RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I. LÓGICA PROPOSICIONAL A. Proposiciones B. Conectivos proposicionales B.. Negación B.2. Conjunción B.3. Disyunción B.4. Condicional B.5. Bicondicional B.6. Otros conectivos C. Fórmulas lógicas D. Reglas de inferencia E. La demostración II. EJEMPLOS Y APLICACIONES AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO INTRODUCCIÓN La lógica es la disciplina que trata de los métodos de los razonamientos. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido. A grandes rasgos la historia de la lógica se divide en 3 etapas: lógica griega, lógica escolástica y lógica matemática. El primer estudio sistemático del razonamiento lógico lo da Aristóteles que enuncia las fórmulas lógicas con palabras del lenguaje ordinario, sujetas a las reglas sintácticas. Durante la segunda etapa la lógica se abstrajo del lenguaje ordinario. En la tercera etapa quedó marcada por el uso de un lenguaje artificial en el que los signos y palabras estaban regidos por una sintaxis exacta. Mientras que en las dos primeras etapas los teoremas lógicos se derivaban del lenguaje usual, en la tercera la lógica procede al contrario. A veces se considera a Leibnitz como un precursor de este último punto de vista pues pretendía reducir todas las cosas a un orden. La fecha del nacimiento de la lógica contemporánea es cuando Boole publica su primer libro y la lógica formal de De Morgan (847). Más tarde (854) Boole construye y desarrolla la lógica formal como un nuevo tipo de álgebra y demuestra que su tipo general de álgebra suministra un algoritmo fácil para el razonamiento silogístico. Después hubo un desvanecimiento hasta la aparición de Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En esta obra se programa que toda la matemática pura puede deducirse de un pequeño número de principios lógicos
fundamentales. A partir de ésta y de las obras de otros lógicos y matemáticos del s. XX se disponen de potentes herramientas. Gödel (93) demostró que existen dentro del sistema ciertas afirmaciones bien definidas, que no pueden ser demostradas ni refutadas a partir de los axiomas. Así el teorema de Gödel se considera como el resultado más importante de la lógica matemática. I. LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica de proposicional se ocupa de proposiciones, de frases descriptivas en el seno de una teoría. No todas las frases son proposiciones. A. Proposiciones Una proposición es una frase de la que se pueda decir que es verdadera o falsa. Observación - No son proposiciones las frases interrogativas o exclamativas o enunciados prescriptivos. - Existen lógicas en las que se consideran más de 2 valores lógicos, pero verdadero y falso son los únicos valores de verdad de las proposiciones. Rige el llamado principio de bivalencia: Toda proposición es o bien verdadera o bien falsa. La lógica proposicional se ocupa de las relaciones de inferencia entre proposiciones tomadas en bloque. No se analiza la estructura interna de las proposiciones, son estas las unidades de análisis. Como primer nivel del análisis lógico, lo que se pretende es analizar la validez de aquellos razonamientos en los que se parte de premisas, que son proposiciones sin analizar, para llegar a conclusiones que son proposiciones que tampoco se analizan. Desde el punto de vista de la lógica proposicional sólo se tienen en cuenta aquellas formas de deducir una proposición a partir de otras que sean válidas sin necesidad de analizar interiormente cada una de ellas. Los elementos que componen una proposición son irrelevantes. Sólo interesan las proposiciones como tales, cada una de ellas considerada como un todo. Como es indiferente el contenido de cada proposición, éstas se representan mediante variables proposicionales: p,q,r,s,... símbolos que sustituyen a proposiciones cualesquiera. Cada proposición tiene un único valor de verdad. La variable p, que reemplaza a una proposición cualquiera, podrá tener el valor de verdad (v ó ) o el valor falso (F ó ). B. Conectivos proposicionales Una proposición se llama molecular cuando es una composición de otras. Se llama atómica si no lo es. Se llaman conectivos proposicionales a las diversas formas de enlazar o transformar proposiciones. Cada conectivo proposicional queda determinado conociendo su función de verdad, la relación existente entre la verdad o falsedad de las proposiciones componentes y la resultante. Es normal dar una función de verdad mediante una tabla de verdad, que son tablas en la que junto a cada posible combinación de valores de verdad de las proposiciones componentes figura el de la proposición compuesta. Según el número de componentes se habla de conectivos monádicos o singulares, diádicos o binarios, ternarios, etc. 2
Observaciones - Como para n variables proposicionales existen 2 n asignaciones distintas de los valores de verdad y como para cada una de ellas la función de verdad puede tomar cualquiera de los 2 valores, existen 2 (2n) operaciones distintas con n proposiciones. - Sólo algunos conectivos proposicionales corresponden a expresiones normales del lenguaje y aparecen en la exposición natural de los razonamientos. En la práctica se representan por símbolos que se conocen con el mismo nombre que el conectivo al que representan. B.. Negación Dada una proposición p, su negación es la proposición p, que será verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. Se lee no p y corresponde a la negación del lenguaje usual. Su tabla de verdad es: p p B.2. Conjunción Dadas 2 proposiciones p y q, su conjunción es la proposición p q, que será verdadera sólo cuando p y q son verdaderas y falsa en los demás casos. Se lee p y q y se corresponde con la y o con la yuxtaposición del lenguaje usual. Su tabla de verdad es: p q p q B.3. Disyunción Dadas dos proposiciones p y q, su disyunción es la proposición p q, que será falsa cuando p y q son falsas y verdaderas en los demás casos. Se lee p ó q y se corresponde con la o no excluyente del lenguaje usual. Su tabla de verdad es: p q p q B.4. Condicional Dadas dos proposiciones, p y q, su condicional es la proposición p q, falsa sólo si q es falsa y p verdadera y verdadera en los demás casos. Se dice que p es el antecedente y q el consecuente del condicional. Se lee si p entonces q y se corresponde con expresiones tales como: si... entonces..., cuando... entonces... del lenguaje verbal. Su tabla de verdad es: p q p q 3
B.5. Bicondicional Dadas dos proposiciones p y q, su bicondicional es la proposición p q, que será verdadera si ambas son verdaderas o si ambas son falsas y falsa en los demás casos. Se lee p si y sólo si q. Supone un doble condicional en el lenguaje usual: si p entonces q y si q entonces p. Su tabla de verdad es: p q p q B.6. Otros conectivos Es escaso el interés que presentan los restantes conectivos singulares o binarios de los otros 3 conectivos singulares: dos son constantes, independientes de la variable; el tercero es la identidad. De los restantes 2 conectivos binarios sólo la disyunción exclusiva (que es verdadera sólo si una sólo una de las proposiciones lo es) tiene sentido en el lenguaje usual aún cuando se utilice muy raramente en el razonamiento matemático. Estrictamente hablando sería suficiente considerar dos únicos conectivos: la negación y uno cualquiera de entre la conjunción, la disyunción o el condicional, ya que los demás se podrían definir en término de esos dos, tal como veremos más adelantes. Incluso, este número mínimo de conectivos puede reducirse a uno: el conectivo incompatibilidad o el conectivo negación conjunta. C. Fórmula lógicas La aplicación reiterada de conectivos permite formar proposiciones moleculares más complejas. Se llama fórmula lógica a toda expresión formada por la aplicación de un número finito de conectivos proposicionales a variables proposicionales. Los conectivos se aplican de izquierda a derecha salvo que se indique otra cosa. Las variables proposicionales se denotan por letras mayúsculas: A,B,C... A toda fórmula lógica le corresponde una única función de verdad que asocia a cada combinación de valores de las variables el valor de verdad resultante en la fórmula Se representa mediante una tabla de verdad. Observación Una fórmula lógica resulta al sustituir en una proposición molécula cada proposición por una misma variable y una variable por una misma proposición. Si una fórmula lógica es siempre verdadera se llama tautología (T). Si siempre es falsa se llama contradicción (K) y si toma los dos valores de verdad se llama indeterminada. Si una fórmula lógica A es una tautología A es una contradicción y viceversa. Las tautologías que son fórmulas universalmente ciertas se llaman leyes de la lógica proposicional. De ellas se obtienen las reglas de inferencia que permitirán pasar de proposiciones verdaderas a otras propoposiciones verdaderas. 4
Proposición Toda fórmula lógica es lógicamente equivalente a otra en la que sólo aparecen los conectivos,,,. Demostración p q (p q) (q p) y que: p q ( p) q Proposición Sean A, B y C fórmulas lógicas. Se verifican las siguientes equivalencias lógicas:.) Doble negación: ( A) A 2.) Asociativa: A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C 3.) Conmutativa: A B B A A B B A 4.) Idempotencia: A A=A A A A 5.) De complemento: A ( A) K A ( A) T 6.) Elemento absorbente: A K K A T T 7.) Elemento neutro: A T A A K A 8.) Simplificativa: A (A B) A A (A B) A 9.) Distributiva: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C).) De Morgan: (A B) ( A) ( B) (A B) ( A) ( B) Demostración Es muy fácil, veamos cómo se hace por ejemplo.) y los demás igual. A B A B A B (A B) ( A) ( B) (A B) (( A) ( B)) Observación - La equivalencia lógica es una relación de equivalencia en el conjunto de las fórmulas lógicas. Si en el conjunto cociente respecto de se definen las operaciones,, por medio de los representantes se obtiene que dicho cociente forma con las operaciones un álgebra de Boole. - Las fórmulas lógicas pueden, salvo equivalencia, formarse sólo con los conectivos y. D. Reglas de inferencia Las tablas de verdad son útiles cuando el número de variables es pequeño pero cuando hay muchas no es conveniente. Ahora proponemos otro sistema. Se dice que q es una consecuencia tautológica de las proposiciones p,p 2,...,p n si (p p 2... p n ) q es una tautología. Se simboliza en una columna. También se dice que p,p 2,...,p n implican lógicamente q, que q se deriva o se deduce de las p i u otras expresiones análogas. Así, si p,p 2,...,p n son tautologías lo es q. Las reglas que permite derivar unas tautologías de otras se llaman reglas de inferencia. Existen infinitas reglas de inferencia ya que cualquier fórmula tautológica 5
condicional determinará una. Se han propuesto sistemas basados en cantidades reducidas de reglas que permiten derivar todas las leyes de la lógica proposicional. A continuación enunciamos las reglas de inferencias más importantes: Modus poniendo ponens (Regla de separación): Si tenemos A y A B tenemos B Modus tollendo tollens: Si tenemos A B y B tenemos A Modus tollendo ponens: Si tenemos A B y A tenemos B Transitividad del condicional o modus barbara: Si tenemos A B y B C tenemos A C Contraposición del condicional: A B es equivalente a ( B A) Simbólicamente se representa por: PP: A B TT: A B TP: A B TC: A B CC: A B A B A B C B A B A C B A Observaciones - Como un bicondicional equivale a un doble condicional, cada equivalencia lógica engendra reglas de inferencia. - De las definiciones de los conectivos se desprende que A B y A B son consecuencias tautológicas de B y que A B y A B lo son de A y B. D. La demostración Se llama demostración o prueba al proceso lógico que permite obtener de unas premisas una conclusión. Se parte de unas proposiciones que se llaman premisas y se busca llegar a otra proposición que se llama conclusión usando las reglas de inferencia. El paso lógico de las premisas a la conclusión es la deducción. La idea de la demostración consiste en que de premisas verdaderas sólo se pueden obtener conclusiones que sean verdaderas. Una demostración de la proposición p a partir de las proposiciones del conjunto de premisas S, es una secuencia finita de líneas cada una de las cuales está formada por una premisa o por una consecuencia tautológica de proposiciones de líneas anteriores y cuya última línea es la proposición p. El uso de las 2 reglas de sustitución siguientes facilita la deducción de la conclusión. Proposición Si en una tautología A se sustituyen sus proposiciones atómicas p,p 2,...,p n por otras proposiciones q,,q 2,...,q n, la proposición B resultante es una tautología. Demostración Cualesquiera que sean los valores de verdad que se asignen a las proposiciones atómicas de B resultarán unos valores de verdad para q,q 2,..,q n. El correspondiente valor lógico de B coincidirá con el que toma A cuando las proposiciones p,p 2,...,p n toman los valores de verdad obtenidos para q,q 2,...,q n como A es tautología, B también. Proposición 2 Si p q es una tautología y B resulta de A reemplazando una o más ocurrencia de p por ocurrencias de q, entonces A B es una tautología y B es una tautología si y sólo si lo es A. Demostración 6
Al tomar p y q los mismos valores de verdad, el valor de verdad de A no se altera al hacer la sustitución. La última parte es enunciar la equivalencia lógica de A y B. III. EJEMPLOS Y APLICACIONES AL RAZONAMIENTO Como la lógica proposicional es demasiado simple se recurre a la lógica de predicados para expresar formalmente cualquier razonamiento matemático. En el desarrollo de una teoría matemática no todas las proposiciones son demostrables. La progresiva reducción de unos enunciados a otros más simples conduce a resultados que no se derivan de otros. Son enunciados cuya veracidad se ha establecido en una teoría previa o se toma por convenio. Son los axiomas o postulados de la teoría y a ellos se recurre en las demostraciones. Los enunciados matemáticos se expresan normalmente en forma condicional: h t, negando e intercambiando antecedente y consecuente se deducen otros 3: teorema recíproco (t h), teorema contrario ( h t) y teorema contrarrecíproco ( t h). Si son ciertos un teorema y su recíproco, el bicondicional h t es cierto y se dice que el enunciado es una equivalencia. - Ejemplo: Teorema de Euclides: si un número m divide a un producto de dos factores a b y es primo con uno de ellos a, divide al otro factor b. m.c.d.(m,a)= m.c.d.(mb,ab)=b. Como m ab y m b m m.c.d.(mb,ab)=b Desde el punto de vista formal aparecen las siguiente proposiciones: p= m ab q= m es primo con a r= m m s= m mb u= m.c.d.(m,a)= v= m m.c.d.(mb,ab) w= m.c.d.(mb,ab)=b t= m b () p Hipótesis (2) q Hipótesis (3) r Conocimiento previo (4) r s Conocimiento previo (5) s Modus ponens (4) y (3) (6) q u Conocimiento previo (7) u Modus ponens (6) y (2) (8) u w Conocimiento previo (9) w Modus ponens (8) y (7) () p s Regla de unión () y (5) () (p s) v Conocimiento previo (2) v Modus ponenes () y () (3) v w Regla de unión (2) y (9) (4) (v w) t Conocimiento previo (5) t Modus ponens (4) y (3) A continuación analizamos algunos de los métodos usuales de demostración. Demostración directa: son aquellas demostraciones en las que la conclusión se deduce directamente de las premisas por aplicación de las reglas de inferencia, sin que se efectúen suposiciones sobre otras proposiciones. Demostración por implicación: son razonamientos en los que se realiza la demostración de una proposición condicional empleándose la regla de demostración condicional. Demostración por reducción al absurdo: para deducir la proposición p de un conjunto de axiomas S, a menudo, se realiza infiriendo a partir de la hipótesis de la negación p una cierta proposición q, cuya negación se deduce en seno de los 7
axiomas S. De las proposiciones ( p q) y q se sigue, en virtud de la regla de inferencia modus tollens, la veracidad de p y con ello la de p. Demostración por recurrencia: el razonamiento por recurrencia necesita para una formulación rigurosa de la lógica de predicados. Sin pretender desarrollar un cálculo de predicados. Veamos algunos conceptos: Dado un conjunto A se llama forma proposicional de una variable sobre A a toda expresión conteniendo una variable x, que se convierte en una proposición al darle a x valores de A. Se representan por p(x), q(x)... Si para cada a A la proposición p(a) es verdadera, se escribe: x A p(x) (para todo x perteneciente a A, p(x)). El símbolo que expresa la transformación de la forma proposicional en una proposición es el cuantificador universal. En un razonamiento por recurrencia, la proposición que se demuestra es de la forma n N p(n), es decir, la aplicación del cuantificador universal a una forma proposicional de una variable sobre el conjunto de los números naturales. La demostración se apoya en una propiedad especial de los números naturales que es el 5º axioma de Peano: si un subconjunto M de N contiene al = y siempre que contiene a un número también contiene a un sucesor, entonces M=N. En el razonamiento por recurrencia primero se demuestra p() y luego que n N p(n) p(n+). El 5º axioma de Peano asegura que M=N. La aplicación reiterada de modus ponens a la cadena de proposiciones p(), p() p(), p() p(2), etc. permite deducir p(), p(2), etc., luego, si fuera posible efectuar una infinidad de pasos, que para cualquier valor de n, p(n) es verdadera. La inducción completa garantiza la validez del proceso. CONCLUSIONES La lógica y las matemáticas han estado siempre muy relacionadas aunque han surgido diversas corrientes, que apoyándose en unas teorías u otras, siguen una determinada matemática. Esto es lo que veremos en el tema siguiente: las corrientes matemáticas. Pero lo que no cabe a la duda es que la relación existe y que las matemáticas pueden apoyarse con consistencia en la lógica para demostrar resultados. En este tema, lo que hemos visto sin profundizar y a groso modo es la lógica proposicional y los elementos que la componen. Además hemos introducido unas cuantas técnicas de demostración que se utilizan para el desarrollo de las matemáticas. BIBLIOGRAFÍA - Deaño, A.: Introducción a la lógica formal. - Mates, S.: Lógica matemática elemental - Valdes, J. Y Santos, J.J.: Matemáticas comunes C.O.U. 8