ARI 129 j nominar), porque fija la denominacion de la fraccion. Las cuatro quintas partes (4/5) de la unid id, son una fraccion cuyo numerador es 4, y el denominador 5. El numerador y denominador se llaman los dos términos de la fraction. Siempre se debe tener presente en la memoria esta definition. Se emplean cifras para abreviar la expresion de las fracciones escribiendo el denominador delajo del numerador separados por una raya, corno hemos dicho mas arriba, de modo que un tercio ó tercera parte se escribe 3 &c. Se aumenta ó disminuye una fraccion aumentando ó disminuyendo su numerador sin cambiar el denominador; 5j6 es ma- yor que 4/6 y 3/5 es menor que 4/5. Se disminuye una fraccion aumentando su denominador, por que concibiendo mas partes ó divisiones en la unidad, son necesariamente mas pequeñas; `/s es menor que U%7. Por una razon contraria se aumenta una fraccion cuando se disminuye el denominador sin cambiar el numerador; por que concibiendo menos partes ó divisiones en la unidad, cada una 1 de ellas es mayor y el conjunto llega tambien á ser mayor; 617 es mayor que 6/s. Una fraction no cambia de valor aun cuando se multipliquen sus dos términos por un mismo número ; así 5!5 es lo mismo que 1('/I2, 1 /2 lo mismo que 2/4 y 3/5 que 5/ia, &c. REDUCCION DE LAS FRACCIONES Ó QUEBRADOS á UN MISMO Ó CO- MUST DENOMINADOR. Se multiplican los dos términos de la primera fraccion, cada uno, por el denominador de la segunda, y los dos términos de la segunda por el denominador de la primera. j I Así para reducir á un mismo denominador las dos fracciones,, se multiplica el 2 y el 3, que son los dos términos de la primera fraccion, cada uno por 4, denominador de la segunda, lo que produce 81I2 que tiene el mismo valor que. Se multiplican lo mismo los dos términos 3 y 4 de la segunda fraccion T. Y. 17
-do 130 ART cada uno por 3, denominador de la primera, lo que produce 9/12 que tiene el mismo valor que ; de modo que las frac han cambiado en 8/j 2 y 9/12 que tienen ambas-ciones 3 y se un mismo ó comun denominador, y el mismo valor respectivamente á aquellas. Si hay mas de dos fracciones, se reducen primeramente todas á un coniun denominador, multiplicando los dos términos de cada una por el PRODUCTO que resulte de la mmtultiplicacion de los denominadores de las otras. Por ejemplo, para reducir á un mismo denominador las cuatro fracciones 2/3, 3/4, 4/5, 5/7, se multiplican los dos términos 2 y 3 de la primera por el producto de los tres denominadores 4, 5, 7 de las otras fracciones; producto que se encuentra diciendo: 4 veces 5 hacen 20, y 20 veces 7 hacen 140; despues se multiplican el 2 y el 3 cada uno por 140 y se obtiene 280,'420 que tiene el mismo valor que. Se multiplican del mismo modo los dos términos 3 y 4 de la segunda fraccion por el producto 3, 5, 7, que se forma diciendo: 3 veces 5 hacen 15 y 7 veces 15 hacen 105 que multiplica por 3 produce 315; despues por 4, lo que produce 420, igual denominador al de la fraccion precedente; la misma operacion se hace para la tercera y cuarta fraccion y en cuanto al denominador, el resultado es siempre el mismo. Hay otro modo de reducir los quebrados á un comun denominador, á saber: se multiplican todos los denominadores y el producto será el denominador comun; despues se multiplica por él el numerador de cada quebrado y se divide por su denominador, resultando los nuevos numeradores de los quebrados ya reducidos á un comun denominador. Ejemplo. 3/4 2/3 3 15 que reducidos á un comun denominador por el método que hemos dicho, hacen
ARI 131 45/60 40/60 36/60. Segun esto, vemos que el denominador 4 multiplicado por el otro 3 hace 12, que multiplicados por 5 nos dan 60, que es el denominador comun. Se multiplica este denominador por 3, numerador del primer quebrado, y da por producto 180, que dividido por 4, que es el primitivo denominador, produce 45, y tenemos el quebrado 47/69, como se ve en el ejemplo puesto arriba. Se hace la misma operacion con los demás. REDUCCION DE LAS FRACCIONES A SU MAS SIMPLE EXPRE;ION ó SIMPLIFICACION DE LOS QUEBRADOS. Una fraccion es tanto mas sencilla cuanto mas pequeños son los números de sus dos términos. Muchas veces se puede explicar una fraccion propuesta por números menores; esto sucede cuando su numerador y denominador son divisibles ó pueden dividirse por un mismo número; como esta operacion no varia el valor de las fracciones, es una simplification que debe hacerse. Para saber cuando se puede dividir por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y demás números primos, ó que no tienen mas divisor que ellos mismos ó la unidad, es menester tener presente quo todo número que acaba en una cifra par, es divisible por 2, y que todo número múltiplo de 3, es divisible por 3. Por ejemplo : 54231 es divisible por 3, por que estas cifras 5, 4, 2, 3, 1, sumadas hacen 15 que contiene tres veces al 5. Todo número terminado por un 5 ó un 0, es divisible por 5. HALLAR LA MAYOR MEDIDA COMUN DE DOS NÚMEROS ENTEROS. Hay un método fijo para hallar la mayor medida comun de dos o mas números, que es dividiendo el número mayor por;el menor, y si el cociente no tiene quebrado, el número menor será la mayor medida comun de los dos números dados. Por ejemplo, si se quiere hallar la mayor medida comun de los dos números 788 y 197, se dividirá el número mayor 788 por el menor 197; y porque en el cociente resulta el entero 4
132 ARI sin nines m quebrado, dirémos que la mayor medida comun de los dos números 78S y 197, es 197. Se pueden hacer con las fracciones las mismas operaciones que con los números enteros. ADICION Y SUSTRACCION ó SUMA Y RESTA DE LAS FRACCIONES 6 QUEBRADOS. Para sumar ó restar quebrados de un mismo denominador es menester tomar la suma ó diferencia de sus numeradores y dar al resultado el denominador comun. Es evidente que 21 11 y 3/ii hacen 5111. Tambien lo es que la diferencia entre 319 y 8 s es 5 /s. Si los quebrados no tienen el mismo denominador, no se pueden sumar ó restar uno de otro los números de partes de que estan compuestos, pues que estas partes son de diferentes tamaños. Entonces es menester igualarlas, reduciéndolas á un comun denominador por el medio ya indicado. Así, si nos proponemos sumar 3, 4, 2 /3, 3 /5, carabiarémos estas tres fracciones en estas otras tres: o, 40 /GO y 36 GO cuya suma es I2I /60 que se reducen á 2 enteros y I/60. Como se ve en este último ejemplo la suma de los quebrados da á veces resultados que excelea á la unidad. Entonces es menester quitar tantas unidades cuantas hay en el total, como acabamos de hacer en 121/60 en que henos encontrado dos veces 60 ó 2 enteros y á mas por resta de fraccion 1 6o avos. Generalmente toda fraccion en que el numerador es mayor que el denominador contiene unidades ó enteros. Se sacan los enteros dividiendo el numerador por el denominador; el cociente da los enteros y la resta, puesta en forma de quebrado que debe escribirse despues. La expresion 20 3 /40, por ejemplo, designa 203 partes de una unidad compuesta de 40 y hay en la cantidad que representa esta fraccion tantas unidades como veces 40 está contenido en 203. Por la division se halla 5 por cociente y 3 por UNIVERSIDAD DE HUELVA 2010
-brado ó $ AR.I 133 ruta; estos 203 son 40 ayos de unidad. Y así en lugar de 203/40 se puede escribir 5 3/90. REDUCCION DE UN NÚMERO ENTERO Á QUEBRADO. La expresion 5 3/'o en que estan expresados los enteros, componiéndose de dos partes diferentes, es muy útil, á veces, reducirla á la frac primitiva 203/40, lo que se llama reducir un entero á que -cion dar á un entero la forma de quebrado. Se hace esta operacion multiplicando el entero por el denominador de la fraccion que le acompaña, añadiendo su numerador al resultado y dando á la suma por denominador el de la misma fraccion. Ejemplo : Entero............. 5 Denominador........ 40 200 Numerador.......... 3-203 Denominador de la 1.' fraction.. 40 Cuando hay enteros acompañados de quebrados es menester siempre empezarla operacion por estos. Por ejemplo, para sumar 3 2/7 con 5 i/o, se empezará por reducirá un mismo denominador los quebrados 2/7 y 4,9 que se convertirán en 18/63 y 28/33; despues se añadirá su suma á la de los enteros 3, 5, lo que dará por total 8 40/63. La sustraccion se hará lo mismo siempre que el quebrado que entra en el número que se ha de restar sea el menor de los dos. En caso contrario, para que pueda hacerse la sustraccion, se tomará del entero que va con el quebrado menor. Por ejemplo, si se quisiera restar '/s de 3 I/ los dos quebrados reducidos á un mismo ó comun denominador se convertirán en 16/->0 y 5/20 y se verá que el primero no puede restarse del segundo; pero tomando 1 ó `-'O,20 del entero 3,
134 ARI se cambia el número en 3 1/ r ó 3 5J2o en 2 25/20 de donde restando 16/20 quedará 2 9 /2o. MULTIPLICACION DE LOS QUEBRADOS. P ara multiplicar un que brado por otro, es menester multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Así para multiplicar 2/ 5 por 3/4, se multiplica 2 por 3 lo que produce 6, y 5 por 4 lo que produce 20, total (>/2o por producto. Cuando se quiere multiplicar un entero por un quebrado ó un quebrado por un entero, se pone el entero bajo la forma de que dando la unidad por denominador. Por ejemplo, teniendo-brado que multiplicar 6 por 4 se reduce la operacion á multiplicar 611 por 2/1, lo que, segun la regla que se ha dado, produce 12/3 ó 4. Si hay enteros y quebrados, lo que se llama números mixtos se debe, antes de multiplicar, reducir los enteros á quebrados de la misma especie que los que les acompañan. Por ejemplo; si se quiere multiplicar 13 3/s por 6 4, se cambia el multiplicando en 816 multiplicando el número entero por el denominador del quebrado y añadiendo el producto al numerador; despues se cambia el multiplicando, por el mismo medio, en 27/:1 y se multiplica 81/6 por 27/4, corno se ha dicho, lo que produce 218724 que valen 91 3 24. Para multiplicar un número mixto por un entero ó vice-versa debe preferirse la regla de :multiplicar primero los enteros y luego el quebrado, cuyos productos sumados componen el producto total que se busca, por ejemplo; supongamos que se quiere multiplicar 148 á por 32; se hará la operacion del modo siguiente: 148 32 32 7 224 ^ 8 296 444 060 28 280 4.764 UNIVERSIDAD DE HUELVA 2010
ARI 135 Hecha la operacion de multiplicar el entero 148 por el 32, se pasa á multiplicar el 32 que antes era el multiplicador por el 7., numerador del quebrado, cuyo producto es 224 que dividido por 8, denominador del quebrado, da por cociente 28, que se añaden á los productos que han resultado de la multiplicacion de los enteros; se raya por bajo y se hace la suma, resultando el total 4.764. Esta operacion consiste en muldivision DE LOS QUEBRADOS. por el quebrado divisor invertido tipzicar el quebrado dividendo ó trastornado. Por ejemplo: para dividir 5/& por 3/6 es menester trastornar este y poner G/3 - ; despues multiplicar 5 por 6 y 8 por 3, lo que producirá 3 0 /24. Si no se quiere cambiar nada de los términos de los dos quebrados, se puede. tambien hacer la division multiplicando el numerador del primero por el numerador del segundo y el denominador del primero por el denominador del segundo. Si hubiese que dividir un entero por un quebrado ó un que brado por un entero, se pondrá el entero bajo la forma de quebrado dándole, como hemos dicho ya, la unidad por denominador. Por ejemplo, si se quieren dividir 14 enteros por 3, la operacion se reduce á dividir 1 4/I por, lo que, segun la regla que hemos dado, consiste en multiplicar 14 /I por 3f 2 lo que produce 4221/ 2 ó 21. Lo mismo sucede si hubiese que dividir por 5; en cuyo caso se reduce la operacion á dividir 3/4 por 5 /i es decir á multiplicar 3/1 por 5 /I, lo que produce 3120. CÁLCULO DECIMAL. Se llaman fracciones decimales á unas partes de diez en diez veces menores que la unidad. Se expresan por cifras colocadas á la derecha de las unidades y separadas por una coma. Así en esta serie de cifras 0,44444, cada una es decimal de la que la precede inmediatamente á la izquierda, es decir, que representa la décima parte de ella. Si hay unidades unidas á los decimales, se escriben como los demás números UNIVERSIDAD DE HUELVA 2010
134 ARI se cambia el número en 3 1/ 4 ó 3 5J2o en 2 95/20 de donde restando 1 6/2o quedará 2 9/20. MULTII'LICACION DE LOS QUEBRADOS. Para multiplicar un quebrado por otro, es menester multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Así para multiplicar 2/ 5 por 314, se multiplica 2 por 3 lo que produce 6, y 5 por 4 lo que produce 20, total 6/2o por producto. Cuando se quiere multiplicar un entero por un quebrado ó un quebrado por un entero, se pone el entero bajo la forma de que dando la unüdad por denominador. Por ejemplo, teniendo-brado que multiplicar 6 por 1 se reduce la operation á multiplicar 6/i por 9/3, lo que, segun la regla que se ha dado, produce 12/3 o 4. Si hay enteros y quebrados, lo que se llama números mixtos se debe, antes de multiplicar, reducir los enteros á quebrados de la misma especie que los que les acompañan. Por ejemplo; si se quiere multiplicar 13 3/c> por 6, se cambia el multiplicando en 81,s multiplicando el número entero por el denominador del quebrado y añadiendo el producto al numerador; despues se cambia el multiplicando, por el mismo medio, en 27/4 y se multiplica 81/6 por 27/4, coleo se ha dicho, lo que produce 2187,'24 que valen 91 3 24. Para multiplicar un número mixto por un entero ó vice-versa debe preferirse la regla de 'multiplicar primero los enteros y luego el quebrado, cuyos productos sumados componen el producto total que se busca, por ejemplo; supongamos que se quiere multiplicar 148 é por 32; se hará la operation del modo siguiente: 148 32 32 7 296 224 18 444 060 28 28 0 4.764
ARI 135 Hecha la operacion de multiplicar el entero 148 por el 32, se pasa á multiplicar el 32 que antes era el multiplicador por el 7,, numerador del quebrado, cuyo producto es 224 que dividido por 8, denominador del quebrado, da por cociente 28, que se afiaden á los productos que han resultado de la multiplicacion de los enteros; se raya por bajo y se hace la suma, resultando el total 4.764. DIVISION DE LOS QUEBRADOS. Esta operacion consiste en multiplicar el quebrado dividendo por el quebrado divisor invertido ó trastornado. Por ejemplo: para dividir 5/a por 3 /6 es menester trastornar este y poner 6 /3 ; despues multiplicar 5 por 6 y 8 por 3, lo que producirá 3 0 /24. Si no se quiere cambiar nada de los términos de los dos que puede. tambien hacer la division multiplicando el-brados,e numerador del primero por el numerador del segundo y el denominador del primero por el denominador del segundo. Si hubiese que dividir un entero por un quebrado ó un que por un entero, se pondrá el entero bajo la forma de que -brado dándole, como hemos dicho ya, la unidad por denomi--brado nador. Por ejemplo, si se quieren dividir 14 enteros por 3, la operacion se reduce á dividir 1 4/t por i, lo que, segun la regla que hemos dado, consiste en multiplicar 1 1 /1 por 3/2 lo que produce 42/2 ó 21. Lo mismo sucede si hubiese que dividir.1 por 5; en cuyo caso se reduce la operacion á dividir 3/4 por 5 /i es decir á multiplicar 3 / 1 por a /I, lo que produce 31 20. CÁLCULO DECIMAL. Se llaman fracciones decimales á unas partes de diez en diez veces menores que la unidad. Se expresan por cifras colocadas á la derecha de las unidades y separadas por una coma. Así en esta série de cifras 0,44444, cada una es decimal de la que la precede inmediatamente á la izquierda, es decir, que representa la décima parte de ella. Si hay unidades unidas á los decimales, se escriben como los demás números - 1 r UNIVERSIDAD DE HUELVA 2010
136 ARI enteros, teniendo cuidado de separar las unidades por una coma puesta á la derecha. Por ejemplo, 24 unidades y 12 centésimas se escribe 24,12. Si no hay unidades se pone para reemplazarles un 0 y se escriben en seguida las decimales. Ejemplo: 12 centésimas 0,12 16 milésimas 0,016. Por lo que hemos dicho se ve que toda primera cifra á la derecha de la coma es una decimal ó décima y no una unidad ordinaria. La coma aumenta ó disminuye el valor del número total de unidades y decimales segun se avanza á derecha ó á izquierda; si se adelanta una cifra hácia la derecha, hace la suma diez veces mayor; y si al contrario se atrasa á la izquierda, le hace diez veces menor. ADICION Ó SUMA DE LOS NÚMEROS DECIMALES. Se hace esta operacion lo mismo que la de los enteros, teniendo cuidado de poner siempre las unidades de un mismo órden, es decir, las unidades, decenas, centenas, millares, &c. en la columna que las corresponde, colocando en el total la coma en el lugar en que se encuentran las que hay en las cantidades que se quiere sumar. Si quisiéramos sumar 0,47, cuarenta y siete centésimas, 0,3260, tres mil doscientas sesenta diez milésimas, 0,416, cuatrocientas diez y seis milésimas, colocariamos estas tres cantidades del modo siguiente: 0,47 0,3260 0,216 Total... I,0120 Si hubiese números unidos á los decimales, toman el lugar de los ceros de la primera columna y la regla es la misma. Por ejemplo, si se quiere sumar 12,36; 0,4; 167,42 y 15,03, se escribirán de este modo: UNIVERSIDAD DE HUELVA 2010
ARI 137 12,36 0,4 167,42 15,03 Total... 195,21 SUSTRACCION () RESTA DE DECIMALES. Esta operacion se hace lo mismo que la de los números enteros; solamente se debe tener, para evitar toda dificultad, cuidado de hacer igual el número de cifras decimales en ambas cantidades propuestas, poniendo á la derecha de la que tenga menos un número de ceros suficiente. Se pone en la diferencia una coma en la columna en que se encuentran las de las dos cantidades propuestas. Por ejemplo; si se quiere restar de 8,32, 5,232, se añade un cero al primer 32 del modo siguiente: 8,320 5,232 Diferencia... 3,088 Debe advertirse que en los decimales no cambia generalmente el valor aunque se pongan despues de la última cifra decinial el número de ceros que se quiera. Así 8,32 es lo mismo que 8,320 y que 8,3200; por esta razon se dice hoy ya en muchas partes 1000 libras en lugar de decir 10 quintales. Las pruebas de la adicion y sustraccion de los números de- -cimales se hacen lo mismo que las de las mismas operaciones con los números enteros. MULTIPLICACION DE DECIMALES. Para multiplicar una por otra dos cantidades en que haya cifras decimales, se hace abstraccion de ellas en ambas, pero se separan á la derecha del producto tantas cifras decimales cuantas haya á la derecha del multiplicando y multiplicador. rom. 1. 18