Losas en dos direcciones. Introducción

Losas en dos direcciones PF-3921 Concreto Estructural Avanzado Lección 4 Lunes 3 de setiembre 2012 Introducción 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 2 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 1

Tipos de Losas Tipo de losa Luz (m) Carga (kg/m 2 ) Placa plana 4.5 a 6.0 200 Losa plana 6.0 a 9.0 500 Losa nervada 7.5 a 12.0? 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 3 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 4 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 2

Desarrollo histórico de losas en dos direcciones Distribución de refuerzo en la losa de hongo de C.A.P. Turner 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 5 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 6 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 3

Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión Antes del agrietamiento, la losa se comporta como una placa elástica. Para cargas de corto plazo, las deformaciones, los esfuerzos y las deflexiones pueden calcularse con análisis elástico. Después del agrietamiento pero antes de la fluencia del refuerzo, la losa deja de tener rigidez uniforme y deja de ser isotrópica ya que los patrones de grietas son diferentes dependiendo de la dirección de análisis. Pruebas confirman que la teoría elástica predice momentos adecuadamente. Se inicia la fluencia del refuerzo en zonas de momento máximo y éstos se redistribuyen a zonas todavía elásticas. Aun cuando las líneas de fluencia forman un mecanismo plástico, las rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de compresión. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 7 Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión Losa apoyada sobre, y continua con, vigas rígidas o muros. Las losas que fallan en flexión son muy dúctiles. Las placas planas pueden fallar en cortante. (Falla frágil) 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 8 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 4

Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión Las rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de compresión. Esto supone una estructura rígida alrededor de la losa. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 9 Análisis de momentos en losas en dos direcciones Momentos en sección A-A 2 q1 m m-mg m 8 2 1 M q 2 m-mg 8 Momentos en sección B-B 2 q12 M1 b m-mg 2 8 2 2 M q1 m-mg 8 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 10 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 5

Análisis de momentos en losas en dos direcciones Momentos en sección A-A 2 q1 m m-mg m 8 2 1 M q 2 m-mg 8 Momentos en sección B-B 2 q 2 m m-mg m 8 2 2 M q1 m-mg 8 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 11 Análisis de momentos en losas en dos direcciones Análisis de momentos en losas según Nichols: Supone: 1. Panel rectangular interior típico en una estructura grande 2. Carga uniforme en todos los paneles de la estructura Esto asegura que las líneas de momento máximo coincidirán con las líneas de simetría de la estructura. Las reacciones a las cargas verticales se transmiten a la losa mediante cortante alrededor de la cara de las columnas. 3. Las reacciones de la columna se concentran en las cuatro esquinas de cada columna. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 6

Análisis de momentos en losas en dos direcciones El momento estático total, M o, es la suma del momento negativo M 1 y el momento positivo M 2 : Mo M1M2 q 1 2 1 qcc 1 2 c1 q 1 2 qcc 1 2 c1 2 4 2 4 2 2 2 2 q 2 2 2c1 c2c 1 M o 1 1 2 8 1 21 Con c, el ACI 318 simplifica haciendo 1 y por lo tanto: n 1 1 2 2 2 2c1 c2c1 n 1 2 1 21 2 q 2 o n M 8 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 13 Distribución de momentos en losas Ecuaciones básicas: m m m Et 12 3 2 x 2 Et 12 3 2 y 2 xy z x z y 3 2 Et z 12 xy Figura 10-9. Relación entre curvatura de losa y momentos Curvatura: 1 M r z EI 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 14 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 7

Distribución de momentos en losas Figura 10-10. Deflexión de la franja B de la figura 10-9 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 15 Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas Figura 10-11. Tipos de diagramas de momentos: losa empotrada en cuatro lados. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 16 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 8

Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 17 Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 18 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 9

Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 19 Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 20 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 10

Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 21 Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 22 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 11

Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 23 DISEÑO DE LOSAS 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 24 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 12

Pasos en el diseño de losas 1. Escogencia del trazado y el tipo de losa a usar. Los diferentes tipos de losas en dos direcciones y sus usos han sido discutidos brevemente en la sección 10.1. La escogencia del tipo de losa está altamente influenciado por consideraciones arquitectónicas y constructivas. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 25 Pasos en el diseño de losas 2. Escogencia del espesor de losa. Generalmente, el espesor de la losa se escoge para prevenir deflexiones excesivas ante cargas de servicio. Igualmente importante es escoger el espesor adecuado para resistir el cortante tanto en las columnas interiores como exteriores (ver Sección 10.10). 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 26 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 13

Pasos en el diseño de losas 3. Escogencia del método de cálculo de los momentos de diseño. El método del pórtico equivalente usa análisis elástico para calcular los momentos positivos y negativos en los diferentes paneles de la losa. El método directo de diseño usa coeficientes para calcular esos momentos. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 27 Pasos en el diseño de losas 4. Cálculo de momentos positivos y negativos en la losa. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 28 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 14

Pasos en el diseño de losas 5. Cálculo de la distribución de momentos a través del ancho de la losa. La distribución lateral de momentos en un panel depende de la geometría de la losa y de la rigidez de las vigas (si las hay). Este procedimiento es el mismo independientemente de si los momentos negativos y positivos se calculan con el método directo o con el de pórtico equivalente. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 29 Pasos en el diseño de losas 6. Si hay vigas, asignar una porción del momento a las vigas. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 30 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 15

Pasos en el diseño de losas 7. Escoger la cuantía de refuerzo para los momentos obtenidos en los pasos 5 y 6. (Nota: los pasos 3 a 7 deben ser efectuados para ambas direcciones principales) 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 31 Pasos en el diseño de losas 8. Verificar la resistencia de cortante en la sección crítica alrededor de las columnas. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 32 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 16

Razón de rigidez entre viga y losa, f En la norma ACI, los efectos de la rigidez de las vigas sobre las deflexiones y la distribución de momentos se expresan como una función de f, definido como la rigidez a la flexión, 4EI de la viga dividida por la rigidez a la flexión de un ancho de la losa limitado lateralmente por las líneas de centro de los paneles adyacentes a cada lado de la viga: f 4EcbI 4E I cs b s 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 33 Razón de rigidez entre viga y losa, f Figura 10-19. Secciones transversales de viga y losa para el cálculo de f 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 34 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 17

Razón de rigidez entre viga y losa, f Fig 10-20. Sección transversal de vigas según definición de ACI 13.2.4 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 35 Ejemplo 10.1 Una losa de 20 cm de espesor está apoyada sobre una viga de borde de peralte total de 40 cm por 30 cm de ancho, como se muestra en la figura 10 21a. La losa y la viga fueron coladas monolíticamente, tienen concreto de igual resistencia, y módulo de elasticidad E c. Calcule f. Como y entonces (10 9) se reduce a. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 36 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 18

Ejemplo 10.1 Cálculo de I b. La sección transversal de la viga es como se muestra en la figura 10 21b. El centroide de la viga está localizado a 17.5 cm de la fibra superior de la losa. El momento de inercia de la viga es 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 37 Ejemplo 10.1 Cálculo de I s. I s se calcula para la parte achurada de la losa según la figura 10 21c: 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 38 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 19

Cálculo de f. Ejemplo 10.1 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 39 Figura 10-21. Losa para el Ejemplo 10-1. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 40 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 20

Espesor mínimo de losas en dos direcciones El artículo ACI 318S 08 9.5.3 define espesores mínimos que generalmente son suficientes para limitar las deflexiones de las losas en valores aceptables. Se pueden usar losas más delgadas si se puede demostrar que las deflexiones calculadas no van a ser excesivas. El cálculo de deflexiones en losas se presenta en la Sección 10.6. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 41 Losas sin vigas entre columnas internas Para una losa sin vigas entre columnas internas y con una razón de luz larga vs. luz corta de 2 o menos, el espesor mínimo se puede tomar de la Tabla 10 1 (ACI Tabla 9.5(c)), pero no menor que 12.5 cm en losas sin ábacos o 10 cm en losas con ábacos con dimensiones definidas en el artículo ACI 318S 08 13.2.5. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 42 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 21

Tabla 10 1. Espesor mínimo de losas en dos direcciones 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 43 Losas sin vigas entre columnas internas El espesor calculado con la Tabla 10 1 debe ser redondeado hacia arriba por 1 cm para losas de 15 cm o más de espesor. Redondeando hacia arriba se logra una losa más rígida y por lo tanto con menores deflexiones. Estudios sobre deflexiones en losas presentados por Thompson y Scanlon (Thompson & Scanlon, 1988) sugieren que losas sin vigas internas deberían tener espesores un 10% mayor que los valores mínimos recomendados por ACI para evitar deflexiones excesivas. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 44 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 22

MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 45 Limitaciones en el uso del método de diseño directo 1. Debe haber un mínimo de tres luces continuas en cada dirección. De esta forma, la estructura mas pequeña a considerar será una de nueve paneles (3 por 3). Si hay menos de tres paneles, los momentos negativos internos provenientes del método directo de diseño tienden a ser muy pequeños 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 46 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 23

Limitaciones en el uso del método de diseño directo 2. Los paneles rectangulares deben tener una razón de largo vs. ancho no mayor que 2. Cuando esta razón es mayor que 2, el comportamiento unidireccional se torna predominante 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 47 Limitaciones en el uso del método de diseño directo 3. Las longitudes de luces sucesivas en cada dirección no deberán diferir en más de un tercio de la longitud de la luz mayor. Este límite es exigido para incentivar el uso de ciertos detalles de corte de barras estandarizados 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 48 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 24

Limitaciones en el uso del método de diseño directo 4. Las columnas pueden estar sesgadas de la cuadricula rectangular del edificio hasta por un 10% de la luz paralela al sesgo. En un edificio con una disposición como ésta, se debe usar la ubicación real de las columnas para determinar las luces de la losa utilizadas en el cálculo de los momentos de diseño 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 49 Limitaciones en el uso del método de diseño directo 5. Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y uniformemente distribuidas en todo el panel. El método directo de diseño no puede ser usado para pórticos no arriostrados, losas de fundación o losas preesforzadas 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 50 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 25

Limitaciones en el uso del método de diseño directo 6. La carga viva de servicio (no mayorada) no deberá ser mayor que dos veces el valor de la carga muerta de servicio. Solicitaciones de tablero o de franja con razones de carga viva vs. carga muerta muy grandes pueden conducir a momentos más grandes que los supuestos por este método de análisis 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 51 Limitaciones en el uso del método de diseño directo 7. Para un panel con vigas en las dos direcciones entre apoyos, la rigidez relativa de las vigas en las dos direcciones perpendiculares dadas por f f no deberá ser menor que 0.2 ni mayor que 5. El término f se define más adelante y 1 y 2 son las luces en las dos direcciones 2 2 1 2 2 1 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 52 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 26

Distribución interna de momentos en paneles Losas sin vigas entre apoyos 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 53 Ejemplo 10 2 Cálculo de momento estático, M o 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 54 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 27

3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 55 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 56 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 28

Momentos positivos y negativos en paneles Figura 10-24. Asignación de regiones de momento positivo y negativo 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 57 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 58 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 29

Figura 10-25. Definiciones de franjas central y de columna 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 59 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 60 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 30

Suponiendo un coeficiente de Poisson de cero, G = E/2 y por tanto la razón de rigidez torsional será t EcbC 2E I cs s C x 10.63 y 3 xy 3 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 61 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 62 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 31

Ejemplo 10 3 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 63 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 64 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 32

3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 69 MÉTODO DE PÓRTICO EQUIVALENTE 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 70 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 35

Método de Pórtico Equivalente Más alcance que el Método de Diseño Directo Se emplea un analisis de rigidez del portico columna losa para determinar la distribucion longitudinal de los momentos flexionantes, incluyendo posibles patrones de carga. Se usa la misma distribución transversal de momentos según franjas central y de columna. Método propuesto por Corley y Jirsa en 1970. En ACI 318 83 y subsiguientes se incluye el análisis para cargas laterales. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 71 Metodo Clásico para Cargas Verticales Se divide la losa en una serie de pórticos equivalentes en las dos direcciones de la edificación: Fig. 3.20 División de la losa en pórticos para diseño. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 72 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 36

Cálculo de la rigidez, acarreo y momentos de empotramiento Es necesario calcular la rigidez a la flexión, K; factor de acarreo COF; factor de distribución, DF; y momentos de empotramiento, FEM para cada elemento de la estructura. Para un elemento prismático empotrado en el extremo y sin cargas axiales se tiene: K kei L 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 73 Método de Distribución de Momentos: Hardy Cross x (ft) Tramo Longitud Inercia Rigidez Carga A 0 0 A B 25 20 0.8 2 B 25 B C 30 30 1 2 C 55 C D 30 30 1 20 D 85 0.44 0.56 0.50 0.50 104.2 104.2 150.0 150.0 75.0 75.0 FEM 20.4 25.5 37.5 37.5 Dist 1 10.2 18.8 12.7 18.8 8.3 10.4 6.4 6.4 Dist 2 4.2 3.2 5.2 3.2 1.4 1.8 2.6 2.6 Dist 3 0.7 1.3 0.9 1.3 0.6 0.7 0.4 0.4 Dist 4 0.3 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0.2 0.2 Dist 5 0.0 0.1 0.1 0.1 88.8 135.0 135.1 122.2 122.1 51.5 Total 20k 2 k/ft A B C D 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 74 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 37

Figura 13-31 Variación de la rigidez a lo largo de la luz. Si se usa el EI del centro, k es mayor que 4, COF es mayor que ½, y FEM es mayor que 1/12. Se puede usar la analogía de la columna propuesta por Hardy Cross. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 75 Analogía de la Columna Cross notó una analogía entre las ecuaciones usadas para calcular esfuerzos en una columna asimétrica sujeta a fuerzas axiales y momentos, y las ecuaciones usadas para calcular momentos en una viga doblemente empotrada. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 76 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 38

Propiedades de viga losa Los elementos horizontales en el pórtico equivalente se denominan vigas losa. Consisten de losa, ábaco, viga paralela. (ACI 318S 11, Art. 13.7.3). 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 77 Figura 10 32 Valores de EI para una losa con ábaco. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 39

Figura 10 33 Valores de EI para una losa con viga. Ejemplo 10 5 Cálculo de los coeficientes para distribución de momentos para un entrepiso de placa plana La Figura 10 34 muestra la planta de un entrepiso de placa plana sin vigas de borde. El entrepiso es de 7 in de espesor. Calcular las constantes para distribución de momentos para las vigas losa en el pórtico equivalente a lo largo del eje 2. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 80 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 40

Figura 10 34 Planta de un entrepiso de placa plana Ejemplos 10 5, 10 7, 10 9 y 10 10. Table A 14 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 41

Ejemplo 10 6 La Figura 10 35 muestra la planta de un losa en dos direcciones con vigas entre todas las columnas. El entrepiso es de 7 in de espesor y todas las vigas son de 18in de ancho por 18 in de peralte. Calcular las constantes para distribución de momentos para las vigas losa en el pórtico equivalente a lo largo del eje B. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 83 Figura 10 35 Losas en dos direcciones con vigas Ejemplos 10 6 y 10 8. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 42

Figura10 36 Luz B1 B2 Ejemplo10 6 Propiedades de Columnas Se establece lo siguiente para rigideces y factores de acarreo: Momento de inercia basado en area bruta de concreto Se supone infinito dentro del peralte de la losa en la junta. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 86 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 43

Figura 10 37 Secciones para los cálculos de rigidez de columna, K c. Table A 17 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 44

Elementos en torsión y columnas equivalentes 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 89 Figura 10 38 Acción de pórtico y torsión de elemento de borde. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 45

Torque unitario aplicado a la columna equivalente. Suponemos variación lineal del Torque unitario. C = constante torsional G = módulo de rigidez Figura 10 39 Cálculo de K t. La distorsión total de un extremo del brazo relativo a la columna es la suma de las distorsiones por unidad de longitud y es igual al área del diagrama del ángulo de distorsión por unidad de longitud. Como es parabólica, el ángulo en el extremo del brazo es un tercio de la altura por la longitud del diagrama: t,end 1c c 1c 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2CG 2 2 6CE Esta es la rotación en el extremo del brazo. La rotación promedio la tomamos como un tercio de la rotación en el extremo: t,end 2 1 c 3 2 2 18CE 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 92 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 46

Finalmente, la rigidez torsional de un brazo se calcula como: K t M 9EC t,avg 3 1 c 2 2 2 El comentario de la Sección 13.7.5 del ACI indica: K t 9E C cs 1 c 3 2 2 2 C x 10.63 y 3 xy 3 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 93 Table A 17 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 47

Figura 10 40 Elementos en torsión. Figura 10 41 Elementos torsionales para Ejemplo 10 7 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 48

Figura 10 42 Columnas exteriores en junta de losa en B1 para Ejemplo 10 8. Figura 10 43 Elementos en torsión en B1 y B2 para Ejemplo10 8. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 49

Disposición de cargasvivas para análisis estructural Para momento positivo máximo carga muerta factorizada en todos los paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y en los alternos Para momento negativo máximo en panel interior carga muerta factorizada en todos los paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y el adyacente Los momentos finales de diseño no deberán ser menores que para el caso de carga muerta más viva factorizadas en todos los paneles. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 99 Figura 10 44 Secciones críticas para momento negativo. Momentos en las caras de los apoyos Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 50

Si la losa cumple con los requisitos para Diseño Directo se permite la reducción tal que: M1 M2 M 3 M o 2 Figura 10 45 Momentos negativos y positivos en una viga losa. Distribución de momentos hacia franjas de columna, franjas centrales y vigas Los momentos positivos y negativos obtenidos anteriormente son distribuidos a las franjas centrales y de columna según ACI 13.6.4 y 13.6.6 de la misma forma en que se hizo para el método directo. Esto es válido para 0.2 < α 1 l 22 /α 2 l 2 1 < 5.0 únicamente. Fuera de este rango se deben usar otros métodos. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 102 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 51

Ejemplo 10 9 Análisis de entrepiso de placa plana usando Pórtico Equivalente Clásico Referencia Fig. 10 36, usar concreto de 4000 psi para losa y columnas. Altura entre pisos 8 ft 10 in. El piso soporta su propio peso más 25 psf para particiones y una carga viva de 40 psf. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 103 Figura 10 34 Planta para el Ejemplo 10 9. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 52

Figura 10 46 Rigidez, factores de acarreo y de distribución Ejemplo 13 9. Tabla 10-6 Distribución de Momentos Ejemplo 10-9 A2 B2 C2 D2 COF = 0.508 COF = 0.507 COF = 0.508 0 0.434 0.566 0.304 0.471 0.225 0.225 0.471 0.304 0.566 0.434 0 Vol. Col. Losa Losa Col. Losa Losa Col. Losa Losa Col. Vol. FEM -4.0 0 +82.9-82.9 0 +105-105 0 +82.9-82.9 0 +4.0 B1-36.0-46.9-6.7-10.4-5.0 +5.0 +10.4 +6.7 +46.9 +36.0 C1-3.4-23.8 +2.5-2.5 +23.8 +3.4 B2 +1.5 +1.9 +6.5 +10.0 +4.8-4.8-10.0-6.5-1.9-1.5 C2 +3.3 +1.0-2.4 +2.4-1.0-3.3 B3-1.4-1.9 +0.4 +0.7 +0.3-0.3-0.7-0.4 +1.9 +1.4 C3 +0.2-0.9-0.2 +0.2 +0.9-0.2 B4-0.1-0.1 +0.3 +0.5 +0.2-0.2-0.5-0.3 +0.1 +0.1 Suma -4.0-36.0 36.0-106 +0.80 105-105 -0.80 +106-36.0 36.0 +4.0 Suma en junta 0 0 0 0 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 106 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 53

Figura 10 47 Momentos y cortantes en pórtico eje 2 para el Ejemplo 10 9. Uso de computadores en análisis de pórticos equivalentes El método clásico fue derivado para cálculos manuales. Para software de análisis estructural, se requiere incorporar el elemento en torsión (y la columna equivalente resultante) ya sea en el elemento viga losa o en la columna. La direccion general tomada ha sido la de modificar la rigidez de la viga losa mediante la definición de un ancho efectivo de viga para reducir la rigidez del elemento, particularmente en las conexiones. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 108 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 54

Figura 10 48 Valor mínimo para ancho efectivo de losa en la conexión losa columna exterior. Figura 10 49 Ancho efectivo de losa, y ubicación de nodos intermedios a lo largo de la luz. 2 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 55

Región de la losa Tabla 10-7 Valores de α y β recomendados para rigidez a la flexión en elementos losa-viga valor de α (para ancho efectivo αl 2 ) valor de β (para I e = βi g ) Regiones de momento positivo Regiones de momento negativo (columnas interiores) 0.5 0.5 0.5 0.5 para análisis gravitacional únicamente 0.33 para carga lateral Regiones de momento negativo (columnas exteriores) 0.2 a 0.5 (función de la rigidez de la viga de borde) 0.33 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 111 Figura 10 50 Ubicación de puntos nodales y dimensiones para pórtico losa columna analizado en Ejemplo 10 10. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 56

Figura 10 51 Modelo de pórtico equivalente para analisis de pórtico losa columna sujeto a cargas laterales y gravitacionales. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 114 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 57

Tabla 10-8 Resultados de análisis: Momentos de diseño de software estándar vrs. CEFM Vano final Vano interior Caso de análisis Momento en cara exterior (kip-ft) Momento a mitad de vano (kip-ft) Momento en cara interior (kip-ft) Momento en cara interior (kip-ft) CEFM -24.4 55.1-80.6-80.0 50.7 Caso 1-37.8 50.4-74.2-79.4 52.3 Caso 2-37.0 50.6-74.7-79.4 52.3 Caso 3-39.5 54.8-62.7-70.9 60.8 Momento a mitad de vano (kip-ft) 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 119 RESISTENCIA DE CORTANTE EN LOSAS EN DOS DIRECCIONES 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 120 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 60

Resistencia de cortante en losas en dos direcciones En general, la capacidad para cortante de punzonamiento de una losa o de una zapata será considerablemente menor que la capacidad para cortante en una dirección. En diseño es necesario considerar ambos mecanismos de falla. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 121 Figura 10 54 Falla de cortante en una losa. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 61

Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores Las grietas inclinadas o de cortante definen una superficie de cono truncado alrededor de la zona de máximos momentos negativos. Grietas inclinadas en una losa después de la falla de cortante: 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 123 Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores Para analizar la falla por punzonamiento de cortante se puede usar un modelo de cercha. Antes de que se formen las grietas inclinadas, el cortante se transfiere mediante esfuerzos de cortante en el concreto. Cuando se forman las grietas inclinadas no se puede transmitir mucho cortante a traves de ellas. Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 124 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 62

Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores La mayor parte del cortante vertical se transmite por puntales inclinados A B y D C que se extienden desde la zona de compresión en la parte inferior de la losa hasta el refuerzo en la parte superior de la losa. La componente vertical de la compresión del puntal empuja la barra hacia arriba lo cual es resistido por esfuerzos de tracción en el concreto ubicado entre lasbarras. Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 125 Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores Cuando se forman las grietas inclinadas no se puede transmitir mucho cortante a traves de ellas. Aun cuando una losa en dos direcciones posee gran ductilidad si falla en flexión, tiene ínfima ductilidad si falla en cortante. Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 126 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 63

Diseño para cortante en dos direcciones Para transferencia de cortante sin momento : columnas interiores. La sección crítica esta en la cara de la columna. Para simplificar se decidió usar la sección crítica a d/2: Secciónpseudo crítica para cortante. Nota: d corresponde al peralte efectivo de la losa. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 127 Ubicación del perímetro crítico No debe estar a menos de d/2 de la cara de la columna. Longitud del perímetro b o es el mínimo. Perímetro rectangular si la sección transversal de la columna también lo es. Diseño para cortante en dos direcciones 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 128 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 64

Secciones críticas para losas con ábacos El ábaco es un incremento del espesor de la losa para incrementar la capacidad de cortante. El incremento debe ser de al menos un 25%. Se deben considerar dos secciones críticas. Sirve para disminuir deflexiones o reducir refuerzo negativo. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 129 Secciones críticas cerca de aberturas y en los bordes ACI pide que se reduzca el perímetro crítico si la abertura está a menos de 10h. Para aberturas, perímetros si A y B no exceden el mayor de 4h y 2l d. perímetros si A excede el mayor de 4h o 2l d, pero B no los excede. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 130 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 65

Areas tributarias para cortante en losas en dos direcciones Para carga uniformemente distribuida el límite son las líneas de V u = 0 Para paneles interiores la línea se considera en 0.5l Para paneles de borde las líneas de V u = 0 están de 0.42l a 0.45l. Usar 0.5l. Para primer panel interior usar 0.5x1.15l. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 131 Ecuaciones de diseño: Cortante en dos direcciones sin transferencia de momento Columnas interiores en edificios arriostrados. Transferencia de momentos es despreciable. Transferencia de momento a zapata es también despreciable. Ecuación de diseño: V n V u 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 132 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 66

Cortante de punzonamiento, V c, del concreto en losas en dos direcciones Capacidad de cortante: En general ACI recomienda V n = V c + V s. Para cortante en losas se toma V s = 0. Para V c se recomienda el menor valor de V V 4 c c o fb d 24 c c o V d b 2 fb d c s o c o fb d Distribución varía según la razon largo/ancho de la columna. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 133 Cortante de punzonamiento, V c, del concreto en losas en dos direcciones Capacidad de cortante: En general ACI recomienda V n = V c + V s. Para cortante en losas se toma V s = 0. Para V c se recomienda el menor valor de V V 4 c c o fb d 24 c c o V d b 2 fb d c s o c o fb d 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 134 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 67

Cortante de punzonamiento, V c, del concreto en losas en dos direcciones Capacidad de cortante: En general ACI recomienda V n = V c + V s. Para cortante en losas se toma V s = 0. Para V c se recomienda el menor valor de V V 4 c c o fb d 24 c c o V d b 2 fb d c s o c o fb d 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 135 Figura 10 63 Comparación de ecuaciones de diseño contra datos experimentales. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 68

Cortante en una dirección en losas Capacidad de cortante: La sección crítica se localiza a una distancia d de la cara del apoyo, de la cara del ábaco o de otros cambios de rigidez. El ancho total del panel se considera como resistente: V c 2 fbd c 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 137 Ejemplo 10 11 Revisión de cortante en una y en dos direcciones en una columna interior de una placa plana 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 138 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 69

Figura 10 65 Determinación de d prom para uso en evaluación de resistencia de cortante de losas en dos direcciones. Figura 10 66 Area con carga y secciones críticas para cortante en dos direcciones Ejemplo 10 11. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 70

Aumentando la resistencia de cortante Aumento en capacidad Aumentar el espesor de la losa (aumenta V u ) Usar ábacos Incrementar b o mediante aumento del tamaño de la columna o añadiendo un capitel. Añadir refuerzo de cortante Diagramas Carga Deflexión: 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 141 Figura 10 67 Curvas de deflexión debida a carga para losas reforzadas para falla de cortante en dos direcciones. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 71

Refuerzo de cortante para losas en dos direcciones Estribos ACI 318S 08, Art. 11.11.3 permite el uso de estribos abiertos de un brazo, de multiples brazos o estribos cerrados, siempre que se cuente con refuerzo longitudinal en todas las esquinas de los estribos. Solo válido para losas con d > 6 in. o 16d s. Alto costo previene uso. Bueno solo para losas de 10 in. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 143 Figura 10 68 Refuerzo para cortante tipo estribo en losas en dos direcciones. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 72

Cabezas de cortante de acero estructural Diseñadas para resistir cortante y parte del momento segun 11.11.4. En columnas exteriores requieren norma especial para transferir el momento de desbalance. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 145 Pernos con cabeza para cortante Permitidos por 11.11.5. Actuan de la misma forma que ganchos de estribos Soldados en taller a placas de acero con espaciamiento predeterminado Area de apoyo de la cabeza 10 veces el area del perno para permitir desarrollo del perno antes del aplastamiento del concreto 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 146 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 73

Figura 10 69 Cabezas de cortante estructurales. (Tomado del Journal ACI, Octubre 1968.) Figura 10 70 Cabezas de cortante. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 74

Diseño del refuerzo de cortante Se requiere si el esfuerzo de cortante en la sección crítica interna a d/2 de la cara de la columna excede V c. O bien si excede el esfuerzo de cortante V c en la sección crítica externa a d/2 de los pernos extremos. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 149 Diseño del refuerzo de cortante La sección 11.11.3.1 permite únicamente la mitad del esfuerzo del concreto en la sección crítica interna para refuerzo de cortante de estribos, comparado en el caso sin refuerzo (pruebas de laboratorio). 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 150 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 75

Diseño del refuerzo de cortante Por lo tanto, el ACI recomienda que la resistencia nominal de cortante para losas en dos direcciones con refuerzo de estribos sea: Vn Vc Vs V 2 fb d c c o 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 151 Diseño del refuerzo de cortante ACI supone que grietas de punzonamiento tienen la geometría mostrada. Se requiere que la distancia desde la cara de la columna a la primera línea de estribos no exceda d/2. Lo mismo aplica para los estribos subsiguientes. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 152 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 76

Diseño del refuerzo de cortante La resistencia de cortante provista por el refuerzo tipo estribo es d Vs Av fyt s A v es la suma de las áreas de toda la línea periférica de estribos a lo largo del perímetro de la columna y f yt es la resistencia de los estribos. Además, para estos casos V 6 fb d n c o 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 153 Diseño del refuerzo de cortante Pernos con cabeza para cortante El ACI recomienda que la resistencia nominal de cortante para losas en dos direcciones con refuerzo de pernos con cabeza para cortante sea: V V V 8 fb d n c s c o V 3 fb d c c o 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 154 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 77

Diseño del refuerzo de cortante Pernos con cabeza para cortante Se requiere que la distancia desde la cara de la columna a la primera línea de estribos no exceda d/2. Segun 11.11.5 se puede usar hasta 3d/4 para las cabezas subsiguientes si V 6 fb d u c o 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 155 Ejemplo 10 12 Diseño de una junta losa columna interior con refuerzo con cabeza de cortante 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 156 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 78

Figura 10 72 Sección crítica de cortante de ocho lados. Losas en dos direcciones TRANSFERENCIA DE CORTANTE Y MOMENTO COMBINADOS 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 158 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 79

Unión losa columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 159 Unión losa columna sujeta a cortante y momento Caso particular de columna de borde 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 160 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 80

Unión losa columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño. Método de Viga Considera franjas de viga y segmentos de losa adyacentes sujetos a momento, cortante y torsión que fallan cuando los esfuerzos combinados corresponden a uno o varios modos de falla. Conceptual y no se aplica en la práctica. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 161 Unión losa columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño. Método J c (Comentario ACI) Método tradicional de ACI usado para calcular el esfuerzo cortante máximo en la sección crítica alrededor de la columna para las conexiones losacolumna. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 162 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 81

Método J c (Comentario ACI) Esfuerzo cortante máximo en la sección crítica alrededor de la columna para conexión losa columna que transfiere ambos, cortante y momento dado por Ec. 10 30: v u V bd o M c J u v u b o es la longitud del perímetro crítico de cortante d es el peralte efectivo de la losa J c es un momento polar de inercia efectivo por definir c 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 163 Método J c (Comentario ACI) V u es el cortante último (factorizado) transferido de la losa a la columna. Actúa en el centroide de la sección crítica de cortante. M u es el momento último (factorizado) transferido en la conexión c es la distancia del centroide del perímetro crítico al borde del perímetro donde el esfuerzo v u está siendo calculado. ϒ v es la fracción del momento que es transferida por esfuerzos de cortante en la sección crítica 1 v 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 164 f Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 82

Método J c (Comentario ACI) ϒ f es la fracción del momento que es transferida por flexión directa. El refuerzo ya diseñado para flexión en esta región puede ser usado para satisfacer en todo o en parte este requisito de resistencia Para losas sin refuerzo de cortante v u debe cumplir con 10 24, 10 25 o 10 26. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 165 Esfuerzos de cortante debidos a V u se suman a los esfuerzos de cortante debidos a M u en la misma sección. Figura 10 73 Esfuerzos de cortante para transferencia de cortante y momento. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 83

Esfuerzos de cortante debidos a V u se suman a los esfuerzos de cortante debidos a M u en la misma sección. Figura 10 74 Esfuerzos de cortante debidos a transferencia de cortante y momento en una columna de borde Cálculo de J c Ancho de transferencia Según 13.5.3.2 de la norma ACI se debe proveer suficiente refuerzo en la losa para acarrear la fracción de momento a transferir, ϒ f M u. Se define como la suma del ancho de columna c2 más 1.5 veces el espesor de la losa o del ábaco. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 168 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 84

Restricción del cap 21 para caso de borde de losa sin viga. (usar siempre) Figura 10 75 Definición de ancho de transferencia en conexiones losa columna. Refuerzo de la losa que no esté anclado en la columna no será efectivo para transferir momentos a la columna. Figura 10 76 Deformaciones unitarias medidas en barras adyacentes a una columna de borde a la falla. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 85

La sección 13.5.3.2 de la norma ACI define la fracción de momento transferida por flexión (Ec. 10 32): 1 f 1 2 3 b1 b2 ϒ f = 1 para losa apoyada en muro y ϒ f = 0 para losa en borde de muro 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 171 Para columna cuadrada ϒ f = 0.60 y ϒ v = 0.40. Figura 10 77 Perímetros críticos de cortante para flexión a lo largo de los ejes indicados. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 86

Cota inferior para cortante y momento combinados Figura 10 78 Interacción entre cortante y momento en columnas de borde. ACI 318 13.5.3.3 Se puede incrementar ϒ f de 0.6 hasta 1.0 si V u en la conexión es menor que 0.75φV c. Para conexiones esquineras si es menor que 0.50φV c. Se permite un incremento en ϒ f de 25% en conexiones internas cuando V u es menor o igual que 0.40φV c 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 174 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 87

Propiedades del perímetro de cortante Propiedades de los perímetros críticos de cortante en conexiones losa columna Método del Comentario de la norma ACI Usa la ecuación (10 30) y subdivide el perímetro en 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 175 Propiedades del perímetro de cortante J c, el momento polar de inercia efectivo del perímetro en la conexión se usa para tomar en cuenta torsión y cortante en sus caras. Usa dos, tres o cuatro lados individuales que luego se suman 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 176 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 88

Momento polar de inercia, J c, para un lado aislado de un perímetro crítico de cortante El momento polar está dado por 2 J I I Ax c x y J c 3 3 bd db 12 12 bd x 2 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 177 Figura 10 79 Rectángulo considerado en el cálculo del momento polar de inercia de un lado. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 89

c Propiedades de una sección rectangular cerrada crítica en cortante El centroide del perímetro crítico pasa por el centroide de los lados DA y CB. El cálculo es similar al caso de un lado más los términos para los lados paralelos c 2 alrededor de eje para caras y caras y J J x AD BC Ax AB CD J c 3 3 b1d db 1 b1 2 2b2d 12 12 2 2 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 179 Propiedades de una sección rectangular cerrada crítica en cortante donde b1 c12 d 2 b 1 = longitud de los lados del perímetro de cortante perpendicular al eje de flexión b2 c2 2 d 2 b 2 = longitud de los lados del perímetro de cortante perpendicular al eje de flexión c 1 ancho de columna perpendicular al eje de flexión c 2 ancho de columna paralelo al eje de flexión 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 180 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 90

Propiedades de una sección de borde 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 181 Propiedades de una sección esquinera 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 182 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 91

Columnas circulares: Para cálculos de cortante y momento combinados, el comité 426 del ACI-ASCE recomienda que el perímetro de cortante de columnas circulares se base en el de una columna cuadrada con el mismo centroide y con la misma longitud de perímetro. En este caso, la columna cuadrada equivalente tendrá lados de longitud c d 20.886d c c Figura 10 80 Perímetros críticos para transferencia de momentos y cortante en columnas circulares. Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados Para columnas interiores El esfuerzo cortante máximo ocurre generalmente cuando todos los paneles del piso o techo que rodean una columna son cargados con las cargas muerta y viva factorizadas. Sin embargo, si dos paneles adyacentes tienen longitudes significativamente diferentes, un segundo caso de carga en donde solo el panel con la luz más larga adyacente es cargado con la carga viva factorizada completa debe ser considerado. Este caso de carga producirá una transferencia de momento mayor, pero una fuerza de cortante menor. Para columnas de borde 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 184 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 92

Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados (a) Para el caso de momentos que actúan alrededor de un eje paralelo al borde, la carga critica para esfuerzo cortante máximo ocurre con las cargas muerta y viva factorizadas actuando simultáneamente en ambos paneles de borde adyacentes a la columna. (b) Para el caso de momentos que actúan alrededor de un eje perpendicular al borde, podría ser necesario considerar dos casos. Para un caso, se deben aplicar cargas muerta y viva factorizadas a ambos paneles adyacentes. Ese caso producirá la fuerza cortante máxima, pero un momento de transferencia menor. Para el otro caso, solo se debe aplicar carga viva factorizada al panel mas largo de los dos adyacentes. Este caso producirá un momento de transferencia mayor, pero una fuerza de cortante menor. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 185 Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados Para columnas esquineras El esfuerzo cortante máximo ocurre normalmente debido al caso de carga donde se aplican cargas muerta y viva factorizadas a todos los paneles del sistema de piso. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 186 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 93

Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante La distribución de esfuerzos calculada con la ecuación (10 30) e ilustrada en la figura 10 74 supone que V u actua a través del centroide del perímetro de cortante y que M u actúa alrededor del eje centroidal de este perímetro. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 187 Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante Cuando se usa software de análisis estructural, los valores de V u y M u pueden ser calculados ya sea en un punto nodal ubicado en el centroide de la columna o en la cara de la columna sobre la que se apoya la losa. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 188 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 94

Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante Para el método de diseño directo, V u y M u se calculan normalmente en la cara de la columna. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 189 Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante Después de determinar el centroide del perímetro cortante, se puede usar el equilibrio de un diagrama de cuerpo libre para determinar los valores para V u y M u que actúan en el centroide. La figura 10 81a representa el caso de una columna exterior con el cortante y el momento calculados inicialmente como actuando en la cara de la columna que soporta la losa. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 190 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 95

Figura 10 81 Cálculo de momento y de cortante de transferencia en el centroide de un perímetro crítico. Ejemplo 10 13 Revisión de transferencia de cortante y momento combinados en una columna de borde. 3 setiembre 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 192 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 96

Figura 10 82 Unión losa columna para el Ejemplo 10 13. Figura 10 83 Abacos. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 97

Figura 10 84 Capiteles y topes de cortante para incremento de la resistencia a cortante en conexiones losa columna. Figura 10 85 Puntos de corte mínimos para losas sin vigas. (Sección 13.3.8.1 de ACI 318S 08.) Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 98

Figura 10 86 Ancho efectivo para transferencia de momentos en columnas exteriores. Figura 10 87 Planta de entrepiso de placa plana para Ejemplo 10 14. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 99

Figura 10 88 División de losa en franjas para diseño en Ejemplo 10 14. Figura 10 89 Perímetros críticos de cortante iniciales y áreas tributarias para columnas B1 y B2. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 100

Table 13 9 Table 13 10 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 101

Table 13 11 Table 13 12 Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 102

Table 13 13 Table 13 13 Continued Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 103

Figura 10 90 Distribución de barras en una losa para el Ejemplo 10 14. Figura 10 91 Diagrama esquemático del refuerzo en las franjas este oeste para Ejemplo 13 14. Posgrado en Ingeniería Civil - UCR 104