RADICACIÓN EN LOS REALES La raíz n ésima de un número real es otro número real tal que: n a b si y solo si b n Donde el signo se llama radical, n es el índice, a es el radicando y b es la raíz. En la radicación de números reales se cumple: Si el radicando es negativo y el índice del radical es impar, la raíz tiene signo negativo. Si el radicando es negativo y el índice del radical es par, la raíz no es un número real. Las raíces cuadradas, son dos: una negativa y otra positiva. Ejemplo La raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reduce la expresión dada.
Raíces y la potenciación Toda raíz de grado n puede ser expresada como una potencia de exponente fraccionario. Así, n m a Donde el índice de la raíz n es el denominador de la fracción y el exponente m del radicando es el numerador de la fracción Ejemplo. 5 5 2 4 6 6 2 4 a m n 16 2 1 16 2 2 5 7 7 5 2 2 4 5 x y (5 x y ) 4 1 5 2 x y 4 2 4 5 6 2 y x 2 x 5 y 6 4 En general, para hallar las raíces a potencias se divide los exponentes, estas raíces son exactas cuando las divisiones también son exactas 5 5 5 a 12 12 4 a b c 12 9 15 12 b 9 c 15 4 b c 5
Propiedades de las raíces 1. La raíz se puede distribuir respecto a un producto o una división Ejemplo. 2. Raíz de una raíz: se coloca una sola raíz y se multiplica los índices. Ejemplo
. Propiedad fundamental de las raíces: Si se multiplica al índice de la raíz y al exponente del radicando por un mismo valor se obtiene una raíz equivalente. Ejemplo. Se multiplicó el índice y el exponente del radicando por un mismo valor, en este caso por 2; las raíces son equivalentes. Observe que: Esta propiedad es útil en la multiplicación de raíces de distinto índice, pues permite encontrar raíces equivalentes, que sí tengan los mismos índices Otros ejemplos
Simplificación de raíces. Dado que para encontrar las raíces de una expresión algebraica basta dividir los exponentes del radicando con el índice de la raíz o encontrar el valor que multiplicado una cantidad n de veces me de cómo resultado el radicando, hay ocasiones en que dicha división no es posible realizarla o dicho valor no es un número entero. La simplificación de dichas raíces se puede hacer potencias y de raíces. Por ejemplo: No es una raíz exacta No es una raíz exacta. Las raíces anteriores se pueden simplificar en la siguiente forma: ayudándonos de las propiedades de las 1. Los números se deben expresar como el producto de factores primos, esto se hace realizando una descomposición. ( ) 2. Se hallan las raíces de cada factor usando las propiedad 1. En el segundo ejemplo ( ). Con la parte numérica se siguen los dos pasos anteriormente descritos, y con la parte literal: como los exponentes de las letras no son divisibles con el índice, estos se deben separar como el producto de dos potencias de igual base donde uno de los exponentes si sea divisible por el índice y el otro no. Se aplica la propiedad 1 y se hallan la raíces exactas, los que no tengan raíces exactas se dejan igual.
Ejemplos La suma de raíces La suma de raíces se realiza igual que la suma de términos semejantes. Se suman los coeficientes de las raíces y la parte radical se deja igual. Ejemplo Sumar:
Multiplicación de raíces Raíces con igual índice Cuando tienen el mismo índice se coloca el mismo radical y se multiplica los radicandos. Ejemplo Raíces con distinto índice Cuando las raíces tienen distinto índice se debe usar la Propiedad fundamental de las raíces: Para convertirlas en raíces con mínimo común índice y proceder como en el caso anterior.
Ejemplo. Multipliquemos Como tienen distinto índice se debe buscar el M.C.M de los índices. M.C.M (2,) = 6 por ser primos, el M.C.M es el producto entre los dos números. Se deben convertir las dos raíces a común índice = se usa la propiedad fundamental Multipliquemos Se halla el M.C.M de los índices. El M.C.M (2,4) = 4 = Multipliquemos Se halla el M.C.M de los índices. Así M.C.M (,4) = 12