Cálculo de Losas que trabajan en dos direcciones. Cálculo de los esfuerzos El esfuerzo con que se dimensionan las losas que trabajan en dos direcciones es el momento flector. Vamos a desarrollar el cálculo Tomamos como ejemplo la planta que sigue Para realizar el cálculo y dimensionar la armadura de este sistema de losas cruzadas vamos a necesitar 1) Tablas del libro Loser N s 89 a 94, que se adjuntan al final de esta guía. 2) Tablas del hormigón armado trabajando a flexión, que ya vimos en el TP de vigas y que volvemos a adjuntar al final de esta guía. 3) Planilla Excel que se debe bajar de la web de la cátedra, denominada Cálculo de_losas_armadas en dos direcciones. En esta planilla se deben llenar las celdas pintadas de celeste, mientras que las celdas pintadas de amarillo no se deben tocar, pues su valor lo calcula el software automáticamente. 4) Desarrollo paso a paso de un ejemplo
1) Tomamos la losa N 1 Vemos que a su derecha está la losa N 2, abajo está la losa N 4, mientras a la izquierda y arriba está libre, luego la forma de sustentación de la losa es Colocamos este diagrama en la columna 2 ( celeste) 2) Buscamos en las tablas del Loser la que corresponda a este tipo de sustentación, es la tabla N 92 y el diagrama de la losa está colocado en la parte de arriba de la tabla, luego colocamos en la columna 3(celeste) la indicación 92(arriba) 3) En las columnas 4 y 5 ( celestes) colocamos la longitud de la losa Lx (en horizontal) y Ly (en vertical). 4) En la columna 6( celeste), si vemos que en la columna 2 dice (arriba), como en el caso de la losa 1, colocamos Ly/Lx. Cuando, por ejemplo en la losa 4, en la columna 2 correspondiente dice abajo, en ese caso en la columna 6 hay que colocar el valor Lx/Ly. 5) En la columna 7( celeste) colocamos la altura total de la losa, en este caso 10 cm, este valor sale de la experiencia del calculista, luego, cuando dimensionemos, si la tensión en el hormigón nos verifica, el predimensionado está bien, sino hay que aumentar el espesor de la losa. 6) En la columna 8(celeste) colocamos el recubrimiento de la armadura, 2 cm para una losa interior, 3 cm para una losa exterior, 5 cm para una losa en contacto con suelo o agua. 7) En la columna 9(celeste) colocamos la carga total que recibe la losa, considerando peso propio mas sobrecarga, en este caso la estimamos en 0,90 t/m2 8) Vamos a la tabla del Loser mencionada en la columna 2, en este caso la tabla 92, entrando con el valor de la columna 6 (Ly/lx en este caso) buscamos la línea correspondiente ( marcada como Losa 1 en la tabla adjunta) de allí copiamos los valores α, β, χ, ρ, en las columnas 10, 11, 12 y 13(celestes) respectivamente. 9) Siguiendo en la misma tabla del Loser, en las columnas 14 y 15 respectivamentes (celestes) colocamos los coeficientes que figuran en las fórmulas que están en la parte de arriba de la tabla, en este caso 1/8 = 0,125 10) Las columnas 16, 17 y 18 son amarillas, o sea que no debemos tocarlas, a título informativo les informo que la columna 16 calcula la altura útil que es la altura total( columna 7) menos el recubrimiento ( columna 8); La columna 17 calcula el
momento flector en la dirección x ( horizontal) mediante la fórmula siendo α el coeficiente de la columna 10 q la carga total(columna 9) y Lx el largo de la losa en la dirección x(horizontal) que figura en la columna 4. En la columna 18 se calcula el coeficiente Kh mediante la fórmula. Siendo h, la altura útil, que figura en la columna 16, Ms el momento flector calculado en la columna 17 y b = 1 m (esta fórmula ya se vio en el TP de vigas, donde hay una explicación detallada de su significado) 11) Para colocar el valor en la columna 19(celeste) tomamos las tablas de Kh del tipo de hormigón y acero que vamos a usar, en este caso Hormigón H21 y acero ADN 420, y primero verificamos que el valor de Kh calculado en la columna 18 sea mayor que el mínimo permitido, en este caso 5,4,. Si el Kh calculado resultase menor que este valor es que nos hemos equivocado en el predimensionamiento, y debemos aumentar la altura de la losa. Como nuestro Kh es superior a 5.4 esto significa que la altura de la losa adoptada es correcta y de tablas, entrando con el Kh, obtenemos el coef Ks y lo colocamos en la columna 19 12) En la columna 20(amarilla) el programa calcula automáticamente la armadura necesaria mediante la fórmula donde Ms es el momento calculado en la columna 17 y Ks es el coeficiente que hemos puesto en la columna 19 y h es la altura útil que figura en la columna 16, una explicación detallada del significado de esta fórmula se puede ver en el TP de vigas. 13) En la columna 21 colocamos la separación entre las barras de la armadura inferior, adoptamos 15 cm para todas las losas. En la columna 22 colocamos el diámetro de la barra que nos permita cubrir la armadura necesaria calculada en la columna 20, se procede así, se coloca al tanteo un diámetro comercial( 6, 8, 10, 12,16, 20, 25), automáticamente el programa calcula la armadura efectivamente dispuesta si utilizamos ese diámetro y la coloca en la columna 23(amarilla). Si la sección de armadura que figura en la columna 23( amarilla) es menor que la armadura necesaria calculada en la columna 20( amarilla) hay que aumentar el diámetro que figura en la columna 22. Si la sección de armadura que figura en la columna 23 es más de un 50 % mayor que la armadura necesaria que figura en la columna 20,
hay que disminuir el diámetro que figura en la columna 22. Si está entre estos dos valores, el diámetro de las barras que figura en la columna 22 es correcto. 14) En la columna 24(amarilla) el programa calcula automáticamente el momento en el tramo en la dirección y, mediante la fórmula donde β es el coeficiente que figura en la columna 11, q la carga que figura en la columna 9 y Ly el largo de la losa en la dirección y, que figura en la columna 5. 15) En la columna 25 (amarilla) el programa calcula automáticamente el coeficiente Kh, utilizando la fórmula donde h es la altura útil que figura en la columna 16, Ms el momento flector en el tramo en la dirección y(vertical), que figura en la columna 24 y b es igual a 1 m. 16) Para colocar el valor en la columna 26(celeste) tomamos las tablas de Kh del tipo de hormigón y acero que vamos a usar, en este caso Hormigón H21 y acero ADN 420, y primero verificamos que el valor de Kh calculado en la columna 25 sea mayor que el mínimo permitido, en este caso 5,4,. Si el Kh calculado resultase menor que este valor es que nos hemos equivocado en el predimensionamiento, y debemos aumentar la altura de la losa. Como nuestro Kh es superior a 5.4, esto significa que la altura de la losa adoptada es correcta y de tablas, entrando con el Kh, obtenemos el coef Ks y lo colocamos en la columna 26. 17) En la columna 27(amarilla) el programa calcula automáticamente la armadura necesaria mediante la fórmula donde Ms es el momento calculado en la columna 24 y Ks es el coeficiente que hemos puesto en la columna 26 y h es la altura útil que figura en la columna 16, una explicación detallada del significado de esta fórmula se puede ver en el TP de vigas. 18) En la columna 28 colocamos la separación entre las barras de la armadura inferior, adoptamos 15 cm para todas las losas. En la columna 29 colocamos el diámetro de la barra que nos permita cubrir la armadura necesaria calculada en la columna 27, se procede así, se coloca al tanteo un diámetro comercial( 6, 8, 10, 12,16, 20, 25), automáticamente el programa calcula la armadura efectivamente dispuesta si utilizamos ese diámetro y la coloca en la columna 30(amarilla). Si la sección de armadura que figura en la columna 30( amarilla) es menor que la armadura necesaria calculada en la columna 27( amarilla) hay que aumentar el diámetro que
figura en la columna 29. Si la sección de armadura que figura en la columna 30 es más de un 50 % mayor que la armadura necesaria que figura en la columna 27, hay que disminuir el diámetro que figura en la columna 29. Si está entre estos dos valores, el diámetro de las barras que figura en la columna 29 es correcto. 19) Al llegar a este punto, no continuamos con las columnas 31 y subsiguientes, sino que pasamos a la losa 2, y procedemos igual que para la losa 1, en este es el diagrama coeficientes de tabla que corresponde a la tabla 93(arriba) y obtenemos los y continuamos de la misma forma que en el caso de la losa 1 hasta la columna 30. 20) En ese punto pasamos a la losa 3, cuyo diagrama de apoyos es, que corresponde a la tabla 92 (arriba), cuyos coeficientes son, continuamos de la misma forma que en las dos losas anteriores hasta la columna 30, luego pasamos a la losa 4, cuyo diagrama es que corresponde a la tabla 93 parte de abajo,( o sea que el diagrama de la losa no lo encontramos en lap arte de arriba de la tabla sino en la parte de abajo) en este caso, en la columna 6 en vez de hacer Ly/Lx como en las losas anteriores hacemos Lx/Ly, y entramos a la tabla del lado de abajo, obteniendo los siguientes valores, seguimos de la misma forma que en los casos anteriores hasta la columna 30, allí pasamos a la losa subsiguintes hasta completar las 30 primeras columnas de la tabla para todas las losas. 21) En este punto hemos calculado todas las armaduras de tramo, faltan las armaduras de apoyo, que se calculan de la columna 31 en adelante. Luego comenzamos con la columna 31 (amarilla) de la losa 1. En esta columna la máquina calcula el momento en el apoyo en la dirección x, utilizando la fórmula, siendo X, el coeficiente que habíamos puesto en la
columna 14, χ el valor de la columna 12, q la carga que figura en la columna 9 y Lx el largo de la losa en la dirección x(horizontal), que figura en la columna 4 22) En la columna 32(amarilla) el programa calcula automáticamente el coeficiente Kh, utilizando la fórmula donde h es la altura útil que figura en la columna 16, Ms el momento flector en el apoyo en la dirección x(horizontal, que figura en la columna 31 y b es igual a 1 m. 23) Para colocar el valor en la columna 33(celeste) tomamos las tablas de Kh del tipo de hormigón y acero que vamos a usar, en este caso Hormigón H21 y acero ADN 420, y primero verificamos que el valor de Kh calculado en la columna 32 sea mayor que el mínimo permitido, en este caso 5,4,. Si el Kh calculado resultase menor que este valor es que nos hemos equivocado en el predimensionamiento, y debemos aumentar la altura de la losa Como nuestro Kh es mayor que 5.4, esto significa que la altura de la losa adoptada es correcta y de tablas, entrando con el Kh, obtenemos el coef Ks y lo colocamos en la columna 33. 24) En la columna 34(amarilla) el programa calcula automáticamente la armadura necesaria mediante la fórmula donde Ms es el momento calculado en la columna 31 y Ks es el coeficiente que hemos puesto en la columna 33 y h es la altura útil que figura en la columna 16, una explicación detallada del significado de esta fórmula se puede ver en el TP de vigas. 25) Lo que el programa calculó es la armadura necesaria en la unión de la losa 1 con la losa 2, (armadura superior). Para tomarla vamos a usar 3 tipos de barras, vamos a doblar la mitad de las barras que dispusimos en el tramo para la losa 1 dirección x que figuran en la columna 23 de la losa 1, que el programa coloca automáticamente en la columna 35(amarilla)de la losa 1. También vamos a doblar la mitad de la barras en la dirección x de la losa 2, que figuran en la columna 23 de la losa 2, esto no lo hace automáticamente el programa, luego tenemos que colocarla nosotros en la columna 36(celeste) de la losa 1. El tercer tipo de barras que vamos a utilizar son barras de refuerzo cuya necesidad calcula automáticamente el programa, restando a la armadura necesaria colocada en la columna 34, la armadura doblada de losa 1, (columna 35) y la armadura doblada de la losa 2 ( columna 36). Esta armadura necesaria la coloca el programa automáticamente en la columna 37.
26) En la columna 38a colocamos la separación entre las barras de la armadura inferior, adoptamos 15 cm para todas las losas. En la columna 38b colocamos el diámetro de la barra que nos permita cubrir la armadura necesaria calculada en la columna 37, se procede así, se coloca al tanteo un diámetro comercial( 6, 8, 10, 12,16, 20, 25), automáticamente el programa calcula la armadura efectivamente dispuesta si utilizamos ese diámetro y la coloca en la columna 38c(amarilla). Si la sección de armadura que figura en la columna 38c( amarilla) es menor que la armadura necesaria calculada en la columna 37( amarilla) hay que aumentar el diámetro que figura en la columna 38b. Si la sección de armadura que figura en la columna 38c es más de un 50 % mayor que la armadura necesaria que figura en la columna 37, hay que disminuir el diámetro que figura en la columna 38b. Si está entre estos dos valores, el diámetro de las barras que figura en la columna 38b es correcto. 27) En la columna 39(amarilla) la máquina calcula el momento en el apoyo en la dirección y, utilizando la fórmula, siendo Y, el coeficiente que habíamos puesto en la columna 15, ρ el valor de la columna 13, q la carga que figura en la columna 9 y Ly el largo de la losa en la dirección y(horizontal), que figura en la columna 5 28) En la columna 40(amarilla) el programa calcula automáticamente el coeficiente Kh, utilizando la fórmula donde h es la altura útil que figura en la columna 16, Ms el momento flector en el apoyo en la dirección y(vertical), que figura en la columna 39 y b es igual a 1 m. 29) Para colocar el valor en la columna 41(celeste) tomamos las tablas de Kh del tipo de hormigón y acero que vamos a usar, en este caso Hormigón H21 y acero ADN 420, y primero verificamos que el valor de Kh calculado en la columna 40 sea mayor que el mínimo permitido, en este caso 5,4,. Si el Kh calculado resultase menor que este valor es que nos hemos equivocado en el predimensionamiento, y debemos aumentar la altura de la losa. Como nuestro Kh es superior a 5.4, esto significa que la altura de la losa adoptada es correcta y de tablas, entrando con el Kh, obtenemos el coef Ks y lo colocamos en la columna 41. 30) En la columna 42(amarilla) el programa calcula automáticamente la armadura necesaria mediante la fórmula
donde Ms es el momento calculado en la columna 39 y Ks es el coeficiente que hemos puesto en la columna 41 y h es la altura útil que figura en la columna 16, una explicación detallada del significado de esta fórmula se puede ver en el TP de vigas. 31) Lo que el programa calculó es la armadura necesaria en la unión de la losa 1 con la losa 4, (armadura superior). Para tomarla vamos a usar 3 tipos de barras, vamos a doblar la mitad de las barras que dispusimos en el tramo para la losa 1 dirección y que figuran en la columna 30 de la losa 1, que el programa coloca automáticamente en la columna 43(amarilla) de la losa 1. También vamos a doblar la mitad de la barras en la dirección y de la losa 4, que figuran en la columna 30 de la losa 4, esto no lo hace automáticamente el programa, luego tenemos que colocarla nosotros en la columna 44(celeste) de la losa 1. El tercer tipo de barras que vamos a utilizar son barras de refuerzo cuya necesidad calcula automáticamente e l programa, restando a la armadura necesaria colocada en la columna 42, la armadura doblada de losa 1, (columna 43) y la armadura doblada de la losa 2 ( columna 44). Esta armadura necesaria la coloca el programa automáticamente en la columna 45. 32) En la columna 46a colocamos la separación entre las barras de la armadura inferior, adoptamos 15 cm para todas las losas. En la columna 46b colocamos el diámetro de la barra que nos permita cubrir la armadura necesaria calculada en la columna 45, se procede así, se coloca al tanteo un diámetro comercial( 6, 8, 10, 12,16, 20, 25), automáticamente el programa calcula la armadura efectivamente dispuesta si utilizamos ese diámetro y la coloca en la columna 46c(amarilla). Si la sección de armadura que figura en la columna 46c( amarilla) es menor que el refuerzo necesario calculado en la columna 45( amarilla) hay que aumentar el diámetro que figura en la columna 46b. Si la sección de armadura que figura en la columna 46c es más de un 50 % mayor que el refuerzo necesario que figura en la columna 45, hay que disminuir el diámetro que figura en la columna 46b. Si está entre estos dos valores, el diámetro de las barras que figura en la columna 46b es correcto. 33) De esta forma seguimos con las 8 losas restantes.
Rx = Equis * q * Lx/2 Ry = Ro * q * Ly/2
Rx = Equis * q * Lx/2 Ry = Ro * q * Ly/2
Rx = Equis * q * Lx/2 Ry = Ro * q * Ly/2
Rx = Equis * q * Lx/2 Ry = Ro * q * Ly/2 Losa 1 Losa 3
Rx = Equis * q * Lx/2 Ry = Ro * q * Ly/2 Losa 2 Losa 4
Temas de Trabajo Práctico
Temas Trabajo práctico losas N Grupo Lx1 Lx2 Ly1 Ly2 Q m m m m T/m2 1 3 3.5 4 4.5 0.8 2 3.2 3.6 4.2 4.6 0.82 3 3.4 3.7 4.4 4.7 0.84 4 3.6 3.8 4.6 4.8 0.86 5 3.8 3.9 4.8 4.9 0.88 6 4 4 5 5 0.9 7 4.2 4.1 5.2 5.1 0.92 8 4.4 4.2 5.4 5.2 0.94 9 4.6 4.3 5.6 5.3 0.96 10 4.8 4.4 5.8 5.4 0.98 11 5 4.5 6 5.5 1 12 5.2 4.6 6.2 5.6 1.02 13 5.4 4.7 6.4 5.7 1.04 14 5.6 4.8 6.6 5.8 1.06