COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS (GEOMETRÍA) GRADO:7 O DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 8 / 07 / 15 Guía Didáctica 3-2 Desempeños: * Reconoce y clasifica poliedros y cuerpos redondos. * Aplica adecuadamente el Teorema de Pitágoras. APRENDE: Sólidos: cuerpo geométrico limitado por superficies planas (poliedros) o curvas (cuerpos redondos). Poliedro: Un poliedro es un sólido limitado por superficies planas denominadas caras; no tiene que haber ninguna superficie curva. Ejemplos: Prisma triangular Cubo Elementos de los Poliedros: Caras: polígonos que limitan el poliedro. Las caras que tienen lados comunes con las bases son las caras laterales. La cara en la que se apoya el poliedro y su opuesta se llaman bases. Aristas: lados de las caras. Vértices: puntos comunes de las aristas. Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras. Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras. Apotema: altura de las caras laterales.
A) Poliedros 1) Paralelepípedo: Poliedro de 6 caras, las caras opuestas son paralelas e iguales. Cada cara de un paralelepípedo es un paralelogramo 2) Prismas: es un poliedro limitado por dos polígonos congruentes y paralelos llamados bases y varios paralelogramos llamados caras laterales. Elementos: Bases: son los polígonos congruentes (iguales) y paralelos del prisma. Altura: es la medida del segmento perpendicular, trazado desde un vértice de una base hasta el plano que contiene la otra base. Caras laterales: son los paralelogramos que limitan el prisma. Un prisma tiene tantas caras laterales como lados tienen sus bases. Clasificación de prismas: A) Según el polígono de sus bases:
B) Prisma Recto: todas las caras laterales son perpendiculares a las bases. C) Prisma oblicuo: las caras laterales no son perpendiculares a las bases. 3) Pirámide: Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras laterales, que son triángulos coincidentes en un punto denominado vértice. Elementos: Caras pueden ser: * base de la pirámide, que es un polígono cualquiera; * caras laterales: son triángulos que concurren en un mismo punto denominado vértice. Aristas pueden ser: * aristas básicas, son los lados de la base; * aristas laterales, son los lados de las caras laterales. Altura es la medida del segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el plano que contiene la base. Vértices pueden ser: vértices de la base o de la pirámide. Apotema: La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clasificación de las pirámides: A) Según el polígono de sus bases:
B) Pirámide recta: Es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles. C) Pirámides oblicuas: Es aquella en la que alguna de sus caras laterales es un triángulo escaleno. D) Pirámide regular: Es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales. B) Sólidos platónicos o Poliedros Regulares: Hay cinco sólidos platónicos (o poliedros regulares). Tetraedro: (fuego) Fíjate en estas cosas tan interesantes: Tiene 4 caras Cada cara tiene tres aristas, y es de hecho un Triángulo Equilátero Tiene seis aristas Es el único Sólido Platónico que no tiene caras paralelas. Cubo: (Hexaedro) (tierra)
Fíjate en estas cosas tan interesantes: Tiene 6 caras Cada cara tiene 4 aristas, y es de hecho un cuadrado Tiene 12 aristas Octaedro: (Aire) Fíjate en estas cosas tan interesantes: Tiene 8 caras Cada cara tiene 3 aristas, y es de hecho un triángulo equilátero Tiene 6 vértices (puntos en las esquinas) Dodecaedro: (Universo) Fíjate en estas cosas tan interesantes: Tiene 12 caras Cada cara tiene 5 aristas, y es de hecho un pentágono regular Tiene 30 aristas Icosaedro: (Agua) Fíjate en estas cosas tan interesantes: Tiene 20 caras
Cada cara tiene 3 aristas, y es de hecho un triángulo equilátero Tiene 12 vértices (puntos en las esquinas) Contar caras, vértices y aristas: (Fórmula de Euler) Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante: El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2 Esto se puede escribir con una ecuación: Se la llama "fórmula de Euler". Ejemplo: C + V A = 2 Este cubo tiene: 6 caras; 8 vértices; 12 aristas C + V A = 6 + 8 12 = 2 Poliedros regulares e irregulares: Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Convexo cuando todas sus caras son polígonos convexos. En cambio, un poliedro es cóncavo si alguna de sus caras es un polígono cóncavo. Los poliedros convexos se clasifican en regulares e irregulares. Los regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares. Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no son congruentes. Cuerpos Redondos: Un cuerpo redondo es un sólido limitado por superficies curvas o por superficies planas y curvas. Los principales cuerpos redondos son: cono, cilindro y espera. 1) Cono: cuerpo redondo limitado por una superficie curva y una cara plana circular llamada base.
Elementos de un cono: - Base: es la cara plana circular que conforma el cono. - Vértice: es el punto extremo del eje de revolución que no está en la base. - Altura: es la medida del segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta la base. - Radio: es la medida del radio de la base, no es eje de rotación. - Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, genera el cono. 2) Cilindro: es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva y dos caras planas circulares Elementos del cilindro: Bases: Son las caras planas circulares que conforman el cilindro. Altura: Es la distancia (medida del segmento perpendicular entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz. Radio: es la medida del radio que corresponde a cada base. Eje: Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. 3) Esfera: es un cuerpo redondo limitado por una sola superficie curva. Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Elementos de la esfera: Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera. Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera. Teorema de Pitágoras: solamente se aplica en los triángulos rectángulos; el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
APLICACIÓN: NOTA Todo el taller se desarrolla en el cuaderno; mostrar proceso y dar claramente la(s) respuesta(s). Trabajar ordenadamente. ACTIVIDADES: Para cada ejercicio realice el proceso que justifique su respuesta. 1) Resolver aplicando el Teorema de Pitágoras en cada caso: a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25cm y un cateto mide 7cm. Cuál es la medida del otro cateto? b) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12cm y 5cm. Cuántos cm mide la hipotenusa? c) Cuánto mide la diagonal de un rectángulo, cuya base mide 4cm y la altura 3cm? d) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5cm y un cateto mide 3cm. Cuál es la medida del otro cateto? e) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3cm y 4cm. Cuántos cm mide la hipotenusa? 2) a) Si un poliedro tiene 20 caras y 20 vértices, Cuántas aristas tiene?, Qué nombre recibe? b) Si un poliedro tiene 12 aristas y 8 caras, Cuántos vértices tiene?, Qué nombre recibe? 3) Teniendo en cuenta cada sólido y su desarrollo en el plano cartesiano, completar el cuadro y responder las siguientes preguntas: a. Cuántas caras, vértices y aristas tiene cada poliedro? b. Qué pasa si se suma el número de caras con el número de vértices de cada cuerpo y a ese total se le resta el número de aristas? c. Podrías encontrar el número de aristas de un cuerpo conociendo sólo el número de caras y el número de vértices? Da 2 ejemplos. Poliedro Desarrollo en el plano C Nº de caras V Nº de vértices A Nº de aristas C + V A = 2 (Euler) Nombre a) b) c)
d) 4) Observa las siguientes representaciones: En base a los cuerpos geométricos representados anteriormente, identifiquen cuál o cuáles tienen: a) 6 caras b) 6 caras iguales c) al menos 1 cara curva d) 7 vértices e) una de sus caras formada por un hexágono f) dos cara formadas por círculos g) 9 aristas h) 8 aristas 5) Determina si las siguientes afirmaciones, con respecto a los cuerpos geométricos, son verdaderas o falsas; sustentar cada respuesta. a) Un cono tiene dos bases. b) Todos los cuerpos geométricos son poliedros. c) Todos los prismas son poliedros. d) Los cuerpos redondos son poliedros. e) Un cilindro tiene dos bases, que son dos círculos. 6) Cada uno de estos alumnos (as) tiene un cuerpo geométrico y dio pistas para que descubran de cuál se trata. Mauricio: el mío tiene todas las caras cuadradas. Santiago: en un vértice de mi cuerpo concurren 4 caras. Sara: el que elegí tiene todas sus caras rectangulares y no son todas iguales. Jaime: una de las bases del mío tiene 6 lados. Laura: el mío tiene todas las caras triangulares. Escribir el nombre del alumno (a) y del cuerpo geométrico correspondiente a cada caso:
7) Completa en cada caso con la palabra correcta. Carolina y Pedro juegan a adivinar cuerpos redondos mediante preguntas, para poder completar te dejamos la siguiente imagen que te puede servir de ayuda: A) Carolina eligió un cuerpo y Pedro debe adivinarlo: Pedro: - Tiene dos bases? Pedro: - Alguna es un círculo? Carolina: - Sí Carolina: - Sí Pedro: - Es un B) Carolina eligió otro cuerpo y Pedro preguntó: Pedro: - Tiene alguna base? Carolina: - No Pedro: - Es una C) Pedro eligió un cuerpo y a Carolina le tocó adivinar. Completa las respuestas que dio Pedro. Carolina: - Tiene una base? Pedro: - Carolina: - Es un cuadrado? Pedro: - Carolina: - Es un cono.
Fuentes Bibliográficas: Rubiano Cifuentes, Julián. Hipertexto 7, Editorial Santillana, 2010 http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria www.aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria http://www.ditutor.com/geometria_espacio Colegio de La Compañía de María La Enseñanza - Medellín https://sites.google.com http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/ http://www.vitutor.com/geo http://www.icarito.cl/ http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com/ http://data.imatematicas.es/ Imágenes de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria http://infinitoporcero.blogspot.com/ http://geometriaelementar.blogspot.com/ http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/piramide/ http://www.estudiantes.info/matematicas/geometria http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/prisma/ http://www.ceibal.edu.uy/ http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/tipos-poliedro/ http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com/ http://data.imatematicas.es/ http://ferminmorales.wordpress.com/ Colegio de La Compañía de María La Enseñanza - Medellín http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/ DaDme un punto De apoyo y levantaré el mundo Arquímedes