Funciones, 3º ESO () RECTAS Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: - Lineales, de fórmula y mx. Las gráficas de estas funciones pasan por el origen de coordenadas. m es la pendiente de la recta. Es un número real cualquiera. Si m > 0 entonces la función es creciente. Si m < 0, la función es decreciente. Siendo más precisos, dados dos puntos cualesquiera de la recta, A ( x0, y0 ) y B ( x, y) y y0 pendiente de la recta es m x x, es decir, el cociente entre el incremento de la 0 función y el incremento de la variable independiente. - Afines, de expresión y mx n. Las gráficas son rectas que no pasan por el origen de coordenadas. m es la pendiente de la recta y tiene exactamente la misma interpretación que en las funciones lineales. n es la ordenada en el origen, el valor de la función para x = 0, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas o eje Y. - Constantes, y k Las gráficas son rectas paralelas al eje X con el valor de y = k Ejercicios resueltos.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones indicando en cada caso la pendiente y la ordenada en el origen., la a) x y 3 La pendiente m 3 y la ordenada en el origen n = 0. Para dibujar su trazado se puede hacer una tabla de valores, representar los puntos de la tabla en el plano y unirlos. Para que los cálculos sean más sencillos damos a x valores múltiplos del denominador, 3. x -3 0 3 y - 0
Funciones, 3º ESO () b) x y La pendiente m y la ordenada en el origen n =. Tomamos valores de x de forma que la función tenga valores enteros. x -3 7 y 0 - c) y =, La pendiente m = 0 y la ordenada en el origen n =, No hace falta hacer una tabla. Sabemos que es paralela al eje X, a la altura,.- Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por los puntos A(, -) y B(3, -7). ( 7) Pendiente m 3 Para hallar la ordenada en el origen sustituimos la pendiente por su valor y las variables de la fórmula, x e y, por las coordenadas de uno de los puntos. Despejamos n y x n n n Ecuación: y x
Funciones, 3º ESO (3) b) Es paralela a la recta y = x + y pasa por el punto P(, -) Si dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente (y viceversa), así que nuestra recta es y = x + n. Hallamos n como antes, sustituyendo x e y por las coordenadas del punto P y x n n n La recta es y x c) Pasa por el punto C(-3, ) y su ordenada en el origen es -7. Ahora lo que sabemos es que la recta tiene de ecuación y mx 7 y se trata de calcular la pendiente m. Procedemos igual que en los casos anteriores, sustituyendo x e y por las coordenadas el punto C para despejar después el valor de m. 7 y mx 7 3m 7 m 3 3 La recta es y x 7 3 3.- El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 0 km pagamos 6, y si recorre 30 km, cuesta 0. Escribe la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x, con el precio del billete, y. Calcula, además, el precio de un billete para un recorrido de 0 km. Tenemos dos puntos de la recta, A(0, 6) y B(30, 0). Procedemos como en el ejercicio a) 0 6 m 30 0 30 88 80 y x n 6 0 n n 6 3 3 80 La ecuación de la recta es y x 3 El precio del billete para un trayecto de 0 km se obtiene sustituyendo x por 0 en la ecuación de la recta. 80 680 y 0 9,7 3 3.- En una heladería, A, venden el helado a el litro y cobran por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería, B, cobran 0, por un envase y 6 por cada litro de helado. a) Representa la función litros de helado coste para cada heladería y escribe sus ecuaciones. Heladería A. Ecuación del precio ( y ) en función de la cantidad de helado ( x ) y = x + Heladería B. y = 6x + 0, Gráficas
Funciones, 3º ESO () b) Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de helado que compremos. Cuándo x + = 6x + 0,? Para x = 0,. Este es el valor crítico. Si se compra menos de medio litro es mejor comprar en la heladería B, pero si compramos más de medio litro es conveniente hacerlo en A. FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS Las gráficas de las funciones cuadráticas, de expresión general y = ax + bx + c son curvas llamadas parábolas. Si a > 0 son cóncavas hacia arriba, es decir, tienen forma de U. Si a < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo, con forma de U invertida,. Se dibujan a partir de los puntos de corte con el eje X y el vértice, siendo éste el punto más importante. Una vez determinados los puntos de corte y el vértice, se completa una tabla de valores con puntos cercanos al vértice. Ejercicios resueltos Dibuja las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas con tablas de siete valores en los que hay que incluir los puntos de corte con el eje X (si los hubiera) y el vértice. a) y = x + x - La gráfica es cóncava hacia arriba (U) porque a = > 0 - Puntos de corte con el eje X. Se iguala la función a cero y se resuelve la ecuación obtenida (siempre se puede b b ac utilizar la fórmula tan bien conocida ) a x x 0 x( x ) 0 x 0, x b - Vértice. La coordenada x del vértice, V x, viene dada por la fórmula V x a En este caso, V x - Completamos la tabla, dando a x los valores anteriores y alguno más, hasta 7, simétricos respecto al vértice. x 0 - - -3 - y 0 0-3 3 8 8
Funciones, 3º ESO () b) y = x + 0x - La gráfica es cóncava hacia abajo ( ) porque a = < 0 - Puntos de corte con el eje X. x 0 0x 0 x 0 x 7, x 3 0 Vértice. V x - Completamos la tabla. 0 ( ) ( ) ( ) 0 00 8 x 3 7 6 8 y 0 0 3 3 - - c) y = x - La gráfica es cóncava hacia abajo (U) porque a = 0 - Puntos de corte con el eje X. x 0 x 8 0 - Vértice. V 0 x - Completamos la tabla. no corta al eje X. x - 0-3 -3 y,, 3 3,,
Funciones, 3º ESO (6) EJERCICIOS.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones indicando en cada caso la pendiente y la ordenada en el origen. a) x y m n 0 d) 7 x y m n 7 b) y, 8x m,8 n 0 e) y,x 3, 6 m, n 3,6 c) 0 3 y x 3 m n 0
.- Halla la ecuación de las siguientes rectas: a) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto P(, 3) y x y x b) Su pendiente es - y pasa por el punto A(-3, ) c) Pasa por los puntos P(, -3) y Q(, ) y x 3 3 y x 7 d) Es paralela a y = x y pasa por A(, -) e) Pasa por el punto P(, ) y su ordenada en el origen es - 7 y x Funciones, 3º ESO (7) 3.- Para colaborar con las personas sin techo, una ONG elabora un periódico de reparto callejero. Cada vendedor recibe un fijo de euros al mes y, además, 0 céntimos por ejemplar vendido. a) Escribe la fórmula y representa la gráfica de la función que relaciona el número de periódicos vendidos con el dinero recibido al mes. y = + 0,x b) Cuántos ejemplares tiene que vender un sin techo para cobrar en un mes 8 euros? 30 periódicos.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas a partir del vértice y puntos cercanos al mismo: a) y = x x 3 b) y = x +
Funciones, 3º ESO (8) c) y x 6x 9 f) y = x +x 6 d) y x 8x 80 g) y = x x e) y x x 6