1. Los números reales 2. Operaciones con números enteros y racionales 3. decimales 4. Potencias de exponente entero 5. Radicales 6. Notación científica y unidades de medida 7. Errores Índice del libro
1. Los números reales DESDE LOS NÚMEROS NATURALES HASTA LOS NÚMEROS REALES
2. Operaciones con números enteros y racionales SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los sumandos. ( 4) ( 7) 11 ( 1) ( 6) 7 Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el signo del número de mayor valor absoluto. ( 5) ( 2) 3 ( 10) ( 4) 6 Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el opuesto del segundo. Para obtener el opuesto de un número entero simplemente debes cambiarle el signo. ( 4) ( 5) ( 4) ( 5) 1 ( 11) ( 3) ( 11) ( 3) 8
2. Operaciones con números enteros y racionales MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el signo en función de las reglas de los signos. Reglas de los signos para la multiplicación Positivo Positivo = Positivo Positivo Negativo = Negativo Negativo Positivo = Negativo Negativo Negativo = Positivo Reglas de los signos para la división Positivo : Positivo = Positivo Positivo : Negativo = Negativo Negativo : Positivo = Negativo Negativo : Negativo = Positivo
2. Operaciones con números enteros y racionales SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de dichas fracciones respectivamente. 2 5 8 15 23 4 3 8 3 5 1 3 4 12 12 12 5 10 10 10 10 2 7 4 7 4 28 6 6 2 6 2 12 2 3 5 3 5 15 5 5 1 5 1 5 Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar el numerador por el denominador, y viceversa. 5 1 5 4 20 10 6 4 6 1 6 3
3. decimales CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES decimales exactos Son los que tienen un número finito de cifras decimales. decimales periódicos puros Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de forma indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo. decimales periódicos mixtos Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro que sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite anteperiodo. 2, 1 15, 05 0, 0075 5, 333333 5, 3 periodo 3 10, 061061 10, 061 periodo 061 4, 2555555 4, 25 periodo 5 25, 0363636 25, 036 periodo 36 irracionales Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefinidamente. π 3, 14159265 2 14, 41421356
3. decimales SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Suma y resta de números decimales Se resuelven de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado de alinear las comas de ambos números. 102, 544 123, 45 72, 5 34, 139 175, 044 89, 311 Multiplicación de números decimales Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resultado para que tenga tantas cifras decimales como los factores en conjunto.
3. decimales División de números decimales DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Repasamos la división de números decimales. Dividir 350,62 : 12,8 1. Eliminamos la coma del divisor: 2. Colocamos la coma en el cociente cuando «bajamos» la primera cifra decimal del dividendo: 3. Continuamos dividiendo: 3506, 2 128 3506, 2 128 3506, 2 128 946 27, 502 946 27, 3 502 118 Cociente: 27, 3 Resto: 1, 18
3. decimales FRACCIÓN GENERATRIZ Fracción generatriz de un decimal exacto En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. 125 1 0, 125 1 000 8 Fracción generatriz de un decimal periódico puro En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo. 13 1 12 4 13, 9 9 3 Fracción generatriz de un decimal periódico mixto En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. 216 21 195 13 2, 16 90 90 6
3. decimales REDONDEO Se denomina redondeo a eliminar las cifras decimales a partir de una señalada. Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5, la última cifra que se escribe permanece igual. Redondeamos a las centésimas 4, 1678 4, 17 0, 0232 0, 02
4. Potencias de exponente entero POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
5. Radicales RADICAL DE ÍNDICE n, O RAÍZ N-ÉSIMA Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un número a, al número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que b n = a n n a b siempre que b a Resolver 3 216 1. Descomponemos el radicando en factores primos: 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 2. Como es una raíz cúbica, intentamos agrupar los factores en tres grupos iguales: 216 2 3 6 3 3 3 216 6 6 3 3 3
5. Radicales PRODUCTO Y DIVISIÓN DE RADICALES A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario: n 1 n n m a a a a n m Resolver 3 5 11 11 1. Expresamos los radicales como potencias de exponente fraccionario: 2. Resolvemos aplicando las propiedades de las potencias: 1 5 3 5 3 2 11 11 11 11 1 5 1 5 17 3 2 3 2 6 11 11 11 11 11 6 17
5. Radicales EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz. Cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz. Resolver 180 1. Descomponemos el radicando en factores primos: 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 2 2 180 2 3 5 2. Como se trata de una raíz cuadrada, cada pareja de factores se convierte en un factor fuera de la raíz: 2 2 180 2 3 5 2 3 5 6 5
5. Radicales SUMA Y RESTA DE RADICALES Solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos resultan ser el mismo radical multiplicado por distintos números. Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que podemos hacer es dejar la operación indicada. Resolver 45 3 20 11 63 1. Descomponemos todos los radicandos en factores primos: 2 45 3 5 2 20 2 5 2 63 3 7 2. Extraemos todos los factores que sea posible en cada radical: 2 45 3 5 3 5 2 20 2 5 2 5 2 63 3 7 3 7 3. Sumamos y restamos los radicales que sean iguales: 45 3 20 11 63 3 5 3 2 5 11 3 7 3 5 6 5 33 7 9 5 33 7
6. Notación científica y unidades de medida POTENCIAS DE BASE 10 Y EXPONENTE ENTERO 6 10 1 000 000 5 10 100 000 4 10 10 000 3 10 1 000 2 10 100 1 10 10 0 10 1 1 10 0, 1 2 10 0, 01 3 10 0, 001 4 10 0, 0001 5 10 0, 00001 6 10 0, 000001
1 6. Notación científica y unidades de medida NOTACIÓN CIENTÍFICA Un número está expresado en notación científica cuando está escrito de la siguiente forma: a,bc 10n Masa de un protón mprotón = 0,00000000000000000000000000167 kg = 1,67 10 27 kg Distancia de la Tierra al Sol d = 150 000 000 km = 1,5 108 km
6. Notación científica y unidades de medida UNIDADES DE MEDIDA 1 de 3 Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se establece como patrón. Para medir dicha magnitud comparamos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos cuántas veces la contiene. Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado. Para cada unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos.
6. Notación científica y unidades de medida UNIDADES DE MEDIDA 2 de 3 Algunas unidades de medida de magnitudes de físicas
6. Notación científica y unidades de medida UNIDADES DE MEDIDA 3 de 3 Algunas unidades de medida múltiplos y submúltiplos
7. Errores ERROR ABSOLUTO Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero. Habitualmente este valor de referencia es la media de las mediciones que hayamos hecho. Al medir en diferentes ocasiones una magnitud obtenemos distintos valores. Podemos considerar que la media de esos valores es el valor exacto de nuestra medición. Lo denominamos V E La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de cada medida. Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tenemos el promedio del error absoluto. Se denomina E A El resultado de un experimento se escribe como: V E ± E A
7. Errores ERROR RELATIVO Y PORCENTAJE DE ERROR Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo. Se denomina E R y se calcula dividiendo el error absoluto E A entre el valor considerado exacto de nuestra medición V E E R E V A E Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de error %error E 100 R