3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA MATEMÁTICAS UNIDAD 8 FIGURAS PLANAS. CUERPOS GEOMÉTRICOS. a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Conceptos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 1
A/ PRESENTACIÓN La fascinante belleza de las formas naturales o construidas, se hace diáfana para la mente cuando se mira bajo la óptica de la geometría. Dios utilizó el dodecaedro en el diseño del Universo (Platón en su obra Timeo) Geometría es una palabra que viene del griego y que significa medición de la Tierra. Por extensión, la geometría estudia las longitudes, superficies y volúmenes de los cuerpos, así como las relaciones entre ellos. La Geometría es una actividad fundamental dentro del quehacer tanto del hombre antiguo, pues no en vano su estudio fue iniciado por los matemáticos griegos en el siglo VI a.c., como del hombre actual. Sus conocimientos formaban y forman parte de las ideas comunes a todos los sistemas educativos del mundo. Platón, filósofo griego del que quizás hayas oído hablar, hizo grabar en la entrada de la Academia donde daba clases, una frase que decía: Que nadie entre aquí sin saber Geometría. Tal era la importancia que se le daba al estudio de la Geometría que Euclides, sabio de la antigua Grecia y autor del libro Los Elementos (obra fundamental en el estudio de esta rama de las matemáticas), ante la pregunta de un alumno: - Qué sacaré con saber esto que acabas de explicar?, llamó a su sirviente y le dijo: - Dale tres monedas pues, según dice, todo le debe rendir beneficio. Según Kepler donde hay materia, hay geometría. La naturaleza, los edificios, las obras de arte y los utensilios que utiliza el hombre tienen siempre un fundamento geométrico y expresan la belleza de las rectas, curvas y superficies de que se componen estos cuerpos. Salir a la calle es encontrarse con la geometría en todas sus facetas. Por ejemplo, unas sencillas pirámides como las de Egipto, son motivo de admiración por todas las generaciones. 2 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
En esta unidad estudiaremos el triángulo, el más sencillo de los polígonos y al mismo tiempo el que acumula mayor número de propiedades, entre las cuáles está un teorema que impregna toda la Geometría, el teorema de Pitágoras, y de ahí pasaremos al estudio de las superficies y volúmenes de los cuerpos de la vida ordinaria, idealizados en las figuras y cuerpos geométricos. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 3
B/ EVALUACIÓN INICIAL 1. Calcula el área de las siguientes figuras: 2. Tenemos una caja con ocho quesitos dentro. El diámetro de la caja es de 10 cm. a)para abrir la caja hay un hilo que da la vuelta a la caja. Sin medirlo, sabes qué longitud tendrá? b) Qué área ocupará esa caja en el frigorífico? c) Podrías decir cuál es la medida del ángulo que se forma en el vértice de cada quesito? d) Qué área ocupa cada uno de los quesitos? e)si un estante de la nevera tiene de longitud 54 cm y su anchura es de 32 cm, cuántas cajas de quesitos podríamos colocar sobre él? 3. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos mide 6 y 8 cm. 4. Halla el área de un cuadrado si su diagonal mide2,5 m. 5. Averigua el área de un polígono regular de ocho lados si el lado mide 12 cm y la apotema 14,5 cm. 6. Indica con qué cuerpo geométrico asociamos los siguientes objetos: a) La caja de cereales del desayuno es un/a... b) El bote de conserva es un/a... c) El gorro de una fiesta infantil es un/a... d) El balón de fútbol es un/a... 4 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
7. Si la caja de cereales tiene de dimensiones 20, 7 y 30 cm, calcula: a) La cantidad de cartón necesaria para fabricarla. b) El volumen que tiene la caja. 8. El bote de conservas tiene un diámetro de 7 y una altura de 11 cm, y lleva pegado alrededor un papel con información del contenido. a) Si extendemos ese papel, cuál será su forma y su área? b) Cuál será el volumen del bote? c) Si tuviéramos un cono con el mismo diámetro y altura que el bote, cuál será su volumen? 9. Calcula la diagonal de la base y la diagonal del prisma que es la caja de cereales del ejercicio anterior. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 5
C/ CONCEPTOS 1.- Ángulos en el plano: tipos y condiciones de igualdad. 2.- Triángulos: rectas y puntos notables. 3.- Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. 4.- Áreas de polígonos y de figuras circulares. 5.- Poliedros regulares. 6.- Prismas y pirámides: elementos. 7.- Cuerpos redondos: elementos. 8.- Áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos. 6 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
D/ ACTIVIDADES Sistema de trabajo: individual. Recursos: libro de texto y consultores de aula. 1.Ángulos en el plano: tipos y condiciones de igualdad. Conviene que recuerdes las relaciones angulares y los nombres de los distintos ángulos que se obtienen al cortar dos rectas paralelas por otra recta. 1. Cuánto miden estos ángulos? Por qué? 2. Triángulos: rectas y puntos notables. RECUERDA: 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 2. Si dos ángulos suman 180º, se dice que son suplementarios. 3. Si dos ángulos suman 90º se dice que son complementarios. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 7
2. En un triángulo se conocen dos ángulos que miden 45º y 75º. Calcula cuanto mide el otro ángulo. 3. Calcula la suma de los ángulos de un polígono cualquiera. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO: 1. Las medianas son las rectas que unen cada vértice con el punto medio(m) del lado opuesto. Las 3 medianas se cortan en el baricentro (G) 2. Las mediatrices de los tres lados del triángulo se cortan en el circuncentro (O). Éste es el centro de la circunferencia circunscrita. 3. Las alturas son las rectas que unen cada vértice perpendicularmente con el lado opuesto. Las 3 alturas se cortan en el ortocentro (H) 4. Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en el incentro (I). Éste es el centro de la circunferencia inscrita. AG = 2 GM 4. Halla el valor de las letras en los siguientes triángulos: 5. http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/incentro/incentro.htm En esta página puedes comprobar cómo se calcula y se halla el incentro, de un modo sencillo e interactivo. 3. Teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras es uno de los más conocidos y utilizados en las matemáticas. Lo has estudiado en cursos anteriores. 8 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
RECUERDA: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c 2 2 2 a a b c b 5. Aplica el teorema de Pitágoras en los siguientes triángulos rectángulos para calcular el lado que falta: a) a= 5, b=3 b) b=32, c=24 RECUERDA: El teorema de Pitágoras SÓLO puede aplicarse en triángulos rectángulos. Cualquier otro triángulo podemos dividirlo en dos triángulos rectángulos con solo trazar una de sus alturas. 6. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 6 cm. 7. En un trapecio rectángulo, las bases miden 36 y 20 cm. El lado oblicuo mide 20 cm. Calcula la longitud de la altura. 8. En un triángulo isósceles el perímetro es de 18 cm y los lados iguales miden 5 cm. Calcula su área. 9. Calcula las medidas de un triángulo rectángulo isósceles cuya área es de 18 cm 2. 4. Áreas de polígonos y figuras circulares. Hemos estudiado el polígono más sencillo y a la vez el más importante: el triángulo. Vamos ahora a repasar ahora algunas cuestiones referidas a los otros polígonos y figuras planas circulares. 10. Qué es un polígono? 11. Indica si las siguientes figuras son polígonos o no, escribiendo SÍ o NO debajo de cada una. 12. Qué diferencia hay entre polígono regular y polígono irregular? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 9
13. Lee las páginas 230 y 231 de tu libro y elabora un esquema con las fórmulas más importantes. 14. Indica si los siguientes polígonos son regulares o no: 15. Qué es una diagonal? Cuántas diagonales tiene un pentágono? Y un hexágono? Y un heptágono? Puedes deducir una fórmula para obtener el nº de diagonales de cualquier polígono? Sabemos que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º. Para saber la suma de los ángulos interiores de un polígono, te sugerimos que traces todas las diagonales posibles desde un mismo vértice hasta que el polígono quede dividido en triángulos. 16. Cuánto suman los ángulos interiores de un rectángulo? Y de un pentágono? Y de un hexágono? Puedes deducir una fórmula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados? RECUERDA: n n 3 El número de diagonales de un polígono de n lados es: d n La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: S 180º n 2 En cursos anteriores has aprendido a calcular las áreas de distintas figuras planas poligonales y circulares sencillas. 17. Realiza los ejercicios de la página 231 de tu libro. 18. Realiza los ejercicios siguientes: 5. Poliedros regulares: Pág. 240: del 29 al 33. Pág. 241: 65, 66, 67 Las figuras estudiadas al principio de la unidad tenían dos dimensiones: alto y ancho, por eso son figuras planas. Añadamos otra dimensión: la profundidad. Todos los objetos de nuestro entorno tienen 3 dimensiones. De las figuras de tres dimensiones vamos a estudiar las más sencillas: los poliedros y de éstos los regulares. 10 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
19. Recuerda lo estudiado el curso pasado y responde: a) Qué es un poliedro? b) Qué es un poliedro regular? Cuántos son y cómo se llaman? c) Cómo se podría calcular la superficie o área total de un poliedro regular? RECUERDA: Poliedro viene del griego: poli (varias) y edro (caras) Poliedro regular es el poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales, de modo que en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los únicos poliedros regulares son: tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En los poliedros regulares también se cumple la relación de Euler: nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2 20. Completa esta tabla ayudándote del libro y de los consultores de aula Nombre Dibujo POLIEDROS REGULARES Forma de Nº de caras Nº vértices Nº aristas Área total la cara 21. Calcula el área de los siguientes poliedros regulares: a) Un tetraedro de 60 cm de arista. b) Un cubo de 15 cm de arista. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 11
6. Prismas y pirámides. Hay otros poliedros que no son regulares, es decir, no tienen todas sus caras iguales. Vamos a repasar dos: los prismas y las pirámides, pues ya los estudiaste el curso pasado. Y de ellos sólo los que son rectos. 22. Lee las pág. 233, punto 2.1 y 234 Pon los nombres de los elementos señalados en estas figuras. 23. Realiza los ejercicios 11, 13, 14, 15, 16 de la página 233 de tu libro. 7. Cuerpos redondos. Los tres cuerpos redondos más importantes son: el cilindro, el cono y la esfera. También se les llama cuerpos de revolución. 24. Sabrías decir por qué se les llama así? 25. Pon los nombres de los elementos señalados en estas figuras. Ayúdate de la teoría de las páginas 233 y 235. 26. Realiza el ejercicio 12 de la pág. 233 y los dela página 235. 12 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
8. Áreas y volúmenes de troncos y esfera. 27. Lee las págs. 236 y 237 de tu libro de texto y realiza los ejercicios de la página 237. RECUERDA: 28. Completa la siguiente tabla: Nombre Forma Área lateral Área total Volumen Prisma Pirámide Cilindro Cono Tronco de pirámide Tronco de cono Esfera 29. Para repasar y aplicar estas fórmulas, haz los ejercicios: Pág. 240: 36, 37, 38, 39, 40, 41. Pág. 242: 69, 70, 71, 72. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 13
E/ AUTOEVALUACIÓN Alumno/a...Grupo... 1. Indica si son verdaderas (V) o falsas (F), las siguientes afirmaciones: ( ) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º, pero sólo si el triángulo es rectángulo. ( ) Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. ( ) El nº de caras de un octaedro es 8, todas son triángulos isósceles. ( ) Al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados obtenemos un cilindro. 2. Calcula el nº de diagonales y cuánto mide cada ángulo interior en los siguientes polígonos regulares: a) Dodecágono b) Eneágono. 3. El área de un triángulo rectángulo isósceles es de 50 cm 2 Cuál es la longitud de sus catetos? 4. Calcula el área de la siguiente figura: 5. El área de una corona circular es 9,42cm 2. Si el radio mayor mide 2cm, cuánto mide el radio menor? 6. Un ortoedro tiene por dimensiones 8 cm de largo, 4 cm de ancho y 12 cm de alto. Calcula: a) La diagonal de la base. b) La diagonal del ortoedro. c) El área total. d) El volumen. 14 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
7. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular recto, de 10 cm de arista básica y 8 cm de arista lateral. 8. Calcula el área total y el volumen de un cono de 4 cm de generatriz y 4 cm de diámetro de la base. 9. Calcula el volumen de una esfera de área 2.826 cm 2. 10. Cuántos bloques de piedra se han utilizado para construir una pirámide egipcia cuadrangular de 40 m de arista básica y 100 m de arista lateral, sabiendo que cada bloque es un cubo de 50 cm de arista? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 15
F/ BIBLIOGRAFÍA - Consultores de aula. - Programas que trabajan la geometría: Cabriweb (Fase beta): www.cabri.net/cabrijava/index-f.html DrGeo: www.ofset.sourceforge.net/drgenius/ Rotate: www.silicon-alley.com/ Polyhedron: www.geocentral.net/polyhedron/ Poly: www.peda.com - Algunas soluciones para desarrollar la esfera: www.uco.es/ bbirofra/documentos/proyecciones/proyecciones.html 16 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
G/ REFUERZOS EDUCATIVOS Alumno/a...Grupo... Sistema de trabajo: individual, monitorías de carácter individual o grupal. Recursos: todos los utilizados en la unidad. 1. Repasa y estudia todos los RECUERDA que has encontrado en esta unidad. 2. Basándote en los contenidos propuestos al principio de la unidad y en lo estudiado antes, elabora un mapa conceptual (puedes ayudarte también con los que trae el libro) 3. Halla el valor de los ángulos señalados con letras. 4. En un decágono regular, a) Cuántas diagonales hay? b) Cuánto suman sus ángulos interiores? c) Cuánto vale cada ángulo? 5. Traza las circunferencias inscrita y circunscrita en el triángulo 6. Completa la tabla: Hipotenusa Cateto Cateto 12 5 15 5 10 6 14 1 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 17
7. Calcula el área de las figuras sombreadas. 8. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 6 cm y cada uno de los lados iguales, 5 cm. Halla la altura y el área del triángulo. 9. Calcula el lado y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 10 cm. 10. Cuál es el área de un jardín hexagonal regular cuyo lado mide 6 m? 11. Alrededor de un campo circular cuyo radio mide 10 m se construye un paseo de 3 m de ancho. Cuál es el área del paseo? 14. En un ortoedro de 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 6 cm. de alto, calcula la diagonal de la base y la del ortoedro. 15. Calcula el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Un cilindro de 2 cm de radio y 8 cm de generatriz. b) Una pirámide cuadrangular regular de 5 cm de arista básica y 7 cm de arista lateral. c) Un cono de 3 cm de radio y 9 cm de generatriz. d) Una esfera de 2cm de radio. 18 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8
H/ AMPLIACIONES Alumno/a...Grupo... Sistema de trabajo: individual. Recursos: Todos los utilizados en la unidad 1. Demuestra que la suma de los ángulos,, de la siguiente figura es igual a 180º 2. Calcula el área sombreada de la siguiente figura. 3. Halla el área y el volumen de un octaedro de 6 cm de arista. 4. Un cubo y una esfera tienen los dos la misma área, 216 cm 2 Cuál tiene mayor volumen? 5. Las galletas que fabrica una empresa tienen un diámetro de 6 cm y un grosor de 5 mm. Se venden en cajas con forma de ortoedro que contienen cuatro paquetes de 40 galletas cada uno. a) Qué volumen ocupa cada galleta? b) Si las galletas se empaquetan en paquetes de 40 envueltas en celofán. Qué cantidad de celofán se necesita para cada paquete? c) Cuáles serán las dimensiones aproximadas de cada caja de galletas? d) Cuál será el área del cartón necesario para fabricar la caja externa? e) Cuál será el volumen de cada caja? f) Cada caja está a su vez recubierta por celofán. Qué área de celofán se gasta en cada caja (incluyendo la parte exterior y la de las galletas? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8 19
6. La Tierra es una especie de esfera que gira. Los elementos que se estudian sobre la superficie esférica se pueden estudiar sobre la superficie terrestre. Busca los conceptos de estos términos y luego sitúa éstos en un dibujo. a) Meridiano y antimeridiano. b) Ecuador. c) Paralelo. d) Zona climática. e) Polo. f) Casquete. g) Longitud. h) Latitud. i) Coordenadas geográficas. j) Huso horario 7. Cuáles son las coordenadas geográficas de Madrid y Nueva York? Cuántas horas de diferencia hay entre ambas? 8. Instala el programa GeoGebra que viene con tu libro de texto y realiza los ejercicios de la página 247. 20 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 8