pincipio de Newton? TEN PRESENTE La tendencia de un cuepo a segui giando se llama inecia de otación. La inecia otacional o momento de inecia depende de la distibución de la masa en tono al eje de otación: más lejos del eje más alto seá el valo de la inecia de otación y costaá más hacelo gia o detenelo. Po ejemplo cuando la masa de un objeto se concenta en un adio del eje de otación (como en un péndulo simple o en un anillo delgado) la inecia otacional I es igual a la masa m multiplicada po el cuadado de la distancia adial. Paa este caso especial, I = m 2 Cuando un atleta coe dobla la piena paa educi la inecia otacional. Figua. 1.26 La longitud de las pienas del atleta o del animal infl uye en la inecia de otación. Un animal con patas cotas tiene un paso más ápido que uno con patas lagas. Como la inecia otacional aumenta en la medida que la masa se distibuye y aleja del cento de otación, entonces se entiende que los sees de patas más cotas se caacteizan po ofece meno esistencia a la acción que consiste en dobla sus pienas y tene po lo tanto una mayo agilidad en su movimiento. Los coedoes doblan sus pienas paa movilizalas más ápidamente. Te has fijado que las pesonas de pienas lagas tienden a camina con pasos más lentos que las pesonas de pienas cotas? Física / III Medio 37
La definición matemática de la inecia otacional TEN PRESENTE La foma en que se distibuye la masa de un cuepo con especto a su adio de gio, se llama o se conoce como momento de inecia I. Cuando obsevamos un tompo en movimiento, la apidez con que gia y el tiempo que pemanece giando dependen de su momento de inecia. Paa una patícula de masa m que ota a la distancia alededo de un eje, la inecia otacional de la patícula se define como I = m 2. En el siguiente ejemplo, el cuepo que ota no es una patícula, sino que una distibución unifome de mateia a lo lago de un anillo que ota alededo del eje de la cicunfeencia, como muesta la figua 1.27. La masa del anillo es M. Eje de otación Figua 1.27. El anillo ota alededo del eje pependicula al plano donde se encuenta el anillo. El anillo lo podemos imagina como un conjunto de muchas patículas, en ealidad infinitas, que otan todas a una misma distancia del eje de otación. Entonces la expesión matemática que se definió paa una patícula la podemos extende a todas las patículas que integan el anillo, de la siguiente manea: I = m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + = (m i 2 ) = ( m i ) 2 = M 2 Cómo se llegó a este esultado? Veamos: Capítulo 1 Se supuso pimeo que podíamos enumea a todas las patículas del anillo, esto explica los subíndices de la masa m. Todas estas patículas se encuentan a una misma distancia del eje de otación, po esto el símbolo no tiene subíndice; una suma laga donde se epite la estuctua de cada témino se puede apunta en foma abeviada mediante el símbolo de sumatoia, que coesponde a la leta giega sigma mayúscula. Como la distancia al eje de otación es la misma en todos los téminos, se factoiza y queda fuea de la sumatoia. La sumatoia de la masa de todas las patículas se extiende a infinitas patículas y se conviete en la masa total M del anillo. Una de las popiedades de la inecia otacional es su dependencia de la ubicación del eje de otación. Un ejemplo es el pesentado en el ejecicio esuelto de la página 42. 38 Unidad 1: Fueza y movimiento
Relaciones matemáticas paa detemina la inecia otacional de algunos cuepos La siguiente tabla entega las expesiones de la inecia otacional de divesos cuepos homogéneos, que gian en tono a un eje específico. Capa cilíndica especto a su eje I = M 2 Cilindo sólido especto a su eje I = 1 2 M 2 Cilindo hueco especto a su eje L 2 1 I = 1 2 M ( 12 + 2 2 ) Capa cilíndica especto a un diámeto que pasa po su cento L I = 1 2 M2 + 1 12 ML2 Cilindo macizo especto a un diámeto que pasa po su cento L I = 1 4 M2 + 1 12 ML2 Vailla delgada especto a una ecta pependicula que pasa po su cento L I = 1 12 ML2 Vailla delgada especto a una ecta pependicula que pasa po su cento L I = 1 3 ML2 Capa o coteza esféica delgada especto a un diámeto Esfea maciza especto a un diámeto I = 2 3 M2 I = 2 5 M2 Paalelepípedo ectangula macizo especto a un eje que pasa po su cento y es pependicula a una caa a b I = 1 12 M(a2 + b 2 ) Figua 1.28. Difeentes elaciones matemáticas paa detemina la inecia de algunos cuepos. Física / III Medio 39
Actividad páctica individual APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INERCIA ROTACIONAL Antecedentes Recodando que la inecia otacional es una medida de la esistencia de un cuepo a la otación, esta actividad te pemitiá expeimenta diectamente el concepto. Habilidades Pocesamiento e intepetación de datos, y fomulación de explicaciones, apoyándose en los conceptos y modelos teóicos del nivel Pocedimiento Con tes tozos de alambe de unos 15 centímetos y tes baas de plasticina, compaa la inecia de otación en los siguientes casos. El alambe coespondeá al eje de otación de la baa de plasticina. a. b. c. Haz ota la baa de plasticina alededo del espectivo alambe en cada uno de los tes casos. Pesta atención a la facilidad o a la difi cultad paa logalo cada vez. Discusión de esultados En cuál caso fue más fácil hace ota la baa de plasticina, y en cuál fue más difícil, compaativamente? Justifi ca tu obsevación con el concepto de la inecia otacional. Capítulo 1 TEN PRESENTE Los métodos de cálculo del momento de inecia son muy limitados, paa los cuepos de la fi gua 1.29 y 1.30 se utilizan métodos matemáticos más sofi sticados. Figua 1.29. Po qué el equilibista lleva una vaa en sus manos? Cómo se equiliba un acóbata en la cueda floja a gan altua? Nadie puede nega la inceíble audacia de un equilibista que camina po una cueda, acompañado solo po una laga vaa que sostiene en sus manos. Qué impotancia eviste la vaa paa el equilibista? Si el acóbata piede el equilibio, instintivamente intenta hace ota la vaa y en ese momento loga ecupea el equilibio. La distibución de masa a lo lago de la vaa, alejándose del cento de otación, detemina que su inecia otacional sea lo sufi cientemente gande como paa que no sea fácil hacela ota. Figua 1.29 40 Unidad 1: Fueza y movimiento
Evaluación individual a) Cómo explicas la acobacia de la Figua 1.30? Tata de explicala físicamente, peo no intentes hacela! b) Si te atae hace puebas asombosas ante tus amigos, ensaya la siguiente. Toma un matillo o cualquie oto objeto simila que tenga un peso notoio en un extemo, y pueba equilibalo veticalmente hacia aiba con un dedo. Antes de hacelo, cees que seía ecomendable apoya en tu dedo la cabeza del matillo o el extemo del mango? Veifica tu pedicción. También esulta con una escoba. Después de ealizada la demostación, explícasela a tus amigos en téminos de la inecia otacional. Figua 1.30 minilaboatoio La inecia otacional de los cuepos Objetivo Compaa la inecia otacional de dos péndulos simples. Mateiales 1 meto de hilo. Bolita de aceo o una pieda. Regla. Pocedimiento 1. Ama un péndulo de unos 30 centímetos de longitud, y busca un luga despejado donde puedas colgalo y hacelo oscila. 2. Haz oscila el péndulo, fi jándote pincipalmente en la apidez del movimiento. 3. Ama oto péndulo con el esto del hilo, de a lo menos unos 60 centímetos de longitud, con la misma bolita o pieda. 4. Haz oscila el nuevo péndulo, y también fíjate en la apidez con la que oscila. Análisis 1. Cuál de los dos péndulos tuvo una mayo apidez al oscila? 2. Si bien el péndulo de esta actividad no es un cuepo que ote totalmente, igual tiene una inecia otacional que al deteminala esulta se I = m 2, siendo m la masa del cuepo que oscila y la longitud del péndulo. 3. Entonces, cuál de los péndulos tenía mayo inecia otacional? Si dispones de una balanza paa medi la masa m, puedes calculala paa los dos péndulos. La unidad de la inecia otacional es kg m 2. 4. El hecho de oscila un péndulo con mayo apidez que el oto, signifi ca que opone una meno o mayo esistencia paa inicia una otación? Discute con tus compañeos. 5. Pepaa un infome de tu tabajo y exponlo ante el cuso. Física / III Medio 41
INVESTIGA Y RESPONDE Investiga la masa y distancia de cada planeta del sistema sola al Sol, y ahoa esponde Cuál es la inecia de otación de mayo magnitud? Considea que la obita luna es una cicunfeencia. En la actividad páctica anteio pudiste constata que, en el caso del péndulo, una meno esistencia a ota se efleja en una mayo apidez de oscilación. Más adelante veemos otos ejemplos pácticos. Po ahoa, evisemos las elaciones matemáticas que pemiten conoce la inecia otacional de algunos cuepos. cómo vas? 1. Con la infomación de la página anteio, veifica los factoes de los que depende la inecia otacional. Po ejemplo, en qué difieen, y cuál tiene mayo inecia otacional. en los dos aos? en el pa de cuepos cilíndicos? 2. En la actividad exploatoia de la página 11, qué cuepos llegan pimeo a la base de un plano inclinado?, cuál fue tu conclusión? Llegó pimeo el que tenía meno inecia otacional? Explica tu espuesta. Ejecicio esuelto Nº3 Dos cuepos de masa 4,0 kg y 9,0 kg se encuentan cada uno en los extemos de una vailla delgada de 6,0 m de longitud. Detemina la inecia otacional del sistema en los dos siguientes casos: a) La vailla ota alededo de un eje que pasa po su punto medio. b) La vailla ota alededo de un eje a 0,50 m del cuepo de meno masa, ente los dos cuepos. Identificando la infomación m 1 = 4,0 kg m 2 = 9,0 kg l = 6,0 m Caso a) 1 = 3,0 m 2 = 3,0 m Caso b) 1 = 0,50 m Capítulo 1 Estategia 2 = 5,50 m En los dos casos planteados, la inecia otacional se calcula mediante la elación: I = m 1 1 2 + m 2 22. Haz un esquema de cada situación. 42 Unidad 1: Fueza y movimiento
Resolución De acuedo con los datos del poblema, se tiene: I = (4,0 kg) (9,0 m 2 ) + (9,0 kg) (9,0 m 2 ) = 117 kg m 2 I = (4,0 kg) (0,25 m 2 ) + (9,0 kg) (30,25 m 2 ) = 272,25 kg m 2 Análisis del esultado Estos esultados demuestan que efectivamente la inecia otacional depende de la ubicación del eje de otación. En el segundo caso, en el que uno de los cuepos se aleja del eje de otación, de 3,0 m a 5,50 m, epecutió signifi cativamente en el esultado. AHORA RESUELVES TÚ Dos cuepos de masa 6 kg y 10 kg se encuentan cada uno en los extemos de una vailla delgada de 12 m de longitud. Detemine la inecia de otación cuando la vailla ota alededo de un eje a 1 m del cuepo de mayo masa, ente los dos cuepos. miniesumen La inecia otacional es un concepto compaable, no igual, al de la masa inecial en la dinámica unidimensional. En ausencia de acciones extenas, todo cuepo que ota tiene tendencia a segui con su movimiento de otación. Los cuepos con meno inecia otacional son más fáciles de hacelos ota, compaativamente, que los que tienen una mayo inecia otacional. Los cuepos con meno inecia otacional son más fáciles de hace que dejen de ota, compaativamente, que los que tienen una mayo inecia otacional. La inecia otacional depende, ente otos factoes, de la distibución de masa alededo del eje de otación: aumenta al habe mayo concentación lejos del eje de otación. La inecia otacional de un objeto también depende de la ubicación que tiene el eje de otación del cuepo. Una pesona tiene mayo inecia otacional cuando camina con una vaa en sus manos o cuando extiende sus bazos. Física / III Medio 43
La enegía cinética de otación Cuando un cuepo de masa m se taslada con apidez v, ecodaás de tu cuso anteio de Física, que su enegía cinética es igual a: E= 1 2 mv 2 c Figua 1.31. Rotación de un cuepo en tono a un eje. La llamaemos enegía cinética de taslación. Cómo cambia esta descipción cuando el cuepo ota alededo de un eje? Figua 1.31. Un cuepo ígido que ota está constituido po muchas patículas. Suponemos que el cuepo ota con apidez angula ω constante. Paa cada patícula se cumple que su enegía cinética es igual a 1 2 mv2, siendo m la masa de la patícula y v la apidez lineal de esa misma patícula. Entonces, la enegía cinética total del cuepo que ota es igual a la suma de la enegía cinética de todas las patículas del cuepo, es deci: 1 E= 2 mv 2 c Peo sabemos además que en el movimiento cicunfeencial unifome se cumple: v = ω, po lo que eemplazándola en la expesión anteio, se obtiene: 1 E = 2 m ω = 1 ( m ) ω c 2 2 2 2 2 siendo ω la apidez angula de todas las patículas del cuepo que ota. Po ota pate, la expesión m 2 coesponde a la inecia otacional del cuepo, po lo que hemos obtenido, finalmente, que la enegía cinética de otación del cuepo es: E = ½ Iω 2 Capítulo 1 cómo vas? La enegía cinética de otación no es un nuevo tipo de enegía. Se ha deivado a pati de la enegía cinética de taslación de todas las patículas que componen el cuepo que ota. Demuesta que la unidad de la enegía cinética de otación es el joule. 44 Unidad 1: Fueza y movimiento
Evaluación de sección 1. Cómo se calcula la fueza esultante utilizando el método vectoial? 2. Cómo se llama la fueza que actúa sobe un cuepo que se mueve en una tayectoia cicunfeencial? 3. Cuál es la conexión que existe ente el oce estático y la fueza centípeta? 4. Qué es la difeencia ente la fueza centípeta y centífuga? 5. de que factoes depende la inecia otacional de los cuepos? 6. Compueba los pasos utilizados paa el calculo de la enegía de otación 7. Un niño tiene dos cilindos de igual adio y de igual masa y los deja oda po una tabla lisa desde una misma altua tal como lo ilusta la siguiente fi gua. Cuál de los cilindos llegaá pimeo? Es impotante el hueco en el cilindo?, Po qué? 8. Si dos automóviles tienen llantas de igual masas, peo de 40(cm) y 70(cm) de diámeto, espectivamente y se mueven a igual apidez, Cuál tendá mayo enegía cinética de otación? 9. Un pa de eglas de un meto están ecagadas casi veticalmente conta un muo. Si las sueltas giaán hasta el piso en el mismo tiempo. Peo si una tiene una esfea sólida de plasticina pegada a su extemo supeio como lo ilusta la fi gua. Cuál de ellas al ota llegaa pimeo al piso? Física / III Medio 45