LA LY D COULOMB COMO CASO PATICULA D LA LY D GAUSS Una caga eléctica genea un campo eléctico cuyas líneas de fueza son adiales ue pemiten conclui ue el vecto de intensidad de campo eléctico ti hay desde la popia caga puntual. ene diección adial y su magnitud depende de la distancia ue n consecuencia paa los puntos a la misma distancia de la caga puntual coesponde una magnitud idéntica del vecto de intensidad de campo eléctico. stas dos condiciones ue cumple el vecto de intensidad de campo eléctico, aseguan ue el Campo de vectoes tiene simetía esféica. Se elige como supeficie Gaussiana una esfea de adio centada en el oigen, (posición de la caga puntual).
d S sobe la sfea Gaussiana, evidentemente tiene diección adial y po ello es La difeencial de supeficie paalela al vecto de Intensidad de Campo léctico, en todos los puntos de la Supeficie Gaussiana. s po ello ue se obtiene el esultado: d S d S cos ( ) ds n consecuencia, la Integal de Flujo sobe la supeficie Gaussiana en este caso cumple: esfea adio ds esfea adio ds ds esfea adio 4π Como la caga total enceada en la esfea Gaussiana es la caga de la caga puntual, el Teoema de Gauss pemite escibi: ue evidentemente conduce a: ds esfea adio ε 4π ε ε de donde despejando, se obtiene la magnitud del vecto de Intensidad de campo eléctico sobe la supeficie Gaussiana: La diección es evidentemente adial y su magnitud depende de la distancia desde la caga puntual. n consecuencia, el vecto de intensidad de campo eléctico es obtenido po el poducto de su magnitud multiplicada po el vecto unitaio en diección adial en coodenadas esféicas : ê e ˆ
p Si en el unto donde se desea conoce el vecto de intensidad de campo eléctico es dada su posición po el vecto entonces el Vecto de intensidad de campo eléctico es dado po: ue coincide con el valo vectoial obtenido en el análisis del campo de una caga puntual. Si en el punto de vecto de posición, se coloca una caga Q, entonces la fueza ue apaece sobe esa caga es dada po : F Q y en consecuencia, la fueza sobe la caga Q debida a la pesencia de es dada po: F Q ue no es ota cosa ue la ecuación vectoial de la Ley de Coulomb. De manea fomal podemos deci ue la Ley de Coulomb se obtuvo a pati de la Ley de Gauss consideando el tatamiento de una estuctua física dada po una caga puntual única en el espacio. Debido a esta óptica, podemos deci ue la Ley de Coulomb pasa a se un Caso muy paticula de la aplicación de la Ley de Gauss. CAMPO ALDDO D UNA CAGA "" DPOSITADA N UN CONDUCTO SFICO MACIZO ecodamos ue en un conducto, la caga se almacena en su supeficie extena, (ecodamos el expeimento de la Jaula de Faaday). Po tal motivo, en el inteio de ese conducto, aun cuando es macizo, no hay cagas elécticas depositadas. La caga se distibuye unifomemente en la supeficie de ese conducto, po la siguientes azones: Al se el conducto esféico, no hay una diección pefeencial sobe la cual se vayan epelidas ente sí las patículas potadoas de caga cuantizada. Po ello no hay egión pefeente paa ue se depositen.
n consecuencia, el conducto pasa a convetise en una distibución unifome de caga eléctica estática, poue los movimientos de los potadoes se detienen cuando ellos llegan a la supeficie y alcanzan una situación de euilibio estático, ue sólo se puede consegui cuando ellas se distibuyen unifomemente sobe la supeficie de la esfea, uedando finalmente como se muesta en la siguiente Figua: d S contiene exactamente la misma caga de magnitud Po lo tanto, cada elemento difeencial de supeficie d, la cual es dada po σ ds, donde σ es la densidad supeficial de caga ue evidentemente es unifome y de valo constante sobe toda la supeficie de la esfea metálica. Cada elemento de supeficie tiene su simético especto a cualuie eje ue pase po el cento de la esfea metálica, po ejemplo, podíamos toma como eje de simetía al eje de las Y.
n la figua se obsevan dos elementos colocados siméticamente especto a ese eje, además po comodidad peo sin pédida de genealidad, podemos supone ue se busca el campo eléctico en un punto P sobe ese mismo eje. Desde luego se supone ue el cento de la esfea metálica coincide con el oigen del sistema coodenado, el elemento de caga d y su simético d', genean espectivamente los peueños campos d y d d cos( θ ) ue al sumase vectoialmente dan un vecto cuya magnitud tiene el valo, al sumase (integase) las contibuciones de elementos de caga sobe la "cinta" de integación ue epesentamos en la figua, es evidente ue el esultado es un vecto paalelo al eje de las Y, finalmente, si se suman todas las "cintas" sobe la esfea, se obtendá en el punto P un vecto también paalelo al eje de las Y. Intuitivamente sin necesidad de intega nuevamente, la magnitud total del vecto de campo eléctico, en el Punto P sólo dependeá de la distancia ente el oigen y el punto P y de la caga depositada en la esfea. Aún cuando cambiemos del punto P al punto P' en diección distinta al eje de las Y, peo consevando la distancia ente el oigen y P, paa convetise en la distancia ente el oigen y el punto P', la nueva integación tendá el mismo valo, esto se puede evidencia con sólo ota el eje Y de manea adecuada, de tal manea ue la línea uniendo el oigen y el punto P' coincida con el eje de las Y. A pati de este agumento, es evidente ue el campo vectoial del vecto de intensidad de campo eléctico, tiene simetía esféica poue es adial y constante sobe puntos ue euidistan del oigen de coodenadas. sto pemite elegi como supeficie gaussiana, a una esfea centada en el cento de la esfea metálica. Nos esta calcula el Vecto de Intensidad de Campo léctico en todos puntos dento, fuea y sobe la supeficie de la esfea metálica, paa tene todo el campo vectoial ue buscamos.
sto povoca ue nuesta supeficie gaussiana tenga adio meno ue el de la esfea, igual a este o supeio a su adio. La siguiente Figua pesenta un cote de las esfeas con el plano X-Y: Analicemos pimeo el caso en ue la esfea gaussiana tiene un adio mayo al de la esfea metálica, es deci cuando el adio "" de la esfea gaussiana y el de la esfea metálica complen la elación: > n este caso los vectoes de campo eléctico y de difeencial de supeficie se compotan como se epesenta en la siguiente figua: y ds son paalelos
y po ello su poducto escala cumple: ds ds cos ( ) ds Po ello la integal de flujo sobe la supeficie gaussiana elegida, con adio "", es dada po: ds ds ds esfea adio esfea adio esfea adio 4 π como la caga ue se depositó en la esfea metálica es "" y ésta se encuenta totalmente dento de la esfea gaussiana, y usando el Teoema de Gauss, podemos escibi la siguiente ecuación: 4π ε de donde despejando, tenemos la magnitud del Vecto de Intensidad de Campo eléctico a una distancia mayo ue el adio de la esfea metálica: y como el campo es adial, entonces se puede escibi: ue es la expesión simila a la de un campo eléctico debido a una caga puntual centada en el oigen del sistema de coodenadas. n consecuencia, podemos asegua ue: Una sfea metálica unifomemente cagada, poduce un campo eléctico en el exteio de ella, euivalente a una caga puntual en la ue se concenta la caga de la esfea metálica y la cual se encuenta en el cento del sistema coodenado ue coincide con el cento de la esfea metálica. ste esultado justifica ue el manejo de esfeas metálicas cagadas paa cea distibuciones discetas de cagas elécticas, es completamente euivalente al manejo de cagas puntuales paa cea esas distibuciones, con la salvedad de ue el campo se calcula en egiones exteioes a esas esfeas. n consecuencia, este esultado valida deci ue los expeimentos ealizados con esfeas metálicas (expeimentos eales), coinciden pefectamente con expeimentos en los cuales se desea tabaja con cagas puntuales ( expeimentos ideales). Po ejemplo, el expeimento de la Balanza de Tosión ue se usa paa deduci la ley de Coulomb, es aceptable, debido a ue en luga de usa cagas puntuales, utiliza esfeas metálicas cagadas, y el anteio esultado le dá completa validez.
Si ahoa, la supeficie Gaussiana esféica tiene adio idéntico al de la esfea metálica,, es evidente ue la integal de flujo sobe esta nueva supeficie gaussiana tiene el mismo valo ue el ecalculado anteiomente, ya ue el tamaño del adio no es impotante, sino sólo ue se tata de una esfea. Po ello se tiene: ds 4π esfea adio ahoa debe considease cual es la caga neta enceada po la supeficie gaussiana: esa caga es exactamente ya ue esa caga se encuenta en la supeficie de la esfea metálica y po ello está contenida po la esfea de integación, po ello de nueva cuenta, tenemos: y de nueva cuenta, el Vecto de Intensidad de Campo léctico es dado po: Y entonces, podemos asegua ue el campo eléctico alededo y en la supeficie, de una esfea metálica cagada estáticamente, es idéntico al oiginado po una caga puntual euivalente colocada en el cento de la esfea metálica y con una caga idéntica a auélla con la ue se cagó a la esfea metálica. Finalmente, si la esfea gaussiana es elegida como una esfea cuyo adio es infeio al adio de la esfea cagada, es deci, si <, entonces el campo ue se calculaá es el campo de puntos inteioes de la esfea metálica cagada. n este caso, la integal de flujo es evidentemente idéntica, y po ello: ds 4π esfea adio peo ahoa, la caga neta enceada tiene valo ceo, poue la caga se deposita en la supeficie de la esfea metálica, y po ello entonces la integal se iguala a ceo poue la caga neta enceada, como ya mencionames es nula, y entonces: ds 4π esfea adio ε Dada la ecuación anteio, se puede conclui inmediatamente ue el valo del campo es ceo, es deci, en el inteio de una esfea metálica cagada es nulo, es deci: paa todos los puntos dento de la esfea metálica.
CAMPO ALDDO D UNA CAGA "" DPOSITADA UNIFOMMNT N UN DILCTICO SFICO MACIZO n el caso de un mateial dieléctico, la caga no se desplaza como en el caso de un conducto, en este caso, la caga se deposita en todo el cuepo del mateial, po esa azón paa el análisis de este caso, imponemos estictamente ue la distibución de la caga eléctica es unifome, es deci los potadoes se distibuyen unifomemente en todo el cuepo del dieléctico, aún siendo una situación ideal, esulta inteesante analiza este caso. n este caso, la distibución de caga es volumética, en consecuencia la caga depositada en un elemento de volumen dv, es dada po : d ρ dv. Cada elemento de volumen dento de la esfea tiene su simético especto al eje de las Y cuando la esfea está centada en el oigen. Si el punto donde se desea conoce el campo está colocado sobe el eje de las Y, como se muesta en la figua, se tiene ue todo elemento dv tiene su simético especto al eje de las Y dado po el elemento dv', ambos elementos contienen las cagas iguales en magnitud, d y d' espectivamente, esos elementos de caga genean los campos elécticos difeenciales d d y d' ue al sumase dan un vecto en diección del eje de las Y y cuya magnitud es cos( θ ) donde el ángulo θ es el ángulo ue foma cada uno de los d y d' vectoes con el eje de las Y. Como los elementos d y d' están colocados siméticamen te al eje de las Y, es facil deduci ue su distancia al punto P es la misma. n consecuencia, los vectoes ángulo de inclinación especto al eje de las Y. d y d' tienen la misma magnitud y mismo
s po ello ue la magnitud del vecto esultante de la suma de los vectoes esultado d cos( θ ) d y d' tiene el así, se puede intega sobe una "dona" obtenida po efectua una evolución alededo del eje de las Y con cualuiea de los elementos dv o dv', como se obseva en la figua siguiente: a pati de esa integación se encuenta ue la suma esulta en un vecto paalelo al eje de las Y. Ahoa si se efectúa la segunda integación de las "donas" sobe la egión compendida ente los cículos de adio y +d, nos encontamos ue se obtendá como suma un vecto ue es paalelo al eje de las Y, esto indica ue el campo vectoial es adial en el punto P. Si se cambiaa del punto P a oto P', el campo seguia siendo adial, y si la distancia de P' al oigen, es idéntica a la ue hay ente P y el mismo oigen, entonces se encuenta ue los vectoes de campo en esos puntos tienen la misma magnitud. No ealizamos la integación, peo po las condiciones ue pesenta el poblema, es seguo ue se obtenga como esultado la conclusión anteio. Así, podemos deci ue el Campo léctico alededo de nuesta esfea dieléctica, tiene simetía esféica, y en consecuencia, la supeficie gaussiana po elegi, seá una esfea centada en el cento de nuesta esfea dieléctica cagada unifomemente. n este caso, como en el anteio, elegiemos esfeas gaussianas centadas en la esfea dieléctica con adios meno, igual y mayo al adio de la esfea dieléctica, paa tene el campo entodos los puntos del espacio. l cálculo de la Integal de Flujo sobe esas esfeas Gaussianas es el mismo ue en el caso anteio, po esa azón, cuando la supeficie Gaussiana tiene adio "", la integal de flujo tendá el valo:
ds 4π esfea adio y esta integal seá la misma cualuiea ue sea el valo de "", sólo esta enconta en cada caso, cual es el valo de la caga total enceada po la supeficie gaussiana. Dento de la esfea dieléctica, <, y la caga ue enciea la esfea gaussiana no es toda la caga de la esfea dieléctica, paa calculala pocedemos de la manea siguiente: - pimeo calculamos el valo de la densidad volumética de caga ρ. - después integamos la expesión d ρ dv sobe la esfea gaussiana. - finalmente aplicamos el Teoema de Gauss. Paa calcula la densidad volumética de caga es necesaio toma en cuenta ue es unifome, po ello la densidad media sobe la esfea coincidiá con la densidad en cada punto del volumen del dieléctico. La densidad media se calcula dividiendo la caga "" depositada en la esfea dieléctica po el volumen "V" de esa esfea. l volumen de la esfea es dado po: 4 V π
en consecuencia, la densidad volumética de caga tiene el valo: ρ 4π Calculemos la caga enceada en la esfea gaussiana de adio < : Paa ello debemos intega la expesión d ρ dv sobe la esfea gaussiana. sa integal es la siguiente: Q ρ dv ρ dv sobe volumen de esfea adio sobe volumen de esfea adio 4 ρ π se ha utilizado el hecho de ue ρ es constante sobe toda la esfea dieléctica y po ello en todo el volumen de la esfea gaussiana elegida. Peo como entonces se tiene: ρ 4π Q este esultado pudo habese obtenido a pati de una egla de tes simple: La caga se deposita sobe el volumen de la esfea dieléctica mientas ue la caga Q se deposita sobe el volumen de la esfea gaussiana, lo ue en foma de egla de tes simple es dada po: 4 π Q 4 π Popoción ue al esolvese paa Q dá evidentemente el esultado: Q ue coincide totalmente con el cálculo ya efectuado.
Apliuemos ahoa el Teoema de Gauss: ds 4 esfea adio A pati de esa ecuación, esolviendo paa, tenemos: Q π ε ε 4 πε ue nos señala ue la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico dento de la esfea dieléctica vaía linealmente en función a la distancia desde el cento de la esfea, su valo inicial siendo, ya ue en el cento de la esfea dieléctica,. Mientas ue el valo máximo se encuenta cuando coincide con, el adio de la esfea dieléctica, y en ese momento, el campo eléctico tiene la magnitud: 4 πε ue vuelve a coincidi con el valo ue tendía el campo si se concentaa toda la caga de la esfea dieléctica en el cento de ella en foma de caga puntual. Paa calcula el campo en puntos extenos a la esfea dieléctica, el adio de la esfea gaussiana es tomado como mayo al adio de la esfea cagada, es deci: f en este caso, la integal de flujo es idéntica a la anteio, lo ue cambia es la caga total enceada ue evidentemente es toda la caga de la esfea dieléctica, es deci es la caga "". Po ello obtenemos al aplica el Teoema de Gauss: de donde despejando tenemos: esfea adio 4 ds π ε esultado ue nos obliga a pensa ue el compotamiento de la esfea dieléctica es el mismo ue se obtendia al considea ue la caga de la esfea dieléctica se concenta en una caga puntual colocada en el cento de la misma, paa todos los puntos colocados en la supeficie de la esfea dieléctica o fuea de ella.
Si ecodamos los expeimentos con electoscopios fundamentales, se veá ue los expeimentos de segunda enseñanza con pelotitas de sauco, en los ue se tataba de obtene conclusiones sobe el compotamiento de las cagas elécticas puntuales, los esultados obtenidos en esos expeimentos pueden considease válidos, gacias a las conclusiones ue venimos de obtene al estudia la distibución de esfea dieléctica estáticamente cagada. n la figua anteio, se obseva la vaiación () de la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico con la distancia al cento de la esfea dieléctica. n ese gáfico se evidencía ue el valo máximo de la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico es max 4 π ε l campo cece a pati del valo ceo en foma lineal, después decae asintóticamente a ceo confome la distancia tiende a infinito. n la pate lineal la vaiación funcional es: ( ) y coincide con el valo maximal cuando. Seía inteesante obtene el pefil funcional del potencial eléctico en todos los puntos del espacio en ue se encuenta la esfea dieléctica: Paa ello debemos escibi el campo vectoial en coodenadas esféicas: ( ) ê
asimismo, debemos tanscibi el gadiente del potencial en coodenadas esféicas: V V eˆ + sin ( θ ) V ϕ eˆ + ϕ V θ eˆ θ dada la estuctua matemática del campo vectoial de vecto de intensidad de campo eléctico, tenemos las siguientes ecuaciones: V sin( θ ) V ϕ ; V ; θ esolviendo esas ecuaciones difeenciales, podemos conoce la estuctua matemática de la función Potencial léctico. A pati de la segunda y tecea ecuaciones, es clao ue la función potencial no depende de las coodenadas esféicas ni φ ni θ en consecuencia, V sólo depende de la coodenada "". La pimea de esas ecuaciones plantea una ecuación difeencial odinaia lineal de coeficientes constantes y no homogénea y de pime oden, cuya foma geneal tiene la foma: cuya solución geneal tiene la foma: df dx + a f b(x) f ax x) e b( x) e ax dx+ c e ax (. De tal manea ue en nuesta ecuación el coeficiente constante a cumple: a y entonces la solución geneal toma la foma: b( x) f ( x) dx+ de tal manea ue nuesta ecuación difeencial tiene la solución: c V ( x) d + C ue al esolve la integal nos da:
V ( x) ( ) + C como una ecuación difeencial sola no es un poblema completo, y se necesita una condición inicial cuando ella es de pime oden, el poblema ueda completado con la condición: si entonces V ( ) al substitui esta condicion en la solución geneal tenemos: V ( ) ( ) + C ue esulta en una ecuación algebaica lineal de pime gado en C, la cual despejándola da: C ( ) po lo ue la solución ue se acopla a la condición inicial es: V ( ) + 4 πε función ue nos da el potencial eléctico en el inteio de la esfea dieléctica cagada. n el cento de la esfea, el adio vale ceo, y po ello, el potencial es: V () ue es igual a.5 veces el valo del potencial en la supeficie de la esfea dieléctica, donde el potencial es igual a : V ( ) Po lo ue especta paa los puntos fuea de la esfea dieléctica, el campo eléctico es simila al campo eléctico geneado po una caga puntual colocada en el cento de la esfea dieléctica, es deci tiene la estuctua matemática: de ahí ue el potencial eléctico es simila al potencial povocado po una caga puntual, es deci:
V ( ) de tal manea ue el pefil funcional del potencial eléctico paa una esfea dieléctica unifomemente cagada tiene la foma: el potencial en el oigen es.5 veces mayo ue el valo ue tiene el potencial en la supeficie de la esfea dieléctica, este último valo es la odenada del punto donde la gáfica cambia de paabólica en hipebólica. Cuando la distancia desde el cento de la esfea dieléctica al punto donde se mide el potencial aumenta, el potencial decae asintóticamente a ceo en el infinito. Paa obtene una compaación inteesante, podíamos calcula el potencial en el caso de una esfea metálica cagada: n ese caso, el campo eléctico vaía po medio de las elaciones funcionales siguientes: si < ( ) si si < Po medio de la elación fundamental ente potencial y vecto de intensidad de campo eléctico, es deci
V podemos enconta el potencial eléctico en todos los puntos dento y fuea de la esfea metálica cagada. Dento de la esfea metálica, el campo eléctico encontamos ue es ceo, es deci de tal manea ue de donde se obtiene ue V V V V x y z de donde se obtiene ue V no depende ni de x, ni de y, ni de z, po lo ue simplemente es una constante, es deci se cumple ue dento de la esfea conductoa V constante ntonces tenemos una conclusión muy impotante ue se cumple paa todos los conductoes cagados: " Paa todos los puntos dento de un conducto cagado, el vecto de intensidad de campo eléctico es nulo y el potencial eléctico es constante" Fuea y sobe la supeficie de la esfea conductoa, el vecto de intensidad de campo eléctico coincide con el campo geneado po una caga puntual colocada en el cento de la esfea conductoa, po ello el potencial eléctico en esos puntos, cumple ue es idéntico al potencial geneado po la caga puntual antes mencionada, en consecuencia el potencial eléctico es tal ue: V ( ) Po ello, la función de potencial eléctico es dada po: paa V ( ) paa > l pime valo de la función escalonada definida anteiomente, es obtenido fácilmente si se considea ue el potencial eléctico debe se una función contínua, y po ello debe coincidi con el potencial en la supeficie de la esfea conductoa, donde ya dijimos ue es igual al potencial debido a una caga puntual a una distancia igual al adio de la esfea conductoa. n vitud de ello, el valo del potencial dento y en la supeficie de una esfea conductoa cagada estáticamente es igual a: V ( ) 4 πε
Po lo anteio se dice ue la esfea conductoa "se eleva" al potencial en su supeficie, y el valo de ese potencial es V ( ). De tal foma ue el pefil de la gáfica de la función de potencial eléctico alededo de una esfea metálica cagada unifomemente, es dado po: l potencial eléctico dento de la esfea es constante y desciende asintóticamente a ceo confome la distancia tiende a infinito. s inteesante analiza el campo eléctico en la supeficie de una esfea metálica cagada, en ese caso, el campo eléctico tiene el valo: cuya magnitud es dada po como la supeficie de la esfea vale vecto tenemos: S, sustituyendo ese valo en la expesión de la magnitud del 4π Sε
peo el cociente es la densidad supeficial de caga eléctica σ, po ellos se tiene ue el vecto de S intensidad de campo eléctico es dado po: σ ε esultado muy inteesante ue se identifica con el valo de la magnitud de vecto de intensidad de campo eléctico muy ceca de la supeficie de un conducto cagado: ya ue es dado po el cociente de la densidad de caga supeficial dividido po la pemitividad en el vacío. esultado ue pobaemos más adelante paa cualuie conducto y cualuie densidad de caga supeficial. UNA DISTIBUCIÓN SPCIAL D SFAS CONDUCTOAS CONCNTICAS CON CAGA LCTICA La Figua siguiente pesenta gáficamente dos esfeas metálicas concénticas, la exteio es un cascaón esféico con adio inteio y adio exteio, mientas ue el adio de la esfea maciza inteio es. La caga eléctica ue se distibuye en la esfea inteio es Q. Busuemos ahoa el campo eléctico en todos los puntos de la distibución, es deci, dento de la esfea inteio, en su supeficie, en el espacio compendido ente la esfea inteio y el cascaón, dento del metal del cascaón y finalmente en la supeficie extena del cascaón y los puntos exteioes al aeglo.
l aeglo anteio pesenta evidentemente una simetía esféica, po ello las supeficies gaussianas paa estudio de este poblema, son esfeas centadas en el cento común del aeglo. Como lo hemos calculado en los aeglos ya estudiados, la integal de flujo sobe las esfeas gaussianas ue utilizaemos, cumple: esfea adio 4π ds donde la caga "" es la caga neta enceada po la supeficie gaussiana, y ella tiene adio. ε Po pincipio de cuentas, analizaemos los puntos intenos a la esfea maciza, obsevamos en la figua si guiente ue la esfea gaussiana elegida tiene adio <. Dento de esa esfea gaussiana, no existe caga poue la esfea es conductoa y toda la caga se va hacia la supeficie de la misma, en vitud de lo cual la caga neta enceada "" es nula, en consecuencia el teoema de Gauss nos da: ds esfea adio 4 π ε de donde despejando la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico nos da: s deci, el vecto de intensidad de campo eléctico en el inteio de la esfea maciza es ceo.
Analicemos ué pasa sobe la supeficie de la esfea maciza: n este caso, el adio "" de la esfea gaussiana y el adio de la esfea metálica maciza son idénticos, po ello la ca ga total enceada po la supeficie gaussiana es pecisamente "Q", en consecuencia, a pati del Teoema de Gauss, tenemos: esfea adio 4 Q ds π ε y despejando la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico tenemos: Q de tal manea ue el vecto de intensidad de campo eléctico es tal ue: Q e ˆ sin gan dificultad, es evidente ue paa los puntos colocados fuea de la esfea maciza peo ente ella y la supeficie intena del cascaón, ue el campo tiene la misma estuctua algebaica, ya ue la integal de flujo es igual en valo, y la caga total enceada en este caso es también "Q", po ello podemos asegua ue el vecto de intensidad de campo eléctico es: e ˆ
Ahoa nos inteesa ué sucede con la pate intena del metal ue confoma el cascaón de esfea, es deci cuando el adio de la supeficie gaussiana se encuenta con un valo tal ue: < < la figua siguiente nos muesta la situación: n este caso, debe cumplise ue el vecto de intensidad de campo eléctico en el inteio del metal ue compone el cascaón esféico debe tene un valo idéntico a ceo, poue ya concluimos anteiomente ue en un metal cagado estáticamente, el vecto de intensidad de campo eléctico es nulo. sto significa ue la caga neta enceada po la esfea gaussiana cuyo adio está compendido ente y debe tene un valo neto nulo paa ue el Teoema de Gauss dado po esfea adio 4 ds π ε se cumpla, oiginando la obligación de ue el vecto de intensidad de campo eléctico sea nulo, es deci, si entonces, de la ecuación nos pemite asegua ue es nulo si y solo si 4π ε
. Paa ue esto suceda, es necesaio ue la caga neta enceada po la supeficie Gaussiana sea nula, y esto sólo sucede si existe junto con la caga de la esfea maciza metálica, una caga idéntica de signo contaio. sto significa ue si la caga de la esfea maciza inteio es positiva y de valo +Q, entonces la caga ue coexiste con ella en el inteio de la supeficie gaussiana ue estamos estudiando, es -Q. cie cumple ue el vecto de intensidad de campo eléctico es ceo, entonces el valo límite paa ue esto pase, es Como paa cualuiea ue sea el valo del adio de la supefi gaussiana ue nos ocupa, < < se ue ese adio sea infinitesimalmente mayo a. N o obstante, cuando, se tiene ue debe existi continuidad con el campo ue hay en el espaci compendido ente la supeficie de la esfea maciza y el adio inteio del cascaón de la esfea ( ). Lo anteio significa ue en la supefice inteio del cascaón de la esfea, el campo debe obligadamente vale Analicemos con más cuidado esta situación: ( ) Q eˆ o n las figuas anteioes planteamos un atificio paa aplica el Teoema de Gauss a nuesto poblema, y es el atificio ue nombaemos como "la cajita de píldoas", en ella suponemos ue la supeficie gaussiana paa analiza el campo en las cecanías de la supeficie inteio del cascaón conducto, es una peueña supeficie cilíndica cuyas tapas ciculaes se colocan de tal manea ue, una se encuenta sumegida en el cuepo metálico del cascaón y la ota fuea de él peo hacia dento del cascaón. Supondemos ue ese cilíndo es muy peueño, de tal manea ue el áea de sus tapas edondas podemos denominalas S. Denominemos po h la altua del cilíndo, deseamos sea consideada como muy peueñita, de tal manea ue el campo eléctico en la tapa del lado del espacio ente la esfea maciza y el cascaón, sea el campo de puntos muy cecanos a la supeficie intena del cascaón.
epesente d S el elemento difeencial de supeficie en ambas tapas de la cajita de píldoas. n la figua anteio obsevamos ue el vecto de intensidad de campo eléctico existe en el espacio compendido ente la esfea maciza y el cascaón, peo dento del cuepo del cascaón ese vecto de intensidad de campo eléctico es nulo po tal azón sobe la tapa ue se encuenta inmesa en el cascaón no hay campo eléctico y es nulo. De lo anteio, el poducto escala ds sobe la tapa dento del cuepo del cascaón. Sobe la ota tapa, el vecto de intensidad de campo eléctico d S tiene misma diección peo sentido contaio al vecto en consecuencia su poducto escala es negativo y dado po: ds ds. Dento de la cajita de píldoas, hemos señalado oto cículo de igual áea a las tapas, en él está depositada una caga eléctica ue puede decise es la esponsable de la apaición del vecto de intensidad de campo eléctico en la tapa con campo eléctico. n la pate "edonda" del cilindo, (la compendida ente las tapas del mismo), tiene dos egiones, una con campo eléctico (la ue está dento del espacio esfea maciza - cascaón) y ota sin campo eléctico (la compendida dento del cuepo del cascaón). n la Figua siguiente claificamos la situación:
A pati de la última Figua, podemos conclui ue la integal de Flujo debe evaluase en una supefice ue se descompone en 4 pates: - La tapa dento del cascaón (S ). - La tapa en el espacio ente esfea maciza y cascaón (S ). - La pate edonda del cilindo dento del cascaón (S ). - La pate edonda del cilindo dento del espacio esfea maciza - cascaón (S 4 ). Po lo tanto, la integal de flujo se calcula desaollando: ds ds + caja de pildoas calculemos cada una de esas integales: Sobe la supeficie S, los vectoes tiene el valo: ds + ds + S S S S4 y ds ds ds cos(8 ) ds foman un ángulo de 8, po ello el poducto escala ds con el valo de la magnitud de constante sobe la tapa de la cajita de píldoas, poue ella tiene un áea muy peueña y los vectoes de campo no vaían significativamente, y puede considease ue ese vecto es constante, en consecuencia la integal tiene el valo: ds ds S ya ue el áea de la supeficie S es pecisamente Paa la supeficie S, el vecto S S S. es nulo, po ello la integal cumple ue: ds ds S S S n la supeficie S, l campo eléctico también es nulo, en consecuencia la integal tiene el mismo valo ue la anteio: ds S S ds cos(9 ) ()
Tenemos ue paa la supeficie S 4, el ángulo ente los vectoes es de 9, po ello el coseno vale ceo y en consecuencia el poducto escala de los vectoes de intensidad de campo eléctico y el de difeencial de supeficie es nulo, así ue al integalo, la integal esulta nula: ds S 4 S4 ds cos(9 ) S4 ds concluimos ue tes de esas integales se anulan, es deci se anulan las integales sobe las supeficies S, S y S 4. Po ello la integal de flujo tiene el valo total: ds ds + + + caja de pildoas S La caga enceada po la cajita de píldoas es dada po σ S de tal manea ue tenemos po usa el Teoema de Gauss, la elación siguiente: S S σ S ε ε a pati de esta elación, eliminando S, tenemos: σ ε Po oto lado, a la distancia, el campo eléctico debe tene la magnitud: Q de donde obtenemos la identidad: Q σ ε al despeja la densidad de caga supeficial σ, se obtiene:
Q σ 4π elación ue nos indica ue: la distibución de cagas sobe la supeficie inteio del cascaón hay depositada una caga negativa! Además, 4π es el áea de la supeficie inteio del cascaón esféico metálico, y la caga Q es exactamente la magnitud de la caga depositada en la esfea maciza del cento del aeglo. A pati de este esultado concluimos ue la caga distibuida en la supeficie intena es de magnitud Q, peo negativa, es deci de signo contaio a la caga Q depositada en la esfea maciza cental del aeglo. La figua esuematiza cómo la caga intena del cascaón exteio es depositada, en su supeficie y con la misma magnitud de caga, peo de signo contaio a la depositada en la esfea maciza. l pincipio de consevación de la caga eléctica, impone ahoa una condición impotante: l cascaón esféico no estaba cagado oiginalmente, sólo se caga bajo la influencia de la esfea metálica intena maciza, es po ello ue debe continua neuto duante todo el poceso, eso obliga a pensa ue la supeficie extena del conducto se electice de tal manea ue aduiee la caga +Q, es deci, la supeficie extena del conducto ueda cagada con caga opuesta a la ue aduiee la supeficie intena del cascaón, po ello, la supeficie extena del cascaón aduiee una densidad supeficial de caga de valo: σ Q 4π
Final mente, sin necesidad de ealiza cálculo alguno, es evidente ue paa el exteio del cascaón, el campo eléctico es tal ue, su compotamiento es el mismo como si la caga +Q se depositaa en el cento de la esfea macisa en una caga puntual. n consecuencia, el Vecto de intensidad de campo eléctico tiene simetía adial, y se compota como el campo geneado po una caga puntual con una magnitud ue se compota funcionalmente po: paa < Q paa < ( ) paa < < Q paa De tal manea ue podemos asegua ue el cascaón metálico sive paa cea una zona de discontinuidad del vecto de intensidad de campo eléctico en la cual su valo se anula. Sin embago, el campo eléctico se compota en la zona compendida ente la supeficie de la esfea maciza y la supeficie inteio del cascaón como si sólo existiea una caga puntual de valo Q en el cento de la esfea maciza, y fuea de la supeficie exteio del cascaón, se tiene el mismo compotamiento. Sólo en el cuepo de la esfea maciza y del cuepo inteno del cascaón, el vecto de intensidad de campo eléctico es nulo. La figua siguiente esuematiza la gáfica de compotamiento de la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico: